Abitur Berlin Mathematik 2023 · GK · Teil A · Lineare Algebra

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem mit $x, y \in \mathbb{R}$.

$$\begin{aligned} \text{I} & \quad 3x - y = 4 \\ \text{II} & \quad -3x - 15y = 12 \end{aligned}$$

a

Begründen Sie, dass das Gleichungssystem nur die Lösung $x = 1$ und $y = -1$ hat. [2 BE]

b

Das gegebene Gleichungssystem wird um die folgende Gleichung mit $t \in \mathbb{R}$ erweitert:

$$\text{III}\quad -2x + y = t$$

Geben Sie die Anzahl der Lösungen des erweiterten Gleichungssystems in Abhängigkeit von $t$ an. Begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem mit $x, y \in \mathbb{R}$.

$$\begin{aligned} \text{I} & \quad 3x - y = 4 \\ \text{II} & \quad -3x - 15y = 12 \end{aligned}$$

Gegeben ist die Matrix $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a

Entscheiden Sie, ob es einen Vektor $\vec{u}$ gibt, für den $M \cdot \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

b

Untersuchen Sie, für welche reellen Werte von $a$, $b$ und $c$ mit $c \neq 0$ die Vektoren

$$\vec{v} = M \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{w} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

kollinear sind.

1 Aufgabe

Gegeben ist die Matrix $M = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$. Bestimmen Sie alle Vektoren $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $a, b \in \mathbb{R}$, für die eine reelle Zahl $t$ existiert mit $M \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$.