Abitur Berlin Mathematik 2023 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Eine Molkerei stellt Milchmischgetränke her und füllt diese in kleine Kartonverpackungen ab.

Eine solche Verpackung kann modellhaft durch den abgebildeten Körper mit $A(0|0|0)$, $B(4{,}5|0|0)$, $C(4{,}5|4{,}5|0)$, $D(0|4{,}5|0)$, $E(0|0|13{,}5)$, $F(4{,}5|0|12)$, $G(4{,}5|4{,}5|12)$ und $H(0|4{,}5|13{,}5)$ dargestellt werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ cm}$ in der Realität.

Zur Verpackung gehört ein $14\text{ cm}$ langer, gerader Trinkhalm. Die Stelle, an der der Trinkhalm durch die Deckfläche der Verpackung zu stechen ist, wird durch den Punkt $P(1{,}5|2{,}25|13)$ dargestellt.

Die Materialstärken der Verpackung und des Trinkhalms sollen im Folgenden vernachlässigt werden.

a)

Weisen Sie nach, dass die Deckfläche der Verpackung rechteckig ist.

b)

Prüfen Sie, ob die Verpackung mit $250\text{ ml}$ des jeweiligen Getränks befüllt werden kann.

Ja

Nein

c)

Untersuchen Sie, ob sich mit dem Trinkhalm innerhalb der Verpackung jede Stelle der Grundfläche erreichen lässt.

Ja

Nein

Aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$, $R_3$ und $R_4$ werden die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ hergestellt und daraus die Milchmischgetränke $M_1$ und $M_2$. Die Abbildung veranschaulicht den Herstellungsprozess, wobei für jeweils eine Mengeneinheit (ME) eines Zwischenprodukts oder Getränks der Bedarf an jedem benötigten Rohstoff bzw. Zwischenprodukt in Mengeneinheiten angegeben ist.

Entsprechend gibt die Matrix $$K = \begin{pmatrix} 0{,}51 & 0{,}53 \\ 0{,}22 & x \\ 0{,}16 & y \\ 0{,}11 & 0{,}21 \end{pmatrix}$$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ zu jedem Getränk die erforderlichen Mengeneinheiten der Rohstoffe an.

a)

Bestätigen Sie rechnerisch, dass $x = 0{,}26$ gilt. Begründen Sie, dass $y$ den Wert null hat.

b)

Der Tabelle können für jeden Rohstoff die Kosten pro Mengeneinheit in Geldeinheiten (GE) entnommen werden:

Rohstoff · $R_1$ · $R_2$ · $R_3$ · $R_4$

Kosten · $0{,}1$ GE · $0{,}1$ GE · $0{,}5$ GE · $0{,}3$ GE

Es sollen dreimal so viele Mengeneinheiten von $M_1$ wie von $M_2$ hergestellt werden. Dabei sollen die Gesamtkosten für die Rohstoffe höchstens $3500$ GE betragen. Ermitteln Sie, wie viele Mengeneinheiten von $M_1$ und $M_2$ höchstens hergestellt werden können.

c)

Der Prozess zur Herstellung der beiden Getränke wird verändert. Die Matrix $L$, die zu jedem Zwischenprodukt die erforderlichen Mengeneinheiten der Rohstoffe angibt, hat vier Zeilen und vier Spalten. Geben Sie an, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix $N$ hat, die zu jedem Getränk die erforderlichen Mengeneinheiten der Zwischenprodukte angibt, und begründen Sie Ihre Angabe.