Aufgabe CAS 1 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Papierflieger verlassen die Hand eines Werfers in einer bestimmten Abwurfhöhe, unter einem bestimmten Abwurfwinkel und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit. Die Flugkurven können abhängig von diesen drei Bedingungen sowie von der jeweiligen Bauweise des Papierfliegers unterschiedlich verlaufen. Im Folgenden sollen drei Typen von Flugkurven unterschieden werden, die in der Abbildung schematisch dargestellt sind.

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen x-Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen y-Achse durch den Abwurfpunkt verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Im Folgenden soll der x-Wert der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

1 Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ S. Diese kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s$ mit $s(x) = -x^4 + 2x^3 + \frac{1}{2}x + 2$ beschrieben werden.

Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ S mit $s(x) = -x^4 + 2x^3 + \frac{1}{2}x + 2$.

b)

Zeigen Sie, dass der Papierflieger seine maximale Flughöhe besitzt, wenn seine horizontale Entfernung vom Abwurfpunkt etwa $1{,}55\text{ m}$ beträgt. Geben Sie diese Flughöhe an.

c)

Berechnen Sie die Koordinaten der beiden Wendepunkte des Graphen von $s$ und geben Sie die jeweilige Steigung des Graphen von $s$ in den Wendepunkten an.

$x_1 =$

$y_1 =$

Steigung $s'(x_1) =$

$x_2 =$

$y_2 =$

Steigung $s'(x_2) =$

d)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Wendepunkts mit der größeren $x$-Koordinate im Hinblick auf die Steigung der Flugkurve des Papierfliegers.