Abitur BW Physik 2026 · LK · Linearbeschleuniger

Linearbeschleuniger für den Einsatz in der medizinischen Strahlentherapie

Seit 2009 werden am Heidelberger Ionenstrahl-Therapiezentrum (HIT) Patientinnen und Patienten erfolgreich mit schnellen Protonen oder deutlich massereicheren Kohlenstoffionen behandelt.

Vereinfachend werden relativistische Effekte und der Einfluss der Gravitation in dieser Aufgabe vernachlässigt.

Material 1: Beschleunigung eines Teilchens im elektrischen Feld eines Plattenkondensators

In der linken Platte eines Plattenkondensators ist mittig eine Protonenquelle eingebaut. Vereinfachend wird angenommen, dass die Protonen sich nach ihrer Erzeugung am Ort der linken Platte befinden und eine vernachlässigbare Anfangsgeschwindigkeit haben. In der rechten Platte des Kondensators ist ein kleines Loch, durch das die beschleunigten Teilchen austreten können.

Aufgrund von Spannungsüberschlägen ist es nicht möglich, Spannungen an derartige Plattenkondensatoren anzulegen, die $90\text{ kV}$ überschreiten.

a

Skizzieren Sie den in Material 1 beschriebenen Plattenkondensator zur Beschleunigung von Protonen. Skizzieren Sie das elektrische Feld im Inneren und im Randbereich und geben Sie die Polung der Platten an.

Linearbeschleuniger für den Einsatz in der medizinischen Strahlentherapie

Seit 2009 werden am Heidelberger Ionenstrahl-Therapiezentrum (HIT) Patientinnen und Patienten erfolgreich mit schnellen Protonen oder deutlich massereicheren Kohlenstoffionen behandelt.

Vereinfachend werden relativistische Effekte und der Einfluss der Gravitation in dieser Aufgabe vernachlässigt.

Material 1: Beschleunigung eines Teilchens im elektrischen Feld eines Plattenkondensators

In der linken Platte eines Plattenkondensators ist mittig eine Protonenquelle eingebaut. Vereinfachend wird angenommen, dass die Protonen sich nach ihrer Erzeugung am Ort der linken Platte befinden und eine vernachlässigbare Anfangsgeschwindigkeit haben. In der rechten Platte des Kondensators ist ein kleines Loch, durch das die beschleunigten Teilchen austreten können.

Aufgrund von Spannungsüberschlägen ist es nicht möglich, Spannungen an derartige Plattenkondensatoren anzulegen, die $90\text{ kV}$ überschreiten.

b

Berechnen Sie die maximal mögliche Geschwindigkeit eines anfänglich ruhenden Protons nach dem Durchlaufen des Kondensators (M 1).

Aufgabe 2: Hochfrequenz-Linearbeschleuniger (LINAC)

Mit einem Hochfrequenz-Linearbeschleuniger (LINAC) lassen sich besonders hohe Teilchenenergien erreichen (siehe Material 2).

Material 2: Hochfrequenz-Linearbeschleuniger (LINAC)

Am Heidelberger Ionenstrahl-Therapiezentrum (HIT) werden Protonen für den medizinischen Einsatz auf hohe Geschwindigkeiten beschleunigt. Eine technische Lösung zum Erreichen hoher Protonengeschwindigkeiten ist der „Hochfrequenz-Linearbeschleuniger (LINAC)".

Die gesamte Anordnung befindet sich im Vakuum. In der Teilchenquelle werden Protonen mit vernachlässigbarer Anfangsgeschwindigkeit erzeugt. Die Abstände (Spalte) zwischen den Röhren bzw. zwischen der Teilchenquelle und der ersten Röhre sind gleich groß. Vereinfacht wird angenommen, dass die Spannung $U_\text{Spalt}$ zwischen benachbarten, elektrisch leitenden Röhren einen konstanten Betrag hat und mit konstanter Frequenz umgepolt wird. Es handelt sich somit um eine Rechteckspannung (siehe Abb. 2). Benachbarte Röhren sind stets unterschiedlich gepolt.

Vereinfachend wird angenommen, dass das elektrische Feld in allen Spalten homogen ist. Das Innere der Röhren ist hingegen feldfrei. Im Rahmen dieser Aufgabe wird nur ein einziges Proton betrachtet, welches die Quelle zu einem Zeitpunkt verlässt, an dem die erste Röhre negativ gegenüber der Teilchenquelle gepolt wird. Der Betrag der Spaltspannung $U_\text{Spalt}$ und die Frequenz $f$ sind so gewählt, dass das Proton eine Röhre genau dann durchquert hat, wenn die nächste Röhre negativ gepolt wird.

a)

Erklären Sie, dass in einem LINAC insgesamt höhere Protonengeschwindigkeiten erreicht werden können als in einem Plattenkondensator, wenn zwischen benachbarten Röhren die gleiche Spannung wie am Plattenkondensator aus Aufgabe 1 angelegt wird. [3 BE]

b)

Erläutern Sie qualitativ und ausgehend von den jeweils wirkenden Kräften die zeitliche Veränderung der Geschwindigkeit eines einzelnen Protons:

c)

Erklären Sie, dass die Röhren entlang der Beschleunigungsstrecke länger werden müssen. [4 BE]

d)

Erklären Sie den in Material 3 dargestellten Geschwindigkeitsverlauf. Beachten Sie dabei auch die konstante Frequenz $f$ der Umpolung der Spaltspannung $U_\text{Spalt}$ und gehen Sie auf die Zunahme der kinetischen Energie eines Protons beim Durchlaufen der Spalte des LINAC ein. [5 BE]

Material 3: Geschwindigkeitsverlauf eines Protons im LINAC

Aufgabe 3: Röhrenlängen im LINAC für Kohlenstoffionen

Am HIT können Patientinnen und Patienten auch mit Kohlenstoffionen bestrahlt werden.

Material 4: Länge der Röhren

Die Zeit, die die Ionen in den Spalten verbringen wird gegenüber der Flugzeit innerhalb der Röhren im Folgenden vernachlässigt. Mit dieser Näherung ergibt sich für die benötigte Länge der $n$-ten Röhre folgende Beziehung:

$$L_n = \frac{1}{2f} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot q \cdot U_\text{Spalt}}{m} \cdot n}$$

Dabei bezeichnet $m$ die Masse der verwendeten Ionen, $q$ die Ladung der Ionen und $f$ die Frequenz der Wechselspannung.

a)

Zeigen Sie, dass für die Länge der $n$-ten Röhre die in Material 4 angegebene Beziehung gilt. [5 BE]

b)

Untersuchen Sie ausgehend von der Formel in Material 4, um welchen Faktor entweder die Spaltspannung oder deren Frequenz jeweils verändert werden muss, wenn in demselben LINAC (M 2) statt Protonen einfach positiv geladene Kohlenstoffionen mit der zwölffachen Masse eines Protons beschleunigt werden sollen. Die Rohrlängen müssen dabei gleich bleiben. [5 BE]

Material 5: Gegenanzeigen bei der Behandlung von Tumorpatientinnen und -patienten mit Protonenstrahlung

Die Protonentherapie hat in der medizinischen Forschung bisher gute Heilungschancen bei der Behandlung von Patientinnen und Patienten mit Krebstumoren gezeigt. Die Protonen werden dabei auf den schädlichen Tumor im Inneren des Körpers gelenkt und zerstören ihn dort lokal, ohne das umliegende gesunde Gewebe übermäßig zu schädigen. Diese Technik erfordert eine millimetergenaue Präzision.

Leider gibt es eine ganze Reihe von Gegenanzeigen, bei denen eine Protonentherapie nicht möglich ist. Auf der Patienteninformationsseite eines Therapiezentrums steht, dass eine Behandlung unter anderem dann nicht möglich ist, wenn sich Metalle in der Behandlungsregion befinden. Implantate wie beispielsweise künstliche Gelenke, Knochenschrauben oder Herzschrittmacher können Metalle enthalten.

4

Die Protonentherapie kann leider nicht bei allen Patienten eingesetzt werden (M 5).

Stellen Sie eine Hypothese auf, wie die Bewegung der Protonen im Körper durch die Wechselwirkung mit Metallimplantaten beeinflusst werden könnte. [4 BE]