Camp gravitatori recull de problemes

L'òrbita de Mercuri al voltant del Sol és el·líptica i presenta la major excentricitat entre els planetes del sistema solar. Això fa que la seva distància al Sol variï considerablement, afectant la seva velocitat orbital. A l'afeli el planeta Mercuri és a $6,99\cdot 10^{10}\text{ km}$ del Sol, i al periheli és a $4,60\cdot 10^{10}\text{ km}$ del Sol. La seva velocitat orbital és de $3,88\cdot 10^4\text{ m/s}$ a l'afeli.

a)

Dibuixeu aproximadament l'òrbita de Mercuri i indiqueu la posició de l'afeli i el periheli.

b)

Utilitzant el principi de conservació del moment angular, calculeu quin és el mòdul de la velocitat de Mercuri al periheli.

c)

Argumenteu si el mòdul de la velocitat varia quan Mercuri es desplaça al llarg de la seva òrbita, i justifiqueu en quin punt de l'òrbita pren el seu valor mínim.

La Parker Solar Probe és una nau espacial destinada a acostar-se molt a la superfície solar. La gràfica següent ens mostra com varia la distància al Sol al llarg dels primers 1000 dies de missió i s'hi indiquen els instants A, B i C. Les unitats de la distància a la superfície del Sol són en radis solars, $R_S$.

a)

Observeu a la gràfica els moments de màxim acostament al Sol de cada òrbita i determineu quantes voltes complertes ha donat al voltant del Sol en aquests 1000 dies. Quina és la mida de l'eix major de l'òrbita entre els moments A i C (doneu el resultat en radis solars)? [1 punt]

voltes

$R_S$

b)

Representeu esquemàticament el Sol i l'òrbita de la nau entre els moments A i C. Indiqueu sobre el dibuix les posicions corresponents a A, B i C. Situa la nau a la posició B i dibuixa-hi en aquest instant els vectors velocitat i acceleració de la nau (no cal calcular-ne els mòduls). En quina posició la velocitat de la nau és màxima? Justifiqueu la resposta utilitzant el principi de conservació del moment angular. [1 punt]

Un satèl·lit descriu una òrbita el·líptica al voltant de la Terra. L'energia mecànica d'aquest satèl·lit és $E = -\frac{G M_T m}{2a}$ on $a$ és la longitud del semieix major, $M_T$ és la massa de la Terra i $m$ la massa del satèl·lit. Siguin $r_p$ el radi del perigeu i $r_a$ el radi de l'apogeu i $v_p$ la velocitat al perigeu.

a)

Demostreu que l'energia mecànica del satèl·lit es pot expressar com:

$$E = -\frac{G M_T L_{S,T}}{r_p (r_p + r_a) v_p}$$

on $L_{S,T}$ és el mòdul del moment angular del satèl·lit respecte el centre de la Terra. [1,25 punts]

b)

La massa del satèl·lit és $750\text{ kg}$, té una velocitat de $5{,}70\text{ km/s}$ al perigeu, el perigeu està situat a $18\,400\text{ km}$ del centre de la Terra i l'apogeu es troba a una distància de $54\,900\text{ km}$ del centre de la Terra. Trobeu la velocitat a l'apogeu i l'energia mecànica del satèl·lit. [1,25 punts]

Dades

$G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

Massa de la Terra $M_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\text{ kg}$

Un satèl·lit de $2\,000\text{ kg}$ de massa gira en una òrbita circular a una altura de $3\,630\text{ km}$ sobre la superfície de la Terra.

a)

Calculeu el període d'aquesta òrbita circular i la velocitat del satèl·lit. [1,25 punts]

b)

En passar pel punt P, el satèl·lit augmenta la velocitat fins a $7{,}00 \times 10^3\text{ m s}^{-1}$ i passa a descriure una òrbita el·líptica amb una altura màxima (apogeu) en el punt A de $9\,530\text{ km}$. Calculeu l'energia cinètica, l'energia potencial gravitatòria i l'energia mecànica total en els punts P i A en la nova òrbita el·líptica. Calculeu el mòdul del moment angular en el punt A i el punt P. Feu una valoració del resultat del moment angular en els dos punts. [1,25 punts]

Punt P (perigeu):

Punt A (apogeu):

Moment angular:

DADES:

$G$

$6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2}$

$M_T$

$5{,}97 \cdot 10^{24}\text{ kg}$

$R_T$

$6\,370\text{ km}$

La sonda Voyager 1, llançada el 1977, va ser la primera nau en sortir del sistema solar després d'interaccionar amb Júpiter. El llançament va propulsar la seva massa de $720\text{ kg}$ a $10{,}0\text{ km/s}$ respecte la Terra en la mateixa direcció i sentit que la velocitat de la Terra respecte el Sol.

DADES:

$G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

Massa del Sol $M_S = 1{,}989\cdot 10^{30}\text{ kg}$

Distància del Sol a la Terra $= 150\cdot 10^9\text{ m}$

Distància del Sol a Júpiter $= 740\cdot 10^9\text{ m}$

a)

Considerant sempre òrbites planetàries circulars respecte el Sol, calcula el moment angular i la velocitat angular del Voyager 1 just després del llançament, encara a prop de l'òrbita terrestre. Calcula amb quina velocitat arribà el Voyager 1 a les proximitats de Júpiter i la seva velocitat angular en aquest punt. [1,25 punts]

b)

A partir de l'expressió general de l'energia mecànica obtingueu l'expressió de la velocitat d'escapament del Sol per una nau a una distància $d_{\text{nau-sol}}$. Calculeu quina és aquesta velocitat per una nau a prop de Júpiter i decidiu si la Voyager 1 podia escapar-se del Sol abans d'interaccionar amb Júpiter. Calculeu l'energia mínima proporcionada per Júpiter a la nau per que aquesta s'hagi pogut escapar del sistema solar. [1,25 punts]

Sí

No

La missió BepiColombo explorarà Mercuri i posarà en òrbita el satèl·lit Mercury Planetary Orbiter ( MPO) al voltant del planeta amb un radi orbital mitjà de $3.360\text{ km}$.

Dades

$G = 6,67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

Massa de Mercuri: $M_M = 3,285\cdot 10^{23}\text{ kg}$

Any terrestre = $365,25\text{ dies}$

a)

Considereu un satèl·lit que fa una òrbita circular al voltant de Mercuri. Deduïu l'expressió de la velocitat orbital del satèl·lit en funció del radi orbital i la massa de Mercuri (indiqueu clarament en quins principis o lleis físiques us baseu per fer la vostra deducció). Amb aquesta expressió, calculeu la velocitat orbital del satèl·lit MPO mentre orbita Mercuri. Calculeu quantes voltes haurà fet el satèl·lit MPO al planeta Mercuri al cap d'un any terrestre. [1,25 punts]

b)

A partir de l'expressió general de l'energia mecànica, obtingueu-ne l'equació per al cas particular d'un satèl·lit en òrbita circular (cal que l'equació final només estigui expressada en funció de $G$, el radi orbital i les masses del satèl·lit i del planeta). Una vegada el satèl·lit MPO està orbitant Mercuri, encara té combustible per poder fer maniobres. Considereu que el combustible disponible pot proporcionar una energia de $4,5\cdot 10^9\text{ J}$. Determineu el valor màxim que podria tenir la massa del MPO perquè amb l'energia disponible pogués escapar del camp gravitatori de Mercuri. [1,25 punts]

P7. 2025

L'Estació Espacial Internacional (EEI) orbita a 400 km per sobre la superfície terrestre i té la seva fi planificada per a l'any 2031.

DADES

$G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

Massa de la Terra: $M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\text{ kg}$

Radi de la Terra: $R_T = 6{,}37\cdot 10^6\text{ m}$

Massa de l'EEI = $430\cdot 10^3\text{ kg}$

a)

A partir de la llei de gravitació universal, deduïu l'expressió de la velocitat orbital en funció del radi orbital. Calculeu la velocitat de l'EEI en òrbita i el nombre de voltes a la Terra que fa cada dia. [1,25 punts]

b)

De manera gradual i controlada s'abaixarà l'òrbita fins als 280 km d'altura per sobre la superfície terrestre. Calculeu l'energia mecànica de l'EEI en aquesta òrbita i justifiqueu-ne el signe. Posteriorment, l'estació caurà des d'aquesta altura al mig de l'oceà Pacífic. Calculeu amb quina energia cinètica impactaria l'estació contra l'aigua sense tenir en compte els efectes de l'atmosfera terrestre. [1,25 punts]

La brossa espacial deixada per satèl·lits antics i els seus coets llançadors s'està convertint en un perill per a altres satèl·lits. El novembre de 2023, durant unes tasques de reparació, dos astronautes es van deixar una caixa d'eines a l'exterior de l' Estació Espacial Internacional (EEI).

Dades

$G$: $6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2}$

Massa de la Terra ($M_T$): $5{,}98 \times 10^{24}\text{ kg}$

Radi de la Terra ($R_T$): $6{,}37 \times 10^6\text{ m}$

Massa de l'EEI ($M_{\text{EEI}}$): $430 \times 10^3\text{ kg}$

a)

A partir de la llei de gravitació universal, deduïu l'expressió de la velocitat orbital en funció del radi orbital. Calculeu la velocitat de la caixa d'eines en òrbita a $400\text{ km}$ per sobre de la superfície terrestre i el nombre de voltes que farà la caixa cada dia al voltant de la Terra. [1,25 punts]

b)

La fi de l'EEI està planificada per a l'any 2031. D'una manera gradual i controlada se'n baixarà l'òrbita fins als $280\text{ km}$ d'altura per sobre de la superfície terrestre. Calculeu l'energia mecànica de l'EEI en aquesta òrbita i justifiqueu-ne el signe. L'última tripulació abandonarà l'estació i, posteriorment, l'estació caurà des d'aquesta altura al mig de l'oceà Pacífic. Calculeu amb quina energia cinètica impactarà l'estació contra l'aigua, sense tenir en compte els efectes de l'atmosfera terrestre. [1,25 punts]

La nau BepiColombo, de $2\,700\text{ kg}$ de massa, sobrevola Mercuri per estudiar el planeta.

DADES:

$G$:

$6{,}67\times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

Massa de Mercuri ($M_M$):

$3{,}285\times 10^{23}\text{ kg}$

Radi de Mercuri ($R_M$):

$2{,}44\times 10^3\text{ km}$

a)

Completeu la taula següent calculant la distància respecte al centre de Mercuri per als dos punts indicats.

Distància respecte al centre de Mercuri (m)

Energia potencial (J)

Punt 1

$-1{,}89\times 10^{10}$

Punt 2

$-1{,}35\times 10^{10}$

En el punt més proper d'una altra aproximació a Mercuri, la intensitat del camp gravitatori és de $3{,}23\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$. Calculeu a quants quilòmetres de la superfície de Mercuri ha arribat la BepiColombo.

[1,25 punts]

km

b)

Una part de la nau BepiColombo, anomenada Mio, està previst que se separi del conjunt i orbiti al voltant de Mercuri seguint una òrbita el·líptica, en què el punt més proper a Mercuri (punt $P$) es troba a $590\text{ km}$ de la superfície del planeta i el punt més llunyà a Mercuri (punt $A$) es troba a una distància d'$11\,600\text{ km}$ sobre la superfície del planeta. La velocitat orbital de Mio serà de $2{,}64\times 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}$ en el punt $A$. Utilitzant el principi de conservació del moment angular, calculeu quin serà el mòdul de la velocitat de Mio en el punt $P$.

Justifiqueu si l'acceleració normal variarà al llarg de l'òrbita. En cas afirmatiu, indiqueu en quin punt tindrà el valor màxim.

[1,25 punts]

P10. 2025

Dades

$G = 6,67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

Massa del Sol: $M_S = 1,99 \times 10^{30}\text{ kg}$

Distància mitjana Sol-Terra: $R_{ST} = 1,496 \times 10^8\text{ km}$

Distància Sol-periheli: $R_p = 1,475 \times 10^8\text{ km}$

Distància Sol-afeli: $R_a = 1,526 \times 10^8\text{ km}$

a)

Considerant l'òrbita de la Terra al voltant del Sol com una circumferència de radi $R_{ST}$, deduïu l'expressió de la velocitat orbital de la Terra al voltant del Sol i calculeu aquesta velocitat. Deduïu l'expressió de la velocitat que hauria de tenir la Terra per a allunyar-se indefinidament del Sol i calculeu aquesta velocitat. [1,25 punts]

b)

Ara considereu que l'òrbita de la Terra al voltant del Sol és el·líptica. Aplicant la conservació del moment angular, determineu quantes vegades més gran és la velocitat de la Terra al periheli que a l'afeli. A partir de la segona llei de Kepler, justifiqueu que la velocitat al periheli és més gran que a l'afeli. [1,25 punts]

Dades:

$G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

Massa de l'estrella Tau Ceti: $M_T = 1{,}56 \times 10^{30}\text{ kg}$

Radi de l'òrbita del planeta Tau Ceti e: $r = 8{,}05 \times 10^{10}\text{ m}$

Massa del planeta Tau Ceti e: $M_{Te} = 2{,}26 \times 10^{25}\text{ kg}$

Radi del planeta Tau Ceti e: $R_{Te} = 1{,}15 \times 10^7\text{ m}$

Al voltant de l'estrella Tau Ceti orbiten dos planetes que es trobarien en zona habitable i que, per tant, podrien contenir aigua líquida. Un d'aquests planetes es coneix com a Tau Ceti e.

a)

Considerant una òrbita circular i a partir de la llei de la gravitació universal de Newton, deduïu l'expressió del període orbital d'un planeta al voltant d'una estrella en funció de la massa de l'estrella i del radi orbital. Quants dies dura un any del planeta Tau Ceti e? [1,25 punts]

dies

b)

A partir de la llei de la gravitació universal de Newton, deduïu l'expressió de la intensitat del camp gravitatori a la superfície d'un planeta en funció de la massa del planeta i del seu radi. Quina és l'acceleració de la gravetat a la superfície de Tau Ceti e? [1,25 punts]

Els sistemes planetaris tendeixen a formar-se en ressonància. Això vol dir que, quan un planeta completa $n$ òrbites, el planeta veí en completa $m$, en què $n$ i $m$ són nombres enters. El novembre de 2023 la revista Nature publicava el descobriment de sis planetes que orbitaven en ressonància al voltant de l'estrella HD110067.

DADES:

$G$: $6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

Massa de la Terra ($M_T$): $5{,}98 \times 10^{24}\text{ kg}$

Massa del Sol ($M_S$): $1{,}98 \times 10^{30}\text{ kg}$

a)

Suposem que aquesta estrella té la massa del Sol i que els planetes tenen òrbites circulars. El sisè planeta, el més exterior, té un període de 54,7 dies. Calculeu la distància entre el planeta i l'estrella. Representeu l'estrella i el planeta, dibuixeu el vector d'acceleració normal i calculeu-ne el mòdul. [1,25 punts]

Representació de l'estrella, el planeta i el vector d'acceleració normal:

b)

El cinquè planeta completa 4 òrbites en el mateix temps que el sisè planeta en completa 3 (relació 4:3). Calculeu el radi de l'òrbita del cinquè planeta i la seva energia mecànica suposant que la seva massa és 2,5 vegades la terrestre. [1,25 punts]

El telescopi espacial James Webb és un observatori espacial que estudia l'Univers a partir de llum infraroja. Fou llançat el 25 de desembre de 2021 i gira amb una òrbita circular al voltant del Sol al punt de Lagrange 2 ($L_2$) del sistema Sol-Terra. Aquest punt està alineat amb el Sol i la Terra i es troba a una distància d'$1{,}50 \times 10^6\text{ km}$ de la Terra i a una distància de $151{,}1 \times 10^6\text{ km}$ del Sol (les dues distàncies estan calculades respecte als centres geomètrics dels objectes).

a)

Calculeu la força gravitatòria exercida pel Sol, l'exercida per la Terra i la total que actuaran sobre el telescopi James Webb. Suposant que la força gravitatòria total que actua sobre el telescopi és constant i que el telescopi descriu una òrbita circular al voltant del Sol, calculeu el període orbital del telescopi. Expresseu els resultats en segons i en dies terrestres.

[1,25 punts]

b)

Calculeu la constant de Kepler aplicada al sistema Terra-Sol si suposem que la Terra descriu una òrbita circular al voltant del Sol. Té el mateix valor la constant de Kepler per al telescopi si tenim en compte la presència de la Terra?

[1,25 punts]

DADES:

$G$: $6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\text{kg}^{-2}$

$M_{\text{Sol}}$: $1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}$

$M_{\text{Terra}}$: $5{,}98 \times 10^{24}\text{ kg}$

Massa del telescopi James Webb ($M_{\text{jw}}$): $6\,161\text{ kg}$

$R_{\text{Terra}}$: $6\,371\text{ km}$

Els dos satèl·lits de Mart, Fobos i Deimos, porten el nom dels fills bessons d'Afrodita i Ares. En la mitologia romana, Ares, déu de la guerra, s'identifica amb Mart. Els dos satèl·lits tenen forma irregular, però els podem aproximar a una esfera de diàmetre 22,2 km per a Fobos i de 12,6 km per a Deimos. Per tant, comparats amb la Lluna, que té un diàmetre de 3 475 km, són petits. El radi orbital mitjà (distància entre els centres dels dos objectes) de Fobos al voltant de Mart és de 9 377 km i el seu període de revolució és de 7 hores, 39 minuts i 14 segons. Sabent que el radi orbital mitjà de Deimos és de 23 460 km, determineu a partir d'aquestes dades:

a)

La massa de Mart i la intensitat del camp gravitatori que Mart crea a la seva superfície. [1,25 punts]

b)

El període de revolució de Deimos al voltant de Mart i la seva energia mecànica. [1,25 punts]

DADES:

$G = 6,67 \times 10^{-11}\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

$M_{\text{Fobos}} = 1,10 \times 10^{16}\text{ kg}$

$M_{\text{Deimos}} = 2,00 \times 10^{15}\text{ kg}$

$R_{\text{Mart}} = 3\,390\text{ km}$

NOTA: Considereu que els dos satèl·lits descriuen una trajectòria circular al voltant de Mart.

El mes de novembre del 2021, la NASA va llançar la missió DART (Double Asteroid Redirection Test). Aquesta missió té per objectiu canviar l'òrbita de Dimorphos, un petit asteroide que orbita al voltant de Didymos, que és un asteroide més gran.

a)

A partir de la llei de la gravitació universal, trobeu l'expressió de la intensitat del camp gravitatori que crea un objecte astronòmic esfèric de massa $M$ i radi $R$ a la seva superfície. El diàmetre de Didymos és de $781\text{ m}$ i la seva densitat és de $2\,146\text{ kg/m}^3$. Calculeu el valor de la intensitat del camp gravitatori que crea Didymos a la seva superfície. Si Dimorphos té una massa de $4,42 \times 10^{10}\text{ kg}$ i el radi orbital mitjà (distància entre els centres dels dos objectes) és d'$1,12\text{ km}$, calculeu el mòdul de la força gravitatòria mitjana entre Didymos i Dimorphos. [1,25 punts]

b)

L'objectiu de la missió DART és colpejar Dimorphos, de tal manera que orbiti en una nova òrbita de radi menor, com s'indica en la figura anterior. Deduïu, a partir de principis fonamentals, l'expressió de la velocitat orbital d'un satèl·lit en funció del radi de l'òrbita. Argumenteu si Dimorphos orbitarà a més velocitat a la nova òrbita o a l'òrbita original. [1,25 punts]

Dada: $G = 6,67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2}$

Nota: Considereu que les òrbites són circulars i que els dos asteroides són esfèrics.

El Premi Nobel de Física de l'any 2020 es va concedir a tres científics: Andrea Ghez, Reinhard Genzel i Roger Penrose (Ghez és la quarta dona de la història que aconsegueix un Nobel de Física). En concret, Ghez i Genzel van ser guardonats per les seves deduccions sobre Sagitari A* (el forat negre supermassiu del centre de la Via Làctia) a partir de l'observació de les òrbites d'estels propers. La gràfica adjunta mostra la intensitat del camp gravitatori provocat per Sagitari A* en funció de la distància.

a)

Al voltant de Sagitari A* hi orbita una estrella anomenada S2. Quin és el mòdul de la velocitat d'aquesta estrella quan es troba a una distància de $3{,}00 \times 10^{13}\text{ m}$? [1,25 punts]

b)

Calculeu la massa de Sagitari A*. A quantes masses del Sol equival? Com que Sagitari A* és un forat negre, fins a una certa distància d'ell la velocitat d'escapament de Sagitari A* és superior a la velocitat de la llum. Calculeu a partir de quina distància aquesta velocitat d'escapament és menor que la velocitat de la llum. Cal deduir la velocitat a partir de consideracions energètiques. [1,25 punts]

NOTA: Podeu negligir els efectes relativistes i podeu suposar que la llei de la gravitació universal és vàlida.

DADES:

$G = 6{,}67 \times 10^{-11}\text{ N m}^2\text{ kg}^{-2}$

$M_{\text{Sol}} = 1{,}99 \times 10^{30}\text{ kg}$

$c = 3{,}00 \times 10^8\text{ m s}^{-1}$

a) Un satèl·lit descriu una trajectòria circular de radi $R$ al voltant d'una massa central. El temps que triga a donar-hi una volta sencera és $T$. Deduïu l'expressió per a calcular la intensitat del camp gravitatori, $g$, creat per la massa central en els punts de l'òrbita del satèl·lit en funció dels paràmetres $R$ i $T$. Considereu que la Lluna descriu una òrbita circular al voltant de la Terra amb una distància entre centres de $384 \times 10^6$ m i amb un període de 27,3 dies. Fent ús només d'aquestes dues dades i de l'expressió trobada anteriorment, calculeu la intensitat del camp gravitatori als punts de l'òrbita de la Lluna. [1,25 punts]

b) Deduïu l'expressió de l'energia cinètica mínima necessària perquè un coet de massa $m$ pugui escapar d'un objecte astronòmic de massa $M$ i radi $R$. Quantes vegades més gran és l'energia cinètica mínima perquè el coet pugui escapar de la Terra respecte de l'energia mínima que necessita per a escapar de la Lluna? (Només podeu fer servir les dades donades tot seguit.) [1,25 punts]

Dades

$M_{Terra} = 81{,}3\, M_{Lluna}$

$R_{Terra} = 3{,}67\, R_{Lluna}$

El juliol del 2020 la NASA va posar en marxa una missió espacial que, entre altres tasques, havia de fer arribar el vehicle d'exploració Perseverance a la superfície de Mart. El 18 de febrer de 2021 va tenir lloc l'aterratge del vehicle. En la darrera etapa d'aquest procés complex d'aterratge, una grua fa baixar d'una manera controlada el vehicle des d'una altura de $20{,}0\text{ m}$ per sobre de la superfície de Mart. Durant tot aquest recorregut, la intensitat del camp gravitatori es pot considerar uniforme.

a)

El valor absolut de la diferència de potencial gravitatori entre la superfície del planeta i un punt elevat $20{,}0\text{ m}$ per sobre de la superfície és $74{,}4\text{ J/kg}$. A partir de la diferència de potencial, determineu el mòdul de la intensitat del camp gravitatori a la superfície de Mart. Quin dels esquemes següents (a, b, c o d) representa les línies equipotencials a la superfície de Mart? Situeu en el diagrama triat la línia de menor potencial ($V_{\text{baix}}$) i la de major potencial ($V_{\text{alt}}$). Justifiqueu totes les respostes.

[1,25 punts]

b)

Si durant aquesta darrera etapa, el vehicle fa un descens de $20{,}0\text{ m}$ a una velocitat constant, quin treball ha fet la grua? Podeu negligir el treball fet per les forces de fregament.

[1,25 punts]

Dada: La massa del vehicle és $1\,025\text{ kg}$.

El març del 2021 es va llançar el primer nanosatèl·lit de la Generalitat de Catalunya a l'espai. Els nanosatèl·lits tenen com a funció millorar les comunicacions, controlar els cabals dels cursos d'aigua i prevenir incendis. També contribueixen a la recerca i realització de missions espacials més àgils i econòmiques. Aquests nanosatèl·lits acostumen a orbitar a uns 500 km d'altura (distància respecte a la superfície de la Terra).

DADES:

$G$: $6{,}67 \times 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$

$M_{\text{Terra}}$: $5{,}98 \times 10^{24}\ \text{kg}$

$R_{\text{Terra}}$: $6{,}37 \times 10^3\ \text{km}$

a)

Suposant que l'òrbita d'un d'aquests nanosatèl·lits és circular, a partir de la llei de la gravitació universal deduïu-ne l'expressió de la velocitat orbital en funció del radi orbital. Calculeu també la velocitat i el període orbitals d'aquests nanosatèl·lits. [1,25 punts]

b)

Partint de la llei de la conservació de l'energia mecànica (negligiu la força de fregament), deduïu l'expressió de la velocitat de llançament necessària per a posar en òrbita un satèl·lit en funció del radi orbital. Calculeu la velocitat de llançament necessària per a posar en òrbita el nanosatèl·lit a 500 km d'altura. [1,25 punts]

P20. 2021

Un dels mètodes emprats per a detectar exoplanetes (planetes extrasolars) és l'observació del trànsit planetari, un fenomen astronòmic que s'esdevé quan un planeta passa per davant de l'estel al voltant del qual orbita i que es percep des de la Terra per la disminució de la llum de l'estel.

El gràfic següent mostra la variació de lluminositat provocada pel trànsit d'un planeta que descriu una òrbita circular al voltant d'un estel. Aquest estel té una massa pràcticament idèntica a la massa del Sol. Considereu que la constant de Kepler d'aquest sistema és igual a la del Sistema Solar.

a)

Calculeu el període i el radi de l'òrbita. [1,25 punts]

b)

Determineu el mòdul de la velocitat i l'acceleració centrípeta del planeta. [1,25 punts]

Dada

Radi orbital mitjà de la Terra = $1{,}00\text{ ua} = 1{,}50 \times 10^{11}\text{ m}$.