Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul

I 0 flashcards i 5 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES I Grau en Administració i Direcció d'Empreses Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de Matemàtiques I per a ADE a la UB: espais vectorials, formes quadràtiques, dominis, derivades direccionals, matriu hessiana i optimització lliure.

APREN.AI Índex 1 Espais vectorials, dependència lineal i bases a Estructura d'espai vectorial i operacions Combinació lineal i independència lineal Sistemes generadors, bases i subespais 2 Espai euclidià, norma, ortogonalitat i formes quadràtiques Producte escalar, norma i distància Ortogonalitat i ortonormalitat Formes quadràtiques i menors principals 3 Topologia a i funcions de diverses variables Topologia a : boles i tipologia de conjunts Dominis de funcions escalars de diverses variables Corbes de nivell 4 Càlcul diferencial, derivació composta i implícita Derivades parcials, gradient i derivada direccional Diferenciabilitat, marginalitat i elasticitats Regla de la cadena i derivació implícita 5 Homogeneïtat, matriu hessiana i optimització lliure Funcions homogènies Matriu hessiana i derivades creuades Optimització lliure: condicions d'òptim 6 Formulari Àlgebra lineal i geometria euclidiana Formes quadràtiques i menors principals Càlcul diferencial en diverses variables Optimització lliure de funcions multivariable Errors típics a evitar Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 1 1 Espais vectorials, dependència lineal i bases a EN ACABAR SABRÀS Determinar si un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors mitjançant rangs de matrius. Identificar la dependència o independència lineal d'un conjunt de vectors a . Comprovar si un grup de vectors forma un sistema generador o una base. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com podem saber si un vector afegit a una col·lecció aporta una dimensió nova o és redundant?

Estructura d'espai vectorial i operacions Un espai vectorial real està definit sobre el conjunt de vectors , on cada element compta amb components o ordenades reals. L'estructura s'articula mitjançant dues operacions fonamentals: Suma de vectors (operació interna): associa a cada parell la suma component a component . Compleix commutativitat, associativitat, existència d'element neutre i existència d'element simètric oposat . Producte per un escalar (operació externa): multiplica un escalar real per un vector, . Compleix la propietat associativa mixta, distributivitat respecte a la suma de vectors, distributivitat respecte a la suma d'escalars i element unitat neutre ( ).

Combinació lineal i independència lineal DEFINICIÓ Un vector és combinació lineal d'un conjunt de vectors si existeixen escalars tals que: Per determinar si un vector és combinació lineal, es construeix la matriu de coeficients amb els vectors com a columnes i la matriu ampliada afegint el vector : Si , el sistema és compatible i el vector és combinació lineal. Si , el sistema és incompatible i no és combinació lineal. Un conjunt és linealment independent (LI) si la combinació lineal nul·la només admet la solució trivial amb tots els escalars iguals a zero. En canvi, és linealment dependent (LD) si algun vector es pot expressar com a combinació lineal dels altres.

Rn n , u v Rn + u = v (u + 1 v , … , u + 1 n v ) n 0 u λ = u (λu , … , λu ) 1 n 1 = u u v { , … , } u1 uk λ , … , λ 1 k R = v λ + 1u1 + λ kuk A (A b) u rang(A) = rang(A b) u rang(A) = rang(A b) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 2 PER RECORDAR-HO En disposar els vectors en una matriu : si , el sistema és compatible determinat (SCD) i els vectors són linealment independents. Si el rang és estrictament menor, és compatible indeterminat (SCI) i són linealment dependents. COMPROVA-HO 2 Quin és el caràcter d'un conjunt de 4 vectors a ³?

Sistemes generadors, bases i subespais Un conjunt de vectors és un sistema generador de si qualsevol vector de l'espai es pot escriure com a combinació lineal d'ells. Aquest fet equival a comprovar que el rang de la matriu de vectors coincideix amb la dimensió de l'espai, és a dir, . Una base d'un espai vectorial requereix complir simultàniament dues condicions: Un subespai vectorial de és el conjunt format per totes les combinacions lineals possibles derivades d'un conjunt determinat de vectors generadors. ERROR FREQÜENT Confondre el nombre de vectors amb la dimensió de l'espai. Per formar una base a calen exactament vectors linealment independents.

Si tenim menys vectors, mai no podran generar tot l'espai. ESQUEMA Estructura de l'espai vectorial A rang(A) = nombre d'inc gnites o ˋ Rn rang(A) = n Ser un conjunt linealment independent ( ). 1 rang(A) = nombre de vectors Ser un sistema generador de l'espai ( ). 2 rang(A) = n Rn Rn n Espai vectorial Conjunt amb operacions Operació interna Suma de vectors Operació externa Producte per escalar Base vectorial Generadors i linealment independents Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 3 IDEES CLAU Un espai vectorial requereix operacions interna (suma) i externa (producte per escalar) amb les seves propietats associades.

La dependència lineal s'avalua mitjançant el rang de la matriu formada pels vectors en columnes. Una base requereix simultàniament independència lineal i capacitat de generació de tot l'espai vectorial. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Com es comprova mitjançant rangs si un vector pertany al subespai generat per altres vectors? 4. Quina condició sobre el rang determina que un conjunt de vectors sigui base a ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Quan són linealment independents un conjunt de vectors disposats en una matriu A? 6. Quina condició defineix una base de l'espai vectorial ? 7. Què passa si rang(A) és diferent de rang(A"b)? 8.

Què representa un subespai vectorial?

Quan el rang és menor que les incògnites a) Quan el determinant sempre val zero b) Quan el rang coincideix amb el nombre de vectors c) Quan hi ha més vectors que components d) Ser linealment independent i sistema generador a) Tenir més de n vectors ortogonals b) Qualsevol conjunt amb determinant zero c) Únicament ser un conjunt de norma unitària d) El vector b és combinació lineal única a) El conjunt forma una base euclidiana b) Els vectors de la matriu són linealment dependents c) El vector b no és combinació lineal d) El conjunt de totes les combinacions lineals a) Qualsevol matriu no invertible quadrada b) La intersecció de dues matrius oposades c) Un vector aïllat amb norma nul·la d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 4 2 Espai euclidià, norma, ortogonalitat i formes quadràtiques EN ACABAR SABRÀS Calcular el producte escalar, la norma i la distància euclidiana.

Normalitzar vectors i verificar condicions d'ortogonalitat i ortonormalitat. Classificar formes quadràtiques ordinàries i restringides mitjançant menors principals. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Per què un determinant d'ordre 2 negatiu descarta completament que una forma quadràtica sigui definida negativa? Producte escalar, norma i distància L'espai euclidià és un espai vectorial dotat d'un producte escalar, definit per a dos vectors com: Aquesta operació compleix les propietats commutativa, distributiva respecte a la suma i associativa respecte a un escalar. A partir del producte escalar es defineixen els conceptes mètrics següents: Esquema del càlcul de la norma a ².

Esquema de la interpretació geomètrica de vectors i angles. , u v Rn , = u v u = v u v + 1 1 u v + 2 2 + u v n n Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 5 Norma d'un vector: mesura la longitud del vector, . Compleix que (amb igualtat només si ), l'homogeneïtat , la desigualtat triangular i la desigualtat de Cauchy-Schwarz ( ). Vector unitari i normalització: un vector és unitari si . Per normalitzar qualsevol vector no nul es calcula . Angle entre vectors: es calcula aïllant el cosinus de l'expressió , d'on s'obté . Distància entre vectors: la distància entre dos punts o vectors correspon a la norma del seu vector diferència, . Esquema geomètric de la distància entre dos vectors.

Ortogonalitat i ortonormalitat Dos vectors són ortogonals si formen un angle de , la qual cosa equival a dir que el seu producte escalar és nul: . Es diu que dos vectors són ortonormals si, a més de ser ortogonals entre ells, són unitaris ( i ). Diagrama de vectors perpendiculars amb angle de 90 graus. COMPROVA-HO 10 Quan són dos vectors ortogonals sense calcular l'angle explícitament? Formes quadràtiques i menors principals Una forma quadràtica és una aplicació expressada analíticament com , on és una matriu quadrada simètrica.

Es classifiquen segons el signe de les seves imatges: = v + v + + v 1 2 n 2 u 0 = u 0 λ = u λ u u v u v = u 1 u u , = u v cos α u v cos α = u v , u v d( , ) = u v u = v + (u v ) + + (u v ) 1 1 2 n n 2 90 u = v 0 = u 1 = v 1 q : R n R q( ) = x A xT x A Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 6 Classificació Condició geomètrica Criteri de Menors Principals (MP) Definida positiva Tots els Semidefinida positiva i Tots els Definida negativa Signes alternats: Semidefinida negativa i Signes alternats no estrictes: Indefinida Pren valors positius i negatius Qualsevol altre cas (ex. menor d'ordre parell negatiu) Diagrama dels menors principals sobre la diagonal d'una matriu.

Quan les variables d'una forma quadràtica estan subjectes a restriccions lineals (equacions d'un subespai), s'anomena forma quadràtica restringida. Per estudiar-ne el signe s'aïllen les variables a la restricció, se substitueixen a l'expressió original i s'analitzen els menors principals de la nova matriu resultant. ERROR FREQÜENT Considerar que per ser definida negativa tots els menors principals han de ser negatius. Recorda que els determinants de submatrius d'ordre parell han de ser positius ( ), alternant el signe començant per negatiu en .

q( ) > x 0, = x 0 M P > i 0 q( ) x 0 = x : 0 q( ) = x 0 M P i 0 q( ) < x 0, = x 0 M P < 1 0, M P > 2 0, M P < 3 0, M P > 4 0 q( ) x 0 = x : 0 q( ) = x 0 M P 1 0, M P 2 0, M P 3 0 MP > 2 0, MP > 4 0 MP < 1 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 7 IDEES CLAU El producte escalar determina la norma, les distàncies i els angles a l'espai euclidià. L'ortogonalitat requereix producte escalar nul; l'ortonormalitat afegeix la condició de norma unitària. El signe d'una forma quadràtica es determina mitjançant els menors principals de la seva matriu simètrica associada. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Com es distingeix un conjunt de vectors ortogonals d'un d'ortonormals? 12.

Quin patró de signes han de seguir els menors principals d'una matriu definida negativa? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. Quina condició han de complir dos vectors per ser ortogonals? 14. Com es normalitza un vector u no nul? 15. Si una matriu simètrica té MP = -2 i MP = -1, la forma quadràtica és: 16. Com es defineix la distància entre dos vectors u i v?

Tenen exactament la mateixa direcció a) El seu determinant és positiu b) La seva suma de normes és 1 c) El seu producte escalar és nul d) Dividint el vector per la seva norma a) Calculant el seu determinant associat b) Sumant 1 a cada component c) Multiplicant el vector per la seva norma d) Definida negativa a) Semidefinida negativa b) Indefinida c) Definida positiva d) Com la norma de la diferència u - v a) Com el quocient entre les seves normes b) Com el producte escalar de tots dos c) Com la suma de totes les components d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 8 3 Topologia a i funcions de diverses variables EN ACABAR SABRÀS Distingir les propietats topològiques de conjunts a : obert, tancat, acotat, compacte i convex.

Calcular i representar analíticament dominis de funcions escalars. Interpretar geomètricament les corbes de nivell d'una superfície. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 17 Per què un conjunt infinit no pot ser mai compacte en un espai euclidià? Topologia a : boles i tipologia de conjunts Una bola oberta centrada al punt amb radi és el conjunt de punts la distància dels quals a és estrictament menor que : A partir d'aquest concepte es defineixen les propietats topològiques dels conjunts: Esquema de punt frontera i bola oberta sobre una regió. Punt frontera: un punt és frontera d'un conjunt si qualsevol bola oberta centrada en ell conté simultàniament punts que pertanyen a i punts que no hi pertanyen.

La frontera es denota . Conjunt obert i tancat: un conjunt és obert si no inclou cap dels seus punts frontera; és tancat si conté tots els punts de la seva frontera. Conjunt acotat i compacte: un conjunt és acotat si es pot incloure completament dins d'una bola finita (no és infinit). Un conjunt és compacte si és simultàniament tancat i acotat. Conjunt convex: un conjunt és convex si per a qualsevol parell de punts que en formin part, el segment rectilini que els uneix està totalment contingut dins de . a r > 0 a r B(a, r) = {x R n d(x, a) < r} P F S S Fr(S) S S Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 9 Gràfica del semiplà corresponent a la desigualtat x - y 2.

Taula de valors dels punts de tall d'una recta. COMPROVA-HO 18 Quina doble condició ha de satisfer un conjunt per ser compacte a ? Dominis de funcions escalars de diverses variables El domini d'una funció escalar és el conjunt de punts on la funció es pot avaluar matemàticament.

La imatge és el conjunt de nombres reals resultants: Tipus de funció Restricció analítica per al domini Polinòmica Sense restricció ( ) Exponencial Sense restricció de l'exponent ( ) Racional Denominador no nul: f : R n R Rn Rn g(x) 1 g(x) = 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 10 Tipus de funció Restricció analítica per al domini Irracional d'índex senar Sense restricció ( ) Irracional d'índex parell Radicand no negatiu: Logarítmica Argument estrictament positiu: Corbes de nivell Una corba de nivell d'alçada és el conjunt de punts del domini que tenen exactament la mateixa imatge real : Gràfica de paraboloid i corbes de nivell circulars.

Gràfica de corbes de nivell hiperbòliques per a f(x,y)=xy. n g(x) Rn n g(x) g(x) 0 ln(g(x)) g(x) > 0 k k C = k {x dom f f(x) = k} Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 11 Gràfica de corbes de nivell parabòliques. Per exemple, en la funció les corbes de nivell formen circumferències concèntriques a l'origen per a valors , mentre que per a les corbes representen hipèrboles equilàteres. ERROR FREQÜENT Confondre les restriccions del logaritme amb les de les arrels parells: el radicand d'una arrel pot ser zero ( ), però l'argument d'un logaritme ha de ser estrictament positiu ( ).

IDEES CLAU Els conceptes de conjunt obert, tancat i compacte depenen de la relació amb els punts frontera i l'acotació. El domini d'una funció exigeix verificar denominadors, arrels d'ordre parell i logaritmes. Les corbes de nivell agrupen els punts del pla que assoleixen el mateix valor de sortida k. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19. Per què les arrels d'índex senar no imposen cap restricció al domini? 20. Què representa geomètricament una corba de nivell d'una funció f(x, y)? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 21. Com es defineix un conjunt compacte a ?

f(x, y) = x + 2 y2 k > 0 f(x, y) = x y g(x) 0 g(x) > 0 És obert i no inclou la frontera a) És simultàniament tancat i acotat b) Qualsevol conjunt amb forma circular c) Un conjunt convex sense límit exterior d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 12 22. Quin és el requisit de domini per a f(x, y) = ln(4 - x² - y²)? 23. Què és un conjunt convex? 24. Quina geometria tenen les corbes de nivell de f(x, y) = x² + y² per a k > 0? 4 Càlcul diferencial, derivació composta i implícita EN ACABAR SABRÀS Calcular vectors gradients i derivades direccionals. Trobar l'equació de l'hiperplà tangent i interpretar valors marginals i elasticitats.

Aplicar la regla de la cadena i calcular derivades de funcions implícites. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 25 Com podem conèixer la variació d'una funció en una direcció diagonal sense calcular tots els valors al seu voltant? Derivades parcials, gradient i derivada direccional La derivada parcial mesura el ritme de canvi de la funció en variar una variable independent mentre les altres es mantenen constants. El vector gradient agrupa totes les primeres derivades parcials en un punt: La derivada segons un vector direccional es calcula mitjançant el producte escalar del gradient pel vector: .

Si el vector està normalitzat ( ), s'obté la derivada direccional: Sense cap restricció a) 4 - x² - y² > 0 b) 4 - x² - y² 0 c) 4 - x² - y² 0 d) Un conjunt que no conté la frontera a) El segment entre qualsevol parell de punts hi pertany b) Qualsevol regió tancada per rectes c) Un conjunt que no té punts interiors d) Paràboles creixents a) Hipèrboles asimptòtiques b) Rectes paral·leles c) Circumferències concèntriques d) f(x ) = 0 (x ), …

, (x ) ( x 1 f 0 x n f 0 ) v f (a) = v f(a) v = v 1 D f(a) = v f(a) v 1 v Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 13 Diferenciabilitat, marginalitat i elasticitats Una funció és diferenciable en un punt si es pot aproximar localment mitjançant el seu hiperplà tangent: En l'àmbit de les ciències econòmiques destaquen dues eines: Anàlisi marginal: la derivada parcial aproxima la variació absoluta de la funció en augmentar una unitat la variable : . Elasticitat parcial: mesura el percentatge de variació de la funció davant d'una variació percentual d'una variable: . COMPROVA-HO 26 Quina diferència conceptual hi ha entre anàlisi marginal i elasticitat parcial?

Regla de la cadena i derivació implícita Per a funcions compostes on depèn de variables intermèdies dependents de , la regla de la cadena estableix: Diagrama en arbre de dependències per a la regla de la cadena. Quan una relació entre variables ve donada de forma implícita per una equació de la forma , la derivada de la funció implícita s'obté mitjançant: Diagrama d'arbre per a la derivació d'una funció implícita. T(x, y) = f(a, b) + (a, b)(x x f a) + (a, b)(y y f b) x i f x i f(a + 1 1, a ) 2 f(a , a ) + 1 2 (a , a ) x 1 f 1 2 ε f = x i f(x) x i x i f f(x , …

, x ) 1 n u, v = u f + x 1 f u x 1 + x n f u x n F (x, y, z) = 0 y(x, z) = x y , = y F x F z y y F z F Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 14 ERROR FREQÜENT Oblidar el signe negatiu obligatori de la fórmula de la derivada implícita, el qual prové d'aïllar el diferencial total igualat a zero ( ).

PROCÉS Passos per a la derivada direccional 1 Derivades parcials Calcular les primeres derivades respecte a cada variable 2 Construir el gradient Avaluar el vector gradient en el punt indicat 3 Normalitzar el vector Dividir el vector direccional per la seva norma 4 Producte escalar Multiplicar el gradient pel vector unitari IDEES CLAU El gradient recull les direccions de variació màxima i serveix per obtenir qualsevol derivada direccional. El pla tangent aproxima de forma lineal una funció diferenciable al voltant d'un punt. La regla de la cadena suma els canvis transmesos a través de cadascuna de les variables intermèdies. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 27.

Com s'expressa el vector gradient d'una funció f(x, y, z)? 28. Quin signe porta la fórmula de derivació d'una funció implícita F(x, y) = 0 per a dy/dx? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 29. Què expressa el vector gradient en un punt donat? 30. Com es calcula la derivada direccional segons el vector v normalitzat?

dF = 0 La distància al pla tangent de referència a) La matriu de derivades parcials segones b) La relació d'elasticitat de les variables c) El vector de derivades parcials primeres d) Mitjançant el producte escalar de f per v a) Calculant el quocient de les derivades creuades b) Dividint el gradient pel determinant de v c) Sumant les components de v al gradient d) Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 15 31. Què mesura l'elasticitat parcial respecte a x? 32. Com s'obté la derivada implícita y/ x a partir de F(x, y, z) = 0? 5 Homogeneïtat, matriu hessiana i optimització lliure EN ACABAR SABRÀS Comprovar l'homogeneïtat d'una funció i trobar el seu grau.

Calcular la matriu hessiana d'una funció escalar de diverses variables. Trobar punts crítics i classificar-los en màxims, mínims o punts de sella. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 33 Com podem saber si un terreny pla en un cim té forma de conca, de muntanya o de sella de cavall? Funcions homogènies Una funció és homogènia de grau k si en reescalar totes les seves variables per un factor real , la funció queda multiplicada per : Aquesta propietat s'utilitza àmpliament en funcions de producció per analitzar rendiments d'escala.

Matriu hessiana i derivades creuades La matriu hessiana és la matriu quadrada de les derivades parcials de segon ordre: Com que les derivades parcials creuades coincideixen ( ), fent que la hessiana sigui una matriu simètrica. COMPROVA-HO 34 Quina conseqüència pràctica té el teorema de Schwarz en calcular la matriu hessiana?

L'angle que forma la tangent amb els eixos a) El percentatge de canvi de f davant una variació percentual de x b) La variació absoluta de f davant una unitat de x c) El radi de la bola de diferenciabilitat del domini d) ( F/ x) / ( F/ y) a) ( F/ y) / ( F/ x) b) -( F/ x) / ( F/ y) c) -( F/ y) / ( F/ x) d) f(x, y) t tk f(tx, ty) = t f(x, y) k Hf(x) Hf = ( x2 f 2 y x f 2 x y f 2 y2 f 2 ) = x y f 2 y x f 2 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 16 Optimització lliure: condicions d'òptim Per identificar extrems locals o relatius (màxims i mínims) es segueix un procediment en dues etapes: DEFINICIÓ El Teorema de Weierstrass garanteix que qualsevol funció contínua definida sobre un conjunt compacte (tancat i acotat) assoleix de manera segura tant un màxim com un mínim global o absolut.

ERROR FREQÜENT Donar per fet que un punt amb gradient nul és sempre un extrem. Un punt crític amb matriu hessiana indefinida és un punt de sella (no és màxim ni mínim). PROCÉS Classificació de punts crítics 1 Punts crítics Trobar punts on f(x, y) = 0 2 Construir hessiana Calcular les derivades segones i avaluar el punt 3 Menors principals Determinar els signes de MP i MP 4 Conclusió de l'òptim Identificar màxim, mínim o punt de sella IDEES CLAU L'homogeneïtat de grau k analitza la resposta de la funció en multiplicar els seus arguments per un escalar t. Els punts crítics s'obtenen igualant totes les derivades primeres a zero (condició necessària).

El caràcter de màxim, mínim o sella es determina mitjançant el signe de la matriu hessiana. El teorema de Weierstrass assegura extrems absoluts quan el domini és compacte. Condició necessària (CN): es busquen els punts crítics anul·lant el vector gradient: 1 f(x , y ) = 0 0 0 = x f 0, = y f 0 Condició suficient (CS): s'avalua el caràcter de la matriu hessiana mitjançant els seus menors principals: Si és definida positiva ( ): la funció és estrictament convexa localment i el punt és un mínim local. Si és definida negativa ( ): la funció és estrictament còncava localment i el punt és un màxim local. Si és indefinida: el punt crític és un punt de sella o inflexió.

2 Hf(x , y ) 0 0 Hf MP > 1 0, MP > 2 0 Hf MP < 1 0, MP > 2 0 Hf Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 17 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 35. Quina condició sobre la matriu hessiana garanteix l'existència d'un mínim local? 36. Què succeeix en un punt crític si el segon menor principal MP de la matriu hessiana d'ordre 2 és negatiu? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 37. Quina condició necessària defineix un punt crític en optimització lliure? 38. Si una matriu hessiana en un punt crític és definida negativa, el punt és: 39. Què estableix el teorema de Weierstrass? 40. Si f(tx, ty) = t² f(x, y), quin és el grau d'homogeneïtat?

6 Formulari Àlgebra lineal i geometria euclidiana Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : matriu de vectors en columnes Comprovar dependència lineal ( ; ). : matriu ampliada amb el vector Determinar si és combinació lineal del conjunt.

La funció és necessàriament homogènia de grau 1 a) La matriu hessiana té determinant zero b) Totes les derivades segones són positives c) El vector gradient és el vector nul d) Un punt de sella a) Un màxim local b) Un punt de discontinuïtat c) Un mínim local d) Una funció contínua en un compacte té màxim i mínim absolut a) Tota funció derivable és homogènia b) Les derivades d'ordre superior sempre s'anul·len c) Tots els punts crítics són punts extrems d) Grau t a) Grau 1 b) Grau 2 c) Grau nul d) A = ( …

) u1 uk rang(A) A rang = k LI rang < k LD rang(A) = rang(A b) (A b) b b Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 18 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : dimensió de l'espai vectorial Comprovar si el conjunt és sistema generador de . : components dels vectors Producte escalar euclidià ordinari. : norma o mòdul del vector Mesurar la longitud del vector. : vector unitari ( ) Normalitzar un vector no nul en la mateixa direcció. : angle comprès entre i Calcular l'angle entre dos vectors. Producte escalar nul Verificar ortogonalitat (angle de 90°). : distància euclidiana entre dos punts Calcular la separació mètrica entre dos vectors.

Formes quadràtiques i menors principals Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : menor principal d'ordre de la matriu simètrica Forma quadràtica definida positiva. Menors principals amb signes alternats començant per negatiu Forma quadràtica definida negativa. (positiu) o signes alternats (negatiu) Desigualtats no estrictes amb algun Forma quadràtica semidefinida positiva o negativa. Aïllar variable a la restricció substituir a analitzar nova matriu Reducció de dimensions mitjançant subespai Classificar formes quadràtiques restringides.

Càlcul diferencial en diverses variables Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : vector gradient Vector de direcció de màxima variació i base de càlcul diferencial. : derivada direccional Ritme de variació en la direcció del vector . rang(A) = n n Rn Rn , = u v u v i=1 n i i u , v i i = u + u i=1 n i 2 u = uu u u uu = uu 1 cos α = u v , u v α u v u = v 0 d( , ) = u v u v d M P > i 0, i M P i i M P < 1 0, M P > 2 0, M P < 3 0, … M P i 0 , M P = 0 q( ) x f(x ) = 0 , …

, ( x 1 f x n f ) f D f(a) = v f(a) v v D f v v Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 19 Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza : hiperplà o pla tangent Aproximació lineal de la funció en un entorn del punt. Aproximació marginal Estimar la variació de la funció davant l'augment d'1 unitat en la variable. : elasticitat parcial Mesurar el percentatge de variació relativa respecte a la variable. Regla de la cadena per a funcions compostes Derivar respecte a una variable independent indirecta. : equació implícita Trobar la derivada d'una funció definida de manera implícita.

: grau d'homogeneïtat, : factor d'escala Verificar si una funció és homogènia i conèixer-ne el grau. Optimització lliure de funcions multivariable Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'utilitza resoldre sistema Condició necessària de primer ordre Localitzar els punts crítics de la funció. : matriu hessiana de derivades segones Condició suficient de segon ordre per classificar punts crítics. a Hessiana definida positiva Classificació de mínim local. a Hessiana definida negativa Classificació de màxim local. a Hessiana indefinida Classificació de punt de sella o inflexió.

Errors típics a evitar Oblidar el signe negatiu a la derivada implícita: la fórmula correcta sempre incorpora el signe menys davant del quocient, . Confondre vectors independents amb sistema generador: vectors linealment independents generen només si . No normalitzar el vector en la derivada direccional: cal dividir prèviament el vector entre la seva norma abans de fer el producte escalar pel gradient. Avaluar la hessiana amb signes equivocats en màxims: per ser màxim local, però (mai negatiu).

T(x, y) = f(a, b) + (a, b)(x x f a) + (a, b)(y y f b) T(x, y) f(a + 1 1, a ) 2 f(a , a ) + 1 2 (a , a ) x 1 f 1 2 ε f = x i f(x) x i x i f ε = u f i=1 n x i f u x i = x y F/ y F/ x F (x, y) = 0 f(tx, ty) = t f(x, y) k k t f(x, y) = 0 Hf(x , y ) = 0 0 ( f xx f yx f xy f yy ) Hf M P > 1 0, M P > 2 0 Hf(x ) 0 M P < 1 0, M P > 2 0 Hf(x ) 0 M P < 2 0 Hf(x ) 0 ( F / x)/( F / y) k Rn k = n MP < 1 0 MP > 2 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 20 Solucions de les preguntes de repàs 1. Analitzant si el rang de la matriu augmenta en afegir el vector o si es manté inalterat. 2.

És obligatòriament linealment dependent (LD), ja que la matriu associada té dimensió 3×4 i el rang màxim possible és 3, inferior al nombre de vectors. 3. Es comprova que el rang de la matriu de coeficients sigui igual al rang de la matriu ampliada amb aquest vector. 4. El rang de la matriu dels vectors ha de ser igual tant al nombre de vectors com a la dimensió de l'espai. 5. c) Quan el rang coincideix amb el nombre de vectors. La independència lineal equival a un sistema homogeni compatible determinat, on el rang iguala el nombre de vectors. 6. a) Ser linealment independent i sistema generador. Una base ha de ser lliure (linealment independent) i generadora de tot l'espai vectorial. 7.

d) El vector b no és combinació lineal. La desigualtat de rangs indica un sistema incompatible segons el teorema de Rouché-Frobenius. 8. a) El conjunt de totes les combinacions lineals. Un subespai conté totes les combinacions lineals derivades dels seus vectors generadors. 9. Perquè en una forma definida negativa el menor principal d'ordre parell ha de ser estrictament positiu (MP > 0). 10. Quan el seu producte escalar és exactament zero, atès que cos(90°) = 0. 11. Els vectors ortogonals tenen producte escalar nul entre ells, mentre que els ortonormals a més tenen norma igual a 1. 12. Han d'alternar signes començant per negatiu: ordre senar negatiu ( ) i ordre parell positiu ( ). 13.

d) El seu producte escalar és nul. Dos vectors són ortogonals si el seu producte escalar val 0, que correspon a un angle de 90 graus. 14. a) Dividint el vector per la seva norma. Dividir el vector pel mòdul o norma produeix un vector amb norma igual a 1 en la mateixa direcció. 15. c) Indefinida. Un menor principal d'ordre parell negatiu (MP < 0) implica immediatament caràcter indefinit. 16. a) Com la norma de la diferència u - v. La distància euclidiana entre dos vectors correspon a la norma del vector que els uneix, ""u - v"". 17. Perquè la compacitat exigeix que el conjunt sigui acotat, és a dir, que quedi tancat dins d'una bola de radi finit. 18.

Ha de ser simultàniament un conjunt tancat (contenir tota la frontera) i acotat (no estendre's a l'infinit). 19. Perquè admeten tant nombres positius com negatius i el zero en el seu radicand dins dels reals. 20. La projecció sobre el pla xy dels punts de la superfície que es troben a una alçada constant . 21. b) És simultàniament tancat i acotat. La compacitat en espais euclidians requereix per definició que el conjunt sigui tancat i acotat. 22. b) 4 - x² - y² > 0. El logaritme neperià només està definit per a valors estrictament positius. n M P < 1 0, M P < 3 0 M P > 2 0, M P > 4 0 z = k Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 21 23.

b) El segment entre qualsevol parell de punts hi pertany. La convexitat exigeix que tots els punts del segment entre dos punts del conjunt quedin dins d'ell. 24. d) Circumferències concèntriques. L'equació x² + y² = k amb k > 0 defineix circumferències centrades a l'origen de radi k. 25. Multiplicant el vector gradient de la funció pel vector unitari que assenyala aquesta direcció. 26. La marginalitat avalua canvis absoluts en unitats de producte, mentre que l'elasticitat calcula taxes de variació percentuals relatives. 27. Com el vector format per les seves derivades parcials primeres: . 28. Porta un signe negatiu davant del quocient entre les derivades parcials: . 29.

d) El vector de derivades parcials primeres. El vector gradient reuneix totes les derivades parcials de primer ordre calculades en aquell punt. 30. a) Mitjançant el producte escalar de f per v. La taxa de canvi en la direcció d'un vector unitari s'obté pel producte escalar del gradient per dit vector. 31. b) El percentatge de canvi de f davant una variació percentual de x. L'elasticitat reflecteix la resposta percentual relativa davant d'augments de la variable. 32. c) -( F/ x) / ( F/ y). Aïllant dy a l'expressió diferencial s'obté necessàriament el quocient negatiu - (Fx / Fy). 33. Analitzant el signe de la curvatura en totes direccions mitjançant la matriu hessiana. 34.

Fa que la matriu hessiana sigui simètrica, ja que les derivades creuades respecte a x i y són idèntiques. 35. La matriu hessiana ha de ser definida positiva en el punt crític ( ). 36. La matriu hessiana és indefinida i el punt crític correspon a un punt de sella. 37. d) El vector gradient és el vector nul. La condició de primer ordre exigeix que totes les derivades parcials primeres s'anul·lin simultàniament. 38. b) Un màxim local. Una hessiana definida negativa indica concavitat estricta, fet que caracteritza un màxim local. 39. a) Una funció contínua en un compacte té màxim i mínim absolut. La continuïtat sobre un conjunt compacte garanteix l'existència d'extrems absoluts globals. 40.

c) Grau 2. L'exponent de l'escalar t en treure'l com a factor comú determina directament el grau d'homogeneïtat. ( f/ x, f/ y, f/ z) F/ y F/ x M P > 1 0, M P > 2 0 Apunts de Matemàtiques I: Àlgebra Lineal i Càlcul 22