Sistemes digitals — Fonaments i digitalització de senyals
Flashcards
- En quines tres fases consecutives es divideix el procés complet de digitalització d'un senyal analògic?
- Es divideix en mostreig (captura periòdica de mostres), quantificació (assignació a un nivell discret) i codificació (traducció a codi binari format per zeros i uns).
- Com descriu matemàticament un sistema seqüencial la transició cap al seu estat futur?
- Es descriu mitjançant la funció de transició a l'estat següent: s(ti+1) = H[x(ti), s(ti)], que depèn de l'entrada present i de l'estat actual.
Preguntes tipus test
- Quina característica defineix de manera fonamental un sistema digital respecte a un d'analògic?
- a) Té infinits valors dins d'un interval
- b) Empra un conjunt finit de valors discrets
- c) Funciona exclusivament amb tensions negatives
- d) Prescindeix de qualsevol magnitud elèctrica
Resposta: b) Empra un conjunt finit de valors discrets. Els sistemes digitals processen informació restringida a un nombre finit de valors discrets, a diferència de la naturalesa contínua dels analògics.
- Què succeeix en digitalitzar un senyal si augmentem el nombre de nivells de quantificació?
- a) Disminueix la precisió del senyal obtingut
- b) Es necessiten menys bits de representació
- c) Augmenta la precisió i l'espai de memòria
- d) Es redueix automàticament la freqüència temporal
Resposta: c) Augmenta la precisió i l'espai de memòria. Assignar més nivells ofereix un rang dinàmic més precís, la qual cosa exigeix més bits per mostra i augmenta l'ús de memòria.
- Quina equació defineix el comportament d'un sistema purament combinacional?
- a) y(ti) = G[x(ti), s(ti)]
- b) y(ti) = F[x(-∞, ti)]
- c) s(ti+1) = H[x(ti), s(ti)]
- d) y(ti) = F[x(ti)]
Resposta: d) y(ti) = F[x(ti)]. En un sistema combinacional no hi ha memòria d'estat i la sortida depèn únicament del valor de l'entrada en aquest mateix instant.
Sistemes de numeració — Bases i mètodes de conversió
Flashcards
- Com s'expressa el valor fraccionari binari 0,112 en format decimal?
- S'avalua el polinomi característic negatiu: 1 · 2^-1 + 1 · 2^-2 = 0,5 + 0,25 = 0,7510.
- Quin procediment s'ha de seguir per convertir 10101100011010112 a hexadecimal de manera immediata?
- S'agrupen els bits de 4 en 4 des de la dreta obtenint els quartets 1010, 1100, 0110 i 1011, que corresponen als dígits A, C, 6 i B, formant AC6B16.
Preguntes tipus test
- Quants bits conté exactament un Kilobit segons l'estàndard binari?
- a) 8.192 bits
- b) 1.048.576 bits
- c) 1.024 bits
- d) 1.000 bits
Resposta: c) 1.024 bits. Un Kilobit en base binària equival estrictament a 2¹⁰ bits, és a dir, 1.024 bits.
- En quin ordre s'ordenen els residus de les divisions successives en passar d'un enter decimal a una altra base?
- a) Ordre directe de càlcul
- b) Segons el pes parell o senar
- c) De menor a major valor
- d) Ordre invers al càlcul
Resposta: d) Ordre invers al càlcul. El primer residu obtingut correspon al dígit menys significatiu (LSB), per la qual cosa cal invertir l'ordre.
- Quin dígit hexadecimal representa el valor decimal 14?
- a) D
- b) E
- c) C
- d) F
Resposta: b) E. En hexadecimal s'utilitzen A=10, B=11, C=12, D=13, E=14 i F=15.
Codis binaris — BCD, Gray i codis alfanumèrics
Flashcards
- Per què el codi Gray s'utilitza preferentment en sensors de posició rotatius en comptes del binari comú?
- Perquè entre estats consecutius només canvia un únic bit a la vegada, eliminant lectures falses transitòries provocades pel desfasament mecànic dels sensors.
- Quina combinació binària de 8 bits correspon al nombre decimal 59 en format BCD natural?
- Correspon a 0101 1001BCD, en convertir el 5 (0101) i el 9 (1001) de forma individual.
Preguntes tipus test
- Quina propietat fonamental distingeix el codi Gray del binari natural?
- a) Els valors consecutius difereixen en un sol bit
- b) És un codi amb pesos posicionals fixos
- c) Permet representar nombres negatius directament
- d) Utilitza menys bits per a nombres decimals grans
Resposta: a) Els valors consecutius difereixen en un sol bit. El codi Gray té distància d'unitat, de manera que nombres consecutius només varien en un bit.
- Quin inconvenient presenta el sistema BCD natural davant el binari comú?
- a) Canvia més de dos bits per dígit
- b) No permet la visualització en pantalles
- c) Amb els mateixos bits cobreix menys valors
- d) És impossible de descodificar en maquinari
Resposta: c) Amb els mateixos bits cobreix menys valors. En BCD cada 4 bits només s'usen 10 de les 16 combinacions possibles, perdent eficiència d'emmagatzematge.
- Com s'obté la representació d'un dígit decimal en codi excés 3?
- a) Invertint els 3 bits més significatius
- b) Sumant 3 al dígit abans de convertir-lo
- c) Restant 3 al valor binari natural
- d) Multiplicant el dígit decimal per 3
Resposta: b) Sumant 3 al dígit abans de convertir-lo. Es calcula el valor decimal sumant-li 3 i posteriorment es representa en 4 bits binaris.
Aritmètica binària natural — Operacions bàsiques sense signe
Flashcards
- Quants bits es requereixen per emmagatzemar amb seguretat el producte d'un nombre de 5 bits per un de 3 bits sense pèrdua de dades?
- Es necessiten un màxim de 5 + 3 = 8 bits, d'acord amb la regla d'amplada de paraula per al producte binari.
- Quan es genera un transport (carry) en una columna d'una suma binària de dos sumands?
- Quan ambdós bits de la posició són 1, fet que produeix 1 + 1 = 102 (sumand 0 i transport 1 cap a l'esquerra), o bé quan la suma amb un transport previ assoleix o supera el valor 2.
Preguntes tipus test
- Quants bits pot ocupar com a màxim el resultat de multiplicar un nombre de 6 bits per un altre de 4 bits?
- a) 12 bits
- b) 24 bits
- c) 8 bits
- d) 10 bits
Resposta: d) 10 bits. La longitud màxima del producte de dos nombres d'n i m bits és sempre la suma de les seves longituds: n + m bits.
- Quin és el resultat elemental de la sostracció 0 - 1 en binari sense considerar dígits previs?
- a) 0 amb borrow de 0
- b) 1 sense cap borrow
- c) 0 amb carry d'1
- d) 1 amb borrow d'1
Resposta: d) 1 amb borrow d'1. Com que 0 és menor que 1, cal demanar préstec a la posició superior (borrow = 1) i el resultat local és 2 - 1 = 1.
- A quina operació elemental equival calcular cada fila d'un producte parcial en binari quan el dígit multiplicador és 1?
- a) Dividir el multiplicant per dos
- b) Copiar el multiplicant desplaçat
- c) Invertir els bits del divisor
- d) Sumar una unitat al dividend
Resposta: b) Copiar el multiplicant desplaçat. Multiplicar per 1 reprodueix exactament el multiplicant, alineant-lo amb un desplaçament segons la posició del dígit.
Representació amb signe — Signe-magnitud, complement a 1 i complement a 2
Flashcards
- Per quina raó tècnica el format de complement a 2 té un rang asimètric respecte a signe-magnitud i complement a 1?
- Perquè en Ca2 el zero té una única representació (00002 per a 4 bits). La combinació redundant que s'allibera del zero negatiu s'aprofita per codificar un enter negatiu addicional: -2^n-1.
- Quin és el resultat d'aplicar la regla pràctica de còpia des de la dreta al valor binari 01102 (+6)?
- Es mantenen intactes els bits fins al primer 1 (...10) i s'inverteixen els de la seva esquerra (01 es converteix en 10), resultant en 10102 (-6 en Ca2).
Preguntes tipus test
- Quina és la representació del zero negatiu en signe-magnitud amb 4 bits?
- a) 0001
- b) 1000
- c) 1111
- d) 0000
Resposta: b) 1000. En signe-magnitud, el bit més significatiu és 1 per a valors negatius i la magnitud de zero és 000, donant 1000.
- Com es defineix la constant K utilitzada en la representació de complement a 1?
- a) K = 2 n 2^n 2 n
- b) K = 2 n − 1 2^{n-1} 2 n − 1
- c) K = 2 n 2^n 2 n + 1
- d) K = 2 n 2^n 2 n - 1
Resposta: d) K = 2 n 2^n 2 n - 1. El complement a 1 utilitza la constant K = 2 n 2^n 2 n - 1, la qual correspon a una tira de n bits tots a 1.
- Quin valor decimal representa el patró de bits 1000 en format Ca2 de 4 bits?
- a) -0
- b) -7
- c) +8
- d) -8
Resposta: d) -8. En Ca2 amb 4 bits el patró 1000 correspon a l'extrem negatiu asimètric - 2 4 − 1 2^{4-1} 2 4 − 1 = -8.
Aritmètica amb signe — Resta en Ca1, Ca2 i detecció de desbordament
Flashcards
- En una resta de 4 bits en Ca1 que produeix transport a la cinquena posició, quin pas addicional és obligatori fer?
- Cal sumar aquest bit d'arrossegament obtingut directament a la posició de menys pes del resultat parcial de 4 bits.
- Com es pot detectar un desbordament (overflow) analitzant únicament els bits de signe dels sumands i del resultat en Ca2?
- Observant si dos sumands amb el mateix bit de signe produeixen un resultat amb el bit de signe contrari; si els signes dels sumands són diferents, l'overflow és impossible.
Preguntes tipus test
- Què s'ha de fer amb el carry a la posició n+1 en una suma en Ca1?
- a) Activar una alarma de desbordament
- b) Descartar-lo immediatament
- c) Sumar-lo al resultat parcial
- d) Invertir tots els bits restants
Resposta: c) Sumar-lo al resultat parcial. El protocol de complement a 1 exigeix aplicar l'end-around carry sumant el bit sobrant al bit de menys pes.
- Quin tractament rep el bit d'arrossegament n+1 en una resta en Ca2?
- a) Es descarta sense sumar-lo
- b) Indica que el resultat és erroni
- c) S'afegeix al bit menys significatiu
- d) Canvia el signe del resultat
Resposta: a) Es descarta sense sumar-lo. En complement a 2, el carry més enllà de la mida de paraula s'ignora i es descarta directament.
- Quan es produeix exactament un desbordament (overflow) en Ca2?
- a) En sumar iguals signes i canviar
- b) Quan el resultat final és zero
- c) Quan se sumen signes oposats
- d) Sempre que apareix un carry final
Resposta: a) En sumar iguals signes i canviar. L'overflow té lloc quan dos operands del mateix signe generen un resultat amb el signe contrari.
Àlgebra de Boole — Postulats, teoremes i operadors fonamentals
Flashcards
- Com s'expressen formalment les dues Lleis de De Morgan?
- S'expressen com overlinex + y = barx · bary per al complement de la suma, i com overlinex · y = barx + bary per al complement del producte.
- A partir de quins postulats es demostra que x + x = x?
- Es demostra multiplicant per l'element neutre 1 (x + barx), aplicant la distributivitat creuada, resolent el complement nul (x · barx = 0) i aplicant el neutre de la suma.
Preguntes tipus test
- Quin any va aplicar Claude Shannon l'àlgebra booleana a la commutació?
- a) 1847
- b) 1917
- c) 1939
- d) 1950
Resposta: c) 1939. Boole va publicar la seva teoria el 1847, però Shannon la va introduir als circuits de commutació el 1939.
- Quina propietat és vàlida en l'àlgebra de Boole però falsa en els nombres reals?
- a) a + b = b + a
- b) a + (b · c) = (a + b) · (a + c)
- c) a · (b + c) = a·b + a·c
- d) a · b = b · a
Resposta: b) a + (b · c) = (a + b) · (a + c). La distributivitat de la suma respecte al producte només es compleix en l'àlgebra de Boole.
- Quin és el dual exacte de l'expressió x + 0 = x?
- a) x + 1 = 1
- b) x · 0 = 0
- c) x · x = x
- d) x · 1 = x
Resposta: d) x · 1 = x. El principi de dualitat substitueix la suma pel producte i el neutre 0 pel neutre 1.
Funcions lògiques i portes — Representació i conjunts complets
Flashcards
- Quantes funcions de commutació diferents es poden formular amb n = 3 variables d'entrada?
- Es poden formular exactament 2^2^3 = 2^8 = 256 funcions lògiques possibles.
- Com es defineix el comportament d'una porta XOR de dues entrades davant la combinació A = 1 i B = 1?
- La sortida val 0, perquè la funció XOR actua com a detector de desigualtat i s'activa exclusivament si les entrades tenen valors diferents.
- Quins conjunts d'operadors s'anomenen conjunts complets?
- El conjunt format per {AND, OR, NOT}, així com els conjunts unipersonals {NAND} i {NOR} per la seva capacitat universal de sintetitzar qualsevol funció.
Preguntes tipus test
- Quantes funcions lògiques diferents es poden establir amb 2 variables binàries?
- a) 4 funcions
- b) 256 funcions
- c) 16 funcions
- d) 8 funcions
Resposta: c) 16 funcions. El nombre de funcions possibles respon a la fórmula 2 2 n 2^{2^n} 2 2 n ; per a n=2, 2 2 2 2^{2^2} 2 2 2 = 2 4 2^4 2 4 = 16 funcions.
- Quina porta lògica produeix un 1 a la sortida quan les entrades són iguals?
- a) Porta XNOR
- b) Porta NOR
- c) Porta NAND
- d) Porta XOR
Resposta: a) Porta XNOR. La porta XNOR és el complement de la XOR i s'activa com a detector d'igualtat lògica.
- Quin dels següents és un conjunt complet d'operadors capaç de generar qualsevol funció lògica?
- a) {NOR}
- b) {AND, OR}
- c) {XOR, XNOR}
- d) {AND, XOR}
Resposta: a) {NOR}. La porta NOR és universal per si sola i forma un conjunt complet d'operadors gràcies a De Morgan.
Formes canòniques — Minterms, maxterms, SOP i POS
Flashcards
- Per què s'associa un literal directe al valor 0 en la construcció d'un maxterm?
- Perquè un maxterm és una suma lògica que ha de produir un valor 0 a la seva fila corresponent, i una operació OR només resulta 0 si cadascun dels seus literals sumands val 0.
- En què es diferencia un terme producte genèric d'un minterm?
- El terme producte genèric pot contenir qualsevol subconjunt de variables, mentre que el minterm és canònic i ha d'incloure obligatòriament totes les variables del domini de la funció una sola vegada.
Preguntes tipus test
- Com es representa el minterm m5 per a les variables A, B i C?
- a) Ā + B + C̄
- b) Ā · B · C̄
- c) A + B̄ + C
- d) A · B̄ · C
Resposta: d) A · B̄ · C. El número 5 en binari és 101, per tant les variables corresponents prenen la forma directa per a l'1 i complementada per al 0: A · B̄ · C.
- Quin és el maxterm associat a la combinació binària 010 (fila 2)?
- a) X₂ · X̄₁ · X₀
- b) X̄₂ · X₁ · X̄₀
- c) X₂ + X̄₁ + X₀
- d) X̄₂ + X₁ + X̄₀
Resposta: c) X₂ + X̄₁ + X₀. En els maxterms el 0 es tradueix com a variable directa i l'1 com a variable complementada en una suma: X₂ + X̄₁ + X₀.
- Si una funció de 3 variables té f = ∑m(1, 3, 5), quina és la seva forma POS?
- a) ∑m(0, 2, 4, 6, 7)
- b) ∏M(1, 3, 5)
- c) ∏M(0, 2, 4, 6, 7)
- d) ∏M(2, 4, 6)
Resposta: c) ∏M(0, 2, 4, 6, 7). Els índexs dels maxterms són exactament el conjunt complementari d'índexs respecte al total de 8 files (de 0 a 7).
Síntesi lògica i optimització — Circuits de dos nivells vs. multinivell
Flashcards
- Quin és el compromís (trade-off) fonamental quan s'incrementa el nombre de nivells lògics en un circuit?
- S'aconsegueix reduir el fan-in de les portes, l'àrea de silici i el consum de potència, però s'incrementa el retard de propagació global, reduint la velocitat de commutació.
- Per quina raó tècnica un circuit a dos nivells pot ser difícil d'implementar si la funció té molts literals per terme?
- Perquè exigiria portes lògiques amb un fan-in molt alt (moltes entrades simultànies), la qual cosa resulta complexa de fabricar físicament i degrada la resposta elèctrica.
Preguntes tipus test
- Quin avantatge fonamental presenta una implementació a dos nivells respecte a una multinivell?
- a) Portes amb menys entrades
- b) Menor consum de potència
- c) Major velocitat de resposta
- d) Menor àrea de silici
Resposta: c) Major velocitat de resposta. Com que el senyal només travessa dos esglaons de portes lògiques, el retard de propagació és mínim i la velocitat màxima.
- Com influeix l'augment dels nivells lògics sobre el fan-in de les portes?
- a) El fan-in no varia mai
- b) El fan-in es redueix
- c) El fan-in augmenta dràsticament
- d) Elimina completament el fan-in
Resposta: b) El fan-in es redueix. La factorització multinivell permet descompondre termes amples en operacions successives amb menys entrades per porta.
- Quina limitació principal presenta la simplificació algebraica manual mitjançant àlgebra de Boole?
- a) No és un mètode sistemàtic
- b) Exigeix eines informàtiques complexes
- c) Augmenta sempre el retard
- d) Només s'aplica a sumes
Resposta: a) No és un mètode sistemàtic. Depèn de la intuïció per triar teoremes i no garanteix algorítmicament trobar la solució més reduïda.
Mapes de Karnaugh — Procediment de minimització i funcions incompletes
Flashcards
- Com influeix la mida d'un grup en el nombre de variables eliminades en un mapa de Karnaugh?
- La mida del grup ha de ser una potència de 2 (2^k). Cada increment de potència elimina exactament una variable addicional; així, agrupar 2^k cel·les elimina k variables del terme canònic original.
- És obligatori incloure totes les condicions d'indiferència ('X') dins d'algun grup en simplificar una funció?
- No. Les 'X' només s'agrupen si permeten ampliar la mida d'un grup existent d'uns o de zeros; aquelles condicions d'indiferència que no aportin cap avantatge es descarten i no s'envolten.
Preguntes tipus test
- Quin és el motiu pel qual els mapes de Karnaugh utilitzen el codi Gray als eixos?
- a) Facilitar el càlcul binari natural consecutiu
- b) Garantir una distància de Hamming d'un bit
- c) Evitar l'ús de termes canònics maxterms
- d) Reduir el nombre total de minterms inicials
Resposta: b) Garantir una distància de Hamming d'un bit. El codi Gray assegura que dues cel·les físicament contigües difereixin exclusivament en el valor d'un sol bit.
- Quantes variables s'eliminen en formar un grup de 8 cel·les adjacents en un mapa?
- a) 3 variables
- b) 2 variables
- c) 1 variable
- d) 4 variables
Resposta: a) 3 variables. Com que 8 és igual a 2³, agrupar 8 cel·les elimina exactament 3 variables del terme resultant.
- En un mapa de 4 variables, quina propietat geomètrica tenen les quatre cantonades?
- a) Formen un grup vàlid de 4 cel·les
- b) Formen un grup de 2 cel·les cadascuna
- c) Només s'agrupen si contenen indiferències
- d) Són independents i no es poden agrupar
Resposta: a) Formen un grup vàlid de 4 cel·les. A causa de la topologia toroïdal del mapa de 4 variables, les quatre cantonades són lògicament adjacents entre si.
I 0 flashcards i 11 preguntes més al document.
Text del document
APUNTS DISSENY DIGITAL BÀSIC Grau en Enginyeria Informàtica Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts complets de Disseny Digital Bàsic (UB): sistemes de numeració, codis, Ca1/Ca2, àlgebra de Boole, portes lògiques, formes canòniques i Karnaugh. APREN.AI Índex 1 Sistemes digitals — Fonaments i digitalització de senyals Fonaments dels sistemes electrònics: analògic vs. digital El procés de digitalització d'un senyal analògic Arquitectura dels blocs de processament digital Classificació: sistemes combinacionals vs.
sistemes seqüencials 2 Sistemes de numeració — Bases i mètodes de conversió Sistemes de representació posicional i forma polinòmica Bases estàndard en electrònica i unitats d'informació Conversió d'una base arbitrària a base 10 Conversió de base 10 a una base arbitrària Conversions directes entre base 2 i bases potència de dos ( ) 3 Codis binaris — BCD, Gray i codis alfanumèrics Necessitat i fonaments dels codis binaris Codificació BCD natural i variants Codi BCD Excés 3 i propietats de simetria Codi de Gray i construcció reflexiva Taula comparativa de codificacions del 0 al 9 Codis alfanumèrics: l'estàndard ASCII Codis detectors d'errors: el bit de paritat 4 Aritmètica binària natural — Operacions bàsiques sense signe Suma binària i propagació del transport Resta binària elemental i préstec Multiplicació binària per desplaçament i suma Divisió binària: comparació i desplaçament 5 Representació amb signe — Signe-magnitud, complement a 1 i complement a 2 Representació en signe-magnitud (SM) Fonament del mètode de complements Representació en complement a 1 (Ca1) Representació en complement a 2 (Ca2) Taula comparativa dels tres sistemes (n = 4 bits) 6 Aritmètica amb signe — Resta en Ca1, Ca2 i detecció de desbordament Resta en complement a 1 i transport circular (end-around carry) Resta i addició en complement a 2 Detecció de desbordament aritmètic (overflow) 2k Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 1 7 Àlgebra de Boole — Postulats, teoremes i operadors fonamentals Definició axiomàtica i postulats fonamentals Divergències respecte a l'àlgebra dels nombres reals Àlgebra booleana de dos elements i operadors binaris Principi de dualitat i teoremes fonamentals Modelatge físic mitjançant circuits de commutadors 8 Funcions lògiques i portes — Representació i conjunts complets Definició i representació de les funcions lògiques L'espai de funcions de commutació Catalogació de les 16 funcions de dues variables Portes lògiques i conjunts complets d'operadors 9 Formes canòniques — Minterms, maxterms, SOP i POS Elements bàsics: literals, termes producte i termes suma Formes estàndard: suma de productes (SOP) i producte de sumes (POS) Minterms i maxterms: definició i generació Relació de complementarietat i formes canòniques compactes 10 Síntesi lògica i optimització — Circuits de dos nivells vs.
multinivell Simplificació algebraica booleana i la seva optimització Estratègies d'implementació: circuits a dos nivells vs.
circuits multinivell Criteris físics d'optimització i compromisos de disseny (trade-offs) Introducció als mètodes sistemàtics de minimització 11 Mapes de Karnaugh — Procediment de minimització i funcions incompletes Fonaments i estructura del mapa de Karnaugh Topologia i adjacències en 3, 4 i 5 variables Procediment sistemàtic de minimització en suma de productes (SOP) Minimització com a producte de sumes (POS) Funcions especificades incompletament i condicions d'indiferència 12 Formulari Sistemes de numeració i mètodes de conversió Representació amb signe i aritmètica de complements Àlgebra de Boole, funcions i formes canòniques Minimització mitjançant mapes de Karnaugh Errors típics de repàs Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.
Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 2 1 Sistemes digitals — Fonaments i digitalització de senyals EN ACABAR SABRÀS Distingir entre sistemes electrònics analògics, digitals i binaris segons els valors de les seves variables. Descriure les etapes de digitalització d'un senyal continu: mostreig, quantificació i codificació binària. Avaluar com influeixen la freqüència de mostreig i el nombre de nivells en la precisió i la memòria necessària. Diferenciar circuits combinacionals i seqüencials utilitzant les seves expressions formals i el concepte d'estat.
PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com pot un ordinador processar un so real si l'ona acústica pren infinits valors al llarg del temps? Els circuits electrònics moderns gestionen informació mitjançant fenòmens elèctrics com el voltatge o el corrent. L'electrònica digital estructura aquests valors físics en conjunts discrets per facilitar-ne el processament automàtic, l'emmagatzematge i la transmissió robusta davant de pertorbacions. ESQUEMA Estructura dels conceptes introductoris Fonaments dels sistemes electrònics: analògic vs. digital Un sistema electrònic és una estructura dissenyada per transmetre o processar dades on la informació es representa per mitjà de magnituds elèctriques.
Aquests sistemes reben un senyal d'entrada, l'operen internament i produeixen un senyal de sortida condicionat. Fonaments i sistemes Classificació combinacional vs seqüencial Bases de numeració Bases i conversions Codis digitals BCD, Gray i alfanumèrics Aritmètica binària Nombres naturals i amb signe Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 3 DEFINICIÓ Un sistema analògic treballa amb magnituds que prenen valors continus dins d'un interval. Per contra, un sistema digital opera exclusivament amb valors discrets, pertanyents a un conjunt finit i prefixat. Dins de la branca digital, el model més estès és el sistema binari.
En aquesta modalitat, qualsevol dada es descriu mitjançant una variable binària, que només admet dos estats lògics: 0 o 1. El concepte formal de bit com a unitat elemental d'informació s'aprofundeix a «Sistemes de numeració — Bases i mètodes de conversió». Tipus de sistema Naturalesa dels valors Rang de representació Analògic Continua Infinits valors en un interval donat Digital Discreta Conjunt finit de nivells definits Binari Discreta de base 2 Exactament dos estats (0 i 1) COMPROVA-HO 2 Quina és la diferència clau entre el rang d'un senyal analògic i el d'un senyal digital?
El procés de digitalització d'un senyal analògic La digitalització consisteix a transformar una ona física o magnitud elèctrica contínua en una successió equivalent de valors numèrics. Aquesta conversió és imprescindible perquè els blocs computacionals puguin emmagatzemar o tractar el senyal. Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 4 Gràfica de mostreig temporal sobre un senyal analògic continu. La transformació d'un senyal continu a binari s'organitza en tres etapes consecutives: Mostreig: presa periòdica de mostres del senyal analògic en punts temporals determinats per la freqüència de mostreig.
1 Quantificació: assignació de cada mostra al nivell discret de tensió o valor numèric més pròxim d'entre un nombre establert d'escalons. 2 Codificació: traducció del valor quantificat a una combinació de dígits binaris (zeros i uns). 3 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 5 Esquema de digitalització completa: mostres, quantificació i codificació binària. Quan s'incrementa el nombre de nivells de quantificació, s'obté un rang dinàmic superior i major precisió, però comporta emprar més bits per mostra i, consegüentment, consumir més espai de memòria.
D'altra banda, una freqüència de mostreig més elevada reprodueix la forma d'ona amb més fidelitat, però requereix una memòria més gran i augmenta la complexitat dels circuits. ERROR FREQÜENT Augmentar la freqüència de mostreig incrementa el nombre de mostres per segon, però no millora la resolució d'amplitud de cada mostra individual. La precisió vertical depèn únicament del nombre de nivells de quantificació utilitzats. COMPROVA-HO 3 Quina conseqüència directa té sobre el sistema l'augment conjunt de la freqüència de mostreig i del nombre de nivells?
Arquitectura dels blocs de processament digital Els sistemes basats en lògica discreta operen conjuntament amb interfícies de conversió analògica- digital i digital-analògica segons el flux global següent: Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 6 PROCÉS Cadena de processament digital de senyals 1 〰 Senyal analògic Magnitud elèctrica contínua d'entrada 2 Convertidor A/D Mostreig, quantificació i codificació 3 Processament digital Càlcul o emmagatzematge en memòria 4 Convertidor D/A Reconstrucció a senyal analògic continu Un cop el senyal entra en format binari al bloc digital, la informació ofereix àmplies possibilitats: es pot guardar en memòria física, processar mitjançant càlculs o tornar a convertir en magnitud contínua amb un convertidor D/A.
Classificació: sistemes combinacionals vs.
sistemes seqüencials Segons la influència que té el temps i la història prèvia sobre la sortida, els sistemes digitals es divideixen en dues grans famílies: En els sistemes combinacionals, la sortida en un instant determinat depèn de manera exclusiva de la combinació d'entrades aplicada en aquest mateix instant temporal: En els sistemes seqüencials, la resposta actual no sols respon a les entrades del moment, sinó que depèn també de tota la seqüència d'entrades anteriors: Com que resulta inviable gestionar una llista infinita d'entrades passades, s'utilitza el concepte d'estat ( ), definit com una situació diferenciada del circuit que sintetitza tota la informació necessària del passat.
D'aquesta manera, el comportament seqüencial es formalitza amb dues funcions matemàtiques: Funció de sortida: Funció de transició a l'estat següent: Característica Sistema combinacional Sistema seqüencial Dependència de la sortida Només entrades actuals Entrada actual i estat Presència de memòria No en té Sí (emmagatzema l'estat intern) Fórmula fonamental COMPROVA-HO 4 Per quina raó tècnica un sistema seqüencial no calcula la sortida revisant directament totes les entrades passades des de menys infinit?
y(t ) = i F [x(t )] i y(t ) = i F [x(t ), x( , t )] i i s y(t ) = i G[x(t ), s(t )] i i s(t ) = i+1 H[x(t ), s(t )] i i x(t ) i x(t ) i s(t ) i y(t ) = i F [x(t )] i y(t ) = i G[x(t ), s(t )] i i Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 7 IDEES CLAU Un sistema electrònic analògic treballa amb valors continus, mentre que un de digital utilitza nivells discrets finits. Un sistema binari empra variables que només admeten dos estats possibles: 0 i 1. La digitalització converteix senyals continus en dades numèriques mitjançant mostreig, quantificació i codificació. Elevar el nombre de nivells o la freqüència de mostreig incrementa la precisió, però augmenta l'ocupació de memòria.
En els circuits combinacionals la sortida depèn només de l'entrada actual segons . En els circuits seqüencials la sortida requereix memòria de la història passada mitjançant la variable d'estat segons . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5. En quines tres fases consecutives es divideix el procés complet de digitalització d'un senyal analògic? 6. Com descriu matemàticament un sistema seqüencial la transició cap al seu estat futur? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 7. Quina característica defineix de manera fonamental un sistema digital respecte a un d'analògic? 8. Què succeeix en digitalitzar un senyal si augmentem el nombre de nivells de quantificació? 9.
Quina equació defineix el comportament d'un sistema purament combinacional? y(t ) = i F [x(t )] i y(t ) = i G[x(t ), s(t )] i i Té infinits valors dins d'un interval a) Empra un conjunt finit de valors discrets b) Funciona exclusivament amb tensions negatives c) Prescindeix de qualsevol magnitud elèctrica d) Disminueix la precisió del senyal obtingut a) Es necessiten menys bits de representació b) Augmenta la precisió i l'espai de memòria c) Es redueix automàticament la freqüència temporal d) y(ti) = G[x(ti), s(ti)] a) y(ti) = F[x(- , ti)] b) s(ti+1) = H[x(ti), s(ti)] c) y(ti) = F[x(ti)] d) Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 8 10.
Quin paper compleix el concepte d'estat en els sistemes seqüencials? 2 Sistemes de numeració — Bases i mètodes de conversió EN ACABAR SABRÀS Descompondre un nombre en qualsevol base utilitzant el polinomi característic. Convertir valors enters i fraccionaris entre les bases decimal, binària, octal i hexadecimal. Executar conversions immediates entre binari i bases potència de dos mitjançant agrupació de bits. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 11 Per què els enginyers informàtics empren habitualment les bases octal i hexadecimal en lloc de treballar només amb dígits binaris?
Sistemes de representació posicional i forma polinòmica Un sistema de numeració posicional permet expressar qualsevol magnitud numèrica mitjançant una combinació ordenada de símbols o dígits, on la contribució de cadascun depèn de la seva posició relativa respecte al punt decimal. En una base determinada, el repertori de símbols vàlids comprèn valors enters compresos estrictament en l'interval . Qualsevol nombre es descompon formalment en una part entera i una part fraccionària mitjançant el polinomi característic: En aquesta formulació, indica la quantitat de xifres enteres (amb pesos des de fins a ) i estableix el nombre de xifres fraccionàries (amb pesos des de fins a ).
La transició entre els exponents positius i negatius de la base marca precisament la separació decimal o coma fraccionària. DEFINICIÓ El polinomi característic és l'expressió algebraica ponderada que assigna a cada dígit d'una seqüència el pes donat per la potència de la seva base, permetent avaluar el valor absolut de la representació.
Eliminar la necessitat de senyals d'entrada a) Impedir que el sistema utilitzi rellotge b) Garantir un comportament exclusivament analògic c) Sintetitzar la història passada del circuit d) b 0 a < i b N N = a b = i= p n i i a b + n n a b + n 1 n 1 + a b + 0 0 a b + 1 1 + a b p p n + 1 b0 bn p b 1 b p a i bi Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 9 Aquesta mateixa estructura s'aplica al sistema decimal ( ), on per exemple la xifra equival a . Bases estàndard en electrònica i unitats d'informació En el processament de dades i l'electrònica digital s'empren fonamentalment quatre bases: binària ( ), octal ( ), decimal ( ) i hexadecimal ( ).
Cadascuna respon a requisits concrets d'implementació física o de compressió textual de vectors de bits. Quan es fixa la base en , els coeficients només admeten els valors 0 o 1. Cadascun d'aquests coeficients individuals s'anomena bit, la unitat mínima d'informació. Un conjunt agrupat d'aquests elements configura estructures d'amplada definida: Byte: agrupació de 8 bits (equivalent a bits). Kilobit: conjunt equivalent a ( bits). Megabit: conjunt equivalent a ( bits). Gigabit: conjunt equivalent a ( bits). Quan una arquitectura digital opera de manera sistemàtica amb cadenes d'una longitud constant de bits, es diu que el circuit processa paraules de bits.
Taula d'equivalències numèriques entre les bases decimal, binària, octal i hexadecimal. A la base hexadecimal ( ), els dígits del 10 al 15 se substitueixen convencionalment per lletres majúscules: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) i F (15), permetent condensar blocs de patrons binaris. b = 10 87,54 10 8 10 + 1 7 10 + 0 5 10 + 1 4 10 2 b = 2 b = 8 b = 10 b = 16 b = 2 23 2 = 10 1.024 bits 103 2 = 20 1.048.576 bits 106 2 = 30 1.073.741.824 bits 109 n n b = 16 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 10 COMPROVA-HO 12 Quina relació exacta hi ha entre la capacitat expressada en Megabits i la potència de base 2 associada?
Conversió d'una base arbitrària a base 10 Per determinar la magnitud decimal d'un nombre expressat en qualsevol base , el procediment general consisteix a desplegar el seu polinomi característic i calcular aritmèticament les sumes i productes operant directament en base 10. EXEMPLE Càlcul de la magnitud decimal per a diferents bases: Binari a decimal: Octal a decimal: Hexadecimal a decimal: Binari fraccionari a decimal: Conversió de base 10 a una base arbitrària La conversió inversa requereix desacoblar el nombre original en la seva part sencera ( ) i la seva part fraccionària ( ), aplicant un algorisme específic a cadascun dels dos components.
Tractament de la part sencera: divisions successives L'expressió sencera a la base de destinació és . Si es divideix per , s'obté com a residu enter directe el terme , que constitueix el dígit menys significatiu (LSB): En dividir novament el quocient enter resultant entre , el nou residu és . Aquest mecanisme s'itera fins que el quocient s'anul·la. La seqüència de residus obtinguts es llegeix en ordre invers (des de l'últim quocient/residu cap al primer) per reconstruir la part sencera.
b 11100001 = 2 1 2 + 7 1 2 + 6 1 2 + 5 1 2 = 0 128 + 64 + 32 + 1 = 225 10 341 = 8 3 8 + 2 4 8 + 1 1 8 = 0 192 + 32 + 1 = 225 10 E1 = 16 14 16 + 1 1 16 = 0 224 + 1 = 225 10 1101,11 = 2 1 2 + 3 1 2 + 2 0 2 + 1 1 2 + 0 1 2 + 1 1 2 = 2 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,75 10 N E N F N = E a b + n 1 n 1 + a b + 1 1 a b 0 0 N E b a 0 = b N E a b + + a b + a + ( n 1 n 2 2 1 1) b a 0 b a 1 Dividir el valor enter inicial entre la base per obtenir quocient i residu. 1 b Anotar el residu com a coeficient de la posició actual (començant per ). 2 a 0 Prendre el quocient resultant com a nou dividend i repetir la divisió per .
3 b Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 11 EXEMPLE Conversió del valor enter a base binària ( ): amb residu 0 ( ) amb residu 0 ( ) amb residu 1 ( ) amb residu 1 ( ) amb residu 0 ( ) amb residu 0 ( ) amb residu 0 ( ) amb residu 0 ( ) amb residu 0 ( ), quocient final 1 ( ) Llegint els residus en sentit ascendent des de l'últim quocient: . Esquema de comprovació del valor decimal calculat mitjançant el polinomi característic. Tractament de la part fraccionària: multiplicacions successives La part fraccionària respon al desenvolupament .
En multiplicar aquest valor per la base , el dígit més significatiu de la fracció ( ) es desplaça a la part sencera del producte: Aturar quan el quocient sigui menor que la base i recopilar els residus des de l'últim fins al primer. 4 524 10 b = 2 524 : 2 = 262 a 0 262 : 2 = 131 a 1 131 : 2 = 65 a 2 65 : 2 = 32 a 3 32 : 2 = 16 a 4 16 : 2 = 8 a 5 8 : 2 = 4 a 6 4 : 2 = 2 a 7 2 : 2 = 1 a 8 a 9 524 = 10 1000001100 2 N = F a b + 1 1 a b + 2 2 + a b p p b a 1 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 12 S'aïlla aquesta part sencera obtinguda com a coeficient i es multiplica la fracció restant per per extreure .
Les parts enteres es registren en ordre directe (del primer al darrer càlcul) fins a assolir residu zero o la precisió de bits desitjada. EXEMPLE Conversió combinada de a binari: part sencera 1 ( ) part sencera 1 ( ) part sencera 0 ( ) part sencera 1 ( ) part sencera 0 ( ) part sencera 0 ( ) part sencera 1 ( ) Recopilant en ordre directe resulta . En unir ambdues seccions s'obté . EXEMPLE Conversió del valor directament a base hexadecimal ( ): Part sencera (divisions): amb residu 10 (A) amb residu 8 (E) amb residu 4 Llegit de baix a dalt: . Part fraccionària (multiplicacions): part sencera 13 (D) part sencera 7 part sencera 14 (E) part sencera 15 (F) Llegit en ordre directe: .
El valor complet és . ERROR FREQÜENT Invertir el sentit de recollida dels coeficients. Els residus de les divisions successives (part sencera) s'ordenen des de l'últim quocient cap al primer residu (ordre invers). En canvi, les parts enteres de les multiplicacions fraccionàries s'anoten immediatament tal com es van generant (ordre directe). N = F N F b = a + 1 a b + + a b ( 2 1 p p+1 ) a 1 b a 2 524,825 10 0,825 × 2 = 1,65 a 1 0,650 × 2 = 1,30 a 2 0,300 × 2 = 0,60 a 3 0,600 × 2 = 1,20 a 4 0,200 × 2 = 0,40 a 5 0,400 × 2 = 0,80 a 6 0,800 × 2 = 1,60 a 7 0,825 = 10 0,1101001 … 2 524,825 = 10 1000001100,1101001 …
2 58506,8435 10 b = 16 58506 : 16 = 3656 3656 : 16 = 228 228 : 16 = 14 E48A 16 0,8435 × 16 = 13,496 0,496 × 16 = 7,936 0,936 × 16 = 14,976 0,976 × 16 = 15,616 0,D7EF 16 58506,8435 = 10 E48A,D7EF 16 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 13 COMPROVA-HO 13 Per què a la conversió fraccionària les xifres resultants s'escriuen en ordre directe i no invers? Conversions directes entre base 2 i bases potència de dos ( ) Quan la base d'origen o destí satisfà la condició , la transformació no requereix passos intermedis per base 10.
La conversió s'executa mitjançant substitució directa agrupant els bits en blocs de mida : Base 8 (octal, ): els dígits binaris s'agrupen de 3 en 3 ( ), representant valors de l'interval 0 a 7. Base 16 (hexadecimal, ): els dígits binaris s'agrupen de 4 en 4 ( ), cobrint valors de 0 a 15 (0 a F). L'agrupament s'ha d'iniciar de manera estricta des de la coma decimal: cap a l'esquerra per a la part sencera (afegint zeros a l'esquerra si cal completar el bloc) i cap a la dreta per a la part fraccionària (farcint amb zeros a l'extrem dret si el darrer grup queda incomplet).
PROCÉS Algorisme d'agrupació de base 2 a base 2^k 2k b = 2k k k = 3 2 = 3 8 k = 4 2 = 4 16 Coma decimal Fixar el punt central de referència 1 Agrupar part sencera Formar blocs de k bits cap a l'esquerra 2 Agrupar part fraccionària Formar blocs de k bits cap a la dreta 3 Farciment amb zeros Completar blocs incomplets als extrems 4 Substitució de símbols Assignar el dígit equivalent a cada bloc 5 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 14 EXEMPLE De binari a octal ( ): De binari a hexadecimal ( ): De binari amb part fraccionària a octal: D'hexadecimal a binari: cada dígit s'expandeix immediatament a 4 bits binaris: La següent taula sistematitza els procediments de conversió segons les bases involucrades: Origen Destinació Procediment matemàtic Ordre dels coeficients Base Base 10 Avaluació directa del polinomi característic Operació aritmètica global Base 10 Base (Part sencera) Divisions successives per Residus en ordre invers Base 10 Base (Part fraccionària) Multiplicacions successives per Parts enteres en ordre directe Base 2 Base ( ) Agrupació de bits des de la coma Substitució directa de cada bloc Base ( ) Base 2 Expansió directa de cada dígit en bits Manteniment de la posició relativa COMPROVA-HO 14 Quants bits binaris calen per representar sense pèrdua de precisió el dígit fraccionari hexadecimal ?
k = 3 1010110001101011 = 2 = 1 001 2 010 6 110 1 001 5 101 3 011 126153 8 k = 4 1010110001101011 = 2 = A 1010 C 1100 6 0110 B 1011 AC6B 16 11011001,101100 = 2 , = 3 011 3 011 1 001 5 101 4 100 331,54 8 FE91 = 16 = F 1111 E 1110 9 1001 1 0001 1111111010010001 2 b a b i i b b b b 2k k = 3, 4 k 2k k = 3, 4 k 0,D 16 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 15 IDEES CLAU Tot nombre en base es descompon mitjançant el polinomi característic ponderat per potències enteres de . El bit és la unitat mínima d'informació (0 o 1) i el byte defineix l'agrupació de 8 bits ( ). La conversió de base 10 a base utilitza divisions successives (residus en ordre invers) per a la part sencera.
La conversió de la fracció decimal a base requereix multiplicacions successives (parts enteres en ordre directe). Les bases potència de dos ( ) permeten conversió directa amb binari agrupant o expandint blocs de bits des de la coma decimal. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 15. Com s'expressa el valor fraccionari binari en format decimal? 16. Quin procediment s'ha de seguir per convertir a hexadecimal de manera immediata? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 17. Quants bits conté exactament un Kilobit segons l'estàndard binari? 18. En quin ordre s'ordenen els residus de les divisions successives en passar d'un enter decimal a una altra base? 19.
Quin dígit hexadecimal representa el valor decimal 14? 20. Des d'on s'ha de començar a agrupar per convertir un binari fraccionari a octal?
b b 23 b b b = 2k k 0,11 2 1010110001101011 2 8.192 bits a) 1.048.576 bits b) 1.024 bits c) 1.000 bits d) Ordre directe de càlcul a) Segons el pes parell o senar b) De menor a major valor c) Ordre invers al càlcul d) D a) E b) C c) F d) Des de l'extrem dret a) Des de la coma decimal b) Des de l'extrem esquerre c) És indiferent la posició d) Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 16 3 Codis binaris — BCD, Gray i codis alfanumèrics EN ACABAR SABRÀS Distingir entre la codificació binària natural i el sistema BCD en eficiència i estructura Generar la seqüència del codi Gray aplicant el mètode de reflexió Calcular representacions en codi BCD excés 3 i comprovar la seva propietat antisimètrica Identificar caràcters en estàndard ASCII i aplicar bits de paritat per a la detecció d'errades PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 21 Per què un sensor de posició que compta en binari convencional pot donar lectures totalment falses en passar del valor 3 al 4?
Necessitat i fonaments dels codis binaris Dins d'un sistema digital, la informació no sempre es processa com un nombre en base 2 pur. Mentre que el binari natural s'utilitza per a operacions matemàtiques directes (vegeu «Sistemes de numeració — Bases i mètodes de conversió»), existeixen aplicacions específiques on es requereix una correspondència directa amb caràcters humans, una transició suau en lectors físics o la detecció d'errades de transmissió. En el codi binari natural, cada posició té un pes posicional associat a una potència de 2. Amb una longitud de bits, es poden representar valors enters en el rang comprès entre 0 i 2^n - 1.
Per exemple, amb bits s'arriba fins al valor 7 (des de fins a ). Tanmateix, quan cal comunicar dades amb l'exterior o controlar dispositius electromecànics, altres estructures binàries resulten molt més convenients. Codificació BCD natural i variants El sistema BCD natural (conegut com a BCD 8421 pels pesos de les seves columnes) tradueix cada xifra decimal de manera independent en un quartet de 4 bits. D'aquesta manera, els valors de 0 a 9 s'assignen directament a la seva combinació binària equivalent de quatre dígits.
Dígit decimal BCD (8421) Dígit decimal BCD (8421) 0 0000 5 0101 1 0001 6 0110 2 0010 7 0111 3 0011 8 1000 4 0100 9 1001 n n = 3 000 2 111 2 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 17 Quan un nombre consta de múltiples xifres decimals, cada dígit es converteix per separat sense necessitat de calcular conversions globals de base. Per exemple, per codificar el valor decimal : EXEMPLE El dígit 8 es codifica com a 1000 i el 4 com a 0100. En conseqüència: Aquesta correspondència directa fa que el codi BCD sigui molt pràctic per a connectar circuits amb pantalles i displays numèrics.
No obstant això, presenta una clara ineficiència: amb 4 bits es podrien formar 16 combinacions ( ), però només se n'utilitzen 10. Les combinacions des de 1010 fins a 1111 queden sense ús com a dígits vàlids. Per tant, amb el mateix nombre de bits es representen menys valors que en binari natural. ERROR FREQÜENT No s'ha de confondre convertir un nombre a binari pur amb codificar-lo en BCD. El valor decimal en binari natural és (requereix 7 bits), mentre que en BCD natural és (utilitza 8 bits agrupats en blocs de 4). Codi BCD Excés 3 i propietats de simetria Una altra codificació destacada és el codi BCD excés 3.
En aquest sistema, la representació binària s'obté sumant 3 unitats al dígit decimal abans d'escriure la seva expressió de 4 bits. Per exemple, el dígit 0 es representa com , i el 9 es representa com . Aquest codi té una propietat estructural anomenada codi antisimètric (o autocomplementari). Si s'inverteixen tots els bits del codi corresponent a un dígit , s'obté exactament la combinació del seu complement a 9 ( ). Per exemple, la combinació del 0 és 0011; invertint els seus bits bit a bit s'obté 1100, que és precisament la paraula de codi del 9. COMPROVA-HO 22 Quina relació tenen els patrons binaris del dígit 2 i del dígit 7 en codi excés 3?
Codi de Gray i construcció reflexiva El codi Gray és un codi cíclic en el qual dos nombres consecutius sempre difereixen exclusivament en el valor d'un sol bit. Aquesta característica s'anomena distància d'unitat (o distància de Hamming igual a 1). En canvi, en el binari natural, la transició entre certs valors consecutius pot exigir canviar múltiples bits a la vegada (per exemple, de a canvien els tres bits de cop). En els lectors mecànics o òptics de posició, si diversos sensors intenten canviar d'estat a la vegada, les petites asincronies físiques provoquen lectures errònies transitòries. En canviar un sol bit cada cop, el codi Gray elimina per complet aquest perill.
La generació d'aquest codi es realitza mitjançant un procediment recursiu de reflexió: 84 10 (84) = 10 (1000 0100) BCD 2 = 4 16 84 10 1010100 2 1000 0100 BCD 0 + 3 = 3 10 0011 9 + 3 = 12 10 1100 d 9 d 011 = 2 3 100 = 2 4 Codi d'1 bit: es comença amb els valors base 0 i 1. 1 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 18 El pas d'1 a 2 bits genera la seqüència 00, 01, 11, 10: Diagrama de construcció reflexiva del codi Gray de dos bits.
Repetint el mateix mecanisme de reflexió per a 3 bits, es pren la seqüència de 2 bits, es duplica en ordre invertit com a mirall, i es col·loca un 0 als quatre primers termes i un 1 als quatre següents: Reflexió de la seqüència: s'escriuen els valors de la llista anterior en ordre invers sota d'ella mateixa (formant un mirall). 2 Prefixat de bits: s'afegeix un bit 0 davant de la meitat superior original i un bit 1 davant de la meitat inferior reflectida. 3 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 19 Diagrama de construcció reflexiva del codi Gray de tres bits.
Com que es tracta d'un codi cíclic, l'últim element (100 per a 3 bits) també difereix en un únic bit del primer element (000). COMPROVA-HO 23 Quants bits canvien en la transició decimal de 3 a 4 en binari natural i quants en codi Gray de 3 bits?
Taula comparativa de codificacions del 0 al 9 La següent taula reuneix la correspondència dels deu dígits decimals fonamentals segons els diferents esquemes tractats: Dígit Binari natural BCD (8421) BCD Excés 3 Gray (4 bits) 0 0000 0000 0011 0000 1 0001 0001 0100 0001 2 0010 0010 0101 0011 3 0011 0011 0110 0010 4 0100 0100 0111 0110 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 20 Dígit Binari natural BCD (8421) BCD Excés 3 Gray (4 bits) 5 0101 0101 1000 0111 6 0110 0110 1001 0101 7 0111 0111 1010 0100 8 1000 1000 1011 1100 9 1001 1001 1100 1101 ESQUEMA Classificació de codis binaris comuns Codis alfanumèrics: l'estàndard ASCII Per manipular informació textual, símbols de puntuació i ordres de control en equips digitals, cal emprar codis que assignin un patró de bits a cada caràcter.
L'estàndard principal és el codi ASCII (American Standard Code for Information Interchange). En la seva especificació clàssica de 7 bits, l'ASCII permet representar caràcters únics. Aquesta taula conté: Lletres majúscules: per exemple, 'A' és 100 0001, 'B' és 100 0010, 'C' és 100 0011, fins a la 'Z' (101 1010). Lletres minúscules: per exemple, 'a' és 110 0001, 'b' és 110 0010, fins a la 'z' (111 1010). Caràcters numèrics: les xifres del '0' (011 0000) al '9' (011 1001). Símbols i espais: espai en blanc o blank (010 0000), signe d'exclamació '!' (010 0001), símbol '>' (011 1110). Caràcters de control del sistema: ordres no imprimibles com fi de text o end text (000 0011).
En molts sistemes s'empra una versió de 8 bits, on el vuitè bit s'utilitza sovint com a caràcter estès o per a mecanismes de verificació. Codis numèrics Representació de valors i xifres BCD Natural (8421) Ponderat per a pantalles digitals BCD Excés 3 Codi no ponderat i antisimètric Codi de Gray Canvi d'un bit per transició Codis alfanumèrics Representació de text i control ASCII de 7 bits 128 caràcters bàsics definits ASCII amb paritat Detecció d'errors de transmissió 2 = 7 128 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 21 Codis detectors d'errors: el bit de paritat En transmetre paraules binàries a través d'un canal físic, el soroll pot alterar el valor d'algun bit.
Una tècnica elemental per detectar aquesta fallada és la incorporació d'un bit de paritat. En un esquema de paritat (per exemple, paritat parell), s'afegeix un bit addicional a la paraula original de manera que el recompte total d'uns a la combinació transmesa compleixi una condició determinada. Si durant la recepció el recompte d'uns no coincideix amb la regla establerta, el sistema detecta que s'ha produït un error de transmissió. Codi binari original Bit de paritat afegit Codificació detectora resultant 000 0 0000 001 1 1001 010 1 1010 011 0 0011 100 1 1100 101 0 0101 110 0 0110 111 1 1111 COMPROVA-HO 24 Quin és el propòsit d'afegir un bit de paritat a una seqüència binària transmesa?
IDEES CLAU El codi binari natural utilitza notació posicional on bits permeten cobrir valors entre 0 i . El codi BCD natural codifica cada xifra decimal en un quartet independent de 4 bits, sent òptim per a pantalles però menys eficient en capacitat de rang que el binari. El BCD excés 3 suma 3 unitats a cada dígit decimal i té propietat antisimètrica (autocomplementària respecte al complement a 9). El codi Gray és reflexiu i cíclic, amb una distància d'unitat (un sol bit diferent entre termes adjacents) que evita errors en sensors i lectors de posició.
L'estàndard ASCII de 7 bits codifica 128 caràcters alfanumèrics, signes i codis de control, ampliant-se sovint amb un bit de paritat per a la detecció d'errors. n 2 n 1 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 22 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 25. Per què el codi Gray s'utilitza preferentment en sensors de posició rotatius en comptes del binari comú? 26. Quina combinació binària de 8 bits correspon al nombre decimal 59 en format BCD natural? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 27. Quina propietat fonamental distingeix el codi Gray del binari natural? 28. Quin inconvenient presenta el sistema BCD natural davant el binari comú? 29.
Com s'obté la representació d'un dígit decimal en codi excés 3? 30. Quants caràcters diferents es poden codificar mitjançant l'estàndard ASCII de 7 bits? 4 Aritmètica binària natural — Operacions bàsiques sense signe EN ACABAR SABRÀS Executar operacions de suma i resta columna a columna identificant transports i préstecs. Calcular multiplicacions binàries desglossant els productes parcials i la mida del resultat. Realitzar divisions de nombres binaris mitjançant l'algorisme de comparació i desplaçament.
Els valors consecutius difereixen en un sol bit a) És un codi amb pesos posicionals fixos b) Permet representar nombres negatius directament c) Utilitza menys bits per a nombres decimals grans d) Canvia més de dos bits per dígit a) No permet la visualització en pantalles b) Amb els mateixos bits cobreix menys valors c) És impossible de descodificar en maquinari d) Invertint els 3 bits més significatius a) Sumant 3 al dígit abans de convertir-lo b) Restant 3 al valor binari natural c) Multiplicant el dígit decimal per 3 d) 100 a) 128 b) 256 c) 64 d) Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 23 PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 31 Per què fer una divisió en binari és molt més mecànic i senzill que fer-la en decimal?
En el processament de la informació dins d'un maquinari digital, les operacions matemàtiques s'executen directament en codi binari natural. Aquesta elecció simplifica notablement la construcció i la implementació física dels circuits de càlcul respecte a altres formats. ESQUEMA Estructura de l'aritmètica binària bàsica Suma binària i propagació del transport La suma de dígits binaris opera bit a bit des de la posició de menys pes cap a la de més pes, seguint un mecanisme equivalent al càlcul decimal. Quan la combinació dels sumands supera el valor que pot representar un únic dígit binari, es genera una unitat de transport cap a la posició superior immediata.
DEFINICIÓ El carry o transport és el bit addicional que es transfereix cap a la columna següent quan la suma en una posició determinada és igual o superior a la base del sistema (en binari, ). Operació Resultat Transport generat (carry) 0 0 1 0 1 0 0 1 cap a la columna següent Operacions sense signe Aritmètica elemental en binari natural Suma binària Generació i propagació de carry Resta binària Préstec de rang superior (borrow) Multiplicació Desplaçaments i suma de parcials Divisió Comparació, resta i quocient 0 o 1 1 + 1 = 2 = 10 10 2 0 + 0 0 + 1 1 + 0 1 + 1 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 24 EXEMPLE Considerem la suma de dos nombres de longitud bits: ( ) i ( ).
Transports generats (carrys): 11 a les posicions centrals. 01101 (13) + 00110 (06) ---------- 10011 (19 en base decimal). COMPROVA-HO 32 Què s'obté en sumar tres bits iguals a 1 en una mateixa columna (dos sumands més un transport d'entrada)? Resta binària elemental i préstec L'operació de substracció sense signe sostreu el subtrahend del minuend columna a columna. En cas que el dígit del minuend sigui menor que el del subtrahend (és a dir, restar 1 a 0), és necessari recórrer a la posició immediata d'ordre superior per demanar una unitat.
DEFINICIÓ El borrow o transport negatiu representa el préstec d'una unitat del rang adjacent superior necessari per poder resoldre la sostracció , la qual equival a . Operació Diferència Transport negatiu (borrow) 0 0 1 1 resta a la columna següent 1 0 0 0 EXEMPLE Restem dos valors de bits: ( ) menys ( ). A la segona posició de la dreta es produeix , que genera un carry negatiu d'1 cap a la columna següent. 10101 (21) - 10011 (19) ---------- 00010 (2 en decimal). En el cas de ( ), es produeixen fins a tres carrys negatius consecutius en cadena abans d'arribar al resultat ( ).
n = 5 13 10 01101 2 6 10 00110 2 0 1 10 2 1 = 1 0 0 0 1 1 0 1 1 n = 5 21 10 10101 2 19 10 10011 2 0 1 17 10 7 10 10001 2 00111 2 01010 2 10 10 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 25 ERROR FREQÜENT Un error habitual en la resta directa és oblidar aplicar el borrow a les columnes que contenen zeros consecutius. En restar sobre un 0 que ja deu una unitat, aquest es comporta temporalment com un 1 després d'haver propagat el deute a l'esquerra, en lloc de restar directament el valor sense ajustar els préstecs intermedis. COMPROVA-HO 33 Quin és el resultat directe i el deute de l'operació elemental en binari?
Multiplicació binària per desplaçament i suma La multiplicació en binari resulta molt senzilla gràcies al fet que la taula del producte elemental només produeix un 1 quan ambdós factors són 1 ( ) i 0 en qualsevol altre cas ( , , ). A l'hora de multiplicar paraules de diversos bits, el procediment consisteix a calcular els productes parcials bit a bit i desplaçar cada fila a l'esquerra segons el pes del dígit multiplicador, tal com es fa en el sistema decimal. Si el bit del multiplicador és 1, es copia el multiplicant; si és 0, s'escriu una fila de zeros. EXEMPLE Calculem el producte d' ( ) per ( ): 1011 (multiplicant) × 1001 (multiplicador) -------- 1011 (producte parcial per 1) 0000.
(desplaçament i producte per 0) 0000.. (segon desplaçament per 0) + 1011... (tercer desplaçament per 1) -------- 01100011 ( en base decimal). PER RECORDAR-HO El producte de dos nombres binaris d'n bits i m bits genera un resultat de longitud màxima d'n + m bits. Si multipliquem dos operands de 4 bits, el registre de destinació haurà de poder allotjar fins a bits. Divisió binària: comparació i desplaçament La divisió de nombres binaris naturals reprodueix l'algorisme estàndard de la divisió manual decimal, amb l'avantatge que els coeficients del quocient només poden ser 0 o 1. Això elimina la necessitat d'estimar xifres: el divisor o bé hi cap (1) o bé no hi cap (0).
0 1 1 × 1 = 1 0 × 0 = 0 0 × 1 = 0 1 × 0 = 0 11 10 1011 2 9 10 1001 2 99 10 4 + 4 = 8 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 26 EXEMPLE Divisió de ( ) entre ( ): 1. Prenem els 4 bits de més pes: , no hi cap: posem 0 al quocient. 2. Baixem el següent dígit: tenim . Com que , hi cap: posem 1 al quocient i restem: . 3. Baixem el següent dígit formant . Hi cap de nou: posem 1 al quocient i restem: . 4. Baixem el següent 0 formant . És menor que : no hi cap, posem 0 al quocient. 5. Baixem l'últim 1 obtenint . Hi cap: posem 1 al quocient i restem: . Resultat final: Quocient ( ) i Residu ( ). COMPROVA-HO 34 Per què la divisió en binari és conceptualment més simple que en base decimal?
IDEES CLAU La suma binària genera un transport (carry) d'una unitat cap a la columna següent quan la suma local assoleix . La resta binària requereix un carry negatiu (borrow) en fer , prenent una unitat de la columna d'ordre superior per calcular . La multiplicació es resol generant productes parcials que es desplacen cap a l'esquerra segons el pes del dígit multiplicador. El producte de dos nombres binaris d'n bits i m bits requereix una mida màxima d'n + m bits en el resultat. A la divisió binària, les xifres del quocient són exclusivament 0 o 1, obtingudes comparant el divisor amb el dividend parcial.
Alineació inicial: Es prenen els bits més significatius del dividend en una quantitat igual a la longitud del divisor. 1 Comparació: Es compara el bloc seleccionat amb el divisor. Si el divisor és menor o igual, es posa un 1 al quocient i es resta el divisor d'aquest bloc. 2 Préstec nul: Si el divisor és estrictament major que el bloc, no hi cap: s'afegeix un 0 al quocient i no s'executa cap resta. 3 Desplaçament del següent bit: Es baixa el següent dígit del dividend a la dreta del residu parcial obtingut. 4 Iteració: Es repeteix la comparació fins a consumir tots els bits del dividend, donant lloc al quocient final i al residu resultant.
5 145 10 10010001 2 11 10 1011 2 1001 < 2 1011 2 10010 2 10010 2 1011 2 10010 2 1011 = 2 00111 2 001110 2 1110 2 1011 = 2 0011 2 00110 2 1011 2 001101 2 1101 2 1011 = 2 0010 2 Q = 01101 2 13 10 R = 0010 2 2 10 1 + 1 = 10 2 0 1 10 2 1 = 1 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 27 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 35. Quants bits es requereixen per emmagatzemar amb seguretat el producte d'un nombre de 5 bits per un de 3 bits sense pèrdua de dades? 36. Quan es genera un transport (carry) en una columna d'una suma binària de dos sumands? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 37.
Quants bits pot ocupar com a màxim el resultat de multiplicar un nombre de 6 bits per un altre de 4 bits? 38. Quin és el resultat elemental de la sostracció 0 - 1 en binari sense considerar dígits previs? 39. A quina operació elemental equival calcular cada fila d'un producte parcial en binari quan el dígit multiplicador és 1? 40. Per quina raó les xifres del quocient d'una divisió binària només poden prendre els valors 0 o 1?
12 bits a) 24 bits b) 8 bits c) 10 bits d) 0 amb borrow de 0 a) 1 sense cap borrow b) 0 amb carry d'1 c) 1 amb borrow d'1 d) Dividir el multiplicant per dos a) Copiar el multiplicant desplaçat b) Invertir els bits del divisor c) Sumar una unitat al dividend d) Perquè només hi ha dos dígits en base 2 a) Perquè no es pot produir residu b) Perquè el divisor sempre és 2 c) Perquè el dividend és sempre senar d) Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 28 5 Representació amb signe — Signe-magnitud, complement a 1 i complement a 2 EN ACABAR SABRÀS Distingir els mètodes de representació signe-magnitud, complement a 1 i complement a 2.
Calcular el complement a 1 i el complement a 2 de nombres binaris mitjançant mètodes analítics i regles pràctiques. Determinar els marges de representació per a paraules de n bits en formats simètrics i asimètrics. Justificar per què el complement a 2 és el sistema adoptat de forma universal en circuits digitals. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 41 Per què els processadors actuals eviten el format habitual de signe-magnitud que fem servir les persones? En el processament digital d'informació, els circuits electrònics només gestionen dos nivells de tensió (valors lògics 0 i 1). Per aquesta raó, no és possible utilitzar símbols externs convencionals com el signe positiu ( ) o el signe negatiu ( ).
Cal codificar el caràcter algebraic emprant exclusivament cadenes de bits. Existeixen tres sistemes principals per representar quantitats negatives: signe- magnitud (SM), complement a 1 (Ca1) i complement a 2 (Ca2). Representació en signe-magnitud (SM) La codificació més immediata consisteix a reservar la posició de major pes (el bit més significatiu o MSB) com a bit de signe. Per conveni universal, un valor 0 en aquesta posició identifica un nombre positiu, mentre que un valor 1 indica un nombre negatiu. Els bits restants codifiquen el valor absolut o magnitud directa en binari natural.
DEFINICIÓ L'expressió analítica d'un enter en format signe-magnitud de bits ve donada per: on és el bit de signe i la resta conformen la magnitud. Aquesta formulació presenta dues limitacions essencials per al maquinari digital: Doble representació del zero: Existeix un zero positiu codificat com a i un zero negatiu associat a (per a ). Aquesta duplicitat malgasta una combinació i complica la lògica d'avaluació en comparadors. Dificultat per a la resta: Els circuits sumadors convencionals no poden calcular operacions aritmètiques directes.
Si sumem i bit a bit, el resultat obtingut és + n 1 n N = 10 ( 1) × b n 1 (b × n 2 2 + n 2 + b × 0 2 ) 0 b n 1 0000 2 1000 2 n = 4 4 = 10 0100 2 3 = 10 1011 2 1111 2 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 29 (que correspon a ), una sortida completament errònia. Caldria dissenyar circuits específics amb comparadors de magnitud i blocs de sostracció separats. L'interval o marge de valors representables en un format de signe-magnitud amb posicions és . Per exemple, amb bits, el rang abasta valors des de -7 fins a +7. COMPROVA-HO 42 Quants valors enters diferents es poden codificar en signe-magnitud amb 4 bits?
Fonament del mètode de complements Per superar la complexitat algorísmica de dissenyar circuits restadors independents, s'utilitza la tècnica de la representació complementària. L'objectiu fonamental és convertir la resta en una suma directa, aprofitant la mateixa unitat aritmètica per a totes dues operacions i reduint costos d'àrea en silici (vegeu «Síntesi lògica i optimització — Circuits de dos nivells vs. multinivell»). Per definir el negatiu d'un nombre positiu , s'empra una constant associada al nombre de dígits utilitzats. El mòdul complementat es calcula mitjançant l'expressió .
Segons la constant escollida, s'obtenen dos esquemes complementaris de gran transcendència en sistemes digitals: ESQUEMA Sistemes de representació amb signe PER RECORDAR-HO L'ús de complements substitueix l'operació per una operació aditiva equivalent del tipus , estalviant la implementació física de portes restadores. Representació en complement a 1 (Ca1) En el complement a 1, la constant base pren el valor , on inclou el bit de signe. Aquesta constant està formada íntegrament per una cadena de uns binaris. El mòdul complementat d'una quantitat positiva és .
7 10 n (2 n 1 1) N +(2 n 1 1) n = 4 Z K K Z Signe-magnitud (SM) Bit MSB per al signe i resta magnitud Mètodes de complement Transformen la resta en una suma aritmètica Complement a 1 (Ca1) Constant K = 2^n - 1; doble zero Complement a 2 (Ca2) Constant K = 2^n; representació única del zero A B A + Complement(B) K = 2 n 1 n n Z (2 n 1) Z Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 30 DEFINICIÓ Si el bit superior és 1, indica que el valor és negatiu i es troba expressat en complement a 1.
El marge numèric representable per a bits coincideix amb el de signe-magnitud: El procediment per calcular el negatiu d'un nombre mitjançant la fórmula analítica requereix fer una resta bàsica: EXEMPLE Per trobar en Ca1 amb bits: Per a amb bits: . Com que , el resultat és . Mètode pràctic d'inversió per a Ca1 En analitzar la resta de qualsevol bit respecte d'1 ( i ), s'observa una regla pràctica fonamental: el Ca1 d'un nombre s'obté invertint cadascun dels seus bits, transformant els zeros en uns i els uns en zeros.
Tot i la facilitat de càlcul mitjançant inversors lògics, el format Ca1 conserva el defecte del doble zero: per a bits, per exemple, el zero positiu correspon a i el zero negatiu a . COMPROVA-HO 43 Quin és el codi Ca1 del nombre -5 en un format de 4 bits? Representació en complement a 2 (Ca2) El complement a 2 resol definitivament el problema del doble zero fixant la constant en . D'aquesta manera, el mòdul complementat per representar un negatiu s'obté a partir de . En Ca2, el bit de major pes continua indicant el signe (0 per a positius i 1 per a negatius). La gran virtut d'aquest sistema és que el zero té una representació totalment única: per a és estrictament .
En no malgastar cap combinació per a un segon zero, l'interval guanya un valor negatiu addicional, generant un marge asimètric: Per a bits, el rang abraça des de -8 fins a +7. n (2 n 1 1) N 10 +(2 n 1 1) 7 10 n = 4 Determinem la constant . 1 K = 2 4 1 = 15 = 10 1111 2 Expressem el valor positiu amb 4 bits: . 2 7 10 0111 2 Restem: . 3 1111 2 0111 = 2 1000 2 12 10 n = 5 K = 11111 2 +12 = 10 01100 2 11111 2 01100 = 2 10011 2 1 0 = 1 1 1 = 0 n = 7 0000000 2 1111111 2 K = 2n Z 2 n Z n = 7 0000000 2 2 n 1 N 10 +(2 n 1 1) n = 4 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 31 EXEMPLE Per trobar en Ca2 amb : Per a amb : .
Mètodes pràctics d'obtenció de Ca2 Comparant les definicions de tots dos complements, s'extreu la relació operativa bàsica: Aquesta expressió permet emprar dues regles d'obtenció sense requerir restes extenses: EXEMPLE Apliquem la regla des de la dreta al valor positiu : ERROR FREQÜENT Complementar a 2 un nombre positiu quan ja és positiu. Recorda: els nombres positius mai es complementen; comencen per 0 i s'escriuen exactament igual en signe-magnitud, Ca1 i Ca2. Només es complementen els nombres estrictament negatius. COMPROVA-HO 44 Com s'expressa -1 en Ca2 utilitzant una longitud de 4 bits?
Taula comparativa dels tres sistemes (n = 4 bits) A continuació es detallen totes les combinacions numèriques per a una paraula de 4 bits, comparant els valors positius i negatius en cadascuna de les codificacions analitzades: Decimal (+N) Binari comú Decimal (-N) Signe-magnitud Complement a 1 Complement a 2 +0 0000 -0 1000 1111 — 7 10 n = 4 Calculem la constant: . 1 2 = 4 16 = 10 10000 2 Efectuem la resta: (es descarta el bit de carry exterior a les 4 posicions).
2 10000 2 0111 = 2 1001 2 12 10 n = 5 100000 2 01100 = 2 10100 2 Ca2(N) = Ca1(N) + 1 Mètode d'inversió més u: S'inverteixen tots els bits del nombre positiu de referència (generant el seu Ca1) i es suma una unitat (+1) a la posició menys significativa. 1 Regla de còpia des de la dreta: Es mantenen intactes tots els bits començant des del bit menys significatiu (LSB) fins a trobar el primer 1 (inclòs aquest). A partir d'aquell punt cap a l'esquerra, s'intercanvien tots els bits restants (0 per 1 i 1 per 0). 2 +12 = 10 01100 2 D'esquerra a dreta fins al primer 1: els bits finals són (es mantenen inalterats). 1 ...100 Intercanviem els bits situats a la seva esquerra (01 passa a ser 10).
2 Resultat final per a : . 3 12 10 10100 2 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 32 Decimal (+N) Binari comú Decimal (-N) Signe-magnitud Complement a 1 Complement a 2 +1 0001 -1 1001 1110 1111 +2 0010 -2 1010 1101 1110 +3 0011 -3 1011 1100 1101 +4 0100 -4 1100 1011 1100 +5 0101 -5 1101 1010 1011 +6 0110 -6 1110 1001 1010 +7 0111 -7 1111 1000 1001 — — -8 — — 1000 Aquesta taula evidencia per què el Ca2 s'ha imposat com a estàndard indiscutible en la indústria informàtica: elimina l'ambigüitat d'un zero duplicat, incorpora un valor negatiu addicional ( ) i permet tractar les sumes i restes mitjançant circuits idèntics.
IDEES CLAU En signe-magnitud (SM), el bit més significatiu marca el signe i els restants la magnitud, comportant l'existència de doble zero (+0 i -0) i complicant el disseny dels circuits restadors. El mètode de complements transforma les sostraccions en sumes emprant un mòdul complementat obtingut mitjançant una constant . El complement a 1 fa servir la constant i s'obté de forma ràpida invertint tots els bits del nombre, tot i mantenir encara un doble zero. El complement a 2 utilitza , disposa d'una única codificació per al zero i es calcula sumant 1 al complement a 1 ( ). El rang de valors en SM i Ca1 és simètric ( a ), mentre que en Ca2 és asimètric ( a ). COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 45.
Per quina raó tècnica el format de complement a 2 té un rang asimètric respecte a signe- magnitud i complement a 1? 46. Quin és el resultat d'aplicar la regla pràctica de còpia des de la dreta al valor binari (+6)? 2n 1 K K = 2 n 1 K = 2n Ca2 = Ca1 + 1 (2 n 1 1) +(2 n 1 1) 2n 1 +(2 n 1 1) 0110 2 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 33 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 47. Quina és la representació del zero negatiu en signe-magnitud amb 4 bits? 48. Com es defineix la constant K utilitzada en la representació de complement a 1? 49. Quin valor decimal representa el patró de bits 1000 en format Ca2 de 4 bits? 50.
Quina relació matemàtica permet passar fàcilment de Ca1 a Ca2 d'un mateix nombre? 6 Aritmètica amb signe — Resta en Ca1, Ca2 i detecció de desbordament EN ACABAR SABRÀS Executar restes aritmètiques en Ca1 aplicant correctament l'end-around carry. Realitzar operacions de suma i resta en Ca2 descartant el transport a la posició n+1. Distingir entre el carry de transport convencional i la condició de desbordament (overflow) en Ca2. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 51 Si en sumar dos nombres de 4 bits s'obté un cinquè bit de transport, per què aquest bit de vegades s'afegeix al final i de vegades s'elimina directament?
L'aritmètica binària amb signe permet transformar les operacions de subtracció en sumes convencionals mitjançant la complementació del subtrahend. Aquest enfocament simplifica el disseny dels circuits lògics, ja que un mateix sumador pot dur a terme tant addicions com sostraccions (vegeu «Representació amb signe — Signe-magnitud, complement a 1 i complement a 2»). Tanmateix, la gestió de l'arrossegament de sortida i la correcta interpretació del signe final depenen directament del sistema emprat: complement a 1 (Ca1) o complement a 2 (Ca2).
0001 a) 1000 b) 1111 c) 0000 d) K = a) 2n K = b) 2n 1 K = + 1 c) 2n K = - 1 d) 2n -0 a) -7 b) +8 c) -8 d) Ca2(N) = 2 · Ca1(N) a) Ca2(N) = Ca1(N) + 1 b) Ca2(N) = Ca1(N) - 1 c) Ca2(N) = Ca1(N) + 2 d) Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 34 Resta en complement a 1 i transport circular (end-around carry) Per restar dos valors en format Ca1, es manté el minuend inalterat i se li suma el subtrahend complementat a 1. Com s'ha vist a les bases de la representació numèrica, el complement a 1 d'un nombre binari s'obté ràpidament invertint tots els bits, transformant els zeros en uns i els uns en zeros.
Quan es realitza aquesta suma sobre un format de mida fixa de bits, cal vigilar la presència de transport en la posició més significativa: Si l'addició genera un transport més enllà dels bits (a la posició ), s'aplica el mecanisme de end-around carry: aquest bit d'arrossegament s'elimina de la columna superior i es suma al bit menys significatiu del resultat parcial per produir el resultat final correcte. Si no es produeix transport a la columna , el resultat parcial de bits ja és definitiu i correspon a una magnitud negativa expressada en complement a 1. EXEMPLE Vegem dos casos il·lustratius amb paraules de 6 bits: n n n + 1 n + 1 n Resta amb resultat positiu ( ): Minuend: . Subtrahend: .
Sumem: . Apareix un transport a la posició . Extraiem aquest bit i el sumem a la posició de menys pes: ( ). 1 25 13 25 = 10 0110012 13 = 10 001101 2 Ca1 = 110010 2 011001 + 2 110010 = 2 1001011 2 n + 1 001011 + 2 1 = 001100 2 12 10 Resta amb resultat negatiu ( ): Minuend: . Subtrahend: . Sumem: (sense transport a , resultat de 6 bits: ). El resultat obtingut està en Ca1; en reinvertir els bits comprovem que equival a . 2 15 22 15 = 10 0011112 22 = 10 010110 2 Ca1 = 101001 2 001111 + 2 101001 = 2 0111000 2 n + 1 111000 2 000111 = 2 710 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 35 Esquema d'operacions en complement a 1 amb transport circular end-around carry.
COMPROVA-HO 52 Per què a la resta en Ca1 cal sumar el bit d'arrossegament de la posició n+1 al bit menys significatiu? Resta i addició en complement a 2 La representació en complement a 2 evita la doble operació de l'end-around carry. Per efectuar una resta en Ca2, s'aplica directament la regla d'afegir al minuend el valor del subtrahend expressat en Ca2 (invertir els bits i sumar 1, o aplicar la regla dels zeros a la dreta). En aquest sistema, el carry generat a la posició n+1 no se suma al resultat, sinó que es descarta directament. La paraula de bits resultant representa immediatament la resposta numèrica exacta, tant si el resultat és positiu com si és negatiu.
Comprovem aquesta propietat comparant operacions de 6 bits i de 4 bits: n Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 36 EXEMPLE Realitzem la sostracció i l'operació en blocs de 6 bits: Cas amb carry ( ): Minuend: . Subtrahend en Ca2: . Suma: . El carry de la posició 7 simplement s'ignora, resultant . Cas sense carry ( ): Minuend: . Subtrahend en Ca2: . Suma: . No hi ha carry extra. El nombre és negatiu; en aplicar Ca2 sobre aquest valor obtenim , per tant el resultat és .
PROCÉS Procediment de resta binària mitjançant Ca2 1 Complementa r el subtrahend Obtenir el valor en Ca2 del nombre a restar 2 Sumar operands Executar l'addició binària estàndard amb el minuend 3 Descartar transport n+1 Ignorar qualsevol carry que superi els n bits 4 Comprovar l'overflow Verificar la coherència del bit de signe resultant Format Tractament del transport a la posició n+1 Complexitat del maquinari Complement a 1 End-around carry: sumar el bit sobrant al resultat de menor pes Més gran (requereix un segon cicle d'addició) Complement a 2 Es descarta completament (s'ignora el bit de rang n+1) Òptima (un sol pas de suma directa) COMPROVA-HO 53 Quina diferència operativa fonamental hi ha en aparèixer un bit a la columna n+1 en Ca1 enfront de Ca2?
Detecció de desbordament aritmètic (overflow) Cal no confondre mai el carry d'arrossegament de la darrera etapa d'addició amb el desbordament aritmètic pròpiament dit (overflow). El transport de sortida ordinari és una conseqüència natural de la representació binària en nombres negatius o en restes amb resultat positiu i no implica cap error en el càlcul.
25 13 14 22 25 13 25 = 10 011001 2 13 = 10 110011 2 011001 + 2 110011 = 2 (1)001100 2 001100 = 2 12 10 14 22 14 = 10 001110 2 22 = 10 101010 2 001110 + 2 101010 = 2 111000 2 111000 2 001000 = 2 8 10 8 10 Apunts de Disseny Digital Bàsic — Temes 1 a 3 (UB) 37 Per contra, es produeix desbordament aritmètic (overflow) en Ca2 quan la suma de dos operands del mateix signe genera un resultat de signe contrari. Això succeeix quan el valor real de l'operació matemàtica queda fora del rang de valors que pot allotjar una paraula de bits en complement a 2, corrompent el bit de signe.
ERROR FREQÜENT Un error greu en exàmens consisteix a considerar que l'aparició d'un transport a la posició en Ca2 equival a un error de desbordament (overflow). En Ca2, el carry final de sortida és habitual i es descarta. L'overflow només es dona si se sumen dos nombres positius i s'obté un nombre negatiu, o si se sumen dos negatius i s'obté un positiu. La suma d'operands de diferent signe mai pot produir desbordament.
CAUSES I CONSEQÜÈNCIES Suma de dos positius Operands amb bit de signe 0 Suma de dos negatius Operands amb bit de signe 1 Desbordament aritmètic (overflow) Resultat negatiu incorrecte Suma de positius dona signe 1 Resultat positiu incorrecte Suma de negatius dona signe 0 IDEES CLAU En complement a 1, el transport a la posició s'ha de reincorporar al bit de menor pes (mètode de l'end-around carry). En complement a 2, qualsevol carry generat a la posició es descarta de manera sistemàtica. El carry habitual a la columna no s'ha de confondre amb…