Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements

I 0 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS DISSENY DIGITAL BÀSIC Grau en Enginyeria Informàtica Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de Disseny Digital Bàsic: sistemes combinacionals i seqüencials, conversió de bases, aritmètica binària i representació en SM, Ca1 i Ca2.

APREN.AI Índex 1 Introducció als sistemes electrònics: analògic vs digital Fonaments: senyals analògics enfront de digitals El procés de digitalització del senyal Classificació: circuits combinacionals i seqüencials 2 Sistemes de numeració i conversió entre bases Teorema fonamental de la numeració i representació polinòmica Unitats d'informació digital Taula comparativa entre bases habituals Conversió de qualsevol base cap a base 10 Conversió de base 10 a una base arbitrària b Agrupació directa en bases de potència de dos ( ) 3 Aritmètica binària bàsica Suma binària i gestió de l'arrossegament Resta binària convencional mitjançant manlleus Multiplicació binària Algorisme de divisió binària 4 Representació de nombres enters negatius: SM, Ca1 i Ca2 Representació en Signe-Magnitud (SM) Representació en Complement a 1 (Ca1) Representació en Complement a 2 (Ca2) Marge de valors i comparativa entre codis per a 4 bits 5 Aritmètica en complements i codis binaris Aritmètica de la resta mitjançant complements Codificacions numèriques i alfanumèriques Codis alfanumèrics i control d'integritat Interpretació contextual d'una mateixa seqüència binària 6 Formulari Modelatge de sistemes digitals Conversions entre sistemes de representació Aritmètica binària bàsica Representació de nombres negatius Unitats d'informació i errors típics Solucions de les preguntes de repàs 2k Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 1 Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 2 1 Introducció als sistemes electrònics: analògic vs digital EN ACABAR SABRÀS Distingir senyals i sistemes analògics de digitals segons el seu conjunt de valors. Descriure les etapes de mostreig, quantificació i codificació en la digitalització. Analitzar l'impacte de la resolució i de la freqüència en la memòria del sistema. Classificar un circuit digital en combinacional o seqüencial segons les seves dependències temporals.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com pot un ordinador emmagatzemar un so continu si només sap processar zeros i uns? Un sistema electrònic és una estructura física dissenyada per transmetre o processar informació mitjançant magnituds elèctriques. El sistema rep un senyal d'entrada, l'opera internament i produeix un senyal de sortida condicionat pel seu disseny. ESQUEMA Estructura general dels sistemes digitals Fonaments: senyals analògics enfront de digitals La diferència clau entre els dos paradigmes rau en la naturalesa del conjunt de valors que poden adoptar les seves variables: Característica Sistema analògic Sistema digital Rang de valors Valors continus dins d'un interval definit.

Valors discrets que formen un conjunt finit. Sistemes electrònics Tractament d'informació elèctrica 〰 Sistemes analògics Valors continus Sistemes digitals Valors discrets finits Digitalització Mostreig, quantificació i codi Circuits combinacionals Sense memòria Circuits seqüencials Amb memòria i estats Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 3 Característica Sistema analògic Sistema digital Resolució teòrica Infinits estats possibles entre dos punts. Nombre limitat de combinacions possibles. Cas elemental Tensions o corrents variables continus. Sistema binari: només dos valors possibles (0 i 1). En el domini digital modern, el cas predominant és el sistema binari.

En aquest context, la unitat elemental i indivisible d'informació s'anomena bit. COMPROVA-HO 2 Quina diferència fonamental separa la sortida d'un sensor analògic de la d'un codificador digital? El procés de digitalització del senyal La digitalització consisteix a transformar un senyal continu analògic en una successió de valors numèrics. Aquest procediment permet emmagatzemar, tractar matemàticament o transmetre la informació amb una robustesa molt superior. Gràfica de la digitalització d'un senyal analògic mitjançant mostreig i quantificació.

Aquesta transformació s'aconsegueix mitjançant etapes consecutives: Mostreig temporal: presa de valors instantanis del senyal analògic a intervals regulars de temps. 1 Quantificació de tensió: assignació del valor de cada mostra al nivell discret permès més proper (per exemple, graons de a ). 2 0 V 7 V Codificació numèrica: representació de cada nivell discret mitjançant un codi binari (com ara grups de 3 bits: 000, 001, ..., 111).

3 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 4 La qualitat de la conversió depèn de dos paràmetres crítics de disseny: Freqüència de mostreig: si augmenta la freqüència, s'obté més precisió temporal sobre el senyal original, però es requereix més espai de memòria i la implementació física resulta més complexa. Nivells de quantificació: si s'incrementa el nombre de nivells de tensió, s'amplia el rang dinàmic i la precisió, però exigeix utilitzar més bits per mostra i més capacitat d'emmagatzematge. A l'arquitectura d'un equip complet, un convertidor A/D (analògic a digital) rep el senyal físic i el tradueix a dades binàries. El nucli digital guarda o processa aquesta informació.

Finalment, si cal actuar sobre el món real, un convertidor D/A (digital a analògic) transforma els nombres en un senyal continu. ERROR FREQÜENT Confondre resolució en amplitud amb resolució temporal. Incrementar la freqüència de mostreig pren mostres més sovint en el temps, però no redueix l'error d'arrodoniment en tensió si no s'augmenten també els nivells discrets de quantificació (nombre de bits). Tots dos paràmetres consumeixen memòria per separat. COMPROVA-HO 3 Què passa amb el flux de dades si dupliquem la taxa de mostreig mantenint fixos els nivells de quantificació?

Classificació: circuits combinacionals i seqüencials Segons com es determina la seva resposta temporal, els circuits digitals es divideixen funcionalment en dues grans famílies: Tipus de sistema Dependència de la sortida Expressió formal Comportament Combinacional Exclusivament de l'entrada present. No posseeix memòria; una mateixa entrada sempre genera la mateixa sortida immediata. Seqüencial Entrada present i història passada. Incorpora memòria interna a través del concepte d'estat.

Com que resulta impracticable registrar matemàticament totes les entrades passades des de l'infinit, els sistemes seqüencials sintetitzen el passat mitjançant una variable interna anomenada estat ( ), la qual identifica qualsevol situació diferenciada del circuit.

Aquest model es formalitza a través de dues funcions: Funció de sortida: calcula el senyal observable actual a partir de l'entrada present i de l'estat intern vigent: y(t ) = i F [x(t )] i y(t ) = i F [x(t ), x( , t )] i i s y(t ) = i G[x(t ), s(t )] i i Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 5 Funció de transició a estat següent: determina cap a quin estat evolucionarà el sistema en l'instant posterior: COMPROVA-HO 4 Per què un sistema combinacional no pot recordar quants polsos han entrat pel seu terminal? IDEES CLAU Un sistema electrònic processa o transmet informació expressada mitjançant magnituds elèctriques.

Els sistemes analògics operen amb variables contínues, mentre que els digitals utilitzen conjunts finits de valors discrets. La digitalització converteix un senyal continu a nombres mitjançant mostreig temporal, quantificació d'amplitud i codificació binària. Augmentar els nivells de quantificació o la freqüència de mostreig millora la precisió a costa de requerir més memòria i complicar el sistema. En els sistemes combinacionals la sortida depèn només de l'entrada actual, mentre que en els seqüencials depèn també de l'estat històric acumulat. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5. Quins tres passos componen el procés complet de digitalització d'un senyal analògic? 6.

Com descriuen formalment les funcions d'un sistema seqüencial el seu funcionament intern? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 7. Quina característica defineix estrictament a un sistema digital? 8. Què implica augmentar el nombre de nivells de quantificació? 9. De què depèn la sortida d'un circuit combinacional pur?

s(t ) = i+1 H[x(t ), s(t )] i i Variables de rang continu infinit a) Tensions exclusivament superiors a zero b) Magnituds amb valors discrets finits c) Absència total de soroll elèctric d) Menor nombre de bits per mostra a) Pèrdua progressiva de rang dinàmic b) Major precisió i més consum de memòria c) Reducció de la taxa de mostreig d) Exclusivament de l'entrada present a) D'una funció de transició temporal b) De la seqüència d'entrades passades c) De l'estat intern anterior d) Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 6 10. Quina funció regeix l'evolució temporal de l'estat en sistemes seqüencials?

2 Sistemes de numeració i conversió entre bases EN ACABAR SABRÀS Descompondre qualsevol nombre en la seva forma polinòmica en base b per obtenir el seu valor decimal. Calcular la conversió de valors decimals a binaris o hexadecimals separant enters i fraccions. Convertir cadenes binàries a octal i hexadecimal mitjançant agrupaments de 3 i 4 bits. Distinguir les unitats bàsiques d'informació digital en potències de 2. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 11 Per què els enginyers utilitzen sovint l'octal i l'hexadecimal en lloc d'escriure directament en binari?

Teorema fonamental de la numeració i representació polinòmica Els sistemes numèrics posicionals expressen qualsevol quantitat mitjançant una combinació ordenada de símbols o dígits, on la posició relativa de cadascun determina el seu pes específic. Aquest pes és sempre una potència sencera d'una constant anomenada base ( ). DEFINICIÓ Segons el teorema fonamental de la numeració, qualsevol valor real representat en base es pot descompondre en un desenvolupament o polinomi característic: on cada coeficient compleix estrictament la restricció , comptant amb dígits a la part entera i posicions a la part fraccionària.

A l'àmbit electrònic i de computació conviuen diverses bases fonamentals: Base 2 (binària): empra els símbols . Base 8 (octal): utilitza els dígits del 0 al 7. Base 10 (decimal): el sistema d'ús comú amb xifres del 0 al 9. Base 16 (hexadecimal): utilitza 16 símbols, del 0 al 9 seguits de les lletres A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) i F (15). Funció de transició d'estat a) Funció combinacional directa b) Funció d'atenuació analògica c) Funció de mostreig discret d) b N b N = a b + n n a b + n 1 n 1 ... + a b + 0 0 a b + 1 1 ...

+ a b p p 0 a < i b n + 1 p {0, 1} Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 7 Quan un circuit processa o emmagatzema sempre un grup rígid de xifres binàries de mida fixa, aquesta estructura física s'anomena paraula de n bits. Unitats d'informació digital En el sistema binari, cada dígit elemental s'anomena bit, considerat la unitat elemental o mínima d'informació digital.

La unió consecutiva de diversos bits constitueix estructures superiors: Unitat Equivalència en potències Nombre total de bits Aproximació decimal Byte bits 8 bits — Kilobit (Kb) bits 1024 bits bits Megabit (Mb) bits 1.048.576 bits bits Gigabit (Gb) bits 1.073.741.824 bits bits COMPROVA-HO 12 Quants bits conté exactament un conjunt de 4 Megabits?

Taula comparativa entre bases habituals La següent taula recull la correspondència exacta entre les representacions més freqüents emprades en disseny lògic per a nombres enters fins a la base hexadecimal completa i valors destacats posteriors: Decimal (Base 10) Binari (Base 2) Octal (Base 8) Hexadecimal (Base 16) 0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 2 2 3 11 3 3 4 100 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B a i {0, 1} 23 210 103 220 106 230 109 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 8 Decimal (Base 10) Binari (Base 2) Octal (Base 8) Hexadecimal (Base 16) 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 20 10100 24 14 32 100000 40 20 50 110010 62 32 60 111100 74 3C 64 1000000 100 40 100 1100100 144 64 255 11111111 377 FF 1000 1111101000 1750 3E8 Conversió de qualsevol base cap a base 10 Per transformar un nombre donat en una base arbitrària cap a la seva magnitud decimal equivalent, tan sols cal desplegar la seva expressió polinòmica assignant a cada dígit la potència corresponent i avaluar l'operació matemàtica directament en base 10.

EXEMPLE Vegem com s'avalua la mateixa quantitat sencera expressada en tres sistemes diferents: Des de binari: Des d'octal: Des d'hexadecimal: En el cas de valors mixtos amb part fraccionària: b (11100001) = 2 1 2 + 7 1 2 + 6 1 2 + 5 1 = 128 + 64 + 32 + 1 = (225) 10 (341) = 8 3 8 + 2 4 8 + 1 1 8 = 0 192 + 32 + 1 = (225) 10 (E1) = 16 14 16 + 1 1 16 = 0 224 + 1 = (225) 10 1101,11 = 2 1 2 + 3 1 2 + 2 1 2 + 0 1 2 + 1 1 2 = 2 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,75 10 87,54 = 10 8 10 + 1 7 10 + 0 5 10 + 1 4 10 2 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 9 Conversió de base 10 a una base arbitrària b Quan la quantitat d'origen és decimal, el procediment numèric exigeix desacoblar de forma estricta la part entera de la part fraccionària, ja que cadascuna empra un mecanisme de càlcul oposat.

PROCÉS Mètode de conversió de decimal a una altra base Algorisme per a la part entera: divisions successives Si es disposa d'un valor enter i es divideix entre la base objectiu , s'obté com a quocient una nova expressió desplaçada i el residu de la divisió aïlla de manera exacta el terme : Aquest residu corresponent a la primera divisió constitueix el dígit de menor pes o LSB (Least Significant Bit/Digit). Si es divideix el nou quocient enter una altra vegada entre , el residu resultant és el coeficient immediat . L'algorisme es repeteix de forma iterativa fins que s'obté un quocient igual a zero.

ERROR FREQÜENT Llegir els residus de les divisions en l'ordre en què han anat apareixent genera un valor numèric totalment invertit. Cal recordar que el primer residu obtingut és el dígit menys significatiu (LSB) i l'últim quocient o residu final és el més significatiu (MSB). La lectura de la seqüència ha de fer-se de baix cap a dalt.

Separació de components Desacoblar la part entera de la fraccionària 1 Divisions de la part entera Dividir entre la base b successivament 2 Lectura inversa de residus Escriure de baix a dalt (de MSB a LSB) 3 Multiplicacions de la fracció Multiplicar la part fraccionària per la base b 4 Lectura directa d'enters Anotar les parts enteres obtingudes de dalt a baix 5 N = E a b + n 1 n 1 ... + a b + 1 1 a b 0 0 b a 0 = b N E (a b + n 1 n 2 ... + a ) + 1 b a 0 b a 1 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 10 EXEMPLE Convertim el valor decimal a binari: Recollint els termes des de l'últim cap al primer: . Comprovació polinòmica del nombre binari 1000001100 a base 10.

Algorisme per a la part fraccionària: multiplicacions successives Per a la part decimal o fraccionària , es multiplica la fracció per la base objectiu : 524 10 , amb residu (LSB) 1 524 : 2 = 262 0 a0 , amb residu 2 262 : 2 = 131 0 a1 , amb residu 3 131 : 2 = 65 1 a2 , amb residu 4 65 : 2 = 32 1 a3 , amb residu 5 32 : 2 = 16 0 a4 , amb residu 6 16 : 2 = 8 0 a5 , amb residu 7 8 : 2 = 4 0 a6 , amb residu 8 4 : 2 = 2 0 a7 , amb residu 9 2 : 2 = 1 0 a8 L'últim quocient és (MSB). 10 1 a 9 524 = 10 1000001100 2 N = F a b + 1 1 a b + 2 2 ...

+ a b p p b Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 11 La part sencera resultant d'aquest producte correspon directament al dígit , que és el terme més significatiu de la fracció. Posteriorment, s'extreu aquesta part entera i es pren únicament la part fraccionària restant per tornar-la a multiplicar per , obtenint així com a part entera, i successivament. EXEMPLE Convertim la fracció a codi binari: part entera 1 (MSB de la fracció) part entera 1 part entera 0 part entera 1 part entera 0 part entera 0 part entera 1 El resultat fraccionari obtingut en ordre descendent és .

Integrant els dos processos calculats, el nombre mixt complet equival a: El mateix criteri s'aplica si la base de destinació és l'hexadecimal ( ), utilitzant dígits alfanumèrics: EXEMPLE Conversió de a hexadecimal: 1. Part entera mitjançant divisions: , residu 10 (lletra A) , residu 8 , residu 4; quocient final 14 (lletra E) Part entera resultant: 2. Part fraccionària mitjançant multiplicacions: part entera 13 (lletra D) part entera 7 part entera 14 (lletra E) part entera 15 (lletra F) Per tant, s'obté la igualtat: . N × F b = a + 1 (a b + 2 1 ...

+ a b ) p p+1 a 1 b a 2 0,825 10 0,825 × 2 = 1,65 0,650 × 2 = 1,30 0,300 × 2 = 0,60 0,600 × 2 = 1,20 0,200 × 2 = 0,40 0,400 × 2 = 0,80 0,800 × 2 = 1,60 0,825 = 10 0,1101001... 2 524,825 = 10 1000001100,1101001... 2 b = 16 58506,8435 10 58506 : 16 = 3656 3656 : 16 = 228 228 : 16 = 14 E48A 16 0,8435 × 16 = 13,496 0,496 × 16 = 7,936 0,936 × 16 = 14,976 0,976 × 16 = 15,616 58506,8435 = 10 E48A,D7EF 16 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 12 COMPROVA-HO 13 En transformar una fracció decimal a binari mitjançant multiplicacions successives, en quin sentit s'anoten les xifres generades?

Agrupació directa en bases de potència de dos ( ) Quan la base de destí o d'origen és una potència exacta de 2 ( ), la conversió no requereix realitzar operacions aritmètiques pesades de divisió ni multiplicació. El pas es fa mitjançant agrupació o desglossament directe de blocs de k bits. ESQUEMA Agrupació directa en bases potència de 2 Conversió de base 2 a base Per a transformar cadenes binàries cap a una base de tipus : Base octal ( , ): s'agrupen els bits de 3 en 3 començant des de la posició menys significativa (la coma cap a l'esquerra per a la part entera, i de la coma cap a la dreta per a la fracció) i es substitueix cada bloc pel dígit octal corresponent (de 0 a 7).

Base hexadecimal ( , ): s'agrupen els bits de 4 en 4 a partir de la coma i es tradueix cada paquet pel seu símbol hexadecimal (de 0 a F). EXEMPLE Considerem el nombre binari : Conversió a octal ( ): Agrupació en trios: Traducció directa: Conversió a hexadecimal ( ): Agrupació en quartets: Traducció directa: deu (A), dotze (C), sis (6), onze (B) Conversió de base a base 2 El camí invers consisteix a expandir cadascun dels dígits del sistema en el seu equivalent binari exacte de bits, afegint els zeros a l'esquerra que siguin necessaris en cada grup per mantenir fixa la longitud del bloc.

2k b = 2k Base 8 (Octal) k = 3 bits per dígit Grups de 3 bits Dígits del 0 al 7 Base 16 (Hexadecimal) k = 4 bits per símbol Grups de 4 bits Símbols del 0 al 9 i de A a F 2k 2k k = 3 2 = 3 8 k = 4 2 = 4 16 (1010110001101011) 2 k = 3 (1 010 110 001 101 011) 2 (126153) 8 k = 4 (1010 1100 0110 1011) 2 (AC6B) 16 2k k Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 13 EXEMPLE Vegem dues conversions directes a binari: Des d'octal: Des d'hexadecimal: PER RECORDAR-HO Quan s'agrupen bits a l'esquerra de la coma (part entera) o a la dreta (part fraccionària) i el bloc final queda incomplet, cal completar-lo afegint zeros a l'extrem lliure abans d'assignar el dígit equivalent.

COMPROVA-HO 14 Quants bits de sortida produeix exactament l'expansió d'un nombre hexadecimal de 5 dígits? IDEES CLAU Tot nombre en base es descompon en una suma de dígits multiplicats per potències de la base segons la seva posició. El bit és la unitat fonamental d'informació, agrupant-se en bytes ( bits), Kilobits ( bits), Megabits ( bits) i Gigabits ( bits). La conversió de base 10 a base requereix divisions successives per a la part entera (recollint els residus de baix a dalt) i multiplicacions successives per a la part fraccionària. Les bases que són potència de dos permeten conversions directes agrupant o desglossant bits en blocs de dígits ( per a octal i per a hexadecimal).

COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 15. Com s'expressa el valor fraccionari en base decimal? 16. Quin procediment s'ha de seguir per transformar directament el valor a codi binari? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 17. Quin ordre de lectura s'ha de seguir per als residus de les divisions successives d'un enter decimal?

331,54 8 011 011 001 , 101 100 = 2 11011011,1011 2 FE91 16 1111 1110 1001 0001 = 2 1111111010010001 2 b 23 210 220 230 b k k = 3 k = 4 1101,11 2 (AC6B) 16 És indiferent l'ordre de col·locació a) D'esquerra a dreta en la taula de divisió b) De l'últim resultat cap al primer residu c) Del primer residu a l'últim quocient d) Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 14 18. Quants bits formen exactament un paquet d'1 Megabit segons el sistema binari? 19. Quin és l'equivalent en hexadecimal del conjunt de quatre bits 1110 ? 20. En la conversió d'un nombre binari a octal, com s'agrupen els dígits binaris?

3 Aritmètica binària bàsica EN ACABAR SABRÀS Operar correctament la suma i la resta binària mitjançant les seves taules de veritat i arrossegaments. Calcular multiplicacions binàries desplaçant productes parcials i determinant la mida resultant n + m bits. Executar divisions en binari natural aplicant el mètode de comparació i resta successiva. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 21 Per què la multiplicació binària és molt més senzilla de construir en un xip que la multiplicació decimal? En els sistemes digitals, els càlculs s'executen directament en binari perquè la construcció de circuits lògics resulta molt més senzilla que amb altres sistemes numèrics.

Aquest apartat analitza el funcionament manual de les quatre operacions aritmètiques fonamentals en binari natural sense signe. Suma binària i gestió de l'arrossegament La suma de dígits binaris segueix un procediment anàleg al del sistema decimal, però limitat als valors 0 i 1. Quan la suma supera el valor representable per un sol dígit, s'origina un arrossegament o carry cap a la posició immediata superior de l'esquerra.

Sumand A Sumand B Suma Arrossegament (Carry) 0 0 0 0 0 1 1 0 1.000.000 bits a) 8.388.608 bits b) 1.073.741.824 bits c) 1.048.576 bits d) D a) E b) C c) F d) En blocs de 3 bits des de la coma a) En blocs de 8 bits consecutius b) En blocs de 4 bits des de la coma c) En parelles de 2 bits des dels extrems d) Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 15 Sumand A Sumand B Suma Arrossegament (Carry) 1 0 1 0 1 1 0 1 Quan es produeix la combinació , el resultat és 2 en decimal, que escrit en binari equival a : es registra un 0 a la columna actual i s'envia un arrossegament positiu de valor 1 cap a la columna següent.

EXEMPLE Sumem els nombres decimals 13 ( ) i 6 ( ) utilitzant paraules de 5 bits: Carrys: 01100 Línia superior: 01101 (13) Línia inferior: 00110 (6) Suma total: 10011 (19 en decimal) COMPROVA-HO 22 Què s'obté en sumar tres bits d'arrossegament i dades iguals a 1 en una mateixa columna (1 + 1 + 1)? Resta binària convencional mitjançant manlleus La resta directa entre bits empra el concepte d'arrossegament negatiu o manlleu (borrow). Aquest manlleu apareix quan es vol restar 1 del valor 0, obligant a demanar una unitat a la columna adjacent més significativa.

Minuend Subtrahend Diferència Arrossegament negatiu 0 0 0 0 0 1 1 1 (es manlleva 1 de la següent posició) 1 0 1 0 1 1 0 0 1 + 1 10 2 01101 2 00110 2 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 16 EXEMPLE Considerem la resta de 21 menys 19 amb longitud de 5 bits ( ): Carrys negatius: 00010 Minuend: 10101 (21) Subtrahend: 10011 (19) Diferència: 00010 (2 en decimal) En un altre cas com (17) menys (7), la propagació de carris negatius successius genera una cadena d'arrossegaments (111) a les posicions centrals, produint el resultat (10 en decimal). ERROR FREQÜENT Un error habitual en la resta directa consisteix a confondre l'arrossegament positiu de la suma amb el manlleu de la resta.

En l'operació , el resultat escrit a la columna és 1 i s'ha de descomptar obligatòriament 1 del dígit de l'esquerra. Multiplicació binària L'algorisme de multiplicació binària reprodueix exactament el mètode tradicional de multiplicació decimal. Es calculen els productes parcials de cada dígit del multiplicador pel multiplicand complet i es van desplaçant cap a l'esquerra segons el pes del bit. Factor A Factor B Producte 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Com que els bits només prenen valors 0 o 1, cada producte parcial consisteix únicament en copiar el multiplicand (si el bit multiplicador és 1) o escriure una filera de zeros (si és 0).

EXEMPLE Multipliquem 11 ( ) per 9 ( ): Multiplicand: 1011 (11) Multiplicador: (9) Producte parcial 1: 1011 (desplaçament 0) Producte parcial 2: 0000 (desplaçament 1) Producte parcial 3: 0000 (desplaçament 2) Producte parcial 4: 1011 (desplaçament 3) Suma total: 01100011 (99 en decimal) 10101 2 10011 2 10001 2 00111 2 01010 2 0 1 1011 2 1001 2 × 1001 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 17 Un aspecte determinant de la multiplicació és l'espai de memòria requerit: si es multiplica un nombre de bits per un altre de bits, el resultat té una mida de n + m bits.

COMPROVA-HO 23 Quants bits es requereixen per allotjar el producte d'un valor de 6 bits per un valor de 4 bits sense desbordament? Algorisme de divisió binària La divisió binària és equivalent al procés de divisió manual decimal, amb l'avantatge que les xifres del quocient només poden ser 0 o 1.

El procediment es basa en cicles repetitius de comparació, resta i desplaçament: PROCÉS Cicle bàsic de la divisió binària 1 Grup de bits Prendre bits del dividend segons el divisor 2 Comparació Comprovar si el divisor és menor o igual 3 Quocient i resta Posar 1 i restar, o bé posar 0 4 Baixar dígit Afegir següent bit al residu obtingut EXEMPLE Realitzem la divisió decimal de 145 entre 11 en binari ( ): Dividend: 10010001 " Divisor: 1011 1. Comparem els primers 4 bits (1001) amb 1011. Com que no hi cap, posem 0 al quocient i prenem 5 bits (10010). 2. 1011 hi cap a 10010: s'anota un 1 al quocient i es resta ( ). 3. Es baixa el següent bit (0), formant 1110.

Com que 1011 hi cap, s'anota un 1 al quocient i es resta ( ). 4. Es baixa el bit 0, formant 0110. No hi cap: s'anota un 0 al quocient. 5. Es baixa el darrer bit (1), formant 1101. Hi cap: s'anota un 1 al quocient i es resta ( ). El quocient resultant és Q = 01101 (equivalent a 13 en decimal) i el residu final és R = 0010 (equivalent a 2 en decimal). n m S'agrupen els bits de més pes del dividend en una quantitat equivalent a la mida del divisor. 1 Es compara el grup de bits del dividend amb el divisor. 2 Si el divisor és menor o igual (hi cap), s'afegeix un 1 al quocient i es resta el divisor a aquest bloc de bits. Si és major (no hi cap), s'afegeix un 0 al quocient.

3 Es baixa el dígit següent del dividend col·locant-lo a la dreta del residu obtingut i es repeteix el cicle fins a esgotar tots els bits. 4 10010001 : 2 1011 2 10010 1011 = 00111 1110 1011 = 0011 1101 1011 = 0010 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 18 COMPROVA-HO 24 Quina decisió s'adopta en la divisió binària si el divisor és més gran que el bloc actual del dividend? IDEES CLAU La suma binària de dos bits amb valor 1 produeix un resultat de 0 i genera un arrossegament positiu (carry) d'1. La resta binària convencional de 0 menys 1 genera una diferència d'1 i requereix un manlleu (carry negatiu) d'1 a la columna immediata superior.

La multiplicació de nombres binaris genera productes parcials per desplaçament i requereix un registre de mida igual a bits. La divisió binària determina les xifres del quocient mitjançant comparacions successives de magnitud i restes amb el divisor. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 25. Per quina raó els circuits digitals realitzen els seus càlculs interns emprant l'aritmètica binària? 26. Quina mida ha de tenir el registre destí si es multipliquen dos operands binaris de 8 bits i 4 bits respectivament? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 27. Quin resultat i quin carry genera l'operació binària 1 + 1? 28. Quant val la diferència i el manlleu quan es calcula 0 menys 1? 29.

Quants bits ocupen com a màxim el producte d'un operand de 5 bits per un de 3 bits? 30. Quin valor s'assigna al dígit del quocient en dividir si el divisor cap en el dividend?

n + m Suma 1 amb carry 0 a) Suma 0 amb carry 1 b) Suma 1 amb carry 1 c) Suma 2 amb carry 0 d) Diferència 1 i manlleu 0 a) Diferència 0 i manlleu 0 b) Diferència 1 i manlleu 1 c) Diferència 0 i manlleu 1 d) 6 bits a) 15 bits b) 5 bits c) 8 bits d) Es desplaça sense escriure dígit a) S'escriu 0 i es resta b) S'escriu 1 sense restar c) S'escriu 1 i es resta d) Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 19 4 Representació de nombres enters negatius: SM, Ca1 i Ca2 EN ACABAR SABRÀS Distingir els mecanismes de codificació entre Signe-Magnitud, Complement a 1 i Complement a 2. Calcular el complement d'un enter mitjançant mètodes analítics i regles pràctiques d'inversió.

Determinar el marge de valors representable segons el nombre de bits per a cada format. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 31 Com pot un circuit electrònic realitzar restes matemàtiques si només disposa internament de sumadors físics? Els circuits electrònics digitals només processen informació mitjançant dos nivells de tensió, associats als valors binaris 0 i 1. Per aquest motiu, cal establir convencions internes que permetin distingir les quantitats positives de les negatives sense afegir símbols externs com el signe menys.

La representació mitjançant codis complementaris ofereix a més un gran avantatge de disseny: transforma qualsevol resta en una suma ordinària, la qual cosa estalvia components físics reutilitzant el maquinari del sumador. ESQUEMA Sistemes de representació amb signe Representació en Signe-Magnitud (SM) La forma més intuïtiva de codificar nombres amb signe és el mètode de signe-magnitud. En una seqüència de bits, la posició de més a l'esquerra o bit més significatiu (MSB) actua exclusivament com a indicador de signe: Un valor 0 al bit MSB representa una quantitat positiva. Un valor 1 al bit MSB representa una quantitat negativa.

Els bits restants expressen el mòdul o magnitud del nombre en binari natural. El valor decimal d'una paraula es calcula amb l'expressió formal: Signe-Magnitud (SM) MSB de signe i doble zero Sistemes per Complements Converteixen restes en sumes Complement a 1 (Ca1) K = 2^n - 1, inversió bit a bit Complement a 2 (Ca2) K = 2^n, zero únic i rang asimètric n n 1 N 10 b b ...b n 1 n 2 0 N = 10 ( 1) (b × b n 1 n 2 2 + n 2 ...

+ b × 0 2 ) 0 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 20 DEFINICIÓ El marge de nombres representables en signe-magnitud per a una paraula de bits és simètric i ve acotat per l'interval: Aquest format té dos inconvenients greus en electrònica: genera una doble representació del zero (+0 com a 0000... i -0 com a 1000...) i no permet operar amb el maquinari de suma directa. Per exemple, en sumar amb les regles convencionals ( ) i ( ), s'obté , que en signe- magnitud correspon a en comptes del resultat correcte . COMPROVA-HO 32 Quin inconvenient presenta la doble representació del zero en comparar dues variables en un circuit?

Representació en Complement a 1 (Ca1) La tècnica del complement assigna a un enter negatiu un codi calculat restant la magnitud d'una constant numèrica . En el complement a 1, aquesta constant es defineix formalment com: Per tant, el valor complementat d'una magnitud positiva amb bits s'obté resolent . El bit MSB continua indicant el signe (0 per a positius i 1 per a negatius). A la pràctica, atès que és una cadena formada exclusivament per uns ( ), restar qualsevol dígit binari d'1 equival simplement a invertir-lo. PER RECORDAR-HO El complement a 1 d'un nombre s'obté de forma immediata intercanviant tots els zeros per uns i els uns per zeros bit a bit al llarg de tota la paraula.

Vegeu dos exemples d'obtenció matemàtica seguint la definició de : El marge de valors admissibles en Ca1 per a bits és exactament el mateix que en signe-magnitud: De manera anàloga a SM, el sistema de complement a 1 pateix el defecte del doble zero. Per a un format de bits, per exemple, el zero positiu es codifica com 0000000 mentre que el zero negatiu genera la combinació 1111111. n (2 n 1 1) N 10 2 n 1 1 4 10 0100 2 3 10 10112 1111 2 7 10 +1 10 Z Z K K = 2 n 1 Z n Ca1(Z) = (2 n 1) Z 2 n 1 11...1 2 K Z Càlcul de en Ca1 amb bits: la constant val . Es resta el mòdul : . S'obté directament invertint els bits de .

1 7 10 n = 4 2 4 1 = 1111 2 7 = 10 0111 2 1111 2 0111 = 2 1000 2 0111 2 Càlcul de en Ca1 amb bits: la constant val . Es resta el mòdul : . 2 12 10 n = 5 2 5 1 = 11111 2 12 = 10 01100 2 11111 2 01100 = 2 10011 2 n (2 n 1 1) N 10 2 n 1 1 n = 7 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 21 COMPROVA-HO 33 Quina és la representació en Ca1 del nombre -5 emprant una mida de paraula de 4 bits? Representació en Complement a 2 (Ca2) Per resoldre definitivament la duplicitat del zero i simplificar les unitats aritmètiques, s'utilitza el complement a 2.

En aquest cas, la constant matemàtica de referència s'estableix com: El valor complementat associat a una quantitat s'obté mitjançant la resta . Si es desenvolupa l'expressió sumant i restant una unitat, s'evidencia la relació fonamental entre els dos complements: Aquesta expressió permet disposar d'un procediment d'obtenció sistemàtic: negar tots els bits del nombre positiu original i sumar una unitat a la posició menys significativa (LSB).

Existeix també una regla visual directa d'obtenció: es recorre el nombre binari d'origen de dreta a esquerra mantenint inalterats tots els bits fins a superar el primer 1 (inclòs aquest); a partir d'aquell punt, s'inverteixen tots els bits restants fins a arribar al MSB. Esquema del mètode ràpid per calcular el Complement a 2 des de la dreta. Aquesta regla pràctica permet agilitzar les conversions manuals de quantitats negatives de forma directa sense càlculs manuals de sumes. EXEMPLE Per codificar el nombre en Ca2 amb bits: K = 2n Z Ca2(Z) = 2 n Z Ca2(Z) = (2 n 1 Z) + 1 = Ca1(Z) + 1 12 10 n = 5 S'escriu el mòdul amb la mida indicada: .

1 12 = 10 011002 Recorrent des del bit menys significatiu cap a l'esquerra: els dos zeros inicials i el primer 1 es mantenen iguals ( ). 2 ...100 Els bits restants a la seva esquerra s'inverteixen: el 1 passa a 0 i el 0 del signe passa a 1. El resultat final és 10100. 3 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 22 ERROR FREQÜENT En aplicar la regla pràctica d'invertir i sumar 1, molts estudiants complementen nombres que ja són positius. Recorda que els nombres positius mantenen sempre la seva codificació binària natural començada en 0; el procés del complement només s'aplica als nombres negatius.

COMPROVA-HO 34 Com es codifica el nombre -6 en Ca2 utilitzant 4 bits mitjançant la regla d'invertir i sumar 1? Marge de valors i comparativa entre codis per a 4 bits La característica més rellevant del complement a 2 és que el zero té una representació única formada íntegrament per zeros ( ). En complementar el zero en Ca2 ( ), es produeix un bit sobrant d'arrossegament a la posició que és descartat pel registre de mida fixa, deixant la paraula a zero. Gràcies a l'eliminació del zero negatiu redundant, el Ca2 aprofita el codi alliberat ( ) per incorporar un nombre negatiu addicional a l'extrem inferior.

D'aquesta manera, el marge dinàmic esdevé asimètric: La taula següent recull la correspondència entre els enters decimals compresos entre +7 i -8 i les seves codificacions corresponents en els tres sistemes analitzats per a una mida de paraula de 4 bits: Decimal Signe-Magnitud (SM) Complement a 1 (Ca1) Complement a 2 (Ca2) +7 0111 0111 0111 +6 0110 0110 0110 +5 0101 0101 0101 +4 0100 0100 0100 +3 0011 0011 0011 +2 0010 0010 0010 +1 0001 0001 0001 +0 0000 0000 0000 -0 1000 1111 -- -1 1001 1110 1111 -2 1010 1101 1110 -3 1011 1100 1101 -4 1100 1011 1100 000...0 2 2 n 0 = 2n n + 1 100...0 2 2 n 1 N 10 2 n 1 1 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 23 Decimal Signe-Magnitud (SM) Complement a 1 (Ca1) Complement a 2 (Ca2) -5 1101 1010 1011 -6 1110 1001 1010 -7 1111 1000 1001 -8 -- -- 1000 Com es comprova a la taula, per als valors positius (+0 fins a +7) les tres representacions coincideixen plenament.

En canvi, el domini negatiu evidencia el desplaçament causat per l'eliminació del segon zero en Ca2, permetent assolir el valor -8 ( ), extrem inabastable tant en signe-magnitud com en complement a 1. IDEES CLAU En signe-magnitud el bit MSB indica exclusivament el signe (0 positiu, 1 negatiu) i la resta de bits guarden el mòdul absolut. Tant el sistema de signe-magnitud com el complement a 1 presenten el problema d'una doble representació del nombre zero (+0 i -0). El complement a 1 s'obté negant lògicament cadascun dels bits de la paraula original mitjançant la constant . El complement a 2 es defineix amb la constant i es relaciona amb el complement a 1 segons l'expressió .

El complement a 2 té una única representació per al zero i guanya un valor negatiu addicional, aconseguint un rang asimètric de fins a . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 35. Quin és el rang de representació d'un sistema de 6 bits si s'utilitza el complement a 2? 36. Per què el nombre -8 té representació en complement a 2 amb 4 bits però no en signe- magnitud ni en complement a 1? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 37. Quin inconvenient comparteixen la representació en Signe-Magnitud i el Complement a 1?

1000 2 K = 2 n 1 K = 2n Ca2(N) = Ca1(N) + 1 2n 1 2 n 1 1 Absència de bit d'indicació de signe a) Doble representació per al valor zero b) Marge asimètric entre positius i negatius c) Incapacitat per representar el valor zero d) Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 24 38. Com es calcula el Complement a 2 a partir del Complement a 1 d'un enter negatiu? 39. Quin és el marge de valors d'un sistema en Ca2 que utilitza 4 bits? 40. Quina és la representació en Complement a 2 del nombre decimal -7 emprant 4 bits? 5 Aritmètica en complements i codis binaris EN ACABAR SABRÀS Executar restes binàries en Ca1 integrant el carry amb end-around-carry.

Calcular restes aritmètiques en Ca2 descartant el bit de carry final. Codificar i descodificar valors en codis BCD, Gray i ASCII de 7 bits. Distingir el significat decimal d'una mateixa seqüència de bits segons el codi utilitzat. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 41 Si una màquina digital només disposa d'un circuit sumador, com pot resoldre una resta aritmètica sense afegir circuits restadors? Aritmètica de la resta mitjançant complements En el maquinari digital, realitzar una resta directa requereix circuits complexos. Per simplificar el disseny, la resta s'implementa com una suma sumant el minuend amb el complement del subtrahend.

Depenent de la codificació emprada (Complement a 1 o Complement a 2), el tractament de l'últim transport generat és diferent. Resta en Complement a 1 i transport final Per calcular la resta en Complement a 1 (Ca1; vegeu «Representació de nombres enters negatius: SM, Ca1 i Ca2»), se suma el valor de amb la representació en Ca1 de . Si l'addició genera un transport que supera la mida de la paraula (a la posició ), s'ha d'aplicar el mecanisme conegut com a end-around-carry: aquest bit es retira de l'extrem i se suma directament al resultat parcial obtingut.

Invertint el bit MSB de signe a) Desplaçant tots els dígits cap a l'esquerra b) Sumant una unitat al resultat del Ca1 c) Restant una unitat al bit LSB d) De -16 a +15 a) De -7 a +7 b) De -8 a +7 c) De -8 a +8 d) 1111 a) 1000 b) 1001 c) 0111 d) A B A B n + 1 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 25 EXEMPLE Resta de nombres positius en 6 bits: . Minuend: Subtrahend: Suma: (resultat parcial amb transport a la posició 7). Reintegració: se suma el carry al bit menys significatiu: . En canvi, si restem ( ), no es produeix transport a la posició . El resultat és negatiu i equival directament a .

Aquest mateix procediment d'arrossegar el bit sobrant s'aplica tant si els operands inicials són positius com si són negatius, com ara en fer amb 4 bits ( ) o en fer ( ). Resta en Complement a 2 En Complement a 2 (Ca2; vegeu «Representació de nombres enters negatius: SM, Ca1 i Ca2»), la resta s'executa sumant al minuend el Ca2 del subtrahend. A diferència del Ca1, en Ca2 el carry sobrant s'ignora completament i es descarta sense sumar-lo mai al resultat. Per aquest motiu, els sistemes digitals empren pràcticament sempre el Complement a 2 en les seves unitats aritmètiques: evita un cicle addicional de suma i unifica la lògica de càlcul. EXEMPLE Operacions de 4 bits en Ca2: (sense carry final).

: es descarta el bit 1 de l'esquerra i queda . : es descarta el transport final i queda . (sense transport sobrant). ERROR FREQÜENT No confongueu el bit de carry descartat en Ca2 amb el concepte de desbordament (overflow). En Ca2, que aparegui un transport a la sortida de la paraula de bits quan el resultat és positiu és part normal de l'operació i s'ha d'eliminar; no implica cap error. L'overflow només es dona quan la capacitat de representació de la paraula queda superada. COMPROVA-HO 42 Què cal fer amb el carry que sobrepassa la longitud de paraula n en una resta en Ca1 respecte a una en Ca2?

25 10 13 10 25 = 10 011001 2 13 = 10 001101 2 Ca1(13) = 110010 2 011001 + 2 110010 = 2 1001011 2 001011 + 2 1 = 001100 = 2 12 10 15 10 22 10 001111 + 2 101001 = 2 111000 2 n + 1 111000 Ca1 7 10 4 + ( 3) 1011 + 2 1100 = 2 10111 2 0111 + 2 1 = 1000 = Ca1 7 10 4 + ( 3) 0100 + 2 1100 = 2 10000 2 0000 + 2 1 = 0001 = 2 1 10 4 + 3 = 0100 + 2 0011 = 2 0111 = 2 7 10 4 + ( 3) = 1100 + 2 1101 = 2 11001 2 1001 = Ca2 7 10 4 + ( 3) = 0100 + 2 1101 = 2 10001 2 0001 = 2 1 10 4 + 3 = 1100 + 2 0011 = 2 1111 = Ca2 1 10 n Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 26 Codificacions numèriques i alfanumèriques A més del binari natural (on amb bits es codifica fins al nombre ; vegeu «Sistemes de numeració i conversió entre bases»), l'electrònica digital empra codis especialitzats dissenyats per a interfícies físiques, comunicacions i control d'errors.

Codi BCD (Binary-Coded Decimal) El codi BCD assigna una combinació fixa de 4 bits per a cadascun dels dígits decimals de la base 10 (del 0 al 9): Dígit decimal Codi BCD Dígit decimal Codi BCD 0 0000 5 0101 1 0001 6 0110 2 0010 7 0111 3 0011 8 1000 4 0100 9 1001 Per codificar quantitats superiors a 9, es tradueix cada dígit decimal de manera independent en el seu quartet corresponent. Per exemple, el nombre decimal 84 es codifica com a . El codi BCD és especialment útil per gestionar la visualització numèrica en pantalles i displays de set segments, ja que la separació per dígits és immediata.

Tanmateix, presenta un desavantatge clar: amb el mateix nombre de bits representa menys valors que el binari natural, ja que les combinacions binàries del 1010 al 1111 queden desaprofitades. Codi Gray El codi Gray és un codi cíclic en què dos nombres consecutius difereixen exclusivament en un sol bit. Aquesta propietat de distància unitària evita estats transitoris erronis en sensors mecànics i encoders digitals de posició. La seva construcció és reflexiva: per a ampliar la mida, es reflecteixen els codis de l'etapa anterior com en un mirall i s'afegeix un 0 al davant de la primera meitat i un 1 al davant de la meitat reflectida.

n 2 n 1 (84) = 10 (1000 0100) BCD Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 27 Esquema de la construcció reflectida del codi Gray de 3 bits. COMPROVA-HO 43 Per quina raó pràctica s'utilitza el codi BCD en displays tot i malgastar combinacions de bits? Codis alfanumèrics i control d'integritat Codi ASCII de 7 bits L'ASCII (American Standard Code for Information Interchange) permet codificar caràcters alfanumèrics, signes de puntuació i ordres de control en cadenes de 7 bits. Exemples habituals inclouen: Lletres majúscules: A (100 0001), B (100 0010), C (100 0011) fins a Z (101 1010). Lletres minúscules: a (110 0001), b (110 0010) fins a z (111 1010).

Dígits numèrics: 0 (011 0000), 1 (011 0001) fins a 9 (011 1001). Caràcters especials i de control: espai en blanc (blank, 010 0000), exclamació ! (010 0001), signe > (011 1110) o fi de text (end text, 000 0011). Codis detectors d'errors: bit de paritat Per detectar alteracions en la transmissió de dades s'afegeix un bit de paritat a la paraula original.

En un sistema de paritat parella, s'ajusta el bit afegit perquè el recompte total d'uns sigui sempre un nombre parell: Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 28 Codi binari Bit de paritat Codificació detectora 000 0 0000 001 1 1001 010 1 1010 011 0 0011 100 1 1100 101 0 0101 110 0 0110 111 1 1111 Si la paraula rebuda conté un nombre imparell d'uns, el circuit receptor detecta immediatament que s'ha produït un error de transmissió. Interpretació contextual d'una mateixa seqüència binària Una seqüència binària no té un significat intrínsec únic; la seva interpretació depèn estrictament del sistema de codificació assignat pel receptor.

La seqüència de 8 bits 10010011 n'és una clara demostració: Context de codificació Desenvolupament o regla Valor resultant Binari pur natural BCD (dues xifres) i Hexadecimal (interpretada com a dígits) Octal (interpretada com a dígits) Detecció d'errors (7 bits + paritat) Compta amb tres 1's (senyal correcte per a certa paritat); dada: Signe-Magnitud (SM) Bit de signe 1 (negatiu), mòdul : Complement a 1 (Ca1) Negatiu; magnitud Complement a 2 (Ca2) Negatiu; magnitud 2 + 7 2 + 4 2 + 1 2 = 0 128 + 16 + 2 + 1 147 10 1001 = 2 9 0011 = 2 3 93 10 16 + 7 16 + 4 16 + 1 160 268501009 10 8 + 7 8 + 4 8 + 1 80 2101257 10 2 + 4 2 + 1 20 19 10 0010011 2 (2 + 4 2 + 1 2 ) 0 19 10 (2 + 6 2 + 5 2 + 3 2 ) 2 108 10 (2 + 6 2 + 5 2 + 3 2 + 2 2 ) 1 109 10 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 29 ESQUEMA Interpretacions de la seqüència 10010011 COMPROVA-HO 44 Quants valors decimals diferents pot representar la cadena binària 10010011?

IDEES CLAU En la resta en Ca1, el carry final generat a la posició s'ha de sumar a l'extrem menys significatiu mitjançant el mecanisme d'end-around-carry. En la resta en Ca2, el carry final que desborda la mida de paraula s'ignora completament i no se suma mai. El codi BCD assigna 4 bits a cada dígit decimal (0 a 9), simplificant el control de pantalles a canvi d'aprofitar menys combinacions que el binari natural. El codi Gray és un codi cíclic on dos nombres consecutius difereixen únicament en un sol bit. Una mateixa seqüència binària manca de valor absolut i pot representar valors decimals dispars segons el codi utilitzat. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 45.

Com es gestiona el carry obtingut a la posició més significativa en la resta en Complement a 1? 46. Quin és el principal inconvenient del codi BCD respecte al binari natural? 47. Quina propietat clau defineix el codi de Gray? Sense signe Binari pur i BCD Binari natural: 147 Suma de pesos de potències de dos BCD: 93 Dos quartets independents (9 i 3) Amb signe SM, Ca1 i Ca2 Signe-Magnitud: -19 Bit inicial negatiu i mòdul 19 Complement a 1: -108 Complementació bit a bit Complement a 2: -109 Pes del bit més significatiu negatiu n + 1 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 30 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 48.

Què es fa amb el carry final generat en una resta en Complement a 2? 49. Quants bits requereix el codi BCD per codificar cada dígit decimal? 50. Quina característica distingeix el codi Gray d'altres sistemes binaris? 51. Quin valor pren la cadena 10010011 interpretada en codi BCD? 6 Formulari Modelatge de sistemes digitals Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : entrada present; : sortida actual. Sistemes combinacionals (sense memòria). : estat actual; : funció de sortida. Funció de sortida en sistemes seqüencials. : estat següent; : funció de transició. Evolució temporal d'estat en circuits seqüencials.

S'inverteix i es col·loca al principi a) Es suma al resultat parcial com end-around-carry b) Indica obligatòriament un error de desbordament c) S'ignora i es descarta sense sumar-lo d) 7 bits segons l'estàndard a) Exactament 4 bits per dígit b) Un bit addicional de paritat c) Exactament 3 bits per dígit d) Els valors consecutius canvien només en un bit a) Utilitza el complement a la base per restar b) Permet codificar fins a - 1 caràcters ASCII c) 2n Incorpora sempre un bit de paritat parella d) -19 en base 10 a) 147 en base 10 b) 93 en base 10 c) -109 en base 10 d) y(t ) = i F [x(t )] i x y y(t ) = i G[x(t ), s(t )] i i s(t ) i G s(t ) = i+1 H[x(t ), s(t )] i i s(t ) i+1 H Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 31 Conversions entre sistemes de representació Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : base; : dígit ( ); : posicions fraccionàries.

Conversió de qualsevol base a base 10. Divisions successives per residus ordenats de baix cap a dalt El primer residu és el LSB; l'últim quocient/residu és el MSB. Conversió de part entera decimal a base . Multiplicacions successives per parts enteres de dalt a baix La primera part entera obtinguda és el dígit (MSB fraccionari). Conversió de part fraccionària decimal a base . Agrupar bits en blocs de des de la coma substituir per dígit per a octal ( ); per a hexadecimal ( ). Conversió directa de base 2 a base . Substituir cada dígit per bits binaris equivalents Desglossament exacte afegint zeros a l'esquerra si cal. Conversió directa de base a base 2.

Aritmètica binària bàsica Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza Suma 0 amb carry positiu 1 cap a la columna esquerra. Addició binària elemental bit a bit. El carry negatiu (manlleu) es resta de la columna esquerra. Resta directa sense complements. Longitud del producte: bits : nombre de bits dels operands multiplicands. Dimensionament de registres per a multiplicació. Representació de nombres negatius Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : bit de signe (0 pos, 1 neg); Rang: . Signe-Magnitud (doble zero: +0 i -0). Inversió bit a bit ( ); Rang: . Complement a 1 (doble zero). Invertir i sumar 1 (o mantenir fins al 1r u i invertir); Rang: .

Complement a 2 (zero únic, asimètric). N = a b i= p n i i b a i 0 a < i b p b b b b a 1 b k k = 3 2 = 3 8 k = 4 2 = 4 16 2k k 2k 0 + 0 = 0; 0 + 1 = 1; 1 + 0 = 1; 1 + 1 = 10 2 0 0 = 0; 0 1 = 1 (carry negatiu 1); 1 0 = 1; 1 1 = 0 n + m n, m N = 10 ( 1) b 2 bn 1 i=0 n 2 i i b n 1 [ (2 n 1 1), 2 n 1 1] Ca1(Z) = (2 n 1) Z 0 1 [ (2 n 1 1), 2 n 1 1] Ca2(Z) = 2 n Z = Ca1(Z) + 1 [ 2 , 2 n 1 n 1 1] Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 32 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza Resta en Ca1: sumar carry a LSB End-around-carry: el carry a es reincorpora sumant 1 al resultat. Resta aritmètica en complement a 1.

Resta en Ca2: descartar carry final El carry que supera bits s'ignora i s'elimina directament. Resta estàndard en circuits digitals. Unitats d'informació i errors típics Dada o error típic Valor o conseqüència Solució correcta Byte / Kilobit / Megabit / Gigabit bits / (1.024) / (1.048.576) / (1.073.741.824). Utilitzar sempre potències exactes de 2 en càlculs binaris. Inversió de l'ordre de residus Genera el nombre al revés. Llegir residus de baix a dalt (últim quocient = MSB). Complementar nombres positius Canvia el valor o corromp el signe. Els positius mantenen sempre el format binari pur (comencen per 0). Sumar el carry final en Ca2 Resultat incorrecte en l'aritmètica.

En Ca2 el carry a s'elimina; només es suma en Ca1. A + Ca1(B) n + 1 A + Ca2(B) n 23 210 220 230 n + 1 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 33 Solucions de les preguntes de repàs 1. Mesura la tensió del so a intervals molt ràpids i converteix cadascuna d'aquestes altures a un nombre binari discret. 2. El sensor analògic pot adoptar infinits valors continus de tensió dins del seu rang, mentre que el codificador digital només genera un nombre finit de valors discrets predeterminats. 3.

Es dobla la quantitat de mostres per segon i, en conseqüència, es duplica l'espai de memòria requerit per emmagatzemar la mateixa durada de senyal, millorant la definició temporal sense alterar els nivells d'amplitud. 4. Perquè la seva sortida depèn únicament del valor de l'entrada en l'instant present i manca d'estat intern o mecanisme de memòria que retingui esdeveniments passats. 5. El mostreig en el temps dels punts continus, la quantificació d'amplitud en nivells discrets i la codificació d'aquests nivells en patrons binaris. 6. Mitjançant la funció de sortida i la funció de transició d'estat futur . 7. c) Magnituds amb valors discrets finits.

Els sistemes digitals es defineixen perquè les seves magnituds només prenen un conjunt finit de valors discrets. 8. c) Major precisió i més consum de memòria. Afegir més nivells redueix l'error d'arrodoniment (més precisió), però requereix més bits per codi i més espai de memòria. 9. a) Exclusivament de l'entrada present. En els circuits combinacionals no hi ha memòria: la sortida y(t) depèn únicament del valor de l'entrada x(t) en aquest mateix instant. 10. a) Funció de transició d'estat. La funció de transició s( ) = H[x( ), s( )] calcula el nou estat intern en funció de l'estat previ i de l'entrada. 11.

Perquè permeten condensar llargues cadenes de bits agrupant-les de forma directa i exacta en blocs de 3 o 4 bits sense haver de fer divisions complexes. 12. Conté bits exactes. 13. S'escriuen de dalt cap a baix en el mateix ordre en què es generen les parts enteres, sent la primera xifra el bit fraccionari de més pes o més significatiu ( ). 14. Com que cada dígit hexadecimal representa exactament bits, 5 dígits donen lloc a una paraula de bits. 15. S'aplica la descomposició polinòmica: . 16. Es converteix cadascun dels caràcters hexadecimals en un bloc independent de 4 bits: A equival a 1010, C a 1100, 6 a 0110 i B a 1011, resultant . 17. c) De l'últim resultat cap al primer residu.

El primer residu obtingut correspon al bit menys significatiu (LSB), de manera que cal llegir els residus en ordre invers cap a l'últim (MSB). 18. d) 1.048.576 bits. 1 Megabit correspon exactament a 2² bits, el que equival al valor enter de 1.048.576 bits. 19. b) E. La combinació 1110 equival a 8 + 4 + 2 = 14 en base decimal, que en hexadecimal es representa amb el símbol E. 20. a) En blocs de 3 bits des de la coma. Com que 8 = 2³, cada dígit de la base octal requereix exactament l'agrupació de 3 bits prenent la coma com a referència.

y(t ) = i F [x(t )] i y(t ) = i G[x(t ), s(t )] i i s(t ) = i+1 H[x(t ), s(t )] i i t i+1 t i t i 4 2 = 20 2 2 2 = 20 2 = 22 4.194.304 a 1 k = 4 5 × 4 = 20 1 2 + 3 1 2 + 2 1 2 + 0 1 2 + 1 1 2 = 2 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,75 10 1010110001101011 2 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 34 21. Perquè en binari només existeixen dues opcions: multiplicar per 1 deixa el valor idèntic i multiplicar per 0 genera zeros, evitant memoritzar taules complexes. 22. Dona una suma d'1 a la columna actual i genera un nou arrossegament (carry) d'1 cap a la posició següent, ja que en decimal equival a 3 (11 en binari). 23.

Es necessiten exactament 10 bits, ja que la longitud resultant és la suma de les longituds dels factors: 6 + 4 = 10 bits. 24. S'afegeix directament un 0 a la posició corresponent del quocient, es baixa el bit següent del dividend i es torna a comparar. 25. Perquè el disseny i la implementació física dels circuits de commutació lògica per a operacions binàries és molt més simple que per a qualsevol altre sistema de representació. 26. Ha de tenir com a mínim 12 bits, atès que la longitud màxima del producte és la suma de les mides dels factors ( bits). 27. b) Suma 0 amb carry 1. En binari, 1 + 1 és 2 (representat com 10), per la qual cosa la posició actual queda a 0 i es propaga un carry d'1.

28. c) Diferència 1 i manlleu 1. Com que a 0 no se li pot restar 1, es demana una unitat a la columna esquerra obtenint resultat 1 i generant un carry negatiu de valor 1. 29. d) 8 bits. La mida requerida per a la multiplicació de dos nombres de mides n i m bits és exactament n + m bits (5 + 3 = 8). 30. d) S'escriu 1 i es resta. Si el bloc del dividend és igual o superior al divisor, hi cap exactament una vegada (es posa 1 al quocient) i es procedeix a restar. 31. Mitjançant els codis de complement, que transformen qualsevol operació de sostracció en una suma directa del nombre complementat, estalviant components de maquinari específics per a la resta. 32.

Exigeix circuits lògics addicionals per comprovar simultàniament les dues combinacions de bits (0000... i 1000...), fent que les comparacions de nul·litat o igualtat siguin més lentes i complexes. 33. El mòdul +5 s'escriu com 0101. En invertir cadascun dels bits de la paraula, s'obté 1010. 34. El mòdul +6 és 0110. En invertir tots els bits s'obté el Ca1, 1001. En sumar-hi una unitat al LSB (1001 + 1), resulta 1010. 35. Aplicant l'expressió amb , el marge comprèn des de fins a . 36. Perquè el complement a 2 té una única codificació per al zero, alliberant la combinació 1000 per representar el límit asimètric inferior , mentre que SM i Ca1 malgasten aquesta combinació representant el -0. 37.

b) Doble representació per al valor zero. Tots dos sistemes reserven dues cadenes de bits diferents per indicar el zero (+0 i -0), malbaratant codis possibles. 38. c) Sumant una unitat al resultat del Ca1. La relació formal entre els dos sistemes estableix que Ca2(N) = Ca1(N) + 1. 39. c) De -8 a +7. L'interval en Ca2 és [- , -1], el qual per a 4 bits correspon a [-8, +7]. 40. c) 1001. El mòdul +7 és 0111; el seu Ca1 és 1000 i en sumar-li 1 s'obté la cadena 1001. 41. Transforma la resta en una suma afegint al minuend el complement del subtrahend, gestionant el transport final segons si opera en Ca1 o en Ca2. 42.

En Ca1 el transport final s'ha de sumar a l'extrem menys significatiu (end-around-carry), mentre que en Ca2 aquest carry simplement s'ignora i es descarta. 8 + 4 = 12 [ 2 , 2 n 1 n 1 1] n = 6 2 = 5 32 2 5 1 = +31 2 = 4 1 8 2n 1 2n 1 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 35 43. Perquè cada dígit decimal està separat en un bloc de 4 bits, la qual cosa fa la conversió directa i molt senzilla per excitar cada dígit del display sense requerir divisions complexes. 44. Depèn del conveni: pot representar des de valors positius com 147 (binari) o 93 (BCD) fins a valors negatius com -19 (SM), -108 (Ca1) o -109 (Ca2). 45.

S'aplica la tècnica d'end-around-carry, agafant aquest bit sobrant de la posició i sumant-lo directament al resultat parcial obtingut. 46. Desaprofita combinacions binàries (del 1010 al 1111 no s'utilitzen), de manera que amb el mateix nombre de bits permet representar menys quantitats numèriques que el binari pur. 47. La distància unitària: dos valors numèrics consecutius difereixen exclusivament en l'estat d'un únic bit. 48. d) S'ignora i es descarta sense sumar-lo. En Ca2 el carry sobrant que supera la mida de paraula n es descarta directament. 49. b) Exactament 4 bits per dígit. El codi BCD assigna un quartet (4 bits) a cadascun dels dígits del 0 al 9. 50.

a) Els valors consecutius canvien només en un bit. El codi Gray és un codi de distància unitària on entre dos valors contigus només commuta un bit. 51. c) 93 en base 10. Separada en dos quartets BCD tenim 1001 (9) i 0011 (3), representant el nombre decimal 93. n + 1 Sistemes Digitals: Numeració, Aritmètica i Complements 36