Problema 1 · Física UB Juny 2011

Dibuixos i esquemes de l'escorça (apartats a, b i c)

Solución: a. Esquema de distribució de càrregues: Càrrega negativa $q$ al centre. A la superfície interior ($r = a$) es distribueix uniformement càrrega positiva $Q_a = -q > 0$. A la superfície exterior ($r = b$) es distribueix càrrega negativa $Q_b = q < 0$. b. Esbós de les línies de camp: A l'interior ($r < a$), línies radials apuntant cap al centre (ja que $q < 0$). A l'interior del conductor ($a < r < b$), no hi ha línies ($E = 0$). A l'exterior ($r > b$), línies radials que apunten cap al centre, com si provinguessin de la càrrega neta central $q$. c. Representació gràfica d'|E(r)|: La corba arrenca d'infinit per a $r \to 0$, decreix com $1/r^2$ fins a $r = a$; s'anul·la bruscament a l'interval $[a, b]$ ($E = 0$), i a partir de $r = b$ reprèn el comportament $1/r^2$ iniciant-se amb un valor $|q|/(4\pi\varepsilon_0 b^2)$.

a. Densitat superficial de càrrega a la superfície interna r = a

Solución: $\sigma_a = \frac{-q}{4\pi a^2}$

a. Densitat superficial de càrrega a la superfície externa r = b

Solución: $\sigma_b = \frac{q}{4\pi b^2}$

a. Càrrega elèctrica total de l'escorça

Solución: $0$

b. Camp elèctric per a r < a

Solución: $\vec{E}(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat{u}_r$

b. Camp elèctric per a a < r < b

Solución: $0$

b. Camp elèctric per a r > b

Solución: $\vec{E}(r) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\hat{u}_r$

d. Determineu el valor del potencial elèctric a l'escorça conductora

Solución: $V_{\text{escorça}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 b}$