Abitur Berlin Mathematik 2023 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert.

1 Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B.

A: „Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt.“

B: „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt.“

A

B

Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert.

2 Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse C und D stochastisch unabhängig sind.

C: „Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4.“

D: „Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3.“

a)

b)

Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert.

3 Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jeder Spieler darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet er das Spiel selbst, bevor er eine „0“ erzielt, so wird ihm die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt er eine „0“, so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.

a)

Ein erster Spieler entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern er keine „0“ erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er eine Auszahlung erhält. [2 BE]

b)

Bei einem zweiten Spieler beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen 60. Er möchte nun das Spiel entweder sofort beenden oder das Glücksrad genau ein weiteres Mal drehen. Berechnen Sie für den Fall, dass sich der Spieler für die weitere Drehung entscheiden sollte, den Erwartungswert für die Auszahlung. Geben Sie eine Empfehlung ab, ob sich der Spieler für das Beenden des Spiels oder für die weitere Drehung entscheiden sollte, und begründen Sie Ihre Empfehlung. [4 BE]

c)

Wenn sich ein Spieler vor dem Spiel dafür entscheidet, das Glücksrad, sofern er keine „0“ erzielt, n-mal zu drehen, dann kann der Erwartungswert für die Auszahlung mit dem Term $5n \cdot 0{,}9^n$ berechnet werden. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt zwei, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von n, für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.

[4 BE]

Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert.

4 Betrachtet wird ein kleiner zehnseitiger Holzkörper, dessen Seiten mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert sind.

a)

Bei 80 Würfen wird zwölfmal die „0“ erzielt. Bestimmt man auf dieser Grundlage zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 % ein Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Wurf die „0“ zu erzielen, so ergibt sich als untere Grenze dieses Intervalls näherungsweise 0,09. Begründen Sie, dass die obere Grenze des Konfidenzintervalls größer als 0,1 ist. Beschreiben Sie die Bedeutung des Konfidenzintervalls im Hinblick auf die Annahme, dass beim Werfen des Holzkörpers die „0“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % erzielt wird. [3 BE]

b)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl von Würfen, für die Folgendes gilt:

Wenn man bei genau 15 % der Würfe die „0“ erzielt, dann steht dies bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95 % nicht in Einklang mit der Annahme, dass beim Werfen des Holzkörpers die „0“ mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % erzielt wird.

[4 BE]

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Ein großes Reiseunternehmen führt auf seinen Internetseiten ein kostenloses Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt; diese Anzahl beträgt mindestens 1 und höchstens 5. Im Folgenden sind dazu die möglichen Gewinne beschrieben:

Unter den teilnehmenden Personen, bei denen nur ein Strandkorb angezeigt wird, werden Sachgewinne verlost.

Die teilnehmenden Personen mit zwei, drei, vier oder fünf Strandkörben erhalten jeweils einen Reisegutschein. Der folgenden Tabelle können die Werte der Gutscheine sowie die Wahrscheinlichkeiten für diese Gewinne entnommen werden.

Anzahl der Strandkörbe · 2 · 3 · 4 · 5

Wert des Gutscheins in € · 200 · 500 · 1000 · 10 000

Wahrscheinlichkeit · $8 \cdot 10^{-4}$ · $5 \cdot 10^{-5}$ · $2 \cdot 10^{-5}$ · $3 \cdot 10^{-6}$

Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 43,5 Cent.

1 Aufgabe

Für ein Land wird die Gruppe derjenigen Personen betrachtet, die im Jahr 2022 eine Urlaubsreise unternahmen. $45\,\%$ dieser Personen sind weiblich. Der Anteil derjenigen, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren, beträgt unter den weiblichen Personen $80\,\%$; der entsprechende Anteil unter den nicht weiblichen Personen wird mit $a$ bezeichnet.

Aus der betrachteten Gruppe wird eine Person zufällig ausgewählt. Untersucht werden die folgenden Ereignisse:

$W$: „Die Person ist weiblich.“

$Z$: „Die Person war mit ihrer Urlaubsreise zufrieden.“

a)

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person mit ihrer Urlaubsreise zufrieden war, $77{,}8\,\%$ beträgt.

b)

Weisen Sie nach, dass es in der betrachteten Gruppe für $a = 0{,}7$ weniger weibliche als nicht weibliche Personen geben würde, die mit ihrer Urlaubsreise zufrieden waren.

c)

Geben Sie denjenigen Wert von $a$ an, für den $W$ und $Z$ stochastisch unabhängig wären, und begründen Sie Ihre Angabe, ohne zu rechnen.

d)

Die ausgewählte Person war mit ihrer Urlaubsreise nicht zufrieden. Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person weiblich ist, mit zunehmendem Wert von $a$ zunimmt.

Ein großes Reiseunternehmen führt auf seinen Internetseiten ein kostenloses Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt; diese Anzahl beträgt mindestens 1 und höchstens 5. Im Folgenden sind dazu die möglichen Gewinne beschrieben:

Unter den teilnehmenden Personen, bei denen nur ein Strandkorb angezeigt wird, werden Sachgewinne verlost.

Die teilnehmenden Personen mit zwei, drei, vier oder fünf Strandkörben erhalten jeweils einen Reisegutschein. Der folgenden Tabelle können die Werte der Gutscheine sowie die Wahrscheinlichkeiten für diese Gewinne entnommen werden.

Anzahl der Strandkörbe · 2 · 3 · 4 · 5

Wert des Gutscheins in € · 200 · 500 · 1000 · 10 000

Wahrscheinlichkeit · $8 \cdot 10^{-4}$ · $5 \cdot 10^{-5}$ · $2 \cdot 10^{-5}$ · $3 \cdot 10^{-6}$

Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 43,5 Cent.

a)

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Spiel nur ein Strandkorb angezeigt wird, um weniger als ein Tausendstel von 1 abweicht. Bestimmen Sie für die Personen mit einem Strandkorb den Erwartungswert des Gewinns pro Person.

b)

Es soll davon ausgegangen werden, dass $80\,000$ Personen an dem Spiel teilnehmen werden. Der Erwartungswert der Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben wird mit $\mu$ bezeichnet. Ermitteln Sie den kleinsten möglichen ganzzahligen Wert von $c$, für den die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80\,\%$ im Intervall $[\mu - c; \mu + c]$ liegt.

Ein großes Reiseunternehmen führt auf seinen Internetseiten ein kostenloses Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt; diese Anzahl beträgt mindestens 1 und höchstens 5. Im Folgenden sind dazu die möglichen Gewinne beschrieben:

Unter den teilnehmenden Personen, bei denen nur ein Strandkorb angezeigt wird, werden Sachgewinne verlost.

Die teilnehmenden Personen mit zwei, drei, vier oder fünf Strandkörben erhalten jeweils einen Reisegutschein. Der folgenden Tabelle können die Werte der Gutscheine sowie die Wahrscheinlichkeiten für diese Gewinne entnommen werden.

Anzahl der Strandkörbe · 2 · 3 · 4 · 5

Wert des Gutscheins in € · 200 · 500 · 1000 · 10 000

Wahrscheinlichkeit · $8 \cdot 10^{-4}$ · $5 \cdot 10^{-5}$ · $2 \cdot 10^{-5}$ · $3 \cdot 10^{-6}$

Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 43,5 Cent.

c

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person nach der Teilnahme am Gewinnspiel eine Reise bei dem Reiseunternehmen bucht, wird mit $p$ bezeichnet. Für das Unternehmen wäre eine Verlängerung des Gewinnspiels für $p \ge 2\,\%$ mit Vorteilen verbunden, für $p < 2\,\%$ dagegen mit finanziellen Verlusten. Die Nullhypothese „$p$ beträgt mindestens $2\,\%$“ soll auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden. Je größer der Umfang der Stichprobe gewählt wird, desto teurer ist die Durchführung des Tests. Das Gewinnspiel soll nur dann nicht verlängert werden, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

Die Abbildung stellt für zwei mögliche Stichprobenumfänge $n_1$ und $n_2$ mit $n_1 < n_2$ in Abhängigkeit von $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich liegt.

Geben Sie an, unter welcher Bedingung sich der größere Stichprobenumfang für das Unternehmen lohnen könnte, und begründen Sie Ihre Angabe unter Verwendung der Abbildung sowie des Fehlers zweiter Art. [5 BE]