Abitur Berlin Mathematik 2023 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|4|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|4)$, $F(5|0|4)$, $G(5|3|3)$ und $H(0|3|3)$ beschrieben. Das Viereck EFGH stellt das Glasdach dar, das Viereck ABFE eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Die Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

a

Begründen Sie, dass das Viereck $BCGF$ ein Drachenviereck ist. [2 BE]

c

Begründen Sie, dass die Ebene $L$ (durch die Punkte $A$, $B$ und $G$) eine Symmetrieebene des Körpers $ABCDEFGH$ ist. [3 BE]

d

Die beiden folgenden Rechnungen I und II liefern das Volumen des Anbaus:

$$\text{I }\ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \qquad \text{II }\ 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60$$

Erläutern Sie für eine der beiden Rechnungen den zugrunde liegenden Gedankengang. [2 BE]

e

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

Bestimmen Sie die mittlere Geschwindigkeit, mit der das Rollo herabgelassen wird, in Zentimeter pro Sekunde. [2 BE]

f

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem das Sonnenlicht auf den Untergrund trifft. [3 BE]

Ein Anbau eines Gebäudes wird modellhaft durch das abgebildete Prisma mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(5|0|0)$, $C(5|4|0)$, $D(0|4|0)$, $E(0|0|4)$, $F(5|0|4)$, $G(5|3|3)$ und $H(0|3|3)$ beschrieben. Das Viereck EFGH stellt das Glasdach dar, das Viereck ABFE eine geschlossene Wand; die anderen Seiten des Anbaus bestehen vollständig aus Glas.

Die Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den Untergrund, auf dem der Anbau steht.

Auf dem Glasdach kann ein Rollo herabgelassen werden. Dabei bewegt sich das Rollo innerhalb einer Minute von der oberen Kante des Dachs, die durch $\overline{EF}$ dargestellt wird, bis zur unteren Kante des Dachs.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt kann das auf den Anbau treffende Sonnenlicht durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$ beschrieben werden.

b

Die Ebene $L$, in der die Punkte $A$, $B$ und $G$ liegen, kann durch eine Gleichung der Form $r \cdot x_2 + s \cdot x_3 = t$ dargestellt werden.

Bestimmen Sie passende Werte für $r$, $s$ und $t$. [3 BE]

$r =$

$s =$

$t =$

g

Die geschlossene Wand sowie der Schatten, den das vollständig herabgelassene Rollo auf dieser Wand erzeugt, sollen – in Form einer gesonderten zweidimensionalen Zeichnung – in der $x_1x_3$-Ebene grafisch dargestellt werden. Die folgende Rechnung stellt einen wesentlichen Schritt zur Lösung dieser Aufgabe dar:

$$\begin{pmatrix}x_1\\0\\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix} \text{ liefert } \mu = 3 \text{ und damit } (3|0|-3).$$

Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Lösungsschritts und fertigen Sie die angestrebte Zeichnung an. [5 BE]

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$. Die Eckpunkte $A(4|0|0)$, $B(0|4|0)$ und $C(0|0|4)$ liegen in der Ebene $L_1: x + y + z = 4$, die Eckpunkte $D$, $E$ und $F$ jeweils auf einer Koordinatenachse und in der Ebene $L_2: 2x + 2y + 2z = 5$.

a)

Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC gleichseitig ist. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts G auf der Seite $\overline{AC}$, für den $|\overline{AG}|: |\overline{GC}| = 1: 3$ gilt.

c)

Entscheiden Sie, ob der Abstand von B und E kleiner als der Abstand von $L_1$ und $L_2$, größer als der Abstand von $L_1$ und $L_2$ oder genauso groß wie der Abstand von $L_1$ und $L_2$ ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

d)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L_2$ mit der xy-Ebene einschließt.

°

e)

Ausgehend vom Ansatz $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot k^2 \cdot k$ kann für einen Wert von $k \in \mathbb{R}$ das Volumen des Körpers ABCDEF berechnet werden. Erläutern Sie diesen Ansatz und bestimmen Sie den passenden Wert von k.

f)

Der Körper ABCDEF wird so um seine Kante $\overline{AB}$ gedreht, dass der mit C bezeichnete Eckpunkt des Körpers nach der Drehung in der xy-Ebene liegt und dabei eine positive x-Koordinate hat. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Eckpunkts nach der Drehung.

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$. Die Eckpunkte $A(4|0|0)$, $B(0|4|0)$ und $C(0|0|4)$ liegen in der Ebene $L_1: x + y + z = 4$, die Eckpunkte $D$, $E$ und $F$ jeweils auf einer Koordinatenachse und in der Ebene $L_2: 2x + 2y + 2z = 5$.

b)

Begründen Sie, dass $L_1$ und $L_2$ keine gemeinsamen Punkte haben.