Aufgabe WTR 3 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (WTR) 2026

Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind 80 % Personenkraftwagen (Pkw).

Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. 70,8 % dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.

In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.

2 In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Um den Anteil $p$ der Personen zu senken, die dabei allein im Pkw sind, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Erfahrungsgemäß betrug der beschriebene Anteil $p$ vor der Schaffung der Anreize über $90\,\%$.

Nun soll untersucht werden, ob dieser Anteil deutlich gesunken ist. Dazu werden $20$ Stichproben jeweils vom Umfang $500$ erhoben und es wird jeweils die Anzahl der Personen ermittelt, die allein im Pkw zur Arbeit fahren. Für jede Stichprobe wird mithilfe der Gleichung

$$|h - p| = 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{p \cdot (1 - p)}{n}}$$

jeweils ein Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$ für den unbekannten Anteil $p$ ermittelt. Diese Konfidenzintervalle sind in Abbildung 2 dargestellt und mit den Nummern $1$ bis $20$ versehen.

a)

Die obere Grenze eines der ermittelten Konfidenzintervalle beträgt etwa $0{,}75$. Geben Sie die Nummer dieses Konfidenzintervalls an und bestimmen Sie für die zugrunde liegende Stichprobe einen passenden Wert für die Anzahl der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren.

b)

Geben Sie einen möglichen Wert für den beschriebenen unbekannten Anteil $p$ an, der mit genau $19$ der $20$ Stichprobenergebnisse verträglich ist, und begründen Sie Ihre Angabe unter Verwendung von Abbildung 2.

c)

Nun werden für $20$ weitere Stichproben, die jeweils den Umfang $500$ haben, die zu deren Ergebnissen gehörenden Konfidenzintervalle zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$ ermittelt. Es wird angenommen, dass der Wert von $p$ für diese $20$ Stichproben konstant ist. Betrachtet wird die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert von $p$ von genau $19$ dieser $20$ ermittelten Konfidenzintervalle überdeckt wird, beträgt weniger als $42\,\%$.

Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl derjenigen Konfidenzintervalle unter den ermittelten Konfidenzintervallen, die den Wert von $p$ überdecken. Geben Sie eine geeignete Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ an und erläutern Sie Ihre Wahl. Zeigen Sie, dass die Aussage wahr ist.