Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB)

I 0 flashcards i 16 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES I Grau en Administració i Direcció d'Empreses Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts complets de Matemàtiques I per a ADE i Economia a la UB: espais vectorials, formes quadràtiques, càlcul multivariable i optimització lliure i convexa. APREN.AI Índex Espais vectorials reals 1 Estructura, combinació lineal i dependència 1. Magnituds escalars i vectorials en l'àmbit econòmic 2. L'espai vectorial real : operacions fonamentals i propietats 3. Combinació lineal de vectors 4. Dependència i independència lineal de vectors 5.

Connexió entre independència lineal i rang matricial 2 Sistemes generadors, bases i subespais Sistemes de generadors a Bases i dimensió d'un espai vectorial Vector de components en una base Subespais vectorials Subespai generat i formes d'expressió 3 Espai vectorial euclidià — Mètrica, ortogonalitat i bases Producte escalar estàndard i espai vectorial euclidià Norma d'un vector i propietats geomètriques Angle entre dos vectors Ortogonalitat i bases ortonormals Distància euclidiana 4 Topologia de l'espai euclidià — Boles, conjunts i convexitat La bola oberta i la bola tancada Classificació topològica dels punts Conjunts oberts i conjunts tancats Conjunts acotats i compacitat Convexitat de conjunts 5 Formes quadràtiques — Matriu associada i classificació del signe Concepte de forma quadràtica i matriu simètrica associada Classificació d'una forma quadràtica pel seu signe Càlcul de menors principals d'una matriu Criteri de classificació mitjançant menors principals Formes quadràtiques restringides a subespais 6 Funcions reals de diverses variables — Domini, corbes de nivell i límits 1.

Concepte de funció escalar real i determinació del domini 2. Representació geomètrica i corbes de nivell 3. Límit d'una funció escalar en un punt i límits reiterats Rn Rn Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 1 4.

Continuïtat de funcions escalars 7 Càlcul diferencial — Derivades direccionals, parcials i vector gradient Derivades direccionals: extensió del quocient incremental a l'espai multivariable Derivades parcials i la seva interpretació geomètrica Càlcul pràctic de derivades parcials: regles d'operació i punts crítics El vector gradient 8 Aplicacions econòmiques de la derivada — Anàlisi marginal i elasticitat Fonaments de l'anàlisi marginal multivariable Elasticitat parcial i canvis percentuals relatius 9 Diferenciabilitat, pla tangent i regla de la cadena Insuficiència de les derivades direcionals i noció de pla tangent Diferenciabilitat i aproximació lineal Teoremes fonamentals de les funcions diferenciables Composició de funcions escalars i regla de la cadena 10 Funcions implícites i derivació implícita Equacions funcionals i concepte de funció implícita Deducció de la regla de derivació implícita Càlcul del gradient i del pla tangent 11 Derivades segones, teorema de Schwarz i matriu hessiana Derivades parcials de segon ordre El teorema de Schwarz i la igualtat de creuades Estructura i propietats de la matriu hessiana 12 Funcions homogènies i aplicacions a la producció Definició i concepte de funció homogènia Classificació dels rendiments a escala en economia El Teorema d'Euler per a funcions homogènies Aplicacions a la teoria de la producció i models Cobb-Douglas 13 Optimització sense restriccions — Condicions necessàries i suficients Extrems globals, extrems locals i el Teorema de Weierstrass Condició necessària de primer ordre i punts crítics Condicions de segon ordre i classificació d'extrems Procediment de resolució i exemples resolts 14 Optimització convexa i teorema local-global Definició geomètrica de convexitat i concavitat Caracterització mitjançant la matriu hessiana general El Teorema Local-Global i unicitat de l'òptim Procediment de resolució i cas de hessiana semidefinida Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 2 15 Aplicacions econòmiques de l'optimització — Models d'empresa i mercat Modelització de la funció de beneficis multiproducte Maximització amb preus constants de mercat Maximització amb funcions de demanda lineals Model mixt amb demanda implícita i preu fix 16 Exercicis resolts i consolidació d'àlgebra lineal i càlcul Problemes paramètrics de dependència lineal, bases i subespais Geometria euclidiana, topologia i formes quadràtiques Càlcul diferencial i aplicacions multivariable Optimització i aplicacions a l'empresa 17 Formulari 1.

Espais vectorials reals i sistemes lineals 2. Espai euclidià i formes quadràtiques 3. Càlcul diferencial i funcions implícites 4. Optimització sense restriccions i optimització convexa 5. Errors típics d'examen Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions. Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 3 1 Estructura, combinació lineal i dependència EN ACABAR SABRÀS Distingir magnituds escalars i vectorials en models econòmics. Operar a l'espai vectorial real Rn mitjançant suma i producte per un escalar.

Formular i resoldre el sistema associat a una combinació lineal de vectors. Determinar la dependència o independència lineal d'un conjunt de vectors mitjançant el càlcul del rang matricial. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com podem expressar matemàticament l'ús conjunt de 5 unitats de capital i 10 hores de treball en una empresa sense tractar-les com a xifres aïllades? L'àlgebra lineal proporciona el llenguatge formal per descriure fenòmens multidimensionals tant en matemàtiques pures com en ciències socials i economia.

Espais vectorials reals 1 Estructura, combinació lineal i dependència 2 Sistemes generadors, bases i subespais Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 4 ESQUEMA Estructura del tema d'Àlgebra i Espais Vectorials 1. Magnituds escalars i vectorials en l'àmbit econòmic En l'anàlisi científica i econòmica s'utilitzen habitualment dues classes de magnituds: Magnituds escalars: queden plenament descrites mitjançant una única xifra numèrica acompanyada, si escau, de la unitat corresponent. En són exemples el preu d'un actiu, el cost d'un servei, el tipus d'interès fixat o el pes d'una mercaderia.

Magnituds vectorials: requereixen una llista ordenada de diversos valors per quedar determinades. En física destaquen la velocitat o la força (on intervenen magnitud, direcció i sentit), mentre que en teoria econòmica apareixen de manera natural com a llistes d'inputs o factors que alimenten una funció de producció. Quan analitzem un procés productiu, la quantitat obtinguda d'un bé ( , output) depèn funcionalment de diversos recursos emprats de forma simultània. Per exemple, la funció de producció Cobb-Douglas: relaciona el volum de fabricació amb les quantitats de capital ( ) i de treball ( ).

En aquest context, la parella ordenada d'inputs es comporta com un vector bidimensional de variables independents. Espais vectorials reals Fonaments i estructura Estructura i dependència Vectors, combinació lineal i rang Sistemes i bases Generadors, dimensió i subespais Espai euclidià Mètrica i ortogonalitat Topologia euclidiana Boles, obertura i convexitat Formes quadràtiques Signe i matrius simètriques Q Q = 2,26 K 0,44 L0,48 K L (K, L) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 5 Diagrama de la funció de producció amb inputs de capital i treball.

COMPROVA-HO 2 Quina diferència fonamental hi ha entre el preu d'un article i la combinació de factors productius d'una fàbrica des del punt de vista matemàtic? 2. L'espai vectorial real : operacions fonamentals i propietats L'espai euclidià es defineix formalment com el conjunt de totes les n-tuples ordenades d'elements reals: Els nombres reals individuals que actuen com a coeficients o multiplicadors s'anomenen escalars.

OPERACIONS ESTRUCTURALS DE Perquè aquest conjunt tingui estructura d'espai vectorial real, es defineixen dues operacions canòniques: Dins d'aquesta estructura algebraïca cal distingir dos elements clau: El vector nul, denotat per , que fa de neutre respecte de l'addició vectorial. El vector oposat de qualsevol element , que s'expressa com a . Aquestes operacions satisfan immediatament les següents propietats bàsiques: Rn Rn R = n = (x , x , … , x ) : x , … , x R {x 1 2 n 1 n } RN Suma interna de vectors: combina dos elements de sumant component a component: 1 Rn + x = y (x + 1 y , x + 1 2 y , …

, x + 2 n y ) n Producte extern per un escalar: multiplica cadascuna de les components del vector pel nombre real donat: 2 λ = x (λx , λx , … , λx ), amb λ 1 2 n R = 0 (0, 0, … , 0) x = x ( 1) = x ( x , x , … , x ) 1 2 n Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 6 Propietat algebraica Formulació matemàtica Interpretació immediata Anul·lació pel neutre o escalar zero El producte produeix sempre el vector nul. Integritat del producte extern Si el resultat és nul, o l'escalar és zero o el vector ho és. Distributivitat del signe negatiu Canviar de signe el producte equival a canviar l'escalar.

Criteri d'igualtat per diferència Dos vectors coincideixen si la seva resta és el vector nul. ERROR FREQÜENT No confongueu mai l'escalar zero ( ) amb el vector nul ( ). L'expressió és incorrecta dimensionalment: el producte d'un nombre per un vector genera sempre un vector, de manera que la igualtat s'ha d'escriure inexcusablement com a . COMPROVA-HO 3 Si se sap que i que , quin valor ha de tenir necessàriament l'escalar ? 3. Combinació lineal de vectors La construcció fonamental de l'àlgebra lineal sorgeix de superposar les operacions de suma i producte per un escalar.

COMBINACIÓ LINEAL Es diu que un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors si existeixen uns escalars reals tals que: Determinar si un vector és combinació lineal d'uns altres es redueix a plantejar i resoldre un sistema d'equacions lineals on les incògnites són els coeficients . λ = 0 i 0 0 = x 0 λ = x 0 λ = 0 o = x 0 (λ ) = x ( λ) x = x y x = y 0 0 R 0 Rn λ = x 0 λ = x 0 c = u 0 = u (2, 5, 1) c x Rn , , … , x1 x2 xk Rn λ , λ , … , λ 1 2 k = x λ + 1x1 λ + 2x2 + λ = kxk λ i=1 k ixi λ i Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 7 COMPROVACIÓ DE COMBINACIÓ LINEAL MITJANÇANT SISTEMES Considerem els vectors i a . Cas 1: Comprovem si n'és combinació lineal.

Plantegem la igualtat vectorial , la qual es desglossa component a component: De la tercera equació s'obté directament . Substituint a la primera, . Finalment, verifiquem a la segona equació: , que es compleix exactament. En existir solució compatible determinada ( ), el vector és efectivament combinació lineal dels dos vectors donats. Cas 2: Analitzem si n'és combinació lineal. El sistema associat ara és: De la darrera equació es dedueix . En introduir-ho a la primera s'obté . Tanmateix, si comprovem aquests valors a la segona equació obtenim . Es tracta d'un sistema incompatible (no admet cap solució); per tant, no és combinació lineal de i .

COMPROVA-HO 4 Com es manifesta, en termes de tipus de sistema d'equacions, el fet que un vector NO sigui combinació lineal d'un conjunt de vectors? 4. Dependència i independència lineal de vectors A partir del concepte de combinació lineal s'estableix la relació de dependència entre els elements d'un conjunt vectorial: Un conjunt de vectors és linealment dependent si almenys un d'ells es pot escriure com a combinació lineal dels altres restants: existeix algun índex tal que . Un conjunt és linealment independent si cap vector del conjunt no pot expressar-se com a combinació lineal dels restants.

= u (1, 2, 0) = v ( 4, 3, 4) R3 = w1 ( 1, 9, 4) ( 1, 9, 4) = λ (1, 2, 0) + 1 λ ( 4, 3, 4) 2 λ 4λ 1 2 2λ + 3λ 1 2 4λ 2 = 1 = 9 = 4 λ = 2 1 λ 1 4(1) = 1 λ = 1 3 2(3) + 3(1) = 9 λ = 1 3, λ = 2 1 ( 1, 9, 4) = w2 (7, 3, 4) λ 4λ 1 2 2λ + 3λ 1 2 4λ 2 = 7 = 3 = 4 λ = 2 1 λ = 1 11 2(11) + 3(1) = 25 = 3 = w2 (7, 3, 4) u v k i = xi λ j=i j xj Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 8 CARACTERITZACIÓ PER LA COMBINACIÓ LINEAL NUL·LA Per avaluar la independència de forma homogènia i unificada, s'analitza l'equació vectorial que iguala una combinació lineal al vector nul: Es compleix el següent criteri: Els vectors són linealment independents si i només si l'única solució possible és la trivial: .

Els vectors són linealment dependents si existeix alguna solució no nul·la, és a dir, si s'aconsegueix el vector nul amb almenys un coeficient . Recordem que un sistema homogeni (amb termes independents nuls) és sempre compatible, ja que la solució trivial en què totes les incògnites valen zero sempre el satisfà. Per tant, la distinció recau únicament en si és determinat (independència lineal) o indeterminat (dependència lineal). ESTUDI D'INDEPENDÈNCIA LINEAL MITJANÇANT SISTEMES HOMOGENIS Cas A: Analitzem els vectors , i . Plantegem la combinació nul·la , que dóna lloc al sistema: Aquest sistema és de Cramer (és homogeni i el determinant de la matriu de coeficients és no nul).

Per tant, la solució única és la trivial: . Els tres vectors són linealment independents. Cas B: Analitzem els vectors , i . El sistema homogeni associat és: Aquest sistema resulta ser compatible indeterminat; per tant, admet solucions en què no tots els coeficients són zero (com hem comprovat abans, , que equival a amb escalars ). Els vectors són linealment dependents. COMPROVA-HO 5 Per què un sistema d'equacions lineals homogeni mai pot ser incompatible en comprovar la independència lineal?

λ + 1x1 λ + 2x2 + λ = kxk 0 λ = 1 λ = 2 = λ = k 0 λ = i 0 = v1 (7, 3, 4) = v2 (1, 2, 0) = v3 ( 4, 3, 4) λ (7, 3, 4) + 1 λ (1, 2, 0) + 2 λ ( 4, 3, 4) = 3 (0, 0, 0) 7λ + λ 4λ 1 2 3 3λ + 2λ + 3λ 1 2 3 4λ + 4λ 1 3 = 0 = 0 = 0 λ = 1 λ = 2 λ = 3 0 = w1 ( 1, 9, 4) = w2 (1, 2, 0) = w3 ( 4, 3, 4) λ + λ 4λ 1 2 3 9λ + 2λ + 3λ 1 2 3 4λ + 4λ 1 3 = 0 = 0 = 0 ( 1, 9, 4) = 3(1, 2, 0) + 1( 4, 3, 4) 1 w1 3 w2 1 = w3 0 1, 3, 1 = 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 9 5. Connexió entre independència lineal i rang matricial El rang d'una matriu és l'ordre més gran de les seves submatrius quadrades que tenen determinant diferent de zero.

Aquesta eina permet decidir la independència lineal d'un conjunt de vectors sense necessitat de resoldre explícitament el sistema homogeni complet. CRITERI FONAMENTAL DEL RANG Un conjunt format per vectors de l'espai és linealment independent si i només si la matriu formada per ells té rang k. De manera equivalent: Si , els vectors són linealment independents. Si , els vectors són linealment dependents. En conseqüència, el rang d'una matriu coincideix exactament amb el nombre màxim de vectors fila (o vectors columna) linealment independents que conté. CLASSIFICACIÓ PER CÀLCUL DE RANG Exemple 1: Estudiem els vectors , i a .

Construïm la matriu disposant els vectors com a files: Per determinar-ne el rang, seleccionem el menor d'ordre 3 format per les tres primeres columnes: Com que existeix una submatriu amb determinant no nul, tenim que . En coincidir el rang amb el nombre de vectors analitzats ( ), deduïm directament que els tres vectors són linealment independents. Exemple 2: Analitzem ara els vectors , i a . Com que tenim 3 vectors a , la matriu resultant és quadrada d'ordre 3. En calculem directament el determinant: Atès que el determinant és nul, el rang és estrictament menor que 3 ( ). Per tant, el conjunt de vectors és linealment dependent.

Aquest procediment serà fonamental per determinar més endavant sistemes de generadors, bases i dimensions en espais vectorials (vegeu «Espais vectorials reals — Sistemes generadors, bases i subespais»). k Rn rang(A) = k rang(A) < k (1, 1, 3, 7) (5, 2, 4, 2) (0, 6, 0, 1) R4 A A = 1 5 0 1 2 6 3 4 0 7 2 1 = 1 5 0 1 2 6 3 4 0 ( 6) = 1 5 3 4 6(4 15) = 6( 11) = 66 = 0 3 × 3 rang(A) = 3 k = 3 (2, 2, 8) (5, 1, 3) (4, 2, 1) R3 R3 A = = 2 5 4 2 1 2 8 3 1 0 rang(A) < 3 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 10 IDEES CLAU Les magnituds econòmiques poden ser escalars (un sol valor) o vectorials (diversos valors organitzats en n-tuples, com els vectors d'inputs en la producció).

L'espai està dotat d'una suma interna de vectors i d'un producte extern per un escalar que verifiquen les propietats d'espai vectorial real. Un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors si s'obté sumant-los ponderats per escalars reals; això es verifica resolent un sistema d'equacions lineals. La independència lineal s'avalua mitjançant la combinació lineal igualada al vector nul: si l'única solució del sistema homogeni és la trivial, són independents; si és compatible indeterminat, són dependents. Un conjunt de vectors és linealment independent si i només si la matriu que formen té rang . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 6.

Com s'expressa el criteri algebraic per saber si un vector és combinació lineal de i ? 7. Quina condició sobre el rang d'una matriu d'ordre garanteix que els seus tres vectors fila siguin linealment independents? ESPAIS VECTORIALS REALS 2 Sistemes generadors, bases i subespais EN ACABAR SABRÀS Determinar si una col·lecció de vectors constitueix un sistema de generadors o una base de R . Calcular el determinant d'un conjunt de n vectors per verificar si formen base a R . Obtenir el vector de components d'un vector respecte d'una base donada mitjançant un sistema de Cramer. Identificar subespais vectorials i expressar-los en forma generadora o analítica.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 8 Quants vectors necessites com a mínim per descriure completament qualsevol punt de l'espai tridimensional? Sistemes de generadors a Un conjunt de vectors té la capacitat de descriure tot un espai si qualsevol element es pot construir a partir d'ells mitjançant operacions bàsiques (vegeu «Espais vectorials reals — Estructura, combinació lineal i dependència»). Rn k k w u v 3 × 4 Rn Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 11 DEFINICIÓ Diem que una col·lecció de vectors constitueix un sistema de generadors de l'espai si qualsevol vector es pot escriure com a combinació lineal d'aquests vectors.

Aquesta condició equival a comprovar la capacitat de cobertura dimensional de la matriu associada als vectors. PER RECORDAR-HO k vectors de ^n formen un sistema de generadors de ^n si i només si la matriu que formen té rang n. Com a conseqüència directa, cal disposar com a mínim de vectors per aspirar a generar , és a dir, sempre caldrà que . EXEMPLE Analitzem si els vectors següents generen : , , i . Construïm la matriu organitzant els vectors per files: Calculem el determinant d'un menor d'ordre 3 agafant les tres primeres files: Com que aquest menor no és nul, deduïm que . Per tant, els quatre vectors generen efectivament tot l'espai .

COMPROVA-HO 9 Quants vectors com a mínim calen per formar un sistema de generadors a R ? Bases i dimensió d'un espai vectorial Quan un sistema generador conté el nombre just de vectors sense redundàncies, assoleix l'estatus d'estructura de referència. DEFINICIÓ Una base d'un espai vectorial és un sistema de generadors linealment independent. Representa un sistema generador minimal: no s'hi pot extreure cap element sense perdre la propietat de generar tot l'espai. , …

, x1 xk Rn Rn v Rn R R n Rn k n R3 (1,0,0) (2,3, 1) (5,11, 4) ( 4,5,0) A = 1 2 5 4 0 3 11 5 0 1 4 0 = 1 2 5 0 3 11 0 1 4 1 = 3 11 1 4 12 ( 11) = 1 = 0 rang(A) = 3 = n R3 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 12 L'exemple més immediat és la base canònica de , formada pels vectors unitaris estàndard: Qualsevol element s'expressa de forma immediata com . La matriu que formen aquests vectors és la matriu identitat , que té determinant i rang complet . Totes les bases d'un mateix espai vectorial posseeixen exactament el mateix nombre d'elements. Aquest invariant fonamental defineix la dimensió de l'espai.

PER RECORDAR-HO n vectors de ^n formen una base de ^n si i només si el determinant de la matriu quadrada que formen és diferent de zero. Tot conjunt de vectors linealment independents d'un espai vectorial es pot ampliar fins a completar una base, i reciprocament, de qualsevol sistema de generadors se'n pot extreure un subconjunt que és base. ESQUEMA Estructures d'un espai vectorial Rn e = 1 (1, 0, … , 0), e = 2 (0, 1, … , 0), … , e = n (0, 0, … , 1) (x , x , …

, x ) 1 2 n x e i=1 n i i I n det(I ) = n 1 = 0 n R R Sistema de generadors Cobreix tot l'espai (rang igual a n) Base Generador minimal i linealment independent Base canònica Formada pels vectors unitaris estàndard Subespai vectorial Subconjunt tancat per suma i producte Expressió conjuntista Definida per equacions homogènies Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 13 EXEMPLE Verifiquem si els vectors de donats per , , i constitueixen una base.

Plantegem la matriu quadrada associada i calculem el seu determinant desenvolupant per la darrera fila: Restant la primera columna a la segona per simplificar: Com que el determinant és no nul, la matriu és regular i els quatre vectors formen una base de . COMPROVA-HO 10 Poden 3 vectors en R formar una base? I un sistema generador? Vector de components en una base Fixada una base, qualsevol vector de l'espai admet una única representació com a combinació lineal dels seus elements. DEFINICIÓ Si és una base de i escrivim , el vector és el vector de components de respecte d'aquesta base.

La determinació d'aquests coeficients condueix sempre a un sistema d'equacions lineals la matriu de coeficients del qual és regular, per la qual cosa es tracta d'un sistema de Cramer amb solució única. R4 (1,1,0,0) (2,3,1,8) (3,3,1,5) (0,0,1,0) = 1 2 3 0 1 3 3 0 0 1 1 1 0 8 5 0 ( 1) 1 1 2 3 1 3 3 0 8 5 = 1 2 3 0 1 0 0 8 5 1 = ( 1 0 8 5 ) (5) = 5 = 0 R4 B = { , … , } x1 xn Rn = x λ + 1x1 + λ nxn = λ (λ , … , λ ) 1 n x Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 14 EXEMPLE Trobem les components del vector en la base de formada per , i . Plantegem la igualtat vectorial: Això dóna lloc al sistema lineal: Resolem de forma esglaonada: El vector de components és per tant .

COMPROVA-HO 11 Quina relació hi ha entre la matriu del sistema per calcular components i la independència dels vectors de la base? Subespais vectorials Un subconjunt dins d'un espai vectorial pot reproduir la mateixa estructura algebraica si manté la coherència respecte a les operacions d'addició i producte per escalars. DEFINICIÓ Un subconjunt no buit és un subespai vectorial si compleix simultàniament: 1. Per a qualsevol parella , la suma compleix . 2. Per a tot vector i qualsevol escalar , el producte compleix . ERROR FREQÜENT No oblidis mai comprovar la presència de l'origen: tot subespai vectorial S conté obligatòriament el vector nul: 0 S.

Si un conjunt no inclou el vector nul (per exemple, un pla amb equació ), queda descartat automàticament com a subespai sense necessitat de comprovar cap altra propietat. (2,5,1) R3 (2,0,5) (3,3,1) (0,0,1) (2,5,1) = λ (2,0,5) + 1 λ (3,3,1) + 2 λ (0,0,1) 3 2λ + 3λ = 2 1 2 3λ = 5 2 5λ + λ + λ = 1 1 2 3 De la segona equació obtenim directament . 1 λ = 2 3 5 Substituïm a la primera equació: . 2 λ 2 2λ + 1 3 = (3 5 ) 2 2λ + 1 5 = 2 λ = 1 2 3 Substituïm a la tercera equació per aïllar : .

3 λ 3 5 + ( 2 3 ) + 3 5 λ = 3 1 + 2 15 + 3 5 λ = 3 1 λ = 3 6 41 , , ( 2 3 3 5 6 41 ) S Rn , x y S + x y S x S λ R λ x S x + y + z = 1 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 15 Considerem el conjunt . Si prenem dos vectors arbitraris i , la seva suma manté la tercera coordenada nul·la i per tant pertany a . De la mateixa manera, . Això demostra formalment que és un subespai vectorial. Gràfica del subespai pla z=0 a l'espai tridimensional. Subespai generat i formes d'expressió Tot subespai vectorial és un espai vectorial per si mateix i disposa de bases i dimensió pròpies.

El subespai vectorial generat per un conjunt finit de vectors està format per la totalitat de les seves combinacions lineals. Hi ha dues maneres complementàries de descriure un subespai: Forma d'expressió Descripció Exemple per al pla xy a Generadors o paramètrica S'indica un conjunt de vectors que generen el subespai mitjançant paràmetres lliures. Analítica o conjuntista S'expressa mitjançant les equacions lineals homogènies que satisfan els seus elements. Com que qualsevol element s'escriu com , els vectors i formen una base del subespai, determinant que la seva dimensió és 2. Tots els subespais vectorials es corresponen amb el conjunt de solucions d'un sistema d'equacions lineals homogeni.

COMPROVA-HO 12 Per què l'expressió analítica d'un subespai ha d'estar formada per equacions homogènies? S = {(a, b, 0) R : 3 a, b R} (a, b, 0) (c, d, 0) (a + c, b + d, 0) S λ(a, b, 0) = (λa, λb, 0) S R3 S = {a(1,0,0) + b(0,1,0) : a, b R} S = {(x, y, z) R : 3 z = 0} (a, b, 0) a(1,0,0) + b(0,1,0) (1,0,0) (0,1,0) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 16 IDEES CLAU Un conjunt de k vectors de genera tot l'espai si i només si el rang de la matriu associada és n. Una base és un sistema generador linealment independent; totes les bases d'un mateix espai tenen el mateix nombre de vectors (la dimensió).

Per a n vectors a , formen base si i només si el determinant de la seva matriu quadrada és diferent de zero. El càlcul del vector de components respecte a una base condueix a un sistema de Cramer amb solució única. Tot subespai vectorial conté obligatòriament el vector nul i es pot expressar mitjançant generadors o mitjançant equacions homogènies. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13. Com es pot comprovar ràpidament si tres vectors de formen una base? 14. És un subespai vectorial de ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 15. Què distingeix una magnitud vectorial d'una escalar? 16.

Quin tipus de sistema d'equacions resulta en plantejar la independència lineal d'un conjunt de vectors? 17. Quan són linealment independents k vectors de R mitjançant el rang de la seva matriu? 18. Què significa que un sistema homogeni per avaluar independència sigui indeterminat?

Rn Rn R3 S = {(x, y) R : 2 2x y = 3} R2 Ser invariable davant escalars a) Tenir sempre signe negatiu b) Requerir més d'un valor numèric c) No poder sumar-se amb altres d) Incompatible no resoluble a) Homogeni amb termes zero b) No lineal amb potències c) Incomplet sense incògnites d) Si el rang és exactament k a) Si el rang és zero b) Si el determinant sempre és nul c) Si el rang és menor que k d) Els vectors són linealment independents a) El rang és superior al nombre de vectors b) No existeix solució a l'espai real c) Els vectors són linealment dependents d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 17 19. Quina condició sobre el rang garanteix que k vectors generin R ? 20.

Quan formen una base de R un conjunt de n vectors? 21. Quina propietat és imprescindible perquè un subconjunt sigui subespai vectorial? 22. Quin tipus de sistema lineal sorgeix en calcular les components d'un vector en una base?

3 Espai vectorial euclidià — Mètrica, ortogonalitat i bases EN ACABAR SABRÀS Calcular el producte escalar estàndard i la norma de vectors a Rn Determinar l'angle format per dos vectors i verificar la seva ortogonalitat Construir bases ortonormals a partir de condicions d'ortogonalitat i normalització Calcular la distància euclidiana entre dos vectors o punts PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 23 Com podem mesurar la longitud d'un vector o saber si dos vectors formen un angle recte si només coneixem les seves coordenades numèriques? L'àlgebra lineal permet operar amb elements abstractes, però en moltes aplicacions cal mesurar longituds, calcular separacions i determinar angles.

L'estructura que fa possible incorporar aquestes eines mètriques en un espai vectorial real és el producte escalar.

El rang ha de ser superior a n a) El rang pot ser menor que n b) El rang ha de ser k c) El rang ha de ser exactament n d) Quan el determinant de la matriu és zero a) Sempre que n sigui més gran que 3 b) Només si són ortogonals entre ells c) Quan el determinant és diferent de zero d) Ha de tenir dimensió finita n a) Ha de contenir només vectors unitaris b) Ha de contenir el vector nul c) No pot admetre equacions cartesianes d) Un sistema compatible indeterminat a) Un sistema de Cramer amb solució única b) Un sistema incompatible c) Un sistema homogeni sense solucions d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 18 ESQUEMA Estructura de l'espai vectorial euclidià Producte escalar estàndard i espai vectorial euclidià Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial real dotat d'una operació interna anomenada producte escalar.

Si considerem els vectors com a vectors de posició amb origen a l'origen de coordenades, aquest espai descriu geomètricament el conjunt dels seus punts extrems. DEFINICIÓ: PRODUCTE ESCALAR ESTÀNDARD Donats dos vectors i de l'espai , el seu producte escalar habitual o estàndard és el nombre real obtingut mitjançant la suma dels productes de les seves components corresponents: ERROR FREQÜENT No heu de confondre el producte escalar entre dos vectors amb el producte per un escalar. El producte escalar pren dos vectors i produeix sempre un nombre real (un escalar), mai un vector.

A més, a diferència del producte de nombres reals, dos vectors no nuls poden tenir un producte escalar exactament igual a zero. EXEMPLE Calculem el producte escalar estàndard entre els vectors i de : Com veiem, el resultat és un escalar nul tot i que cap dels dos vectors és el vector zero. Espai euclidià Espai vectorial dotat de mètrica Producte escalar Operació fonamental que indueix la mètrica Norma i distància Longitud de vectors i separació entre punts Angles i ortogonalitat Cosinus, perpendicularitat i bases ortonormals = x (x , … , x ) 1 n = y (y , … , y ) 1 n Rn x = y (x , …

, x ) = 1 n y 1 y n x y + 1 1 + x y = n n x y i=1 n i i R (1, 0, 5) (5, 2, 1) R3 (1, 0, 5) (5, 2, 1) = 1 5 + 0 ( 2) + ( 5) 1 = 5 + 0 5 = 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 19 COMPROVA-HO 24 Si multipliquem escalarment dos vectors no nuls de l'espai euclidià, el resultat pot ser zero? Què indica aquest fet? Norma d'un vector i propietats geomètriques La introducció del producte escalar permet mesurar la grandària o longitud dels vectors mitjançant el concepte de mòdul.

DEFINICIÓ: NORMA EUCLIDIANA La norma o mòdul d'un vector es defineix com l'arrel quadrada positiva del producte escalar del vector per si mateix: Aquesta definició reprodueix directament el teorema de Pitàgores en el pla bidimensional i en l'espai tridimensional, calculant la hipotenusa a partir de les components ortogonals. Esquema geomètric de la norma euclidiana en dues i tres dimensions. La norma euclidiana compleix un conjunt de propietats fonamentals per a qualsevol parell de vectors i qualsevol escalar : No-negativitat i caràcter definit: , i a més . Homogeneïtat absoluta: . Desigualtat triangular: . Desigualtat de Cauchy-Schwarz: estableix que .

x Rn = x + = x x + x + + x 1 2 n 2 , x y Rn λ R x 0 = x 0 = x 0 λ = x λ x + x y + x y x y x y Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 20 Si un vector no és el vector nul ( ), és possible normalitzar-lo dividint-lo per la seva pròpia norma. El vector resultant s'anomena vector unitari associat, ja que la seva norma val exactament 1. Angle entre dos vectors Gràcies a la desigualtat de Cauchy-Schwarz, sabem que el quocient , fet que garanteix que el quocient es manté sempre en l'interval per a vectors no nuls. Això permet definir de manera formal el cosinus de l'angle que formen dos vectors. Diagrama de l'angle format per dos vectors a l'origen.

DEFINICIÓ: COSINUS DE L'ANGLE Donats dos vectors no nuls , el cosinus de l'angle que determinen s'obté mitjançant l'expressió: Aquesta relació permet reescriure el producte escalar en termes geomètrics com . Per tant, el producte escalar mesura geomètricament la tendència dels dos vectors a apuntar en la mateixa direcció. x = x 0 x 1 x x y x y 1 [ 1, 1] α , x y Rn α cos α = x y x y x = y x y cos α Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 21 EXEMPLE Trobem l'angle que formen els vectors i : COMPROVA-HO 25 Què significa geomètricament que el quocient entre el producte escalar i el producte de les normes sigui igual a zero?

Ortogonalitat i bases ortonormals Quan el cosinus de l'angle val zero, el producte escalar s'anul·la. Aquesta condició algebraica permet caracteritzar formalment la perpendicularitat.

DEFINICIÓ: VECTORS ORTOGONALS Dos vectors no nuls són ortogonals (o perpendiculars) si i només si el seu producte escalar és nul: Aquesta propietat s'estén directament a les bases de l'espai (per a la noció de base, vegeu «Espais vectorials reals — Sistemes generadors, bases i subespais»): Tipus de base Condició d'ortogonalitat Condició de norma Base ortogonal Tots els vectors són ortogonals dos a dos ( per a ) Norma qualsevol no nul·la Base ortonormal Tots els vectors són ortogonals dos a dos ( per a ) Tots els vectors són unitaris ( per a tot ) α = x (1, 1, 0) = y (2, 9, 6) Calculem el producte escalar estàndard: 1 x = y 1 2 + 1 9 + 0 6 = 11 Determinem la norma de cadascun dels vectors: 2 = x = 1 + 1 + 0 2 2 2 2 = y = 2 + 9 + 6 2 2 2 = 4 + 81 + 36 = 121 11 Apliquem la fórmula del quocient: 3 cos α = = 11 2 11 2 1 Deduïm el valor de l'angle: 4 α = radians 4 π , x y Rn x = y 0 vi = vj 0 i = j vi = vj 0 i = j = vi 1 i Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 22 EXEMPLE Construïm una base ortonormal de que contingui els vectors unitaris associats als vectors ortogonals i : Distància euclidiana Si identifiquem cada punt d'un espai euclidià amb l'extrem del vector de posició que té l'origen a les coordenades , podem mesurar la separació entre punts mitjançant el càlcul vectorial.

R3 (1, 0, 5) (5, 2, 1) Definim un tercer vector desconegut perpendicular als dos primers simultàniament: 1 (a, b, c) (a, b, c) (1, 0, 5) = a 5c = 0 a = 5c (a, b, c) (5, 2, 1) = 5a 2b + c = 0 Substituïm en la segona equació per trobar : 2 a = 5c b 5(5c) 2b + c = 0 26c 2b = 0 b = 13c Comprovem que els vectors formen base analitzant el determinant de la matriu de components: Per tant, el conjunt és una base ortogonal de per a qualsevol . 3 = 1 5 5c 0 2 13c 5 1 c 390c = 0 (sempre que c = 0) {(1, 0, 5), (5, 2, 1), (5c, 13c, c)} R3 c = 0 Fixem , obtenint el vector ortogonal .

4 c = 1 (5, 13, 1) Normalitzem cadascun dels tres vectors dividint-los per la seva norma: Obtenim així la base ortonormal buscada: 5 (1, 0, 5) = = 1 + 0 + ( 5) 2 2 2 26 (5, 2, 1) = = 5 + ( 2) + 1 2 2 2 30 (5, 13, 1) = = 5 + 13 + 1 2 2 2 = 25 + 169 + 1 195 , 0, , , , , , , {( 26 1 26 5 ) ( 30 5 30 2 30 1 ) ( 195 5 195 13 195 1 )} (0, … , 0) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 23 Esquema vectorial de la distància entre dos punts extrems.

DEFINICIÓ: DISTÀNCIA EUCLIDIANA La distància entre dos vectors (o entre els punts extrems associats i ) és igual a la norma del seu vector diferència: EXEMPLE Calculem la distància que separa els vectors i de : Per tant, la distància entre els punts extrems corresponents és exactament 3 unitats. COMPROVA-HO 26 Com es relaciona la definició de distància euclidiana entre dos punts amb la norma vectorial?

, x y Rn P Q d( , ) = x y x y = x (3, 2, 0, 1) = y (1, 4, 0, 2) R4 Formem el vector diferència: 1 x = y (3 1, 2 ( 4), 0 0, 1 2) = (2, 2, 0, 1) Calculem la norma del vector resultant: 2 d( , ) = x y (2, 2, 0, 1) = + = 2 + 2 + 0 + ( 1) 2 2 2 2 + = 4 + 4 + 0 + 1 = 9 3 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 24 IDEES CLAU Un espai vectorial euclidià és un espai vectorial real dotat del producte escalar estàndard. La norma d'un vector és l'arrel quadrada positiva del producte escalar del vector per si mateix: . La desigualtat de Cauchy-Schwarz assegura que , garantint la definició coherent del cosinus de l'angle. Dos vectors no nuls són ortogonals si i només si .

Una base és ortonormal si els seus vectors són ortogonals dos a dos i cadascun té norma unitària. La distància euclidiana entre dos vectors coincideix amb la norma de la seva diferència: . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 27. Com es defineix la norma d'un vector a partir del producte escalar? 28. Quina condició han de satisfer els vectors d'una base per ser considerada ortonormal? 29. Quin és el valor de la distància entre dos vectors i ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 30. Quin és el resultat del producte escalar de dos vectors? 31. Quan són ortogonals dos vectors no nuls a l'espai euclidià? 32. Com s'obté un vector unitari a partir d'un vector x no nul? 33.

Què estableix la desigualtat de Cauchy-Schwarz?

= x x x x y x y x = y 0 d( , ) = x y x y x Rn x y Un vector perpendicular a) Un nombre real escalar b) Una matriu quadrada c) Un subespai vectorial d) Quan la seva suma és zero a) Quan el producte escalar és nul b) Quan tenen la mateixa norma c) Quan són linealment dependents d) Restant la seva pròpia norma a cada coordenada a) Dividint el vector per la seva norma b) Fent el producte escalar per si mateix c) Multiplicant el vector per la seva norma d) "x · y" ""x"" · ""y"" a) ""x + y"" ""x"" + ""y"" b) ""x · y"" = ""x"" + ""y"" c) "x · y" ""x"" · ""y"" d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 25 4 Topologia de l'espai euclidià — Boles, conjunts i convexitat EN ACABAR SABRÀS Distingir punts interiors, exteriors i frontera d'un conjunt a Rn Classificar un conjunt com a obert, tancat o cap dels dos Determinar si un conjunt és acotat i compacte Comprovar gràficament la convexitat d'una regió plana PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 34 Si un conjunt no és obert, podem concloure directament que és tancat?

L'estudi geomètric i analític de requereix entendre com s'agrupen els punts en l'espai. A partir de la distància euclidiana (vegeu «Espai vectorial euclidià — Mètrica, ortogonalitat i bases»), podem construir entorns circulars o esfèrics que ens permeten caracteritzar la posició dels punts respecte a una regió determinada. La bola oberta i la bola tancada El concepte de proximitat a es formalitza mitjançant les boles mètriques. Una bola és l'equivalent multidimensional d'un interval de la recta real. DEFINICIÓ La bola oberta de centre i radi és el conjunt de punts que es troben a una distància de estrictament menor que : Si la desigualtat és no estricta, , parlem de bola tancada.

EXEMPLE Determinem la bola oberta del pla de centre i radi . Un punt hi pertany si compleix: Com que ambdós membres són positius, elevem al quadrat i obtenim la condició equivalent: Aquesta expressió descriu l'interior del cercle de radi 2 centrat a , sense incloure la circumferència que el voreja. Rn Rn P Rn r > 0 x Rn P r B(P , r) = {x R : n d(x, P ) = x P < r} x P r P = ( 1, 0) r = 2 (x, y) R2 d((x, y), ( 1, 0)) = (x + 1, y) = < (x + 1) + y 2 2 2 (x + 1) + 2 y < 2 2 = 2 4 ( 1, 0) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 26 COMPROVA-HO 35 Quina diferència geomètrica hi ha entre la bola oberta B(P, r) i la bola tancada de mateix centre i radi?

Classificació topològica dels punts Donat un subconjunt , qualsevol punt de l'espai pertany de manera exclusiva a una de les tres categories següents segons la seva relació d'entorn amb . Diagrama de punts interior, frontera i exterior d'un conjunt. Tipus de punt Definició precisa Comportament de les boles obertes Punt interior ( ) Punt de que disposa d'un entorn completament confinat a . Existeix almenys una bola oberta continguda en ( pot ser molt petit). Punt exterior ( ) Punt que és interior al complementari de . Existeix una bola oberta centrada a que no interseca gens amb . Punt frontera ( ) Punt situat exactament al límit o vora de la regió .

Qualsevol bola oberta centrada a , per petita que sigui, conté punts de i del seu complementari. El complementari d'un conjunt està format per tots els punts de l'espai que no formen part de . La totalitat de punts frontera de s'anomena la frontera del conjunt. S Rn S P 1 Rn S B(P , r) 1 S r P 3 S P3 S P 2 S P2 S S S Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 27 EXEMPLE Considerem el conjunt definit per . Geomètricament representa una corona circular delimitada pels radis 1 i centrats a l'origen. Gràfica d'una corona circular amb les seves fronteres definides. Interior de S: punts que verifiquen (la corona sense les vores). Frontera de S: punts sobre les circumferències límit, i .

COMPROVA-HO 36 Un punt frontera d'un conjunt S ha de pertànyer obligatòriament a S? Conjunts oberts i conjunts tancats La presència o absència dels punts frontera permet classificar globalment els subconjunts de l'espai euclidià. DEFINICIÓ Un conjunt és obert si no conté cap punt de la seva frontera. Un conjunt és tancat si conté tots els punts de la seva frontera. S = {(x, y) R : 2 1 x + 2 y 2 2} 2 1 < x + 2 y < 2 2 x + 2 y = 2 1 x + 2 y = 2 2 S Rn S Rn Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 28 ERROR FREQÜENT Un error greu és assumir que «obert» i «tancat» són propietats oposades i excloents.

Un conjunt pot no ser ni obert ni tancat si conté només una part de la seva frontera. Per comprovar la topologia d'un conjunt, cal identificar sempre la frontera completa i examinar quins punts de frontera pertanyen al conjunt. Analitzem la topologia mitjançant tres casos habituals al pla: COMPROVA-HO 37 Com es classifica el semiplà {(x, y) en R² tals que y > 0}? Conjunts acotats i compacitat La grandària espacial i la limitació d'un conjunt es mesuren a través del concepte d'acotació mètriques. DEFINICIÓ Un conjunt és acotat si existeix una bola oberta que el conté íntegrament ( per a algun centre i radi finit ). Un conjunt és compacte si és simultàniament tancat i acotat.

Vegem com s'apliquen aquestes propietats a diferents configuracions: La corona circular queda confinada dins la bola oberta centrada a l'origen de radi 2. En ser tancada i acotada, és un conjunt compacte. La regió parabòlica s'estén indefinidament cap a valors negatius de ; per tant, no cap dins de cap bola oberta i no és acotada ni compacta. El sector circular està inclòs a i és acotat, però no és compacte perquè omet els radis situats sobre els eixos coordenats i, per tant, no és tancat. Corona circular tancada: inclou les dues circumferències de radi 1 i . Conté tota la seva frontera; per tant, S és un conjunt tancat.

1 S = {(x, y) R : 2 1 x + 2 y 2 2} 2 Regió sota una paràbola oberta: , equivalent a . La frontera és la paràbola de vèrtex màxim a . Com que la desigualtat és estricta, no en conté cap punt; per tant, S és un conjunt obert. 2 S = {(x, y) R : 2 (x 5) + 2 y < 1} y < (x 5) + 2 1 (5, 1) Regió amb frontera parcialment inclosa: . Aquest conjunt conté els segments dels eixos positius, però exclou el segment que uneix amb . En contenir només alguns punts frontera, no és ni obert ni tancat.

3 S = {(x, y) R : 2 x + y = 1, x, y 0} (1, 0) (0, 1) S Rn S B(P , r) P r S Rn 1 x + 2 y 2 2 (x 5) + 2 y < 1 y S = {(x, y) R : 2 x + 2 y 2 4, x, y > 0} B((0, 0), 3) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 29 ESQUEMA Classificació de conjunts a Rn Convexitat de conjunts La convexitat és una propietat geomètrica clau per a la teoria d'optimització (vegeu «Optimització convexa i teorema local-global»). Es fonamenta en la connexió en línia recta entre punts de la regió. DEFINICIÓ El segment entre dos punts és el conjunt de punts de la recta que passa per i compresos estrictament entre ells, inclosos ambdós extrems.

Un conjunt és un conjunt convex si conté completament tots els segments que uneixen qualsevol parella de punts que pertanyin a . Segons la frontera Relació amb els punts límit Obert No conté cap punt frontera Tancat Conté tota la seva frontera Ni obert ni tancat Conté només una part de la frontera Segons l'extensió Mida i tancament Acotat Contingut dins una bola oberta Compacte Simultàniament tancat i acotat P , Q Rn P Q S Rn S Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 30 EXEMPLE Estudiem gràficament la convexitat del conjunt . Reordenant la inequació: L'expressió defineix una paràbola convexa amb vèrtex mínim a i punt de tall amb l'eix d'ordenades a .

El conjunt inclou els punts de la corba i la regió superior delimitada per ella. Gràfica de la regió convexa associada a una paràbola. Si unim dos punts qualsevol situats dins o sobre la vora de la paràbola, el segment resultant roman en la seva totalitat a l'interior de la zona ombrejada. Per tant, S és un conjunt convex. PER RECORDAR-HO Una corona circular mai no és convexa: si trieu dos punts oposats de l'anell, el segment rectilini que els connecta travessa el forat central buit, sortint fora del conjunt. COMPROVA-HO 38 Per què la regió definida per y <= x² - 2x + 2 no és un conjunt convex?

S = {(x, y) R : 2 y x + 2 2x 2} y x 2 2x + 2 = (x 1) + 2 1 (1, 1) (0, 2) S Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 31 IDEES CLAU Una bola oberta a recull els punts amb . Un punt és interior si conté una bola a dins del conjunt; és exterior si ho és al complementari; i és frontera si qualsevol bola toca tant punts de dins com de fora. Un conjunt és obert si no té cap punt frontera, tancat si els té tots, o bé ni obert ni tancat si en té només alguns. Un subconjunt de és compacte si i només si és tancat i acotat a la vegada. Un conjunt és convex si el segment rectilini que uneix qualsevol parella dels seus punts roman totalment integrat en el conjunt.

COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 39. Com es defineix formalment que un conjunt S a és acotat? 40. Si un conjunt té frontera no buida i conté la meitat dels seus punts frontera, és obert o tancat? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 41. Com es defineix la bola oberta de centre P i radi r a Rn? 42. Què caracteritza un punt frontera d'un conjunt S? 43. Quina condició defineix un conjunt compacte a Rn? 44. Per què una corona circular no és mai un conjunt convex?

B(P , r) Rn x P < r Rn Rn Punts a distància exactament igual a r a) Punts a distància menor o igual a r b) Punts exteriors a la circumferència de radi r c) Punts a distància menor que r de P d) Ha de pertànyer obligatòriament al conjunt S a) Està situat sempre a l'origen de coordenades b) Existeix un entorn sense punts del conjunt c) Qualsevol entorn conté punts de S i fora d) Ser obert i no acotat a) Ser obert i convex simultàniament b) Ser acotat i no tenir frontera buida c) Ser tancat i acotat a la vegada d) Perquè és un conjunt obert a) Els segments entre extrems creuen el forat b) Perquè és un conjunt no acotat c) No té punts interiors en cap quadrant d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 32 5 Formes quadràtiques — Matriu associada i classificació del signe EN ACABAR SABRÀS Obtenir la matriu simètrica associada a qualsevol forma quadràtica a partir de la seva expressió polinòmica.

Calcular els menors principals de qualsevol ordre d'una matriu simètrica. Classificar el signe d'una forma quadràtica utilitzant el criteri exhaustiu dels menors principals. Determinar el caràcter d'una forma quadràtica restringida a un subespai vectorial mitjançant el mètode de substitució. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 45 Com pot una forma quadràtica que canvia de signe a tot l'espai esdevenir estrictament negativa quan afegim una condició entre les seves variables? Concepte de forma quadràtica i matriu simètrica associada Una forma quadràtica és una funció polinòmica homogènia de segon grau en què totes les variables apareixen elevades al quadrat o bé multiplicades per parelles.

Aquestes funcions juguen un paper fonamental en l'estudi de condicions suficients d'existència d'òptims per a funcions escalars reals. Formalment, una aplicació és una forma quadràtica si existeix una matriu quadrada i simètrica d'ordre tal que: Recordem que el vector transposat de s'expressa per (o ), i que una matriu és simètrica quan coincideix amb la seva transposada ( ). DEFINICIÓ Per construir la matriu simètrica associada : Els elements de la diagonal principal, , són directament els coeficients dels termes quadràtics . Els elements fora de la diagonal, amb , s'obtenen dividint entre 2 el coeficient del terme creuat , de manera que . f : R n R A n f( ) = x A = xt x (x , …

, x ) = 1 n a 11 a n1 … … a 1n a nn x 1 x n a x x i,j=1 n ij i j x xt x a = ij a ji A a ii x i 2 a ij i = j x x i j a = ij a ji Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 33 EXEMPLE Considerem la funció quadràtica sobre donada per . Identifiquem els coeficients: Diagonal: coeficient de és 3, de és 4, de és 3. Termes creuats: el coeficient de és 2 (per tant, ); no hi ha terme ( ); el coeficient de és -2 (per tant, ). Així, la seva matriu simètrica associada és: COMPROVA-HO 46 Quin valor ocupen les posicions (1,3) i (3,1) en la matriu simètrica associada a la forma quadràtica f(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 + 2z^2 + 2xz?

Classificació d'una forma quadràtica pel seu signe El comportament d'una forma quadràtica s'avalua a partir del signe dels valors que pren sobre els diferents vectors de l'espai, excloent el vector nul, on sempre s'anul·la. Diem que la forma quadràtica és: Definida positiva: si f( ) > 0 per a qualsevol vector no nul. Definida negativa: si f( ) < 0 per a qualsevol vector no nul. Semidefinida positiva: si per a qualsevol vector i, a més, existeix com a mínim un vector no nul tal que . Semidefinida negativa: si per a qualsevol vector i, a més, existeix com a mínim un vector no nul tal que . Indefinida: quan existeixen dos vectors no nuls tals que i .

R3 f(x , x , x ) = 1 2 3 3x + 1 2 4x + 2 2 3x + 3 2 2x x 1 2 2x x 2 3 x 1 2 x 2 2 x 3 2 x x 1 2 a = 12 a = 21 1 x x 1 3 a = 13 a = 31 0 x x 2 3 a = 23 a = 32 1 A = 3 1 0 1 4 1 0 1 3 f : R n R x x Rn x x Rn f( ) x 0 x Rn = y 0 f( ) = y 0 f( ) x 0 x Rn = y 0 f( ) = y 0 , x y Rn f( ) < x 0 f( ) > y 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 34 ESQUEMA Classificació de les formes quadràtiques EXEMPLE Demostrem a partir de la definició que la forma quadràtica és semidefinida positiva. Reagrupant termes formant un quadrat perfecte: Com que una suma de quadrats no pot ser mai negativa, tenim que per a tot .

A més, si prenem el vector no nul : En complir-se ambdues condicions, la forma quadràtica és efectivament semidefinida positiva. COMPROVA-HO 47 Per què una forma quadràtica que val sempre f(x) 0 podria no ser definida positiva? Càlcul de menors principals d'una matriu Comprovar el signe mitjançant la manipulació algebraica directa sol ser complex. Per aquest motiu, s'utilitza el mètode basat en els menors principals de la matriu associada. DEFINICIÓ Un menor principal d'ordre d'una matriu quadrada d'ordre és el determinant de qualsevol submatriu quadrada de dimensió que contingui elements de la diagonal principal en la seva pròpia diagonal.

Per a una matriu simètrica , el nombre total de menors principals és: Signe constant estrictament Mai prenen el valor 0 en vectors no nuls Definida positiva f(x) > 0 per a tot x no nul Definida negativa f(x) < 0 per a tot x no nul Signe no estricte det(A) = 0 i existeix y no nul amb f(y) = 0 Semidefinida positiva f(x) >= 0 per a tot x Semidefinida negativa f(x) <= 0 per a tot x Indefinida Pren valors positius i negatius f(x, y, z) = x + 2 y + 2 z 2 2xy f(x, y, z) = (x y) + 2 z2 f(x, y, z) 0 (x, y, z) R3 (1, 1, 0) f(1, 1, 0) = (1 1) + 2 0 = 2 0 k A n k × k a , …

, a 11 nn 3 × 3 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 35 D'ordre 1: són exactament els 3 elements de la pròpia diagonal principal ( ). D'ordre 2: són els determinants de les 3 submatrius que s'obtenen eliminant una fila i la seva columna corresponent. D'ordre 3: és únicament el determinant de tota la matriu , és a dir, . EXEMPLE Calculem tots els menors principals de la matriu següent: COMPROVA-HO 48 Quants menors principals d'ordre 2 té una matriu quadrada simètrica d'ordre 3?

Criteri de classificació mitjançant menors principals El criteri exhaustiu dels menors principals permet establir el signe d'una forma quadràtica a partir de la seva matriu simètrica associada : Classificació Condició sobre els menors principals Determinant de la matriu Definida positiva Tots els menors principals de tots els ordres són estrictament positius (> 0). Definida negativa Tots els menors principals d'ordre parell són positius (> 0) i els d'ordre imparell són negatius (< 0). (si ordre senar) o (si ordre parell) Semidefinida positiva Tots els menors principals són majors o iguals a zero ( ).

Requereix estrictament (A) = 0 a , a , a 11 22 33 2 × 2 A det(A) A = 5 3 1 3 2 0 1 0 3 Menors principals d'ordre 1: Són les entrades de la diagonal: -5, -2 i -3. 1 Menors principals d'ordre 2: Combinant files/columnes 1 i 2: . Combinant files/columnes 2 i 3: . Combinant files/columnes 1 i 3: .

2 = 5 3 3 2 ( 5)( 2) 3 = 2 10 9 = 1 = 2 0 0 3 ( 2)( 3) 0 = 6 = 5 1 1 3 ( 5)( 3) 1 = 2 15 1 = 14 Menor principal d'ordre 3: Correspon al determinant global : 3 det(A) det(A) = 5 2 0 0 3 3 + 3 1 0 3 1 = 3 1 2 0 5(6) 3( 9) + 1(2) = 30 + 27 + 2 = 1 A det(A) > 0 det(A) < 0 > 0 0 det Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 36 Classificació Condició sobre els menors principals Determinant de la matriu Semidefinida negativa Els menors d'ordre parell són i els d'ordre imparell són . Requereix estrictament (A) = 0 Indefinida Qualsevol distribució de signes que no s'ajusti a cap dels casos anteriors.

Pot ser nul o diferent de zero ERROR FREQÜENT Un error molt habitual és qualificar una matriu com a semidefinida quan té algun menor no principal nul però el seu determinant és diferent de zero. Recorda la regla d'or: una forma quadràtica de matriu A amb det(A) 0 no pot ser mai semidefinida (ni positiva ni negativa). Si el determinant no és nul i no compleix els patrons d'alternança estricta per a definida, aleshores és necessàriament indefinida. EXEMPLE Classifiquem la matriu de l'apartat anterior: Comprovem els signes obtinguts: Ordre 1 (imparell): , , (tots negatius). Ordre 2 (parell): , , (tots positius). Ordre 3 (imparell): (negatiu).

Tots els menors d'ordre imparell són estrictament negatius i els d'ordre parell són estrictament positius. Per tant, la forma quadràtica és definida negativa. COMPROVA-HO 49 Si una matriu simètrica d'ordre 3 té det(A) = 5 i els elements de la diagonal són 2, 4 i 0, pot ser semidefinida positiva? Formes quadràtiques restringides a subespais En moltes aplicacions de càlcul i optimització cal analitzar el comportament del signe d'una forma quadràtica quan les variables estan obligades a satisfer una o diverses equacions lineals homogènies que defineixen un subespai vectorial (per a més detalls sobre la seva estructura, vegeu «Espais vectorials reals — Sistemes generadors, bases i subespais»).

Formalment, si tenim una forma quadràtica i un subespai vectorial , la forma quadràtica restringida a és l'aplicació: 0 0 det A = 5 3 1 3 2 0 1 0 3 5 < 0 2 < 0 3 < 0 1 > 0 6 > 0 14 > 0 det(A) = 1 < 0 f : R n R S Rn S f : S S R Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 37 Cal tenir en compte una propietat fonamental: si una forma quadràtica és definida (positiva o negativa) sobre tot l'espai , automàticament mantindrà el mateix caràcter en ser restringida a qualsevol subconjunt o subespai vectorial no buit d'aquest.

Tanmateix, si una forma quadràtica és indefinida sobre , sobre un subespai vectorial concret pot esdevenir definida positiva o definida negativa, ja que les restriccions eliminen direccions on la funció canviava de signe. Per determinar el signe sobre el subespai, el procediment habitual és el mètode de substitució: EXEMPLE Classifiquem la forma quadràtica següent: restringida al subespai vectorial . Sobre tot , la matriu simètrica associada és: Com que el terme de la diagonal i el determinant no s'anul·la, la forma sobre és indefinida. Apliquem el mètode de substitució per estudiar-la sobre : De l'equació del subespai deduïm .

Substituïm en l'expressió de per obtenir una nova funció : Observem que . Per a qualsevol vector no nul , el valor resultant és estrictament negatiu ( ). Per tant, la forma quadràtica inicial, que era indefinida a , és definida negativa sobre el subespai . Rn Rn S S'aïllen una o més variables a partir de les equacions lineals que descriuen el subespai vectorial . 1 S Se substitueixen aquestes expressions en la fórmula original de la forma quadràtica . 2 f S'obté una nova forma quadràtica equivalent en un nombre inferior de variables. 3 Es classifica aquesta nova forma reduïda mitjançant el procediment estàndard de menors principals o expressió algebraica directa.

4 f(x, y, z) = 3x + 2 3z + 2 4xy + 8xz + 4yz S = {(x, y, z) R : 3 x + y + z = 0} R3 A = 3 2 4 2 0 2 4 2 3 a = 22 0 R3 S y = x z y f(x, y, z) g(x, z) g(x, z) = f(x, x z, z) = 3x + 3z + 4x( x z) + 8xz + 4( x z)z 2 2 = 3x + 3z 4x 4xz + 8xz 4xz 4z 2 2 2 2 = x z 2 2 g(x, z) = (x + 2 z ) 2 (x, z) = (0, 0) g(x, z) < 0 R3 S Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 38 COMPROVA-HO 50 Què passa amb el signe d'una forma quadràtica sobre un subespai si sobre tot l'espai original ja era definida positiva? IDEES CLAU Una forma quadràtica s'expressa matricialment com , on és una matriu quadrada i simètrica.

Per formar la matriu associada, els coeficients dels quadrats van a la diagonal i els termes creuats es divideixen entre dos fora de la diagonal. Una forma quadràtica és definida positiva si tots els seus menors principals són estrictament positius, i definida negativa si els d'ordre parell són positius i els d'ordre imparell negatius. Una forma quadràtica amb mai no pot ser semidefinida. Per determinar el signe d'una forma quadràtica restringida a un subespai, s'aïllen les equacions de restricció i se substitueixen en la funció original per obtenir una forma reduïda. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 51.

Com es construeix la matriu simètrica associada a partir de l'expressió analítica d'una forma quadràtica? 52. Per què una matriu amb determinant no nul mai no pot representar una forma semidefinida? 53. En què consisteix el mètode de substitució per a formes quadràtiques restringides? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 54. Com es reparteix el terme 6xy a la matriu simètrica associada? 55. Quin patró de menors principals caracteritza una forma definida negativa? 56. Si una matriu simètrica d'ordre 3 té determinant diferent de zero, pot ser semidefinida?

f( ) = x A xt x A det(A) = 0 Depèn de l'ordre de les variables a) 3 a la posició (1,2) i 3 a (2,1) b) 6 a la diagonal principal c) 6 a la posició (1,2) i 0 a (2,1) d) Ordre parell negatius i ordre imparell positius a) Tots els menors principals estrictament negatius b) Tots els menors principals més grans o iguals a zero c) Ordre parell positius i ordre imparell negatius d) Sí, si la diagonal conté zeros a) Sí, si els d'ordre 2 són positius b) Només si és semidefinida negativa c) No, una semidefinida exigeix determinant nul d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul (UB) 39 57. Si una forma és indefinida a R³, quin signe pot tenir en restringir-la a un subespai?

6 Funcions reals de diverses variables — Domini, corbes de nivell i límits EN ACABAR SABRÀS Determinar analíticament i gràficament el domini de definició d'una funció escalar Calcular i dibuixar les corbes de nivell associades a superfícies en l'espai Calcular límits reiterats per demostrar la no-existència del límit d'una funció Avaluar la continuïtat d'una funció escalar en un punt determinat PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 58 Per què calcular el límit d'una funció de dues variables és més complex que en una variable?

L'estudi del càlcul en diverses variables estén els conceptes bàsics del càlcul d'una variable a espais de dimensió superior basats en l'espai euclidià (vegeu «Espai vectorial euclidià — Mètrica, ortogonalitat i bases»).

ESQUEMA Estructura del Bloc II: Càlcul multivariable Sempre passa a ser definida positiva a) Pot ser definida, semidefinida o indefinida b) Únicament pot continuar sent indefinida c) No es pot calcular mai mitjançant substitució d) Rn Funcions escalars Dominis, corbes de nivell i límits Domini i nivell Regió de definició i talls horitzontals Límits i continuïtat Límits reiterats i comportament puntual Càlcul diferencial Derivades parcials, gradient i regla cadena Diferenciabilitat Aproximació lineal i…