Números Complejos: Teoría y Formulario | Análisis I

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APUNTES ANÁLISIS MATEMÁTICO I Grado en Ingeniería Informática Universidad Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apuntes completos y formulario de números complejos para Análisis Matemático I: formas binómica y polar, fórmula de Euler, De Moivre, raíces y logaritmos.

APREN.AI Índice 1 Motivación y la unidad imaginaria Insuficiencia de los números reales en ecuaciones algebraicas La unidad imaginaria y el cálculo de raíces negativas Comportamiento cíclico de las potencias de i Falacias algebraicas y restricciones con radicales negativos 2 Forma binómica y representación geométrica Definición y estructura de la forma binómica Representación geométrica en el plano complejo Módulo de un número complejo Inclusión de los números reales en los complejos 3 Aritmética y estructura algebraica de cuerpo Suma y multiplicación en el conjunto de los complejos El conjugado complejo y sus propiedades algebraicas División de números complejos Estructura algebraica del cuerpo complejo y carencia de orden 4 Forma polar, forma exponencial y fórmula de Euler Coordenadas polares y argumento Transición entre la forma binómica y polar Fórmula de Euler y forma exponencial Álgebra rotacional y multiplicación exponencial 5 Potencias, fórmula de De Moivre y radicación Potencias de números complejos y fórmula de De Moivre Radicación en el plano complejo y teorema fundamental del álgebra Cálculo general y geometría de las raíces Ejemplos detallados de cálculo de raíces 6 Logaritmo complejo y rama principal Propiedades fundamentales de los logaritmos Multivaluación del argumento y deducción de ln(z) Rama principal del logaritmo complejo 7 Formulario Formas de representación y conversiones Operaciones aritméticas y conjugación Forma exponencial, potencias y radicación Logaritmo complejo Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 1 Constantes y errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 2 1 Motivación y la unidad imaginaria AL ACABAR SABRÁS Identificar la insuficiencia algebraica de los números reales ante raíces pares de números negativos. Definir formalmente la unidad imaginaria mediante la igualdad fundamental i² = -1. Calcular raíces cuadradas de reales negativos empleando la unidad imaginaria. Calcular potencias enteras de i aprovechando su periodicidad de periodo 4. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué no es posible hallar ningún número real que satisfaga la sencilla ecuación x² + 1 = 0?

El conjunto de los números reales proporciona herramientas suficientes para resolver gran cantidad de problemas algebraicos, pero presenta una limitación estructural insalvable: no admite raíces cuadradas de cantidades negativas.

ESQUEMA Estructura del tema: Números Complejos Insuficiencia de los números reales en ecuaciones algebraicas Un polinomio de grado en la variable tiene la forma general: Fundamentos y unidad i Limitaciones reales y definición de i Forma binómica y geometría Plano complejo y coordenadas Aritmética y cuerpo Operaciones y propiedades algebraicas Formas polar y exponencial Fórmula de Euler y argumentos Potenciación y radicación Teorema de De Moivre y raíces Logaritmo complejo Multivaluación y ramas principales n x Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 3 donde los coeficientes son números conocidos y el grado corresponde al mayor exponente asociado a la incógnita.

Resolver una ecuación polinomial consiste en hallar los valores de tales que , denominados raíces o soluciones del polinomio. En el caso lineal de grado uno, como , basta despejar la incógnita para obtener la raíz real , situable directamente sobre la recta numérica. En polinomios cuadráticos , las soluciones se determinan mediante la fórmula clásica: Al aplicar este método a la ecuación ( , , ), el radicando es positivo ( ), lo que arroja dos raíces reales: y . Sin embargo, al examinar la ecuación análoga ( , , ), la fórmula conduce a: Dado que ningún número real multiplicado por sí mismo da un valor negativo, se deduce que \( \) para cualquier real positivo \(a > 0\).

Esta carencia exige extender el sistema numérico. COMPRUEBA 2 ¿Por qué la ecuación x² + 1 = 0 carece de soluciones dentro del conjunto de los números reales? La unidad imaginaria y el cálculo de raíces negativas Para dotar de solución a las ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo, se define un nuevo elemento matemático. DEFINICIÓN La unidad imaginaria \(i\) se define formalmente a través de su propiedad fundamental: su cuadrado es igual a menos uno. De esta definición surge de manera inmediata la igualdad .

A partir de esta definición, la raíz imaginaria de cualquier número real negativo ( con ) se calcula factorizando el signo negativo como -1: Volviendo a la ecuación , la expresión pendiente queda resuelta: P (x) = a x + n n a x + n 1 n 1 + a x + 2 2 a x + 1 a 0 a , … , a 0 n n x P (x) = 0 5x 10 = 0 x = 2 ax + 2 bx + c = 0 x = 2a b ± b 4ac 2 x 2 1 = 0 a = 1 b = 0 c = 1 b 2 4ac = 4 x = 1 x = 1 x + 2 1 = 0 a = 1 b = 0 c = 1 x = 2 0 ± 4 a / R i = 2 1 i = 1 a a > 0 = a = ( 1) a 1 = a i a x + 2 1 = 0 = 4 i = 4 2i x = = 2 ±2i ±i Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 4 Las dos soluciones de la ecuación son, por tanto, y .

En cálculos algebraicos elementales, se manipula algebraicamente de forma similar a una variable, recordando siempre sustituir por -1 (la estructura completa se formaliza en «Forma binómica y representación geométrica» y «Aritmética y estructura algebraica de cuerpo»). EJEMPLO Cálculo con la unidad imaginaria tratando como variable: Suma de términos semejantes: Multiplicación directa: Elevación al cuadrado: Comportamiento cíclico de las potencias de i Al calcular exponentes sucesivos de la unidad imaginaria , los resultados no divergen hacia infinito ni generan infinitos valores distintos. Por el contrario, se repiten de forma cerrada.

Potencia Desarrollo algebraico Resultado final Convenio de exponente nulo 1 Definición lineal Propiedad fundamental -1 1 De este modo, las potencias enteras de la unidad imaginaria forman un conjunto cíclico de cuatro valores: . COMPRUEBA 3 ¿Cuál es el valor simplificado de la potencia i³ y a partir de qué producto fundamental se deduce? Falacias algebraicas y restricciones con radicales negativos Una fuente común de contradicciones en el cálculo con números imaginarios radica en la extrapolación indebida de las propiedades de los radicales reales.

x = i x = i i i2 i 5i + 2i = (5 + 2)i = 7i 3i i = 3i = 2 3( 1) = 3 (2i) = 2 2 2 i = 2 4( 1) = 4 i i0 i1 i i2 i3 i i = 2 i( 1) i i4 (i ) 2 (i ) = 2 ( 1)( 1) {1, i, 1, i} Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 5 ERROR FRECUENTE La regla distributiva solo es válida si al menos uno de los dos radicandos es no negativo. Cuando y simultáneamente, dicha igualdad falla por completo. Si se aplicara sin restricción para y , se produciría la clásica falacia matemática: llegando al absurdo . Una inconsistencia semejante surge en la división con raíces cuando el denominador contiene una cantidad negativa. La propiedad distributiva del cociente no se cumple si y .

El intento de aplicarla produce falsas equivalencias como: Para operar correctamente con radicandos negativos, se debe extraer previamente la unidad imaginaria definiendo con antes de efectuar productos o cocientes entre radicales. COMPRUEBA 4 ¿Bajo qué condiciones cuantitativas de sus radicandos deja de ser válida la igualdad (a) · (b) = (ab)? IDEAS CLAVE Los números reales no proporcionan solución a polinomios cuadráticos con radicando negativo, ya que ningún real al cuadrado es menor que cero. La unidad imaginaria se define formalmente mediante la relación fundamental . Toda raíz cuadrada de un real negativo se expresa a través de la unidad imaginaria como para .

Las potencias enteras sucesivas de describen un ciclo repetitivo de cuatro valores: . Las identidades radicales de producto y cociente dejan de cumplirse cuando ambos radicandos son negativos o cuando el denominador es negativo. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación polinomial en el cuerpo ampliado con la unidad imaginaria? 6. ¿Por qué es erróneo escribir ? a = b a b a < 0 b < 0 a = 1 b = 1 1 = i i = 1 = 1 = ( 1) ( 1) = 1 1 1 = 1 = b a b a a > 0 b < 0 = i 1 = 1 1 = 1 1 = 1 1 = 1 i = a i a a > 0 i i = 2 1 = a i a a > 0 i {1, i, 1, i} x + 2 1 = 0 1 = 1 ( 1)( 1) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 6 Test Rodea la respuesta correcta.

Las soluciones están al final. 7. ¿Cuál es la propiedad algebraica que define formalmente a la unidad imaginaria i? 8. ¿A qué valor se reduce la potencia sucesiva i ? 9. ¿Cuál es la expresión simplificada del radical (-4)? 10. ¿Cuándo resulta falsa la igualdad (a) · (b) = (ab)? 2 Forma binómica y representación geométrica AL ACABAR SABRÁS Escribir números complejos en forma binómica identificando rigurosamente su parte real e imaginaria. Representar afijos y vectores complejos en el plano de Argand a partir de pares ordenados. Calcular el módulo euclídeo de cualquier número complejo y relacionarlo con el valor absoluto real.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 11 ¿Puede un número tener magnitud estrictamente positiva pero carecer de un orden menor o mayor en la recta habitual? Definición y estructura de la forma binómica Mientras que los números reales se sitúan a lo largo de una única dimensión sobre la recta real, los números complejos incorporan una segunda dimensión gracias a la unidad imaginaria (cuya deducción se aborda en «Motivación y la unidad imaginaria»).

Un número complejo se define formalmente como la suma de una componente real y una componente imaginaria: Es la raíz de toda ecuación lineal a) Su cuadrado es igual a menos uno b) Su valor numérico equivale a cero c) Su inverso multiplicativo es positivo d) 1 a) -1 b) i c) -i d) 2 a) -4i b) 2i c) -2 d) Si a es positivo y b es cero a) Si a y b son ambos positivos b) Si a es cero y b es positivo c) Si a y b son ambos negativos d) i z Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 7 DEFINICIÓN La forma binómica de un número complejo es la expresión algebraica: donde . El número es la parte real, denotada como , y el número real es la parte imaginaria, expresada como .

El conjunto de todos los números complejos se denota con el símbolo y se define formalmente como: De manera complementaria, un número complejo puede escribirse mediante la notación de par ordenado . En esta notación cartesiana, la primera componente corresponde a la parte real y la segunda a la imaginaria. La propia unidad imaginaria adopta la representación . Bajo este marco, las operaciones elementales de suma y multiplicación entre pares cartesianos toman la estructura: Suma: Producto: (las consecuencias algebraicas detalladas se desarrollan en «Aritmética y estructura algebraica de cuerpo»). ERROR FRECUENTE Un fallo común consiste en incluir la al indicar la parte imaginaria.

Si , escribir es un error que resta puntuación en un examen: (z) es únicamente el coeficiente real 4. COMPRUEBA 12 ¿Cuál es el par ordenado y la parte imaginaria del número z = -5i + 2? Representación geométrica en el plano complejo Al extender la recta real con un eje vertical perpendicular, se obtiene un plano bidimensional denominado diagrama de Argand o plano complejo. En este sistema de referencia: El eje horizontal corresponde al eje real ( ). El eje vertical corresponde al eje imaginario ( ). Todo número complejo se representa como un punto o afijo de coordenadas , o bien mediante un vector posicional (flecha) dirigido desde el origen de coordenadas hasta la posición .

z = a + b i a, b R a Re(z) = a b Im(z) = b C C = {z = a + bi a, b R} z = (a, b) i = (0, 1) (a , b ) + 1 1 (a , b ) = 2 2 (a + 1 a , b + 2 1 b ) 2 (a , b ) 1 1 (a , b ) = 2 2 (a a 1 2 b b , a b + 1 2 1 2 a b ) 2 1 i z = 3 + 4i Im(z) = 4i Im Re Im z = a + bi (a, b) (0, 0) (a, b) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 8 Gráfica del diagrama de Argand con vector posicional de componentes a y b. Módulo de un número complejo La longitud del vector que parte desde el origen hasta el afijo define la magnitud del número complejo.

DEFINICIÓN El módulo, norma o magnitud de , representado como , es la distancia euclídea desde el origen hasta el punto : Por la propia naturaleza de la distancia métrica, el módulo nunca toma valores negativos, verificando la propiedad fundamental: A continuación se detallan ejemplos específicos de números complejos con sus respectivas coordenadas y cálculos de módulo: Número binómico ( ) Par cartesiano Cálculo analítico del módulo Módulo resultante ( ) (a, b) z = a + bi z (0, 0) (a, b) z = a + b 2 2 z 0, z C z z z = 1 1 + i (1, 1) 1 + 1 2 2 2 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 9 Número binómico ( ) Par cartesiano Cálculo analítico del módulo Módulo resultante ( ) 0,5 1 Gráfica con varios vectores complejos y sus respectivos módulos en el plano.

COMPRUEBA 13 Si un complejo z tiene módulo "z" = 0, ¿qué valores toman a y b en z = a + bi? Inclusión de los números reales en los complejos Un número real es un caso particular de número complejo en el cual la componente imaginaria es idénticamente nula. En efecto: Al evaluar el módulo de un número real , la fórmula euclídea coincide exactamente con el valor absoluto tradicional: Por consiguiente, el conjunto de los números reales constituye un subconjunto estricto de los números complejos, cumpliéndose la relación de inclusión jerárquica . El conjunto agrupa tanto a la totalidad de los números reales como a los números puramente imaginarios.

z z z = 2 0,5i (0, 0,5) 0 + ( 0,5) 2 2 z = 3 1 ( 1, 0) ( 1) + 0 2 2 z = a + bi R b = 0 z = a + 0i z = = a + 0 2 2 = a2 a R C C Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 10 ESQUEMA Jerarquía de conjuntos numéricos IDEAS CLAVE Un número complejo se formula en expresión binómica como o como par cartesiano . La parte real es y la parte imaginaria es , siendo ambas magnitudes reales. El plano de Argand representa geométricamente el número mediante un afijo en el punto y un vector desde el origen. El módulo euclídeo se determina como y es no negativo para todo elemento de . Los números reales verifican la condición , por lo que y el módulo coincide con el valor absoluto.

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 14. ¿Por qué la parte imaginaria de un número complejo como es un número real? 15. ¿Qué relación existe entre la fórmula del módulo euclídeo de y el valor absoluto real?

Números Complejos (C) Conjunto universal bidimensional Números Reales (R) Parte imaginaria b = 0 Racionales (Q) Enteros y fraccionarios Irracionales (R<span class="tex"> </span>) Decimales infinitos no periódicos \Q Números Imaginarios Parte imaginaria distinta de cero Enteros (Z) Naturales y negativos Naturales (N) Números de conteo positivos z = a + bi (a, b) Re(z) = a Im(z) = b (a, b) z = a + b 2 2 C b = 0 R C z = 7 2i z = a + 0i Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 11 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 16. En el número complejo z = 5 - 3i, ¿cuál es su parte imaginaria? 17.

¿Cómo se representa la unidad imaginaria i en forma de par ordenado cartesiano? 18. ¿Cuál es el módulo del número complejo z = -4? 19. ¿Qué condición geométrica caracteriza a los números reales dentro del plano de Argand? 3 Aritmética y estructura algebraica de cuerpo AL ACABAR SABRÁS Sumar y multiplicar números complejos en forma binómica aplicando la identidad i² = -1. Interpretar geométricamente la adición de vectores y la conjugación en el plano complejo. Efectuar divisiones de números complejos multiplicando por el conjugado del denominador. Reconocer las propiedades de cuerpo de ( , +, ·) y la ausencia de orden total en .

PIÉNSALO ANTES DE LEER 20 ¿Por qué no tiene sentido afirmar que el número complejo 2 + 3i es mayor que 1 + 4i? Suma y multiplicación en el conjunto de los complejos Para operar algebraicamente con números complejos en forma binómica o en notación de pares (véase «Forma binómica y representación geométrica»), extendemos las reglas del álgebra real incorporando la propiedad definitoria de la unidad imaginaria: (véase «Motivación y la unidad imaginaria»).

3 a) 5 b) -3 c) -3i d) (1, 0) a) (0, -1) b) (0, 1) c) (1, 1) d) 16 a) 4 b) -4 c) 0 d) Se ubican sobre el eje vertical a) Poseen módulo siempre igual a 1 b) Tienen componente imaginaria nula b = 0 c) Tienen parte real estrictamente positiva d) i = 2 1 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 12 La adición de dos elementos y se realiza agrupando de manera independiente sus componentes reales e imaginarias: En el plano complejo, esta operación coincide exactamente con la suma vectorial ordinaria en siguiendo la conocida regla del paralelogramo. Diagrama de la suma de complejos mediante la regla vectorial del paralelogramo.

Por otro lado, la multiplicación utiliza la propiedad distributiva del producto de binomios: Al sustituir i^2 = -1, la expresión se simplifica separando la parte real de la imaginaria: COMPRUEBA 21 ¿Por qué el término real del producto de dos números complejos contiene una resta en lugar de una suma?

El conjugado complejo y sus propiedades algebraicas DEFINICIÓN Dado un número complejo , su conjugado, denotado por , es el número obtenido al invertir el signo de su parte imaginaria: z = 1 a + 1 b i 1 z = 2 a + 2 b i 2 z + 1 z = 2 (a + 1 a ) + 2 (b + 1 b )i 2 R2 z 1 z = 2 (a + 1 b i)(a + 1 2 b i) = 2 a a + 1 2 a b i + 1 2 a b i + 2 1 b b i 1 2 2 z 1 z = 2 (a a 1 2 b b ) + 1 2 (a b + 1 2 a b )i 2 1 z = a + bi z ˉ = z ˉ a bi Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 13 Desde el punto de vista geométrico, calcular el conjugado z̄ representa una reflexión axial respecto al eje horizontal o eje de abscisas (Re). Esquema del conjugado complejo como reflexión axial sobre el eje real.

Esta transformación preserva la magnitud euclídea del vector. Por tanto, el módulo coincide entre ambos: (véase «Forma binómica y representación geométrica»). Al operar un número con su conjugado emergen dos identidades esenciales: Suma con el conjugado: produce el doble de la parte real: Multiplicación por el conjugado: da como resultado un número real estrictamente no negativo (salvo si ): Esta última deducción fundamenta formalmente la igualdad: COMPRUEBA 22 Si sumas un número complejo y su conjugado, ¿puede el resultado tener parte imaginaria no nula?

= z ˉ z = a + b 2 2 z + = z ˉ (a + bi) + (a bi) = 2a z = 0 z = z ˉ (a + bi)(a bi) = a 2 b( b) + (ab ab)i = a + 2 b2 z = z ˉ z 2 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 14 División de números complejos La relación proporciona un mecanismo directo para calcular el cociente de dos complejos: permite transformar el divisor imaginario en un número real mediante la amplificación de la fracción por el conjugado del denominador.

Dados y : EJEMPLO Calculemos la división de entre : Desarrollamos el numerador y aplicamos la identidad en el denominador: ERROR FRECUENTE Al calcular el denominador , un fallo muy repetido consiste en escribir una resta ( ) confundiéndolo con una diferencia de cuadrados ordinaria sin tomar en cuenta que . El denominador siempre es una suma de cuadrados estrictamente positiva para cualquier divisor no nulo. Estructura algebraica del cuerpo complejo y carencia de orden El conjunto dotado de estas dos operaciones internas conforma la estructura algebraica de un cuerpo conmutativo, denotado como ( , +, ·).

Ambos operadores satisfacen los axiomas fundamentales de cuerpo: Propiedad Suma ( ) Multiplicación ( ) Asociativa Conmutativa Elemento neutro (identidad) Elemento simétrico z = z ˉ a + 2 b2 z = 1 a + 1 b i 1 z = 2 a + 2 b i = 2 0 = z 2 z 1 = z 2 z ˉ2 z 1 z ˉ2 a + b 2 2 2 2 z 1 z ˉ2 Identificar el conjugado del denominador: . 1 = z ˉ2 a 2 b i 2 Multiplicar numerador y denominador por . 2 z ˉ2 Expandir el numerador aplicando la propiedad distributiva y simplificar el denominador a la suma de cuadrados . 3 a + 2 2 b 2 2 Separar la parte real y la parte imaginaria para expresar el resultado en forma binómica canónica.

4 z = 1 3 + 4i z = 2 1 + 2i = 1 + 2i 3 + 4i (1 + 2i)(1 2i) (3 + 4i)(1 2i) = = 1 + 2 2 2 3 1 4( 2) + (3( 2) + 1 4)i = 1 + 4 3 + 8 + ( 6 + 4)i = 5 11 2i 5 11 i 5 2 z 2 = z ˉ2 a + 2 2 b 2 2 a 2 2 b 2 2 (b i) = 2 2 b ( 1) = 2 2 +b 2 2 C + z + 1 (z + 2 z ) = 3 (z + 1 z ) + 2 z 3 z 1 (z 2 z ) = 3 (z 1 z ) 2 z3 z + 1 z = 2 z + 2 z 1 z 1 z = 2 z 2 z 1 z + 0 = z z 1 = z z + ( z) = 0 z z = 1 1 (z = 0) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 15 A partir del desarrollo del cociente, el inverso multiplicativo de cualquier complejo no nulo se explicita como: A pesar de compartir estas propiedades algebraicas con los números reales, existe una discrepancia esencial: el cuerpo ( , +, ·) no es un cuerpo ordenado.

Esto significa que resulta imposible definir en una relación de orden total compatible con la suma y la multiplicación. En consecuencia, las desigualdades del tipo o carecen de significado matemático entre números complejos generales. PROCESO Algoritmo para la división de números complejos COMPRUEBA 23 ¿Por qué carece de sentido matemático escribir una afirmación como 2 + 3i > 1 + i? IDEAS CLAVE La adición de complejos se opera sumando por separado partes reales y partes imaginarias, correspondiendo geométricamente a la suma vectorial en . El producto binómico se expande mediante la distributiva y la reducción fundamental .

El conjugado de es y representa una reflexión respecto al eje horizontal. La relación permite eliminar la parte imaginaria del denominador para resolver divisiones. El conjunto tiene estructura de cuerpo, pero carece de una relación de orden total compatible. z = a + bi z = 1 a + b 2 2 a i ( a + b 2 2 b ) C z 1 z 2 z > 1 z 2 Identificar divisor Determinar z = a + b i no nulo. 1 Hallar conjugado Obtener z̄ = a - b i invirtiendo signo imaginario. 2 Multiplicar fracción Multiplicar numerador y denominador por z̄ . 3 Realizar denominador Sustituir z · z̄ por la suma a ² + b ². 4 Separar componentes Dividir cada término para obtener la forma binómica final.

5 R2 i = 2 1 z = a + bi = z ˉ a bi z = z ˉ z = 2 a + 2 b2 (C, +, ) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 16 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 24. Calcula el inverso multiplicativo de . 25. ¿Cuál es el resultado de simplificar la expresión para ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 26. ¿Cuál es la interpretación geométrica del conjugado de un número complejo en el plano? 27. ¿A qué equivale siempre el producto de un número complejo z = a + bi por su conjugado? 28. ¿Cuál es el método estándar para dividir dos números complejos en forma binómica? 29. ¿Por qué no se pueden ordenar los números complejos con una relación de desigualdad como ?

4 Forma polar, forma exponencial y fórmula de Euler AL ACABAR SABRÁS Convertir números complejos entre las formas binómica, polar y exponencial. Distinguir formalmente el argumento principal del conjunto de argumentos generales. Calcular productos en forma exponencial interpretando la escalación de módulos y la rotación angular.

z 1 z = 3 4i z z ˉ z = a + bi Reflexión respecto al eje real de abscisas a) Rotación de noventa grados en sentido antihorario b) Reflexión respecto al origen de coordenadas c) Dilatación radial proporcional al módulo al cuadrado d) Al número complejo a² + b²i a) A un número puramente imaginario 2abi b) Al valor real cuadrático a² + b² c) A la diferencia de cuadrados a² - b² d) Multiplicar el numerador por el inverso aditivo del divisor a) Dividir término a término las partes reales e imaginarias b) Elevar ambos números al cuadrado y simplificar c) Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador d) Porque su dimensión vectorial es infinita a) Porque no forman un cuerpo algebraico cerrado b) Porque no existe un orden total compatible con sus operaciones c) Porque carecen de elemento neutro aditivo d) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 17 PIÉNSALO ANTES DE LEER 30 ¿Por qué multiplicar dos números complejos hace que sus vectores giren en lugar de simplemente estirarse?

Coordenadas polares y argumento Cualquier punto en el plano complejo se puede describir mediante coordenadas rectangulares o mediante su distancia al origen y la inclinación respecto al eje real (véase «Forma binómica y representación geométrica»). Las coordenadas polares definen la posición de mediante dos magnitudes clave: el módulo , que mide la longitud del segmento rectilíneo comprendido entre el origen y el afijo , y el argumento , que representa el ángulo que forma dicho segmento con el semieje real positivo medido en sentido antihorario. Gráfica de un complejo con su módulo y argumento polar.

Dado que dar una vuelta entera al círculo no altera la posición del vector en el plano, un mismo número complejo posee una cantidad infinita de ángulos equivalentes. El conjunto de todos los ángulos posibles constituye el argumento general: Para evitar ambigüedades en los cálculos, se define un valor único de referencia denominado argumento principal. Este ángulo restringido toma valores estrictamente dentro de un rango prefijado: z z (0, 0) (a, b) ϕ arg(z) = φ + 2πk, k Z Arg(z) = φ [0, 2π) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 18 En ciertos textos y contextos formales, el rango del argumento principal se traslada al intervalo alternativo .

COMPRUEBA 31 ¿Por qué un número complejo admite infinitos argumentos diferentes pero un único módulo? Transición entre la forma binómica y polar Al trazar las proyecciones ortogonales de un número complejo sobre los ejes coordenados, se conforma un triángulo rectángulo donde la hipotenusa coincide con el radiovector . Las razones trigonométricas elementales determinan la relación directa entre las componentes cartesianas y las magnitudes angulares: Razón trigonométrica Definición geométrica Expresión cartesiana Cateto opuesto / Hipotenusa Cateto adyacente / Hipotenusa Cateto opuesto / Cateto adyacente Aislando las componentes cartesianas se obtiene y .

Sustituyendo ambas igualdades dentro de la expresión binómica habitual , se obtiene la forma polar o trigonométrica del número complejo: ERROR FRECUENTE Calcular el ángulo usando directamente sin analizar los signos de y produce errores graves de cuadrante. La función arcotangente solo arroja valores en el primer y cuarto cuadrante; si el número real es negativo, el número complejo se sitúa en el segundo o tercer cuadrante, por lo que es imprescindible sumar radianes al resultado elemental de la calculadora.

Fórmula de Euler y forma exponencial La conexión profunda entre la trigonometría circular y el análisis infinitesimal cristaliza en una identidad analítica capital atribuida a Leonhard Euler: DEFINICIÓN La fórmula de Euler establece que para cualquier ángulo real se cumple: donde es la base del logaritmo natural e es la unidad imaginaria.

π < φ π r = z = a + b 2 2 sen φ = z b r b cos φ = z a r a tan φ = a b cos φ sen φ a = z cos φ b = z senφ z = a + bi z = z cos φ + i z senφ = z (cos φ + i senφ) φ = arctan(b/a) a b a π φ R e = iφ cos φ + i senφ e i Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 19 Al aplicar esta identidad a la estructura trigonométrica previamente deducida, se obtiene de forma inmediata la forma exponencial de cualquier elemento de : De este modo, todo número complejo dispone de cuatro descripciones equivalentes que se emplean según la conveniencia del cálculo algebraico o geométrico: ESQUEMA Notaciones de un número complejo COMPRUEBA 32 ¿Cuál es el módulo del factor para cualquier valor real de ?

Álgebra rotacional y multiplicación exponencial La notación exponencial transforma las complejas identidades de adición trigonométrica en leyes ordinarias de potencias. Al multiplicar dos números complejos y mediante la propiedad de exponentes de igual base , se deduce: La operación produce simultáneamente dos consecuencias geométricas en el plano: Escalación: el módulo del producto resultante corresponde al producto de las longitudes iniciales, . Rotación: el ángulo del resultado equivale a la suma algebraica de los argumentos, .

C z = z eiφ Par ordenado (a, b) Binómica a + bi Polar o trigonométrica "z" (cos φ + i sen φ) Exponencial "z" e^(i φ) eiφ φ z = 1 z e 1 iφ 1 z = 2 z e 2 iφ2 e x e = y ex+y z 1 z = 2 z e 1 iφ 1 z e = 2 iφ 2 ( z 1 z )e 2 i(φ +φ ) 1 2 z 1 z = 2 z 1 z 2 arg(z 1 z ) = 2 φ + 1 φ 2 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 20 Gráfica del producto complejo mostrando suma de argumentos y escalación. Cuando un número complejo arbitrario se multiplica por un factor de módulo unidad , la longitud original se conserva invariable y el afijo experimenta una rotación pura de radianes en sentido antihorario. El caso particular más notable ocurre al multiplicar por la unidad imaginaria .

Dado que su forma rectangular es , su módulo es y su argumento principal corresponde a una inclinación vertical pura de radianes. Por tanto, en forma exponencial: Al aplicar este factor sobre un complejo genérico : Multiplicar algebraicamente por equivale geométricamente a efectuar una rotación ortogonal de radianes en sentido antihorario sin distorsionar el tamaño del vector. COMPRUEBA 33 Si multiplicamos dos veces consecutivas un número por , ¿cuál es el efecto geométrico acumulado?

e = iθ cos θ + i senθ θ i i = 0 + 1i i = = 0 + 1 2 2 1 φ = 2 π i = ei 2 π z = z eiφ z i = z e iφ e = i 2 π z ei φ+ ( 2 π ) i 2 π z i Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 21 IDEAS CLAVE Las coordenadas polares definen la posición de un número complejo a través de su distancia al origen y su ángulo de elevación . El argumento de un complejo admite infinitos valores descritos por con , definiéndose el argumento principal habitualmente en . La fórmula de Euler permite expresar de manera compacta cualquier número en forma exponencial .

La multiplicación en forma exponencial desacopla el cálculo: los módulos se multiplican provocando una escalación y los argumentos se suman produciendo una rotación. Multiplicar por la unidad imaginaria corresponde a una rotación rígida en sentido antihorario de radianes. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 34. ¿En qué se diferencia el argumento general del argumento principal ? 35. ¿Cómo se deduce analíticamente que la unidad imaginaria equivale a ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 36. ¿Cuál es el argumento principal de un número complejo situado en el eje imaginario negativo? 37.

Al multiplicar dos números complejos en forma exponencial, ¿qué sucede con sus argumentos? 38. ¿Qué efecto geométrico produce multiplicar un complejo por la unidad imaginaria i? 39. ¿Cuál es el valor del módulo de cualquier expresión de la forma con φ real?

z φ arg(z) = φ + 2πk k Z [0, 2π) e = iφ cos φ + i senφ z = z eiφ i = ei 2 π 2 π arg(z) Arg(z) i ei 2 π π/2 radianes a) π radianes b) 2π radianes c) 3π/2 radianes d) Se suman algebraicamente a) Permanecen inalterados b) Se restan entre sí c) Se multiplican directamente d) Reflexión sobre el eje real a) Giro antihorario de π/2 rad b) Giro horario de π/2 rad c) Duplicación del módulo d) eiφ Depende linealmente de φ a) Vale exactamente 0 b) Siempre vale 1 c) Coincide con el valor e d) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 22 5 Potencias, fórmula de De Moivre y radicación AL ACABAR SABRÁS Aplicar la fórmula de De Moivre para calcular potencias enteras de números complejos Calcular sistemáticamente las n raíces n-ésimas mediante notación exponencial periódica Representar geométricamente las raíces complejas como vértices de un polígono regular PIÉNSALO ANTES DE LEER 40 ¿Por qué un número real positivo como el 4 tiene dos raíces cuadradas mientras que el -1 tiene tres raíces cúbicas en el plano complejo?

Potencias de números complejos y fórmula de De Moivre La forma exponencial simplifica enormemente el cálculo de potencias enteras (véase «Forma polar, forma exponencial y fórmula de Euler»). Para elevar un número complejo unitario a una potencia entera , se aplican las leyes usuales de los exponentes: Cuando el exponente es un número entero positivo, esta operación equivale a multiplicar el número complejo por sí mismo de forma sucesiva: Al sustituir la relación de Euler en dicha exponenciación, se obtiene una de las identidades más célebres del análisis complejo.

FÓRMULA DE DE MOIVRE Para cualquier ángulo real y todo exponente entero , se cumple: Si el número complejo posee un módulo arbitrario no nulo, es decir, , su potencia entera combina la potenciación aritmética habitual del módulo con la multiplicación del argumento: COMPRUEBA 41 ¿Qué efecto geométrico produce elevar un complejo de módulo 1 al cuadrado? Radicación en el plano complejo y teorema fundamental del álgebra La radicación constituye la operación inversa de la exponenciación. En el plano complejo, la noción de raíz se define mediante la solución de ecuaciones polinómicas elementales.

z = eiθ n Z z = n e = ( iθ ) n einθ z = n n veces z z z e = iθ cos θ + i senθ θ n Z (cos θ + i senθ) = n cos(nθ) + i sen(nθ) z = r eiθ z = n r e = n inθ r (cos(nθ) + n i sen(nθ)) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 23 RAÍZ N-ÉSIMA Dado un número , se dice que es una raíz n-ésima de si y solo si satisface la ecuación polinómica: El comportamiento de estas soluciones queda regido por el Teorema Fundamental del Álgebra, el cual establece que todo polinomio de una variable y grado posee, computando sus respectivas multiplicidades, exactamente raíces complejas.

Dependiendo de la naturaleza del radicando y de la paridad del índice , las raíces se distribuyen entre reales y no reales según las siguientes reglas: Condición del radicando Índice Naturaleza de las soluciones Una solución real positiva ( ) y una solución real negativa ( ). Dos soluciones complejas no reales conjugadas. impar Exactamente una raíz real con el mismo signo que ; las restantes raíces no son reales. Cualquier Ninguna de las raíces es un número real. COMPRUEBA 42 ¿Cuántas raíces reales puede tener como máximo la raíz cúbica de un número real no nulo?

Cálculo general y geometría de las raíces Para determinar de forma explícita las soluciones de la ecuación , se recurre a la notación exponencial.

Puesto que el argumento angular es periódico de periodo , expresamos el radicando incorporando todas las vueltas completas: x C z x z = n x n n x n n x R, x > 0 n = 2 x x x R, x < 0 n = 2 x R n x n 1 x / R n n n z = n x 2π Planteamiento con periodicidad: se escribe el radicando en forma exponencial incluyendo el desfase periódico entero : 1 x k Z z = n r ei(θ+2πk) Despeje algebraico: se aplica el exponente fraccionario en ambos miembros: 2 n 1 z = r e = ( i(θ+2πk) ) n 1 n r ei ( n θ+2πk ) Generación del conjunto de raíces: se evalúa el parámetro entero en los valores consecutivos , obteniendo exactamente las raíces distintas: 3 k = 0, 1, … , n 1 n w = k n r e , k = i ( n θ+2πk ) 0, 1, …

, n 1 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 24 Desde el punto de vista geométrico en el plano complejo, todas las raíces n-ésimas comparten el mismo módulo y sus argumentos presentan una separación angular idéntica constante de radianes. Por tanto, las soluciones se ubican sobre una circunferencia centrada en el origen y constituyen los vértices de un polígono regular de n lados. ERROR FRECUENTE Un fallo común en los exámenes consiste en omitir el término periódico antes de dividir entre el índice , obteniendo únicamente una solución con argumento . Recuerda que la división entre debe afectar a toda la suma para obtener las raíces independientes.

PROCESO Algoritmo de cálculo de raíces n-ésimas 1 Forma ex ponencial Escribir z = "r" e^(i(θ + 2πk)) con periodicidad 2 Despeje algebraico Elevar al exponente fraccionario 1/n 3 Variación del índice Sustituir k desde 0 hasta n - 1 4 Vértices geométricos Ubicar las n raíces en el polígono regular Ejemplos detallados de cálculo de raíces Cálculo de las raíces cuadradas de 4 Para resolver la ecuación , se desarrolla el procedimiento formal: Las dos soluciones se encuentran diametralmente opuestas a una distancia de 2 unidades del origen sobre el eje real. n r n 2π 2πk n n θ n θ + 2πk n z = 2 4 Forma exponencial: el número real 4 tiene módulo y argumento principal asociado (o 0).

Incorporando los giros periódicos: 1 4 = 4 2π z = 2 4 ei(2π+2πk) Aislamiento de la variable: elevando a : 2 2 1 z = 4 e = i(2π+2πk) 2 1 2 ei(π+πk) Evaluación de los índices: para se evalúan los casos y : Para : Para : 3 n = 2 k = 0 k = 1 k = 0 z = 1 2e = iπ 2(cos π + i senπ) = 2( 1 + 0) = 2 k = 1 z = 2 2e = i2π 2(cos 2π + i sen2π) = 2(1 + 0) = 2 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 25 Diagrama de las dos raíces cuadradas de 4 opuestas diametralmente.

Cálculo de las raíces cúbicas de -1 Se determinan las soluciones de la ecuación cúbica : z = 3 1 Forma exponencial: el radicando -1 posee módulo y argumento : 1 1 = 1 π z = 3 1 ei(π+2πk) Despeje: se extrae la potencia fraccionaria : 2 3 1 z = e = i(π+2πk) 3 1 ei + k ( 3 π 3 2π ) Sustitución de valores para : Para : Para : Para : 3 k = 0, 1, 2 k = 0 z = 1 e = i 3 π cos + ( 3 π ) i sen = ( 3 π ) + 2 1 i 2 3 k = 1 z = 2 e = i + ( 3 π 3 2π ) e = iπ 1 k = 2 z = 3 e = i + ( 3 π 3 4π ) e = i 3 5π 2 1 i 2 3 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 26 Estas tres soluciones se distribuyen homogéneamente sobre la circunferencia unitaria separadas por arcos de radianes ( ), conformando los vértices de un triángulo equilátero.

COMPRUEBA 43 ¿Cuál es el ángulo de separación constante entre los vértices de las raíces cúbicas en el plano complejo? IDEAS CLAVE La fórmula de De Moivre establece que para cualquier exponente entero . Por el Teorema Fundamental del Álgebra, todo número complejo no nulo posee exactamente raíces -ésimas distintas. Para calcular las raíces se incluye la periodicidad en el argumento antes de dividir por el índice . Geométricamente, las raíces complejas forman los vértices de un polígono regular centrado en el origen de radio . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 44. ¿Por qué es imprescindible sumar el término al argumento antes de dividir por el índice ? 45.

¿Qué figura geométrica configuran las soluciones de en el plano complejo? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 46. ¿Qué establece formalmente la fórmula de De Moivre para potencias enteras? 47. ¿Cuántas raíces n-ésimas distintas posee cualquier número complejo no nulo? 48. ¿Cómo se distribuyen gráficamente las raíces n-ésimas de un número complejo?

3 2π 120 (cos θ + i senθ) = n cos(nθ) + i sen(nθ) n n n 2πk n n n r 2πk n z = 3 1 (cos θ + i sen θ) = a) eiθ/n (cos θ + i sen θ) = cos (θ) + i sen (θ) b) (cos θ + i sen θ) = n cos(θ) + i n sen(θ) c) (cos θ + i sen θ) = cos(nθ) + i sen(nθ) d) Exactamente n raíces a) Exactamente una raíz b) Infinitas raíces continuas c) Dos raíces conjugadas d) Alineadas en el eje real a) Como vértices de un polígono regular b) Concentradas en el semiplano superior c) En una espiral exponencial d) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 27 49. ¿Cuáles son las soluciones complejas obtenidas para la ecuación z³ = -1?

6 Logaritmo complejo y rama principal AL ACABAR SABRÁS Deducir analíticamente la fórmula del logaritmo natural complejo a partir de la forma exponencial. Explicar el origen de la multivaluación del logaritmo debido a la periodicidad del argumento. Calcular la rama principal Ln(z) de números complejos restringiendo el argumento canónico a [0, 2π). PIÉNSALO ANTES DE LEER 50 ¿Por qué un número real positivo como el 2 puede tener infinitos logaritmos en el plano complejo? Propiedades fundamentales de los logaritmos En el cuerpo de los números reales, la función logarítmica invierte a la función exponencial.

Para bases arbitrarias con , se verifican varias reglas algebraicas elementales: Propiedad Expresión algebraica Condición Logaritmo de la base Logaritmo del producto Logaritmo del cociente Logaritmo de una potencia Fórmula de cambio de base Cuando la base elegida es la constante , el operador se denomina logaritmo natural o neperiano y se denota habitualmente como . Multivaluación del argumento y deducción de ln(z) Al representar un número complejo no nulo mediante coordenadas polares o en forma exponencial (véase «Forma polar, forma exponencial y fórmula de Euler»), el ángulo no es único.

Debido al periodo de una revolución entera en el plano complejo, añadir vueltas completas de radianes conduce a la misma posición geométrica: 1, -1/2 + ( 3/2)i y -1/2 - ( 3/2)i a) -1, 1/2 + ( 3/2)i y 1/2 - ( 3/2)i b) 1, i y -i c) -1, -i y 0 d) b > 0 b = 1 log b = b 1 b > 0, b = 1 log (ac) = b log a + b log c b a, c > 0 log (a ÷ b c) = log a b log c b a > 0, c = 0 log (a ) = b c c log a b a > 0 log a = b 1 log b b 2 1 log a b 2 b , b > 1 2 0; b , b = 1 2 1; a > 0 e ln z C 2π Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 28 Por ejemplo, el número real positivo 2 admite infinitas representaciones exponenciales: El conjunto formado por todos los ángulos válidos constituye el argumento multivaluado: donde representa el argumento principal restringido al intervalo canónico .

Para calcular el logaritmo natural de base de un complejo , aplicamos de forma directa las identidades algebraicas del logaritmo real sobre el producto de factores: Dado que , la parte real del logaritmo coincide con el logaritmo natural estándar del módulo , mientras que la parte imaginaria adopta los infinitos valores del argumento. De esta forma, todo número complejo posee infinitos logaritmos naturales indexados por el entero : PROCESO Deducción de la multivaluación del logaritmo complejo 1 Forma ex ponencial Se expresa z como "z" e^(i(φ + 2πk)) con k entero. 2 Aplicar ln Se aplica la propie dad del logaritmo del producto.

3 Logaritmo de e El exponente imagina rio baja multiplicando a ln(e) = 1. 4 Resultado multivaluado Se obtiene ln"z" + i(φ + 2πk) con infinitas ramas. COMPRUEBA 51 ¿Por qué la función logaritmo natural genera infinitos valores distintos al aplicarse a un número complejo no nulo? Rama principal del logaritmo complejo Para trabajar con una función univaluada en aplicaciones prácticas, es indispensable seleccionar una rama concreta eliminando la ambigüedad angular. z = z e , k i(φ+2πk) Z 2 = 2 e = i 0 2 e = i 2π 2 e = i 4π …

arg(z) = {Arg(z) + 2πk k Z} Arg(z) = φ [0, 2π) e z lnz = ln( z e ) i arg(z) = ln z + ln(e ) i arg(z) = ln z + i arg(z) lne = ln z + i arg(z) lne = 1 z z = 0 k lnz = ln z + i(φ + 2πk), k Z Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 29 DEFINICIÓN Se define la rama principal del logaritmo complejo, denotada por , como aquella en la que el ángulo queda restringido de modo unívoco al argumento canónico: El círculo trigonométrico unitario permite visualizar de manera directa los valores de los argumentos canónicos asociados a las direcciones fundamentales: Diagrama de ángulos y coordenadas trigonométricas en el círculo unidad.

EJEMPLO Para el número real positivo , su módulo es y su argumento canónico es . Por tanto, su rama principal coincide con el valor real ordinario: En cambio, el logaritmo completo multivaluado contiene infinitos valores imaginarios espaciados verticalmente: Ln(z) Ln(z) = ln z + iArg(z) = ln z + iφ, φ [0, 2π) z = 2 2 = 2 Arg(2) = 0 Ln(2) = ln2 + i 0 = ln2 ln(2) = ln2 + 2πki, k Z Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 30 ERROR FRECUENTE El fallo más habitual es ignorar el carácter multivaluado y asumir que arroja un único número.

Siempre que se pida el logaritmo general debe incluirse el término periódico con ; únicamente al solicitar explícitamente la rama principal se selecciona con el argumento . COMPRUEBA 52 ¿Cuál es el valor de la rama principal para el número complejo situado sobre el eje real en ? IDEAS CLAVE Las identidades algebraicas de los logaritmos reales gobiernan la descomposición del logaritmo del producto y la potencia. La periodicidad angular de la forma exponencial genera infinitos valores para el argumento. El logaritmo natural complejo es una función multivaluada expresada como con . La rama principal aísla un único valor al fijar . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 53.

¿De qué término depende la parte real de la función logaritmo complejo ? 54. ¿En qué intervalo se encuentra acotado el argumento al evaluar la rama principal ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 55. ¿Cuál es la expresión general del logaritmo natural complejo ln(z)? 56. ¿Qué rango define el argumento principal Arg(z) según el criterio canónico? 57. ¿Cuánto vale la rama principal Ln(2) para el número real positivo 2?

ln(z) ln(z) +2πki k Z Ln(z) k = 0 φ [0, 2π) Ln(z) z = 2 z = z ei(φ+2πk) lnz = ln z + i(φ + 2πk) k Z Ln(z) = ln z + iArg(z) Arg(z) [0, 2π) ln(z) φ Ln(z) ln"z" + (φ + 2πk) a) ln"z" + i(φ + 2πk) b) "z" + i(φ + 2πk) c) ln"z" · (φ + 2πk) d) [0, 2π) a) [0, π] b) (-π, π] c) [-2π, 0) d) ln 2 + 2πi a) 2 + i·0 b) ln 2 + iπ c) ln 2 d) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 31 58. ¿Qué diferencia existe entre ln(z) y Ln(z)? 7 Formulario Formas de representación y conversiones Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : parte real; : parte imaginaria ( ); : unidad imaginaria Representación binómica o en par ordenado cartesiano.

: módulo o norma euclídea ( ) Cálculo de la distancia euclídea del afijo al origen. : argumento del número complejo Paso de forma polar o exponencial a forma binómica. : módulo; : ángulo o argumento Forma polar o trigonométrica de un número complejo. (fórmula de Euler) Forma exponencial para simplificar productos, cocientes y potencias. : argumento principal canónico Determinación unívoca del ángulo (alternativamente en ). Operaciones aritméticas y conjugación Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : números complejos sumandos Adición binómica (equivalente a la suma vectorial en ). Multiplicación distributiva aplicando Producto de números complejos en forma binómica.

: conjugado complejo de Reflexión axial respecto al eje horizontal real.

ln(z) fija el ángulo en cero a) ln(z) es multivaluado y Ln(z) univaluado b) Ln(z) no utiliza el módulo "z" c) ln(z) solo opera en reales d) z = a + bi = (a, b) a = Re(z) b = Im(z) a, b R i z = a + b 2 2 z z 0 a = z cos φ, b = z sen φ φ z = z (cos φ + i sen φ) z φ z = z eiφ e = iφ cos φ + i sen φ Arg(z) = φ [0, 2π) Arg(z) ( π, π] z + 1 z = 2 (a + 1 a ) + 2 (b + 1 b )i 2 z , z 1 2 R2 z 1 z = 2 (a a 1 2 b b ) + 1 2 (a b + 1 2 a b )i 2 1 i = 2 1 = z ˉ a bi z ˉ z = a + bi Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 32 Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Producto de un complejo por su conjugado Cálculo de módulos al cuadrado y racionalización de denominadores.

Multiplicar numerador y denominador por Expandir numerador Dividir cada término entre División de números complejos en forma binómica ( ). : elemento inverso multiplicativo Cálculo del inverso multiplicativo de en el cuerpo . Forma exponencial, potencias y radicación Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Multiplicación de módulos y suma algebraica de argumentos Producto en notación polar o exponencial (rotación y escalación). : módulo 1 y argumento Rotación ortogonal rígida de 90° en sentido antihorario. Fórmula de De Moivre ( ) Cálculo de potencias enteras de números complejos unitarios.

: módulo; : exponente entero Potenciación entera de un número complejo general. Escribir Aplicar exponente Evaluar para Cálculo de las raíces -ésimas de un número complejo (polígono regular). Logaritmo complejo Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa ; : logaritmo natural real del módulo Logaritmo natural multivaluado de un complejo ( ). : argumento principal canónico Rama principal univaluada del logaritmo complejo. Constantes y errores típicos Valores clave de la unidad imaginaria: , , , , (ciclo de periodo 4).

z = z ˉ z = 2 a + 2 b2 = z 2 z 1 a +b 2 2 2 2 z 1 z ˉ2 z ˉ2 a + 2 2 b 2 2 z = 2 0 z = 1 a +b 2 2 a i a +b 2 2 b z 1 z = 0 C z 1 z = 2 ( z 1 z )e 2 i(φ +φ ) 1 2 z i = z ei φ+ ( 2 π ) i = ei 2 π 2 π (cos θ + i sen θ) = n cos(nθ) + i sen(nθ) n Z z = n r e = n inθ r (cos(nθ) + n i sen(nθ)) r = z n w = k n r ei ( n θ+2πk ) z = n r ei(θ+2πk) n 1 k = 0, 1, … , n 1 n n ln z = ln z + i(φ + 2πk) k Z ln z z = 0 Ln(z) = ln z + iArg(z) Arg(z) = φ [0, 2π) i = 0 1 i = 1 i i = 2 1 i = 3 i i = 4 1 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 33 . para todo . Errores típicos de examen: Producto de raíces negativas: cuando y (por ejemplo, ). Parte imaginaria con i: , nunca .

Denominador en la división: (suma de cuadrados reales, no resta). Omisión de la periodicidad en raíces: olvidar sumar antes de dividir por en radicación o logaritmos. Desigualdades en complejos: no es un cuerpo ordenado; no tienen sentido expresiones como . i = (0, 1) = ei 2 π = a i a a > 0 = a b ab a < 0 b < 0 = 1 1 i = 2 1 = = 1 1 Im(a + bi) = b bi z = z ˉ a + 2 b2 2πk n C z < 1 z 2 Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 34 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque el cuadrado de cualquier número real nunca puede ser negativo; elevar cualquier número real al cuadrado siempre genera un resultado mayor o igual que cero. 2.

Porque exige calcular la raíz cuadrada de un número negativo ( (-4)), y el producto de cualquier número real consigo mismo siempre es mayor o igual a cero. 3. El valor es -i; se deduce de descomponer i³ como i · i², sustituyendo i² por -1 para obtener i(-1) = -i. 4. Deja de ser válida cuando tanto a como b son estrictamente menores que cero de forma simultánea (a < 0 y b < 0). 5. Las soluciones son y , obtenidas al calcular . 6. Porque la regla distributiva del producto de radicales solo rige en reales no negativos; aplicarla con ambos factores negativos conduce a la contradicción . 7. b) Su cuadrado es igual a menos uno.

La unidad imaginaria i se define formalmente mediante la igualdad fundamental i² = -1. 8. a) 1. Calculando (i²)·(i²) se tiene (-1)·(-1) = 1, completando el ciclo cuádruple de potencias. 9. c) 2i. Al extraer el signo negativo mediante la unidad imaginaria, se calcula (-1)· 4 = 2i. 10. d) Si a y b son ambos negativos. Cuando ambos radicandos son simultáneamente negativos, la propiedad clásica de los radicales reales no es válida. 11. Sí, los números complejos residen en un plano bidimensional dotado de módulo euclídeo no negativo, aunque no se ordenan linealmente como los números reales. 12.

El par ordenado es (2, -5), la parte real es 2 y la parte imaginaria es Im(z) = -5 (nótese que no incluye i y el orden real-imaginario se mantiene). 13. Únicamente a = 0 y b = 0, ya que sqrt(a² + b²) = 0 solo es posible si la suma de cuadrados de términos reales es nula. 14. Porque por definición matemática, denota el coeficiente real que acompaña a la unidad imaginaria; en este caso concreto, . 15. Coinciden plenamente, pues al sustituir en resulta . 16. c) -3. La parte imaginaria Im(z) es exclusivamente el escalar real b, sin incluir la unidad imaginaria i. 17. c) (0, 1). Puesto que i = 0 + 1i, su componente real es 0 y su componente imaginaria es 1, dando el par (0, 1). 18. b) 4.

El módulo euclídeo es la raíz de (-4)² + 0², lo que equivale al valor absoluto "-4" = 4. 19. c) Tienen componente imaginaria nula b = 0. Los reales se sitúan sobre el eje horizontal, lo cual equivale a tener b = 0. 20. Porque en los números complejos no existe una relación de orden total compatible con la aritmética; no se pueden comparar números con desigualdades salvo que comparemos magnitudes escalares reales como sus módulos. 21. Aparece una resta porque al multiplicar los términos imaginarios obtenemos b_1 b_2 i^2, y como i^2 = -1, este producto se transforma en el número real -b_1 b_2. 22.

No, porque las componentes imaginarias bi y -bi son opuestas y se anulan mutuamente, dejando únicamente el término real 2a. x = i x = i = 2 ± 4 2 ±2i 1 = 1 Im(z) b Im(z) = 2 b = 0 a + b 2 2 = a2 a Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 35 23. Porque el cuerpo de los números complejos no admite una relación de orden compatible con sus operaciones aritméticas; las desigualdades solo están definidas para comparar números reales (como los módulos de los complejos). 24. Como y , calculamos . Sustituyendo en la fórmula del inverso se obtiene . 25.

Al restar el conjugado se cancelan las partes reales: , dando como resultado un número imaginario puro equivalente al doble de su parte imaginaria. 26. a) Reflexión respecto al eje real de abscisas. El conjugado mantiene la parte real a y cambia el signo de b a -b, lo que equivale geométricamente a una simetría o reflexión respecto al eje horizontal Re. 27. c) Al valor real cuadrático a² + b². Al multiplicar z por su conjugado los términos cruzados se cancelan y los términos imaginarios generan -b²(i²) = +b², resultando en el número real a² + b² = "z"². 28. d) Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador.

Multiplicar por el conjugado del denominador convierte el divisor en un número real no negativo, permitiendo separar la parte real e imaginaria del cociente. 29. c) Porque no existe un orden total compatible con sus operaciones. El cuerpo ( , +, ·) no es un cuerpo ordenable: ninguna relación de orden total puede respetar simultáneamente la compatibilidad con la suma y la multiplicación compleja. 30. Porque en notación polar la multiplicación combina las reglas de potenciación de base e, sumando algebraicamente sus ángulos de inclinación como un giro continuo. 31.

La longitud del segmento que une el punto con el origen es fija y única ( ), mientras que sumar múltiplos enteros de una vuelta completa ( ) deja al vector exactamente en la misma dirección y sentido. 32. Su módulo es exactamente 1, puesto que . 33. Se aplica una rotación neta de radianes (180°), invirtiendo el sentido del vector original, lo cual coincide algebraicamente con . 34. El argumento general contiene los infinitos ángulos equivalentes que representan la misma semirrecta tras completar cualquier número entero de giros de radianes, mientras que el argumento principal restringe dicho ángulo al intervalo canónico semicerrado . 35.

La unidad imaginaria tiene coordenadas , con módulo unitario y argumento sobre el semieje vertical positivo; al aplicar la fórmula de Euler se verifica . 36. d) 3π/2 radianes. En el intervalo canónico [0, 2π), el semieje imaginario negativo corresponde a un ángulo de 270 grados o 3π/2 radianes. 37. a) Se suman algebraicamente. Por leyes de exponentes con base e, los exponentes imaginarios se suman, implicando la suma directa de los argumentos. 38. b) Giro antihorario de π/2 rad. Dado que i tiene módulo 1 y argumento π/2, la operación preserva la longitud y rota el vector 90 grados en sentido antihorario. 39. c) Siempre vale 1.

La identidad pitagórica fundamental asegura que (cos²φ + sen²φ) = 1 para cualquier ángulo real φ. 40. Porque en el plano complejo toda ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n raíces distribuidas simétricamente alrededor del origen. 41. Conserva el módulo unitario y duplica su argumento angular en sentido antihorario respecto al origen. a = 3 b = 4 a + 2 b = 2 3 + 2 ( 4) = 2 25 z = 1 + 25 3 i 25 4 (a + bi) (a bi) = 2bi z 0 2πk e = iφ = cos φ + sen φ 2 2 = 1 1 + 2 π = 2 π π i = 2 1 2π [0, 2π) (0, 1) i = = 0 + 1 2 2 1 φ = 2 π e = i 2 π cos( ) + 2 π i sen( ) = 2 π 0 + i(1) = i Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 36 42.

Tiene exactamente una raíz real con el mismo signo que el radicando; las dos raíces restantes son complejas imaginarias. 43. La separación angular entre raíces sucesivas es exactamente 2π/3 radianes (120 grados). 44. Porque las rotaciones completas de radianes representan el mismo número inicial, pero al dividirse entre generan los distintos argumentos de las raíces independientes. 45. Forman un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 1 centrada en el origen, separadas consecutivamente por radianes. 46. d) (cos θ + i sen θ) = cos(nθ) + i sen(nθ).

La fórmula de De Moivre relaciona la potencia entera multiplicando directamente el argumento del coseno y seno por el exponente n. 47. a) Exactamente n raíces. El Teorema Fundamental del Álgebra garantiza que una ecuación de grado n tiene exactamente n soluciones complejas contadas con multiplicidad. 48. b) Como vértices de un polígono regular. Tienen el mismo módulo y están espaciadas uniformemente con un desfase angular constante de 2π/n, formando un polígono regular. 49. b) -1, 1/2 + ( 3/2)i y 1/2 - ( 3/2)i. Evaluando los valores de k = 0, 1 y 2 se obtiene -1 en el eje real junto con el par conjugado 1/2 ± ( 3/2)i. 50.

Porque en el plano complejo el número 2 admite infinitas representaciones angulares equivalentes al sumar rotaciones completas de 2π. 51. Porque la exponencial compleja es periódica con periodo , lo que hace que el argumento del número admita infinitos valores equivalentes desfasados por múltiplos enteros de . 52. Es , puesto que y su argumento principal en el intervalo canónico es . 53. Depende exclusivamente del logaritmo natural real del módulo del número complejo, es decir, . 54. Queda restringido al intervalo canónico . 55. b) ln"z" + i(φ + 2πk). La deducción algebraica muestra que la parte real es ln"z" y la parte imaginaria es el argumento completo φ + 2πk. 56. a) [0, 2π).

El criterio canónico adoptado restringe el ángulo de la rama principal al semiintervalo [0, 2π). 57. d) ln 2. Al ser positivo, su argumento canónico es 0, resultando Ln(2) = ln 2 + i·0 = ln 2. 58. b) ln(z) es multivaluado y Ln(z) univaluado. ln(z) engloba las infinitas soluciones enteras k, mientras Ln(z) selecciona únicamente el ángulo principal canónico. 2πk n n 3 2π 2πi 2π Ln(2) = ln 2 2 = 2 Arg(2) = 0 ln z [0, 2π) Números Complejos: Teoría y Formulario " Análisis I 37