Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids

I 0 flashcards i 2 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS COMPLEMENTS DE QUÍMICA Grau en Química Universitat Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apunts de Complements de Química sobre sistemes cristal·lins, xarxes de Bravais, recompte d'àtoms per cel·la, buits i càlcul de densitats.

APREN.AI Índex 1 Sistemes cristal·lins, xarxes de Bravais i recompte a la cel·la La cel·la unitat i els paràmetres cristal·logràfics Tipus de cel·les i les 14 xarxes de Bravais Càlcul d'unitats de fórmula (UF) per cel·la 2 Empaquetaments, coordinació, forats i densitat cristal·lina Comparativa de cel·les metàl·liques bàsiques Models d'empaquetament compacte i forats Estructures iòniques típiques Procediment de càlcul de la densitat cristal·lina Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions. Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important.

Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 1 1 Sistemes cristal·lins, xarxes de Bravais i recompte a la cel·la EN ACABAR SABRÀS Identificar els 7 sistemes cristal·lins a partir dels seus paràmetres. Calcular les unitats de fórmula contingudes en una cel·la unitat segons la seva simetria. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què un àtom situat a la cantonada d'una cel·la cúbica no compta com un àtom sencer dins seu? Els sòlids es presenten principalment sota dues formes d'organització interna: la matèria cristal·lina, caracteritzada per un ordre intern periòdic d'abast llarg, i la matèria amorfa, en la qual manca aquesta ordenació regular.

Quan un patró presenta una simetria que es repeteix a diferents escales, parlem d'estructures fractals. La cel·la unitat i els paràmetres cristal·logràfics La cel·la unitat és la unitat geomètrica mínima que es repeteix regularment en tres dimensions per formar la xarxa tridimensional del cristall. Aquest paral·lelepípede queda completament determinat per sis paràmetres cristal·logràfics: Tres longituds d'aresta o eixos: , i . Tres angles interaxials: (entre i ), (entre i ) i (entre i ). Esquema dels 7 sistemes cristal·lins amb les seves relacions geomètriques.

A partir de les relacions d'igualtat o desigualtat d'aquestes dimensions i angles, s'obtenen els 7 sistemes cristal·lins: Sistema cristal·lí Longituds de les arestes Angles axials Cúbic Tetragonal a b c α b c β a c γ a b a = b = c α = β = γ = 90 a = b = c α = β = γ = 90 Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 2 Sistema cristal·lí Longituds de les arestes Angles axials Ortoròmbic Romboèdric Hexagonal , Monoclínic Triclínic COMPROVA-HO 2 Quines condicions d'angles i arestes defineixen de manera inequívoca el sistema hexagonal?

Tipus de cel·les i les 14 xarxes de Bravais Segons la posició dels àtoms dins la cel·la, es distingeixen quatre tipus fonamentals de cel·les tridimensionals: Primitiva (P): àtoms exclusivament als vèrtexs. Centrada en el cos (I): àtoms als vèrtexs i un àtom al centre geomètric de la cel·la. Centrada en una cara (A, B o C): àtoms als vèrtexs i al centre de dues cares oposades paral·leles. Centrada en totes les cares (F): àtoms als vèrtexs i al centre de cadascuna de les cares. En combinar els set sistemes cristal·lins amb aquests modes de xarxa resulten exactament les 14 xarxes de Bravais. Diagrama de les 14 xarxes de Bravais agrupades per sistemes.

a = b = c α = β = γ = 90 a = b = c α = β = γ = 90 a = b = c α = β = 90 γ = 120 a = b = c α = γ = 90 = β a = b = c α = β = γ = 90 Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 3 ESQUEMA Tipus de centrat de cel·la unitat Càlcul d'unitats de fórmula (UF) per cel·la La fracció amb què un àtom contribueix a una cel·la concreta depèn de la seva posició cristal·logràfica, ja que es comparteix entre cel·les veïnes: Posició a la cel·la Cel·la cúbica (fracció aportada) Cel·la hexagonal (fracció aportada) Vèrtex Compartit per 8 cel·les: Compartit per 6 cel·les: Aresta Compartida per 4 cel·les: Compartida per 3 cel·les: Cara Compartida per 2 cel·les: Compartida per 2 cel·les: Interior Pertany a 1 cel·la: 1 Pertany a 1 cel·la: 1 ERROR FREQÜENT No apliquis la fracció cúbica de vèrtex ( ) a un sistema hexagonal.

En un prisma hexagonal, cada vèrtex és compartit per només 6 cel·les contigües, de manera que la seva fracció efectiva és , i una aresta vertical es comparteix entre 3 cel·les ( ). IDEES CLAU L'estat cristal·lí té ordre periòdic tridimensional definit per una cel·la unitat de sis paràmetres. Existeixen 7 sistemes cristal·lins que combinats amb els 4 tipus de centrat donen lloc a les 14 xarxes de Bravais. El recompte d'àtoms per cel·la requereix multiplicar cada posició per la fracció que no es comparteix amb cel·les adjacents.

Primitiva (P) Àtoms només als vèrtexs Centrada al cos (I) Vèrtexs i un àtom central Centrada a les cares (F) Vèrtexs i centres de totes les cares Centrada en una cara (C) Vèrtexs i dues cares oposades 8 1 6 1 4 1 3 1 2 1 2 1 8 1 6 1 3 1 Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 4 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Quantes unitats de fórmula (UF) té una cel·la cúbica centrada en el cos (I) formada per un sol element? 4. Com difereixen les aportacions d'un àtom en un vèrtex en una cel·la cúbica respecte d'una hexagonal? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Quants sistemes cristal·lins i quantes xarxes de Bravais existeixen en tres dimensions? 6.

Quina fracció d'àtom aporta una posició situada sobre una cara d'una cel·la cúbica? 7. Quin sistema es caracteritza per a = b = c i angles iguals diferents de 90°? 8. Quantes cel·les comparteixen una aresta en una xarxa hexagonal? 2 Empaquetaments, coordinació, forats i densitat cristal·lina EN ACABAR SABRÀS Calcular la densitat d'un sòlid a partir dels paràmetres de xarxa i la massa molar. Relacionar la seqüència d'apilament amb el tipus d'empaquetament i els forats resultants. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Quants àtoms veïns toquen directament una esfera en un apilament compacte de boles de billar?

7 sistemes i 28 xarxes a) 14 sistemes i 7 xarxes b) 7 sistemes i 14 xarxes c) 6 sistemes i 12 xarxes d) 1/2 a) 1/4 b) 1/8 c) 1 d) Ortoròmbic a) Cúbic b) Monoclínic c) Romboèdric d) 3 cel·les a) 6 cel·les b) 8 cel·les c) 4 cel·les d) Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 5 El número de coordinació és el nombre d'àtoms o ions situats a una distància equidistant d'un àtom o ió central donat. En funció del tipus d'empaquetament, s'obtenen diferents valors d'ocupació de l'espai i coordinació.

Comparativa de cel·les metàl·liques bàsiques Tipus d'estructura Nombre d'UF ( ) Número de coordinació Factor d'ocupació Cúbica primitiva (cP) 1 6 52,3% Cúbica centrada en el cos (cI) 2 8 68% Cúbica centrada a les cares (cF / ecc) 4 12 74% Hexagonal compacta (hP / ehc) 6 12 74% Esquema dels números de coordinació per a cel·les cP, cI, cF i hP. COMPROVA-HO 10 Quina diferència hi ha en el factor d'ocupació entre una xarxa cúbica centrada a les cares i una d'hexagonal compacta? Models d'empaquetament compacte i forats En apilar capes d'esferes compactes, s'obté la màxima densitat d'ocupació (74%): Primera capa: pla d'esferes en contacte ( ).

Segona capa: s'allotja a les concavitats de la primera ( ). Entre elles es generen forats octaèdrics ( ) i forats tetraèdrics ( ). Tercera capa: Seqüència ABABAB...: les esferes coincideixen amb la primera capa, originant l'empaquetament hexagonal compacte (ehc, hP). Seqüència ABCABC...: la capa se situa sobre concavitats diferents, originant l'empaquetament cúbic compacte (ecc, cF). Z A B O h T d Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 6 Diagrama de la distribució espacial de forats octaèdrics i tetraèdrics. El fenomen del politipisme consisteix en l'apilament compacte de capes amb seqüències diferents per al mateix element o compost.

Altres seqüències d'apilament són: ABACABAC (ex.: La, Nd, Am) i ABACACBCB (ex.: Sm). A la xarxa cúbica centrada a les cares (cF), el recompte dels forats és: Forats octaèdrics ( ): situats al centre de les arestes i al centre geomètric del cub: Forats tetraèdrics ( ): situats a l'interior dels vuit subcubs: Estructures iòniques típiques En compostos iònics, els anions formen sovint una subxarxa d'empaquetament compacte i els cations ocupen els buits intersticials: Estructura NaCl: anions en xarxa cF (ecc) amb tots els llocs octaèdrics ( ) ocupats per cations ( ). Estructura ZnS: anions en xarxa cF (ecc) amb la meitat dels llocs tetraèdrics ( ) ocupats per .

Esquema de la cel·la de NaCl amb ocupació de llocs octaèdrics. Procediment de càlcul de la densitat cristal·lina La densitat teòrica d'un sòlid es determina a partir de la seva massa cel·lular i volum unitari mitjançant la fórmula: on és el nombre d'Avogadro i .

O h 12 × + 4 1 1 = 4 forats O h T d 8 × 1 = 8 forats T d Cl O h Na+ 4 UF S2 T d Zn2+ d = V × N cel la A UF × M N = A 6,023 × 10 mol 23 1 1 = Å 10 cm 8 Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 7 EXEMPLE Càlcul de la densitat del Níquel (Ni), que cristal·litza en una estructura cF (pes atòmic , aresta ): ERROR FREQÜENT Quan calculis el volum per a la densitat en , recorda convertir els Àngstroms a centímetres ( ) i no pas a metres ( ), o obtindràs una densitat errònia per un factor de .

PROCÉS Formació dels empaquetaments compactes 1 Capa A Disposició hexagonal compacta en un pla 2 Capa B S'encaixa en les concavitats de la capa A 3 Tercera Capa Retorn a posició A (ehc) o nova posició C (ecc) IDEES CLAU Els empaquetaments compactes (cF i hP) assoleixen un 74% d'ocupació màxima amb índex de coordinació 12. L'empaquetament hexagonal compacte segueix la seqüència ABABAB, mentre que el cúbic segueix ABCABC. Una xarxa cúbica centrada a les cares (cF) conté 4 forats octaèdrics i 8 forats tetraèdrics per cel·la. La densitat macroscòpica es dedueix directament del nombre d'unitats de fórmula, la massa molar i el volum de la cel·la. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11.

Quants forats octaèdrics i tetraèdrics hi ha disponibles en una cel·la unitat cF? 12. Com s'ocupen els buits a l'estructura de tipus NaCl? 58,69 g/mol a = 3,52 Å Determinació d'unitats de fórmula: . 1 UF = 8 × + 8 1 6 × = 2 1 4 Càlcul del volum cel·lular: . 2 V = a = 3 (3,52 × 10 cm) 8 3 Càlcul de la densitat: 3 d = = (3,52 × 10 ) × 6,023 × 10 8 3 23 4 × 58,69 8,94 g/cm3 g/cm3 1 = Å 10 cm 8 10 m 10 106 Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 8 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. Quin és el factor d'ocupació màxim en les estructures d'esferes compactes? 14. Quina seqüència d'apilament defineix l'empaquetament hexagonal compacte (ehc)? 15.

Quin és el número de coordinació d'un àtom en una estructura cúbica centrada en el cos (cI)? 16. Quants forats tetraèdrics sencers conté una cel·la cúbica centrada a les cares? 52,3% a) 82% b) 68% c) 74% d) ABABAB... a) ABACABAC... b) AAAAAA... c) ABCABC... d) 6 a) 12 b) 8 c) 4 d) 8 a) 2 b) 4 c) 12 d) Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 9 Solucions de les preguntes de repàs 1. Perquè està situat en un punt de contacte compartit simultàniament per vuit cubs contigus a l'espai. 2. Té dues arestes basals iguals i una de diferent ( ), amb dos angles rectes ( ) i un angle entre les bases de . 3. Té UF (8 vèrtexs més 1 àtom central complet). 4.

A la xarxa cúbica l'àtom del vèrtex aporta perquè toca 8 cel·les, mentre que a l'hexagonal aporta perquè només en comparteix 6. 5. c) 7 sistemes i 14 xarxes. La combinació dels 7 sistemes bàsics amb els modes de xarxa genera exactament 14 xarxes tridimensionals. 6. a) 1/2. Qualsevol cara és compartida per exactament dues cel·les adjacents, aportant la meitat a cadascuna. 7. d) Romboèdric. El sistema romboèdric té les tres arestes iguals i els tres angles idèntics però diferents de 90°. 8. a) 3 cel·les. En la geometria hexagonal, les arestes paral·leles a l'eix c són compartides per tres cel·les unitàries adjacents. 9.

En toquen exactament 12: sis en el seu mateix pla, tres a la capa superior i tres a la inferior. 10. Cap diferència, totes dues comparteixen el mateix factor màxim d'ocupació del 74% i coordinació 12. 11. Hi ha 4 forats octaèdrics (12 a les arestes que sumen 3 més 1 al centre) i 8 forats tetraèdrics (tots interiors). 12. Els clorurs formen una estructura cúbica centrada a les cares i els sodis ocupen el 100% dels 4 llocs octaèdrics. 13. d) 74%. Tant l'empaquetament hexagonal compacte com el cúbic compacte atenyen el valor límit del 74%. 14. a) ABABAB.... L'estructura hexagonal compacta resulta de la repetició alternada de dues capes ABABAB. 15. c) 8.

A la cel·la cI l'àtom central es troba envoltat equidistantment pels 8 àtoms situats als vèrtexs. 16. a) 8. Conté exactament 8 forats tetraèdrics, un dins de cadascun dels vuit octants que divideixen el cub. a = b = c α = β = 90 γ = 120 8 × + 8 1 1 = 2 8 1 6 1 Estructura cristal·lina i empaquetaments en sòlids 10