Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul

I 0 flashcards i 14 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES I Grau en Administració i Direcció d'Empreses Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de Matemàtiques I per a ADE i Economia: espais vectorials, formes quadràtiques, càlcul diferencial multivariable i optimització sense restriccions. APREN.AI Índex Àlgebra 1 Espai vectorial real: combinacions, dependència lineal i sistemes generadors 1. Magnituds en economia i l'espai vectorial real 2. Combinació lineal de vectors 3. Dependència i independència lineal de vectors 4. Criteri del rang per a la independència lineal i sistemes de generadors 2 Base, dimensió, components i subespais vectorials 1. Base i dimensió d'un espai vectorial 2.

Caracterització de bases en R mitjançant determinants 3. Vector de components en una base 4.

Subespais vectorials i equacions implícites 3 Espai euclidià: producte escalar, norma, angle, ortogonalitat i distància Producte escalar i estructura de l'espai euclidià Norma d'un vector i propietats mètriques Angle entre vectors i interpretació geomètrica Ortogonalitat i construcció de bases ortonormals Distància euclidiana entre vectors 4 Topologia — Nocions bàsiques de la topologia euclidiana i conjunts convexos Boles en l'espai euclidià: obertes i tancades Punts interiors, exteriors i frontera d'un subconjunt Conjunts oberts, tancats i la seva naturalesa no excloent Conjunts acotats i compacitat Segments i conjunts convexos 5 Àlgebra — Formes quadràtiques i classificació del signe Definició i expressió matricial d'una forma quadràtica Classificació d'una forma quadràtica pel seu signe Criteri dels menors principals Formes quadràtiques restringides a subespais vectorials Càlcul 6 Funcions escalars multivariables: domini, corbes de nivell, límits i continuïtat Funció escalar real i domini de definició Superfícies i mètode de les corbes de nivell Límits en funcions multivariables i indeterminacions Inexistència de límits mitjançant límits reiterats Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 1 Continuïtat de funcions escalars 7 Derivades direccionals, derivades parcials i vector gradient Del quocient incremental d'una variable a la derivada direccional Interpretació geomètrica de la derivada direccional Derivades parcials primeres i la seva geometria Mètode pràctic de derivació de funcions analítiques Derivació en punts singulars i funcions a trossos El vector gradient d'una funció escalar 8 Aplicacions econòmiques: anàlisi marginal i elasticitats parcials Anàlisi marginal i aproximació unitària Elasticitat parcial Comparació entre valors estimats i increments exactes 9 Diferenciabilitat, pla tangent i aproximació lineal La ruptura entre derivabilitat i continuïtat en diverses variables Geometria de l'espai: pla i hiperplà tangent Concepte de funció diferenciable i aproximació lineal Teoremes fonamentals de la diferenciabilitat Comprovació pràctica de no-diferenciabilitat i aplicació dels teoremes 10 Regla de la cadena i derivació de funcions implícites Composició de funcions i regla de la cadena multivariable Funcions escalars implícites i la seva derivació Pla tangent i vector gradient d'una funció implícita 11 Derivades parcials d'ordre superior, teorema de Schwarz i matriu hessiana Derivades parcials segones d'una funció escalar Derivades parcials creuades i teorema de Schwarz La matriu hessiana d'ordre n 12 Funcions homogènies, teorema d'Euler i aplicacions a la producció 1.

Concepte de funció escalar homogènia 2. Interpretació econòmica: rendiments a escala 3. Teorema d'Euler per a funcions diferenciables 4.

Aplicacions a la producció i funcions Cobb-Douglas Optimització 13 Teoria d'extrems lliures: Weierstrass, punts crítics i condicions de primer i segon ordre Tipologia d'òptims: globals i locals Existència d'extrems absoluts: el Teorema de Weierstrass Condició necessària de primer ordre: punts crítics Punts de sella Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 2 Condicions de segon ordre i matriu hessiana 14 Funcions còncaves, convexes, teorema local-global i aplicacions econòmiques Definició geomètrica de concavitat i convexitat Caracterització mitjançant la matriu hessiana El Teorema local-global i la unicitat de l'òptim Aplicacions a la presa de decisions econòmiques 15 Formulari 1.

Àlgebra lineal i espai euclidià 2. Càlcul diferencial en diverses variables 3. Optimització sense restriccions Errors típics per a l'examen Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions. Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 3 1 Espai vectorial real: combinacions, dependència lineal i sistemes generadors EN ACABAR SABRÀS Distingir entre magnituds escalars i vectorials en aplicacions econòmiques. Formular i resoldre combinacions lineals mitjançant sistemes d'equacions lineals.

Determinar la dependència o independència lineal d'un conjunt de vectors. Aplicar el criteri del rang de matrius per avaluar la independència lineal i els sistemes de generadors. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Quants vectors necessitem com a mínim per cobrir qualsevol punt de l'espai tridimensional R³? L'àlgebra lineal proporciona l'estructura matemàtica necessària per descriure fenòmens multivariables en l'àmbit econòmic i científic.

Àlgebra 1 Espai vectorial real: combinacions, dependència lineal i sistemes generadors 2 Base, dimensió, components i subespais vectorials 3 Espai euclidià: producte escalar, norma, angle, ortogonalitat i distància Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 4 ESQUEMA Estructura de l'espai vectorial real 1. Magnituds en economia i l'espai vectorial real En les ciències econòmiques s'utilitzen habitualment dos tipus de magnituds numèriques: Magnituds escalars: queden completament determinades mitjançant una única xifra numèrica. En són exemples el preu d'un article, el tipus d'interès fixat o el pes d'una mercaderia.

Magnituds vectorials: requereixen una llista ordenada de diversos valors per quedar especificades, com passa amb una cistella de béns o un conjunt de factors productius. En els models de producció, les magnituds vectorials intervenen com a variables independents de funcions escalars. Un exemple clàssic és la funció de producció de Cobb-Douglas, que determina el nivell de producte obtingut segons la dotació dels factors de producció emprats: En aquesta expressió, representa la quantitat produïda (output), mentre que el capital i el treball constitueixen els factors d'entrada (inputs), agrupats en un vector bidimensional . Esquema del procés productiu amb inputs vectorials i output escalar.

Espai vectorial Rn Conjunt amb suma i producte per escalar Operacions bàsiques Suma interna i producte extern Combinació lineal Ponderació escalar de vectors Relacions de dependència Independència lineal si rang és k Capacitat generadora Sistema de generadors si rang és n Q = A K α Lβ Q K L (K, L) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 5 DEFINICIÓ L'espai vectorial real és el conjunt de totes les n-tuples ordenades de nombres reals: Aquest conjunt està dotat de dues operacions fonamentals: L'element neutre respecte a l'addició és el vector nul, format per zeros a totes les seves posicions: . Per a qualsevol element , el seu vector oposat correspon a .

Aquestes operacions compleixen les propietats immediates següents per a tot i tot : i, en particular, . La condició implica necessàriament que o bé que . . La igualtat equival directament a . COMPROVA-HO 2 Si el producte d'un escalar desconegut c per un vector no nul dóna el vector nul, quin ha de ser el valor de c? 2. Combinació lineal de vectors L'acció combinada de la suma de vectors i la multiplicació per escalars permet construir nous elements de l'espai. DEFINICIÓ Es diu que un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors si existeixen uns coeficients escalars tals que: La determinació pràctica d'aquests coeficients requereix plantejar i resoldre un sistema d'equacions lineals.

Rn R = n { = x (x , … , x ) : 1 n x , … , x 1 n R} Suma interna de vectors: associa a cada parella de vectors la suma component a component: 1 + x = y (x + 1 y , … , x + 1 n y ) n Producte extern per un escalar: multiplica cadascuna de les components per un nombre real : 2 λ R λ = x (λx , … , λx ) 1 n = 0 (0, … , 0) x Rn = x ( 1) x λ R , x y Rn λ = 0 0 0 = x 0 λ = x 0 λ = 0 = x 0 (λ ) = x ( λ) x = x y x = y 0 x Rn k , … , x1 xk Rn λ , … , λ 1 k R = x λ + 1x1 + λ = kxk λ i=1 k ixi Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 6 EXEMPLE Considerem els vectors de donats per i . 1. Volem esbrinar si n'és combinació lineal.

Plantegem l'equació: Això dóna lloc al sistema: De la tercera equació s'obté directament . Substituint a la primera equació, . Comprovant a la segona equació: , la qual es compleix. En ser un sistema compatible determinat amb solució i , el vector sí que és combinació lineal. 2. Analitzem ara si n'és combinació lineal: La tercera equació imposa . De la primera resulta . En verificar la segona equació, obtenim . El sistema és incompatible, de manera que no és combinació lineal dels dos vectors. COMPROVA-HO 3 Què indica algebraicament que un sistema plantejat per trobar una combinació lineal sigui incompatible? 3.

Dependència i independència lineal de vectors La relació de dependència entre vectors permet avaluar si algun d'ells és redundant respecte dels altres: Un conjunt de vectors és linealment dependent si almenys un d'ells es pot escriure com a combinació lineal dels restants. Són linealment independents si cap vector del conjunt no pot expressar-se com a combinació lineal dels altres.

R3 = u1 (1, 2, 0) = u2 ( 4, 3, 4) = v ( 1, 9, 4) ( 1, 9, 4) = λ (1, 2, 0) + 1 λ ( 4, 3, 4) 2 λ 4λ = 1 1 2 2λ + 3λ = 9 1 2 4λ = 4 2 λ = 2 1 λ 1 4(1) = 1 λ = 1 3 2(3) + 3(1) = 9 λ = 1 3 λ = 2 1 ( 1, 9, 4) = w (7, 3, 4) λ 4λ = 7 1 2 2λ + 3λ = 3 1 2 4λ = 4 2 λ = 2 1 λ 1 4 = 7 λ = 1 11 2(11) + 3(1) = 25 = 3 (7, 3, 4) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 7 DEFINICIÓ La caracterització fonamental estableix que vectors són linealment independents si i només si l'única combinació lineal que produeix el vector nul és aquella on tots els escalars són zero: Si existeix alguna combinació lineal que doni el vector nul amb almenys un escalar no nul ( ), els vectors són linealment dependents.

Aquesta condició equival a comprovar la naturalesa de la solució del sistema homogeni associat: Si el sistema és compatible determinat (admet únicament la solució trivial nul·la), els vectors són linealment independents. Si el sistema és compatible indeterminat (admet solucions no nul·les addicionals), els vectors són linealment dependents. COMPROVA-HO 4 Si un conjunt de vectors conté el vector nul, pot ser mai linealment independent? 4. Criteri del rang per a la independència lineal i sistemes de generadors L'estudi de sistemes d'equacions lineals es simplifica notablement mitjançant el càlcul del rang de la matriu que conté els vectors com a columnes (o com a files).

PER RECORDAR-HO Recordem els dos criteris canònics basats en el rang: k vectors de Rn són linealment independents si i només si la matriu formada per ells té rang k. k vectors de Rn formen un sistema de generadors de Rn si i només si la matriu que formen té rang n. Propietat algebraica Condició de rang necessària i suficient Significat geomètric / operatiu Independència lineal Cap vector és redundant; cap no es pot generar amb els altres . Sistema de generadors de Permeten obtenir qualsevol vector de l'espai mitjançant combinacions lineals. k , …

, x1 xk Rn λ + 1x1 + λ = kxk 0 λ = 1 = λ = k 0 λ = i 0 rang(A) = k k 1 Rn rang(A) = n Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 8 ERROR FREQÜENT Confondre el nombre de vectors disponibles ( ) amb la dimensió de l'espai o nombre de components de cadascun ( ). Perquè vectors siguin linealment independents cal que el rang sigui igual a (requereix ). Perquè generin tot l'espai , el rang ha d'arribar a (requereix ). EXEMPLE 1. Estudiem la independència lineal dels tres vectors de donats per , i . Formem la matriu amb aquests vectors en files: Calculem el menor d'ordre 3 format per les tres primeres columnes: Com que existeix un menor no nul d'ordre 3, .

Per tant, els tres vectors són linealment independents. 2. Analitzem si els quatre vectors següents de formen un sistema de generadors: , , i . Aquí tenim vectors en dimensió . Formem la matriu: Prenem el menor format per les tres primeres files: Atès que aquest menor no és nul, deduïm que . En conseqüència, els quatre vectors constitueixen un sistema de generadors de . Per aprofundir en com aquests conjunts donen lloc a una estructura mínima i generadora completa, vegeu «Àlgebra — Base, dimensió, components i subespais vectorials». COMPROVA-HO 5 Poden 2 vectors de l'espai R³ formar un sistema de generadors de tot R³?

k n k k k n Rn n k n R4 = v1 (1, 1, 3, 7) = v2 (5, 2, 4, 2) = v3 (0, 6, 0, 1) A A = 1 5 0 1 2 6 3 4 0 7 2 1 = 1 5 0 1 2 6 3 4 0 ( 6) = 1 5 3 4 6 (4 15) = 6 ( 11) = 66 = 0 rang(A) = 3 = k R3 = u1 (1, 0, 0) = u2 (2, 3, 1) = u3 (5, 11, 4) = u4 ( 4, 5, 0) k = 4 n = 3 A = 1 2 5 4 0 3 11 5 0 1 4 0 = 1 2 5 0 3 11 0 1 4 1 = 3 11 1 4 1 ( 12 ( 11)) = 1 = 0 rang(A) = 3 = n R3 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 9 IDEES CLAU Les magnituds econòmiques poden ser escalars (un sol valor) o vectorials (diversos valors en una llista ordenada). L'espai vectorial es fonamenta en dues operacions tancades: la suma de vectors i el producte per escalars.

Un vector és combinació lineal d'un conjunt si es pot expressar sumant aquests vectors ponderats per coeficients escalars. Un conjunt de vectors és linealment independent si l'única combinació lineal que dóna el vector nul és la que té tots els coeficients iguals a zero. Un conjunt de vectors de és linealment independent si i només si la matriu associada té rang . Un conjunt de vectors de genera tot l'espai si i només si la matriu associada té rang . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 6. Com es verifica algebraicament si un vector és combinació lineal de vectors donats? 7. Quina condició sobre el rang d'una matriu garanteix que 4 vectors de siguin a la vegada independents i generadors?

ÀLGEBRA 2 Base, dimensió, components i subespais vectorials EN ACABAR SABRÀS Identificar si un conjunt de vectors constitueix una base mitjançant el càlcul del determinant de la seva matriu associada. Calcular les components úniques d'un vector respecte a una base donada resolent el sistema de Cramer corresponent. Determinar si un subconjunt és un subespai vectorial verificant la presència de l'origen i el tancament per les operacions. Obtenir una base, la dimensió i l'expressió implícita d'un subespai vectorial a partir dels seus vectors generadors. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 8 Per què un pla a R³ que no passa pel punt (0, 0, 0) no es considera mai un subespai vectorial?

Rn k Rn k k Rn n x k R4 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 10 1. Base i dimensió d'un espai vectorial En l'estudi dels espais vectorials, busquem conjunts de vectors que permetin generar tot l'espai sense elements redundants (vegeu «Àlgebra — Espai vectorial real: combinacions, dependència lineal i sistemes generadors»). Una base d'un espai vectorial és un conjunt de vectors que actua com a sistema generador i que alhora és linealment independent. DEFINICIÓ DE BASE Sigui un conjunt de vectors . Diem que aquest conjunt constitueix una base de si satisfà dues condicions simultànies: Genera tot l'espai (sistema generador).

És un conjunt linealment independent (cap vector és combinació lineal dels altres). Intueix-se la base com un sistema de generadors format pel nombre mínim de vectors indispensables. Un exemple fonamental és la base canònica de , formada pels vectors: Qualsevol vector arbitrari s'expressa de forma immediata com a combinació lineal: Aquests vectors són independents perquè la matriu quadrada formada per ells és la matriu identitat . Atès que , la matriu és regular i té rang màxim igual a . Totes les bases possibles d'un mateix espai vectorial tenen exactament la mateixa quantitat d'elements. La dimensió d'un espai vectorial és el nombre de vectors que integra qualsevol de les seves bases.

Per tant, la dimensió de l'espai és . COMPROVA-HO 9 Quants vectors té qualsevol base de l'espai vectorial R³? 2. Caracterització de bases en R mitjançant determinants Disposar de criteris matricials simplifica comprovar si un grup de vectors és una base. Quan tenim exactament vectors en , la independència lineal i la capacitat generadora queden determinades pel càlcul d'un únic determinant. CRITERI DE REGULARITAT PER A BASES n vectors de R formen base si i només si la matriu quadrada que formen és regular (det 0). A més, cal tenir en compte dues propietats d'extensió i reducció: Qualsevol conjunt de vectors linealment independents d'un espai es pot ampliar fins a construir una base. { , , …

, } x1 x2 xk Rn Rn Rn Rn = e1 (1, 0, … , 0), = e2 (0, 1, … , 0), … , = en (0, 0, … , 1) (x , x , … , x ) 1 2 n Rn (x , x , … , x ) = 1 2 n x (1, 0, … , 0) + 1 x (0, 1, … , 0) + 2 + x (0, 0, … , 1) n I n det(I ) = n 1 = 0 n Rn n n Rn Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 11 Tot sistema de generadors d'un espai conté, seleccionant adequadament els seus elements, una base. EXEMPLE: COMPROVACIÓ D'UNA BASE A R Verifiquem si els quatre vectors següents formen una base de : , , i .

Construïm la matriu per files o columnes i calculem el determinant desenvolupant per la quarta fila: Restem la primera columna a la segona per simplificar: Com que el determinant és , la matriu és regular i els quatre vectors formen efectivament una base de . COMPROVA-HO 10 Si tenim 4 vectors a R³ que generen tot l'espai, poden formar una base de R³? 3. Vector de components en una base Quan s'ha fixat una base en un espai vectorial, qualsevol vector es pot descompondre de forma única mitjançant escalars. VECTOR DE COMPONENTS Sigui una base de . Si un vector s'expressa com: el vector d'escalars λ = (λ , ..., λ ) R s'anomena vector de components (o coordenades) de en la base .

Aquest conjunt d'escalars és únic per a cada vector. Determinar les components equival a resoldre un sistema d'equacions lineals. Com que els vectors de la base formen una matriu regular, el sistema resultant és sempre un sistema de Cramer i té solució única. R4 (1, 1, 0, 0) (2, 3, 1, 8) (3, 3, 1, 5) (0, 0, 1, 0) = 1 2 3 0 1 3 3 0 0 1 1 1 0 8 5 0 ( 1) 1 1 2 3 1 3 3 0 8 5 = 1 2 3 0 1 0 0 8 5 = 1 0 8 5 5 = 0 5 = 0 R4 B = { , … , } x1 xn Rn x Rn = x λ + 1x1 + λ nxn x B Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 12 EXEMPLE: CÀLCUL DE COMPONENTS A R³ Trobem les components del vector en la base de formada per , i .

Plantegem la igualtat vectorial: Això dóna lloc al sistema lineal següent: Per tant, el vector de components és . ERROR FREQÜENT Confondre les components d'un vector respecte a una base arbitrària amb les seves coordenades habituals. Les coordenades només són els pesos respecte a la base canònica. En qualsevol altra base cal resoldre el sistema d'equacions lineal associat; no es poden copiar directament els valors del vector. COMPROVA-HO 11 Quina mena de sistema lineal s'obté en buscar les components d'un vector en una base? 4. Subespais vectorials i equacions implícites Un subespai vectorial és un subconjunt d'un espai vectorial que conserva l'estructura algebraica per ell mateix.

DEFINICIÓ DE SUBESPAI VECTORIAL Un subconjunt no buit és un subespai vectorial de si és tancat per les operacions internes i externes: Suma de vectors: Per a tot parell , es compleix que . Producte per escalars: Per a tot i tot escalar , es compleix que . (2, 5, 1) R3 (2, 0, 5) (3, 3, 1) (0, 0, 1) (2, 5, 1) = λ (2, 0, 5) + 1 λ (3, 3, 1) + 2 λ (0, 0, 1) 3 2λ + 3λ = 2 1 2 3λ = 5 2 5λ + λ + λ = 1 1 2 3 De la segona equació s'obté directament: . 1 λ = 2 5/3 Substituint a la primera equació: . 2 λ 2 2λ + 1 3(5/3) = 2 2λ + 1 5 = 2 2λ = 1 3 λ = 1 3/2 Aïllant a la tercera equació: .

3 λ 3 5( 3/2) + 5/3 + λ = 3 1 15/2 + 5/3 + λ = 3 1 λ = 3 1 + 15/2 5/3 = 41/6 (λ , λ , λ ) = 1 2 3 , , ( 2 3 3 5 6 41 ) (2, 5, 1) S Rn Rn , x y S + x y S x S λ R λ x S Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 13 D'aquestes condicions es deriva una propietat fonamental que permet descartar ràpidament subconjunts que no són subespais: CONDICIÓ NECESSÀRIA DE L'ORIGEN Si S és un subespai vectorial de R , obligatòriament el vector nul pertany a S (0 S). Si un conjunt no conté el vector nul, mai no pot ser un subespai vectorial. El subespai vectorial generat per un conjunt finit de vectors correspon al conjunt de totes les seves combinacions lineals possibles.

Com a espai vectorial, admet bases i té una dimensió pròpia. EXEMPLE: ANÀLISI D'UN SUBESPAI A R³ Considerem el conjunt . Comprovem primer que és subespai comprovant el tancament: Suma: . Producte: . Com que qualsevol element es descompon com: els vectors i en formen un sistema generador. En ser independents, constitueixen una base de , i per tant la dimensió de és 2. L'expressió analítica o implícita s'obté observant la condició necessària sobre les coordenades: la tercera component s'anul·la sempre.

Així doncs: Geomètricament, aquest subespai correspon al pla horitzontal que passa per l'origen de coordenades en l'espai tridimensional: S = {(a, b, 0) R : 3 a, b R} (a, b, 0) + (c, d, 0) = (a + c, b + d, 0 + 0) = (a + c, b + d, 0) S λ (a, b, 0) = (λa, λb, λ 0) = (λa, λb, 0) S (a, b, 0) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) S S S = {(x, y, z) R : 3 z = 0} xy Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 14 Gràfica del subespai pla z = 0 a l'espai tridimensional. COMPROVA-HO 12 Pot el conjunt S = {(x, y) R² : x + y = 3} ser un subespai vectorial de R²?

ESQUEMA Estructura d'un espai vectorial Espai vectorial R Conjunt complet de dimensió n Base Generadors independents mínims Base canònica Vectors unitaris e ,...,e Components Pesos únics obtinguts per Cramer Subespai vectorial Subconjunt tancat amb origen Forma analítica Equacions implícites homogènies Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 15 IDEES CLAU Una base és un sistema generador minimal format per vectors linealment independents. Totes les bases d'un espai vectorial tenen el mateix nombre d'elements, anomenat dimensió. Un conjunt de vectors a forma una base si i només si la matriu associada té determinant no nul.

El vector de components d'un vector respecte a una base és únic i s'obté resolent un sistema lineal de Cramer. Tot subespai vectorial ha de contenir obligatòriament el vector nul i ser tancat per la suma i pel producte escalar. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13. Com es pot verificar que vectors a formen una base? 14. Per què el conjunt de punts d'un pla que no passa per l'origen no és un subespai vectorial?

ÀLGEBRA 3 Espai euclidià: producte escalar, norma, angle, ortogonalitat i distància EN ACABAR SABRÀS Calcular el producte escalar estàndard i la norma de vectors a Rn Determinar l'angle comprès entre dos vectors no nuls mitjançant el cosinus Comprovar la condició d'ortogonalitat i construir bases ortonormals Calcular la distància euclidiana entre dos vectors o punts PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 15 Com podem saber si dos vectors formen un angle recte sense necessitat de dibuixar-los?

Producte escalar i estructura de l'espai euclidià En un espai vectorial real (vegeu «Àlgebra — Espai vectorial real: combinacions, dependència lineal i sistemes generadors»), les operacions bàsiques de suma i producte per un escalar permeten descriure relacions algebraiques, però no pas quantificar distàncies, mides o angles. Per dotar aquest entorn d'una geometria mètrica necessitem una operació addicional: el producte escalar.

n Rn n Rn Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 16 DEFINICIÓ El producte escalar estàndard (o habitual) de dos vectors i de l'espai és el nombre real definit per: Com el seu propi nom indica, el resultat d'aquesta operació entre dos vectors és un nombre real (un escalar). Un espai vectorial dotat d'aquest producte escalar s'anomena espai vectorial euclidià (o simplement espai euclidià). Si interpretem els vectors com a punts extrems que tenen el seu origen a l'origen de coordenades, l'espai euclidià proporciona el marc necessari per mesurar elements geomètrics. EXEMPLE Siguin els vectors de donats per i .

El seu producte escalar habitual es calcula multiplicant les coordenades corresponents i sumant els productes: Observem que el resultat obtingut és zero, tot i que cap dels dos vectors individuals no és el vector nul. Aquesta cancel·lació serà clau per definir relacions geomètriques d'orientació. COMPROVA-HO 16 Quin tipus d'objecte matemàtic s'obté en calcular el producte escalar de dos vectors de l'espai R^n? Norma d'un vector i propietats mètriques La magnitud o llargada d'un vector es formalitza mitjançant el concepte de norma o mòdul. Es defineix a partir de l'arrel quadrada positiva del producte escalar del vector per si mateix.

DEFINICIÓ La norma o mòdul d'un vector ve donada per la relació: Aquesta expressió reprodueix fidelment el teorema de Pitàgores tant al pla ( ) com a l'espai tridimensional ( ): = x (x , … , x ) 1 n = y (y , … , y ) 1 n Rn x ˉ = y ˉ x y + 1 1 + x y = n n x y i=1 n i i R R3 = u ˉ (1, 0, 5) = v ˉ (5, 2, 1) u ˉ = v ˉ 1 5 + 0 ( 2) + ( 5) 1 = 5 + 0 5 = 0 = x ˉ (x , … , x ) 1 n Rn = x ˉ + = x ˉ x ˉ + x + + x 1 2 n 2 R2 R3 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 17 Esquema geomètric de la norma euclidiana a R² i R³. La norma euclidiana satisfà una sèrie de propietats fonamentals per a qualsevol parell de vectors i qualsevol escalar : No-negativitat: .

A més a més, es compleix la condició estricta . Homogeneïtat absoluta: . Desigualtat triangular: . La longitud d'un costat d'un triangle mai supera la suma de les longituds dels altres dos. Desigualtat de Schwarz: . El valor absolut del producte escalar està fitat superiorment pel producte de les normes respectives. Un cas especialment rellevant són els vectors unitaris, és a dir, aquells que tenen mòdul igual a 1 ( ). Donat qualsevol vector no nul , és possible construir un vector unitari que mantingui la seva mateixa direcció dividint pel seu mòdul: Aquest procediment s'anomena normalització d'un vector.

COMPROVA-HO 17 Què passa amb la norma d'un vector si aquest es multiplica per l'escalar -3? Angle entre vectors i interpretació geomètrica La desigualtat de Schwarz garanteix que la fracció es manté sempre dins de l'interval tancat per a qualsevol parell de vectors no nuls. Això permet associar directament aquesta fracció al cosinus d'un angle geomètric. , x ˉ y ˉ Rn λ R x ˉ 0 = x ˉ 0 = x ˉ 0 ˉ λ = x ˉ λ x ˉ + x ˉ y ˉ + x ˉ y ˉ x ˉ y ˉ x ˉ y ˉ = u ˉ 1 = x ˉ 0 ˉ = u ˉ x ˉ 1 x ˉ x ˉ y ˉ x ˉ y ˉ [ 1, 1] Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 18 Diagrama de l'angle format per dos vectors no nuls.

Per a dos vectors no nuls , definim el cosinus de l'angle que formen com el quocient: Aïllant el terme superior, obtenim la formulació alternativa del producte escalar en termes geomètrics: Així doncs, el producte escalar mesura la tendència de dos vectors a apuntar en la mateixa direcció: serà màxim i positiu si coincideixen, negatiu si tenen sentits oposats, i zero si es troben disposats perpendicularment. EXEMPLE Determinem l'angle comprès entre els vectors i . Ortogonalitat i construcció de bases ortonormals Quan l'angle entre dos vectors no nuls és de radians ( ), el seu cosinus s'anul·la. Aquesta propietat permet definir algebraicament el concepte de perpendicularitat.

, x ˉ y ˉ Rn α cos α = x ˉ y ˉ x ˉ y ˉ x ˉ = y ˉ x ˉ y ˉ cos α α = x ˉ (1, 1, 0) = y ˉ (2, 9, 6) Calculem el producte escalar: . 1 x ˉ = y ˉ 1 2 + 1 9 + 0 6 = 11 Calculem les normes respectives: i .

2 = x ˉ = 1 + 1 + 0 2 2 2 2 = y ˉ = 2 + 9 + 6 2 2 2 = 4 + 81 + 36 = 121 11 Apliquem la fórmula del quocient: 3 cos α = = 11 2 11 2 1 Identifiquem el valor angular: 4 cos α = 2 1 α = radians (o 45 ) 4 π 2 π 90 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 19 DEFINICIÓ Diem que dos vectors no nuls són ortogonals (o perpendiculars) si i només si el seu producte escalar s'anul·la: Aquesta noció s'estén de manera natural a les bases d'un espai vectorial (vegeu «Àlgebra — Base, dimensió, components i subespais vectorials»): Concepte Condicions requerides Estructura dels vectors Base ortogonal Els vectors formen una base i són mútuament perpendiculars. per a tot .

Base ortonormal La base és ortogonal i, addicionalment, tots els seus vectors tenen norma 1. si , i . Per construir una base ortonormal a partir d'un conjunt de vectors ortogonals existents, s'afegeixen vectors perpendiculars a tots els anteriors resolent el sistema lineal associat i, posteriorment, es normalitzen tots els elements dividint cadascun per la seva norma.

PROCÉS Passos per construir una base ortonormal 1 Definir vectors ortogonals Identificar vectors inicials perpendiculars entre si 2 Trobar vectors restants Imposar producte escalar nul amb tots els anteriors 3 Verificar base ortogonal Comprovar determinant diferent de zero 4 Normalitzar els vectors Dividir cada vector per la seva norma , x ˉ y ˉ Rn x ˉ = y ˉ 0 v ˉi = v ˉj 0 i = j u ˉi = u ˉj 0 i = j = u ˉi 1 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 20 EXEMPLE Construïm una base ortonormal de que contingui els vectors unitaris associats als vectors ortogonals i .

ERROR FREQÜENT Un error habitual a les proves escrites consisteix a afirmar que qualsevol conjunt de vectors ortogonals és automàticament linealment independent sense verificar que siguin tots no nuls. El vector nul compleix per a qualsevol vector, però qualsevol conjunt que contingui el vector nul és linealment dependent. La independència lineal només queda garantida quan tots els vectors de la família ortogonal són estrictament no nuls. COMPROVA-HO 18 Quines dues condicions consecutives ha de complir una família de vectors per constituir una base ortonormal?

R3 = v ˉ1 (1, 0, 5) = v ˉ2 (5, 2, 1) Plantegem un tercer vector genèric perpendicular a ambdós: 1 (a, b, c) { (a, b, c) (1, 0, 5) = a 5c = 0 (a, b, c) (5, 2, 1) = 5a 2b + c = 0 Aïllem les components en funció del paràmetre lliure : i . Així, el vector pren la forma . 2 c a = 5c b = 13c (5c, 13c, c) Comprovem que els tres vectors formen base avaluant el determinant de la matriu de components: 3 = 1 5 5c 0 2 13c 5 1 c 390c = 0 (sempre que c = 0) Triem per fixar el vector ortogonal . El conjunt constitueix una base ortogonal de .

4 c = 1 = v ˉ3 (5, 13, 1) {(1, 0, 5), (5, 2, 1), (5, 13, 1)} R3 Normalitzem cadascun dels tres vectors calculant les seves normes: 5 = v ˉ1 = 1 + 0 + ( 5) 2 2 2 26 = v ˉ2 = 5 + ( 2) + 1 2 2 2 30 = v ˉ3 = 5 + 13 + 1 2 2 2 = 25 + 169 + 1 195 Obtenim finalment la base ortonormal requerida: 6 , 0, , , , , , , {( 26 1 26 5 ) ( 30 5 30 2 30 1 ) ( 195 5 195 13 195 1 )} 0 ˉ 0 ˉ = v ˉ 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 21 Distància euclidiana entre vectors Si considerem que els vectors de posició determinen punts de l'espai mitjançant el seu extrem, el concepte de longitud permet mesurar de manera natural la separació entre dues posicions o punts geomètrics de l'espai euclidià.

DEFINICIÓ La distància euclidiana entre dos vectors o punts extrems es defineix com la norma del vector diferència: Gràficament, el vector diferència uneix els extrems dels vectors de posició associats als punts i , i la seva norma mesura la longitud del segment que els connecta: Representació gràfica de la distància euclidiana entre dos vectors. , x ˉ y ˉ Rn d( , ) = x ˉ y ˉ x ˉ = y ˉ + (x y ) + + (x y ) 1 1 2 n n 2 x ˉ y ˉ P Q Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 22 EXEMPLE Calculem la distància existent entre els vectors de posició i a l'espai euclidià . La distància resultant entre els dos punts extrems és exactament 3 unitats.

IDEES CLAU El producte escalar habitual a transforma dos vectors en un nombre real mitjançant la suma dels productes de les seves components. La norma o mòdul estén el teorema de Pitàgores com l'arrel quadrada positiva del producte escalar d'un vector per ell mateix. El quocient entre el producte escalar i el producte de les normes defineix el cosinus de l'angle entre dos vectors no nuls gràcies a la desigualtat de Schwarz. Dos vectors no nuls són ortogonals si i només si el seu producte escalar és exactament zero. Una base ortonormal és una base ortogonal on cadascun dels seus vectors ha estat normalitzat per tenir norma unitària.

La distància euclidiana entre dos punts o vectors equival a la norma del seu vector diferència. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19. Com es normalitza un vector no nul per convertir-lo en unitari? 20. Per què el fet que no implica automàticament que sigui linealment independent? 21. Com s'expressa la distància euclidiana entre dos vectors i de ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 22. Quin tipus de magnitud és la cistella d'inputs (K, L) d'una empresa?

= x ˉ (3, 2, 0, 1) = y ˉ (1, 4, 0, 2) R4 Calculem el vector diferència restant coordenades homòlogues: 1 x ˉ = y ˉ (3 1, 2 ( 4), 0 0, 1 2) = (2, 2, 0, 1) Calculem la norma d'aquest vector diferència: 2 d( , ) = x ˉ y ˉ (2, 2, 0, 1) = + = 2 + 2 + 0 + ( 1) 2 2 2 2 + = 4 + 4 + 0 + 1 + = 9 3 Rn x ˉ u ˉ = v ˉ 0 { , } u ˉ v ˉ x ˉ y ˉ Rn Sistema homogeni a) Magnitud vectorial b) Magnitud escalar c) Funció implícita d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 23 23. Què implica que la combinació lineal nul·la tingui coeficients diferents de zero? 24. Quina condició de rang assegura que k vectors generin l'espai Rn? 25. Poden 4 vectors a R³ ser linealment independents? 26.

Quina condició defineix una base d'un espai vectorial? 27. Quina és la dimensió de l'espai vectorial R ? 28. Quin tipus de sistema lineal resol el càlcul de components en una base? 29. Quina propietat és indispensable perquè un conjunt sigui subespai vectorial? 30. Quin és el resultat del producte escalar dels vectors (1, 0, -5) i (5, -2, 1)? 31. Quan es considera que dos vectors no nuls són ortogonals a Rn? 32. Quina propietat garanteix que el quocient per calcular cos(α) es mantingui a l'interval [-1, 1]?

Que els vectors són independents a) Que els vectors són dependents b) Que el rang és màxim c) Que formen base canònica d) Rang igual a n a) Rang igual a zero b) Rang menor que n c) Rang igual a k d) Sí, si cap és nul a) No, perquè rang màxim és 3 b) Depèn dels seus coeficients c) Sí, si el rang és 4 d) Qualsevol conjunt amb el vector nul a) Matriu associada amb determinant zero b) Vectors ortogonals de norma unitària c) Sistema generador i linealment independent d) Depèn de la base escollida a) Infinit sempre b) n + 1 c) n d) Sistema incompatible a) Sistema de Cramer b) Sistema compatible indeterminat c) Sistema homogeni lliure d) Tenir un nombre finit de punts a) Tenir dimensió més gran que dos b) Contenir necessàriament el vector nul c) Estar format només per enters d) 0 a) 10 b) -5 c) 5 d) Quan són linealment dependents a) Quan tenen el mateix mòdul b) Quan la seva suma és nul·la c) Quan el seu producte escalar s'anul·la d) L'homogeneïtat absoluta de la norma a) La desigualtat de Schwarz b) El teorema de Pitàgores c) La desigualtat triangular d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 24 33.

Quina diferència hi ha entre una base ortogonal i una base ortonormal? 4 Topologia — Nocions bàsiques de la topologia euclidiana i conjunts convexos EN ACABAR SABRÀS Definir i expressar analíticament boles obertes i tancades a Rn Classificar els punts d'un domini en interiors, exteriors o frontera Determinar si un subconjunt és obert, tancat, acotat o compacte Verificar gràficament la convexitat de dominis i regions al pla PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 34 Si un conjunt no és obert, vol dir automàticament que és tancat? La topologia a l'espai euclidià permet analitzar com s'agrupen els punts d'un conjunt i com es relaciona una regió amb el seu entorn immediat.

Mitjançant la distància euclidiana (vegeu «Àlgebra — Espai euclidià: producte escalar, norma, angle, ortogonalitat i distància»), podem passar de les mesures geomètriques bàsiques a caracteritzacions globals dels dominis com la compacitat i la convexitat.

ESQUEMA Topologia euclidiana i conjunts convexos L'ortogonal té vectors de longitud unitària a) L'ortogonal només té dos vectors b) L'ortonormal no requereix independència lineal c) L'ortonormal té vectors de norma 1 d) Mètrica euclidiana Distància entre vectors a Rn Boles a Rn Boles obertes i tancades Classificació de punts Interiors, exteriors i frontera Naturalesa del conjunt Conjunts oberts o tancats Mida i compacitat Conjunt acotat i compacte Geometria de segments Definició de conjunt convex Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 25 Boles en l'espai euclidià: obertes i tancades El concepte fonamental per mesurar la proximitat a és el de bola.

Fixat un centre i un radi positiu, una bola aplega tots els vectors que es troben a una distància inferior o igual a aquest valor. DEFINICIÓ Donat un punt i un radi real , la bola oberta de centre P i radi r és el conjunt de vectors que verifiquen: Si la desigualtat deixa de ser estricta i s'admet la igualtat ( ), es defineix la bola tancada. En el pla , les boles obertes coincideixen geomètricament amb els cercles sense incloure la circumferència que els delimita. Per exemple, per trobar la bola oberta centrada a amb radi , es plantegen els punts que compleixen: COMPROVA-HO 35 Quina diferència geomètrica hi ha a ² entre una bola oberta i una bola tancada del mateix centre i radi?

Punts interiors, exteriors i frontera d'un subconjunt Respecte a un subconjunt determinat , qualsevol punt de l'espai es classifica exactament en una de tres categories segons el comportament de les boles obertes centrades en ell. Diagrama de les posicions relatives d'un punt respecte a un conjunt. Rn P Rn r > 0 x Rn d( , P ) = x x P < r d( , P ) x r R2 P = ( 1, 0) r = 2 (x, y) < (x + 1) + y 2 2 2 (x + 1) + 2 y < 2 4 S Rn Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 26 Aquesta posició relativa formalitza la relació del punt amb l'interior, la vora o la zona exterior del conjunt mitjançant boles obertes prou petites.

Diagrama de boles obertes definint punts interiors, frontera i exteriors. Punt interior: un punt és interior a si existeix almenys una bola oberta centrada a continguda completament dins de . El radi pot ser tan reduït com calgui. Punt exterior: un punt és exterior a si és un punt interior al complementari de (és a dir, existeix una bola oberta centrada a que no toca ). Punt frontera: un punt és de la frontera si qualsevol bola oberta centrada en ell conté alhora punts que pertanyen a i punts exteriors a . P 1 Rn S P 1 S P 3 Rn S S P 3 S P 2 Rn S S Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 27 Gràfica de la corona circular entre radis 1 i arrel de 2.

Considerem com a cas pràctic la regió plana . Aquesta figura és una corona circular delimitada per radis 1 i . La seva frontera està formada exactament per les dues circumferències ( i ). El conjunt de punts interiors és la mateixa corona sense incloure cap d'aquestes dues circumferències límit ( ). COMPROVA-HO 36 Un punt frontera d'un conjunt S ha de pertànyer obligatòriament a S? Conjunts oberts, tancats i la seva naturalesa no excloent La inclusió o exclusió dels punts de la frontera determina si un conjunt és obert o tancat en el sentit topològic.

DEFINICIÓ Sigui un subconjunt: És un conjunt obert si no conté cap punt de la seva frontera (o de manera equivalent, si tots els seus punts són interiors). És un conjunt tancat si conté la totalitat dels seus punts frontera.

Subconjunt a Punts de la frontera continguts Tipus de conjunt Tots (les dues circumferències estan incloses) Tancat S = {(x, y) R : 2 1 x + 2 y 2 2} 2 x + 2 y = 2 1 x + 2 y = 2 2 1 < x + 2 y < 2 2 S Rn R2 S = {(x, y) : 1 x + 2 y 2 2} Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 28 Subconjunt a Punts de la frontera continguts Tipus de conjunt Cap (la paràbola límit queda exclosa per desigualtat estricta) Obert Conté els eixos coordenats però no el segment Ni obert ni tancat ERROR FREQÜENT Un error greu és considerar que els conceptes «obert» i «tancat» són excloents o oposats com en el llenguatge quotidià.

Un conjunt pot no ser ni obert ni tancat si inclou només una fracció de la seva frontera, tal com s'esdevé a la regió amb . Conjunts acotats i compacitat Les propietats de mida finita i contenció es descriuen mitjançant boles obertes que engloben tota la regió. DEFINICIÓ Un subconjunt és acotat si existeix una bola oberta de radi finit que el conté completament en el seu interior. A més, es defineix com a conjunt compacte si i només si és alhora tancat i acotat. L'anàlisi de compacitat d'una regió requereix verificar ambdues condicions de manera independent: Per exemple, la corona circular és compacta perquè és tancada i cap dins d'una bola oberta de centre i radi 2.

La regió parabòlica s'estén indefinidament cap a valors negatius de ; com que no cap en cap bola i a més és oberta, no és ni acotada ni compacta. Finalment, el sector circular està acotat dins del cercle de radi 2, però com que no conté els segments dels eixos positius, no és tancat i, en conseqüència, no és compacte. COMPROVA-HO 37 Un conjunt acotat que no contingui part de la seva frontera pot ser mai compacte? R2 S = {(x, y) : (x 5) + 2 y < 1} S = {(x, y) : x + y = 1, x, y 0} x + y = 1 x + y = 1 x, y 0 S Rn Comprovar si el conjunt és tancat: identificar la frontera sencera i verificar si cada un dels seus punts pertany a la regió.

1 Comprovar si el conjunt és acotat: determinar si és possible dibuixar una bola oberta (per exemple centrada a l'origen) que tanqui completament el conjunt dins d'un radi finit. 2 Concloure sobre la compacitat: si i només si es verifiquen ambdues condicions simultàniament, el conjunt és compacte. 3 1 x + 2 y 2 2 (0,0) y < 1 (x 5)2 y S = {(x, y) : x + 2 y 2 4, x > 0, y > 0} Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 29 Segments i conjunts convexos La propietat de convexitat té un paper fonamental en l'anàlisi matemàtica i l'optimització. Està basada en la geometria del segment que uneix dues posicions qualsevol.

DEFINICIÓ Donats dos punts , el segment que els uneix és el conjunt de punts de la recta que passa per i situats entre ells. Un subconjunt és un conjunt convex si, per a qualsevol parella de punts que pertanyin a , el segment sencer que els connecta està totalment contingut dins de . Per determinar gràficament la convexitat en dominis plans, s'observa si és possible triar dos punts de la regió el segment dels quals surti de la figura: La regió es pot reescriure com . La paràbola límit té vèrtex mínim a i talla l'eix vertical a .

Com que comprèn la paràbola i tota la zona superior interior, qualsevol segment entre dos punts d'aquesta conca queda contingut a l'interior de la regió; per tant, és un conjunt convex. Si la condició fos la contrària ( ), unint dos punts situats als braços de la paràbola el segment creuaria per sobre del vèrtex, quedant fora del conjunt; en aquest cas, la regió no seria convexa. De la mateixa manera, una corona circular mai no és convexa: dos punts oposats dins de l'anell queden units per un segment que travessa el forat central buit. IDEES CLAU Una bola oberta a recull els punts a distància estrictament menor que el radi .

Els punts d'un espai es classifiquen en interiors, exteriors o frontera segons com intersequen les boles obertes amb el conjunt. Un conjunt és obert si no té cap punt frontera, i tancat si els conté tots; un conjunt pot no ser cap de les dues coses. Un conjunt és compacte a si i només si és simultàniament tancat i acotat. Un conjunt és convex si conté completament el segment rectilini que uneix qualsevol parella dels seus punts. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 38. Per quina raó una corona circular com no és un conjunt convex? 39. Quines condicions topològiques ha de complir un subconjunt de per ser qualificat de compacte?

P , Q Rn P Q S Rn S S S = {(x, y) R : 2 y x + 2 2x 2} y x 2 2x + 2 (1,1) (0,2) S y x 2 2x + 2 Rn r Rn 1 x + 2 y 2 2 Rn Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 30 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 40. Com es defineix un conjunt obert a l'espai euclidià? 41. Quin tipus de conjunt és una corona circular tancada? 42. Què caracteritza un punt frontera d'un conjunt S? 43. Què exigeix la propietat de convexitat d'un conjunt? 5 Àlgebra — Formes quadràtiques i classificació del signe EN ACABAR SABRÀS Construir la matriu simètrica associada a una forma quadràtica a partir de la seva expressió polinòmica.

Calcular tots els menors principals d'una matriu simètrica d'ordre 2 i 3. Classificar el signe d'una forma quadràtica aplicant el criteri dels menors principals. Determinar el signe d'una forma quadràtica restringida a un subespai vectorial mitjançant substitució.

Un conjunt que no està acotat a) Un conjunt que conté tota la seva frontera b) Un conjunt que no és convex c) Un conjunt que no conté la seva frontera d) Un conjunt compacte i convex a) Un conjunt tancat no acotat b) Un conjunt obert i acotat c) Un conjunt compacte no convex d) No pot pertànyer mai al conjunt S a) Sempre pertany al conjunt S b) Tota bola conté punts de S i d'exteriors c) Existeix una bola continguda totalment a S d) Que la seva frontera sigui totalment suau a) Que estigui contingut en una bola oberta b) Que contingui el segment entre qualsevol parell c) Que sigui simultàniament obert i tancat d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 31 PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 44 Pot una funció que pren valors positius i negatius a tot l'espai passar a ser sempre negativa si només considerem els punts d'un pla concret?

Definició i expressió matricial d'una forma quadràtica Una forma quadràtica és una funció polinòmica homogènia de segon grau definida sobre l'espai vectorial amb valors a . En aquesta expressió, les variables apareixen sempre elevades al quadrat o multiplicades entre si per parelles. DEFINICIÓ Una aplicació és una forma quadràtica si existeix una matriu quadrada i simètrica d'ordre tal que, per a tot vector , es pot escriure com: on és el vector fila transposat de i és la matriu simètrica associada. A la matriu simètrica associada, els elements de la diagonal principal corresponen als coeficients dels termes quadràtics purs .

Els elements fora de la diagonal (amb ) s'obtenen repartint a parts iguals el coeficient del terme encreuat , de manera que . EXEMPLE Considerem l'expressió sobre donada per . La seva matriu simètrica associada és: Comprovem el producte matricial: COMPROVA-HO 45 Quins són els valors que ocupen les posicions fora de la diagonal principal en la matriu simètrica d'una forma quadràtica? Classificació d'una forma quadràtica pel seu signe L'interès analític de les formes quadràtiques se centra en el signe que prenen sobre els vectors no nuls de l'espai. Es classifiquen formalment en cinc categories: Rn R f : R n R A n = x (x , …

, x ) 1 n f( ) = x A = xt x a x x i,j=1 n ij i j xt x A = At a ii x i 2 a ij i = j x x i j a = ij a ji R3 f(x , x , x ) = 1 2 3 3x + 1 2 4x + 2 2 3x + 3 2 2x x 1 2 2x x 2 3 A = 3 1 0 1 4 1 0 1 3 = (x 1 x 2 x 3) 3 1 0 1 4 1 0 1 3 x 1 x 2 x 3 3x + 1 2 4x + 2 2 3x + 3 2 2x x 1 2 2x x 2 3 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 32 Classificació Condició analítica per a tot Comportament dels vectors no nuls Definida positiva Pren valors estrictament positius per a tot vector no nul. Definida negativa Pren valors estrictament negatius per a tot vector no nul. Semidefinida positiva Valors positius o zero, existint algun vector no nul amb .

Semidefinida negativa Valors negatius o zero, existint algun vector no nul amb . Indefinida Signe variable Existeixen vectors no nuls tals que i . Per la definició directa, classificar una expressió pot ser senzill si es pot transformar en una suma de quadrats. Per exemple, la forma es pot reescriure com . Com que aquesta suma és sempre més gran o igual que zero i per al vector val , es dedueix immediatament que és semidefinida positiva. COMPROVA-HO 46 Si una forma quadràtica pren el valor zero en un vector no nul, pot ser definida positiva?

Criteri dels menors principals Com que sovint no és trivial expressar un polinomi com a sumes de quadrats, s'utilitza l'anàlisi dels determinants de submatrius. DEFINICIÓ Un menor principal d'ordre d'una matriu quadrada d'ordre és el determinant de qualsevol submatriu quadrada d'ordre formada seleccionant les mateixes files i columnes, de manera que la seva diagonal conté elements de la diagonal principal d' . Per a una matriu , tenim tres menors d'ordre 1 (els elements ), tres menors d'ordre 2 (determinants obtinguts suprimint una fila i la mateixa columna), i un únic menor d'ordre 3, que coincideix amb .

= x 0 f( ) > x 0 f( ) < x 0 f( ) x 0 = y 0 f( ) = y 0 f( ) x 0 = y 0 f( ) = y 0 f( ) > x 0 f( ) < y 0 f(x, y, z) = x + 2 y + 2 z 2 2xy (x y) + 2 z2 (1, 1, 0) = 0 f(1, 1, 0) = (1 1) + 2 0 = 2 0 k A n k A 3 × 3 a , a , a 11 22 33 det(A) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 33 ESQUEMA Classificació de formes quadràtiques El caràcter de la forma quadràtica es dedueix seguint les regles de signes d'aquests determinants: Tipus de forma quadràtica Condició sobre els menors principals Determinant de la matriu ( ) Definida positiva Tots els menors principals són estrictament positius ( ). Definida negativa Menors d'ordre imparell i menors d'ordre parell .

Signe de Semidefinida positiva Tots els menors principals són . A = 0 obligatòriament Semidefinida negativa Menors imparells i menors parells . A = 0 obligatòriament Indefinida Qualsevol combinació de signes que no correspongui als casos anteriors. ERROR FREQÜENT Classificar com a semidefinida una forma quadràtica que té . Una forma quadràtica amb determinant no nul no pot ser mai semidefinida. Si i no compleix les regles de definida positiva o definida negativa, és directament indefinida.

Signe constant No canvia de signe Definida Valors estrictes no nuls Definida positiva Tots els menors > 0 Definida negativa Alternança de signes en menors Semidefinida S'anul·la en vectors no nuls Semidefinida positiva Menors >= 0 i det A = 0 Semidefinida negativa Imparells = 0, det = 0 Indefinida Pren valors positius i negatius detA > 0 detA > 0 < 0 > 0 ( 1)n 0 det 0 0 det det(A) = 0 det(A) = 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 34 EXEMPLE Determinem el signe de la forma quadràtica amb matriu: Com que els menors d'ordre imparell (1 i 3) són negatius i els d'ordre parell (2) són positius, la forma quadràtica és definida negativa.

COMPROVA-HO 47 Quina conclusió immediata podem extreure si una matriu té det(A) = -4 i un element diagonal positiu? Formes quadràtiques restringides a subespais vectorials En moltes aplicacions d'optimització, cal avaluar el signe d'una forma quadràtica sobre un subespai vectorial (vegeu «Àlgebra — Base, dimensió, components i subespais vectorials») i no sobre tot l'espai. Formalment es tracta de la restricció de la funció: . És important tenir present que si una forma quadràtica és definida (positiva o negativa) a tot , conservarà aquest caràcter sobre qualsevol subespai. Ara bé, si és indefinida a , sobre un subespai concret pot esdevenir definida o semidefinida.

PER RECORDAR-HO Per classificar una forma quadràtica restringida per equacions lineals homogènies, s'aïllen variables del subespai i es substitueixen en l'expressió original. Això genera una nova forma quadràtica amb menys variables que es classifica amb el procediment habitual. A = 5 3 1 3 2 0 1 0 3 Menors principals d'ordre 1: Són els elements de la diagonal: , i . Tots tres són estrictament negatius. 1 5 < 0 2 < 0 3 < 0 Menors principals d'ordre 2: Tots tres són estrictament positius.

2 = 5 3 3 2 10 9 = 1 > 0, = 2 0 0 3 6 > 0, = 5 1 1 3 15 1 = 14 > 0 Menor principal d'ordre 3: És el determinant global : 3 A A = 5(6 0) 3( 9 0) + 1(0 ( 2)) = 30 + 27 + 2 = 1 < 0 S Rn f : S S R Rn Rn S Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 35 EXEMPLE Considerem restringida al subespai . Tot i que és indefinida a (el seu determinant és no nul i no manté signes constants), sobre aïllem . Substituint a la fórmula: Com que per a qualsevol parella , la forma quadràtica inicial restringida a és definida negativa. IDEES CLAU Una forma quadràtica s'expressa sempre mitjançant una matriu simètrica única amb .

El signe d'una forma quadràtica es classifica en definida positiva o negativa, semidefinida positiva o negativa, o bé indefinida. Una forma quadràtica és definida positiva si tots els seus menors principals són estrictament positius, i definida negativa si els d'ordre parell són positius i els d'ordre imparell negatius. Si el determinant de la matriu simètrica és no nul ( ), la forma quadràtica mai no pot ser semidefinida. Una forma quadràtica indefinida a l'espai total pot esdevenir definida quan es restringeix a les equacions d'un subespai lineal. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 48. Com es reparteixen els coeficients dels termes creuats d'una forma quadràtica dins de la seva matriu associada? 49.

Per què una matriu amb determinant no nul no pot correspondre a una forma quadràtica semidefinida? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 50. Quin valor ocupa l'element a12 de la matriu associada a la forma quadràtica f(x, y) = 2x² - 6xy + y²? f(x, y, z) = 3x + 2 3z + 2 4xy + 8xz + 4yz S = {(x, y, z) R : 3 x + y + z = 0} f R3 S y = x z g(x, z) = 3x + 2 3z + 2 4x( x z) + 8xz + 4( x z)z = x 2 z2 g(x, z) = (x + 2 z ) < 2 0 (x, z) = (0, 0) S A f( ) = x A xt x det A = 0 2 a) -3 b) 3 c) -6 d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 36 51. Quina condició han de complir els menors principals d'una matriu simètrica per ser definida negativa? 52.

Si una matriu simètrica d'ordre 3 té det(A) = 5 i algun menor principal negatiu, la forma és: 53. Com influeix restringir una forma quadràtica indefinida a tot R³ sobre un subespai vectorial concret?

Els d'ordre imparell positius i d'ordre parell negatius a) Tots els menors han de ser estrictament negatius b) Tots els menors principals han de ser no positius c) Els d'ordre imparell negatius i d'ordre parell positius d) Definida positiva a) Semidefinida positiva b) Definida negativa c) Indefinida d) Esdevé obligatòriament semidefinida positiva a) Pot esdevenir definida positiva o definida negativa b) Sempre roman invariable i es manté indefinida c) No és possible calcular el seu signe restringit d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 37 6 Funcions escalars multivariables: domini, corbes de nivell, límits i continuïtat EN ACABAR SABRÀS Determinar analíticament i representar gràficament el domini de funcions escalars de dues variables.

Obtenir i interpretar les corbes de nivell associades a una superfície en l'espai. Demostrar la inexistència de límits multivariables mitjançant la tècnica dels límits reiterats. Analitzar la continuïtat d'una funció escalar en un punt comprovant les tres condicions formals. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 54 Com podem representar sobre un pla bidimensional una funció de dues variables la gràfica de la qual és una superfície tridimensional? Funció escalar real i domini de definició En moltes disciplines com l'economia, les magnituds depenen de múltiples factors simultanis, com ara el capital i el treball.

Per a modelitzar aquestes relacions s'utilitzen estructures definides sobre l'espai euclidià dotat del producte escalar habitual (vegeu «Àlgebra — Espai euclidià: producte escalar, norma, angle, ortogonalitat i distància»).

Càlcul 6 Funcions escalars multivariables: domini, corbes de nivell, límits i continuïtat 7 Derivades direccionals, derivades parcials i vector gradient 8 Aplicacions econòmiques: anàlisi marginal i elasticitats parcials 9 Diferenciabilitat, pla tangent i aproximació lineal 10 Regla de la cadena i derivació de funcions implícites 11 Derivades parcials d'ordre superior, teorema de Schwarz i matriu hessiana 12 Funcions homogènies, teorema d'Euler i aplicacions a la producció Rn Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 38 DEFINICIÓ Una funció escalar real de variables és una aplicació que assigna a cada vector d'un subconjunt un únic valor numèric real: El subconjunt s'anomena domini de definició de la funció i conté tots els punts per als quals l'expressió analítica té sentit dins de .

Quan , tenim la funció clàssica d'una variable real. En canvi, si , cada punt del pla té assignat un valor . EXEMPLE Considerem la funció escalar . Per tal que la imatge sigui un nombre real, el radicand de l'arrel quadrada ha de ser no negatiu. Per tant, el domini analític és: Per a representar-lo geomètricament, observem que l'equació de la frontera: descriu una circumferència centrada a l'origen amb radi 1. La forma general d'una circumferència de centre i radi és . Comprovant el punt , veiem que ; per tant, l'origen no pertany al domini. El conjunt està format per la vora circular i tota la regió exterior del pla. n A Rn f : A R n R = x (x , … , x ) 1 n A z = f( ) = x f(x , …

, x ) 1 n R A R n = 1 n = 2 (x, y) z = f(x, y) f(x, y) = + x + y 1 2 2 A = {(x, y) R : 2 x + 2 y 2 1 0} = {(x, y) R : 2 x + 2 y 2 1} x + 2 y = 2 1 (0, 0) (a, b) r > 0 (x a) + 2 (y b) = 2 r2 (0, 0) 0 + 2 0 = 2 0 < 1 A Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 39 Gràfica del domini de f(x, y) = (x² + y² - 1). COMPROVA-HO 55 Quina és la condició analítica del domini per a una funció que conté un logaritme com ara ln(xy)? Superfícies i mètode de les corbes de nivell Mentre que la representació d'una funció d'una variable genera una corba en el pla, la gràfica d'una funció de dues variables descriu una superfície a l'espai tridimensional .

z = f(x, y) R3 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 40 Esquema d'una superfície tridimensional i la imatge d'un punt. Representar gràficament superfícies en tres dimensions resulta sovint complex. Per simplificar la tasca s'utilitzen les corbes de nivell, una eina que permet projectar la informació tridimensional directament sobre el pla base . XY Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 41 Esquema de projecció de corbes de nivell sobre el domini.

DEFINICIÓ Donada una funció escalar , les seves corbes de nivell (denotades per ) són els conjunts de punts del pla que verifiquen l'equació: Geomètricament, s'obtenen tallant la superfície per un feix de plans horitzontals d'alçada constant i projectant la intersecció resultant sobre el domini en el pla . f : A R 2 R c k f(x, y) = k, amb k R z = k XY Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 42 EXEMPLE Vegem dos casos concrets de determinació de corbes de nivell: COMPROVA-HO 56 Què representa geomètricament la corba de nivell per a k = 1 en la funció z = 1 - (x - 1)² - (y - 1)²?

Límits en funcions multivariables i indeterminacions El concepte de límit per a una funció escalar formalitza la idea d'aproximació dels valors de la imatge a mesura que el vector variable s'acosta a un punt determinat. DEFINICIÓ Diem que el nombre real és el límit d'una funció escalar quan la variable tendeix cap al punt , i s'escriu: si els valors es fan tan propers a com es vulgui quan s'apropa a . En el pla s'expressa: En punts on l'expressió és ben definida, el càlcul es fa per substitució directa. Per exemple, per a al punt : En canvi, al punt obtenim , de manera que el límit finit no existeix. La dificultat principal apareix amb les indeterminacions com ara .

A la recta real només és possible apropar-se a un punt per l'esquerra o per la dreta. En canvi, a o existeixen infinites trajectòries d'aproximació cap al punt . Perquè el límit existeixi, la funció ha de tendir al mateix valor a través de qualsevol camí possible. Funció parabòlica: Sigui definida a tot . Igualant a la constant : Per a cada valor de , obtenim circumferències concèntriques amb centre a i radi . Si , la corba es redueix al punt central. 1 z = 1 (x 1) 2 (y 1)2 R2 k 1 (x 1) 2 (y 1) = 2 k (x 1) + 2 (y 1) = 2 1 k k 1 (1, 1) 1 k k =…