La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita

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APUNTES ANÁLISIS MATEMÁTICO I Grado en Ingeniería Informática Universidad Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apuntes completos de Análisis Matemático I sobre la derivada: tasa de cambio, reglas de derivación, regla de la cadena y diferenciación implícita con ejemplos. APREN.AI Índice 1 Fundamentos del cálculo y el problema de la tangente 1. Naturaleza y ramas del cálculo infinitesimal 2. Tasas de cambio en funciones lineales 3. El problema del movimiento y las funciones no lineales 4.

De la recta secante a la recta tangente: velocidad instantánea 2 Definición formal de la derivada y condiciones de diferenciabilidad Definición formal de la derivada puntual La función derivada en un intervalo abierto Relación entre continuidad y diferenciabilidad Notaciones de la derivada y concepto de diferencial Derivadas de orden superior 3 Reglas de derivación algebraicas, exponenciales y trigonométricas Operaciones algebraicas y regla de la potencia Reglas del producto, cociente y función recíproca Derivación de raíces n-ésimas mediante exponentes racionales Funciones trascendentes: exponenciales y logarítmicas Derivadas de funciones trigonométricas directas y recíprocas 4 Regla de la cadena, valor absoluto y funciones inversas Regla de la cadena: derivación de funciones compuestas Potencias y raíces de funciones arbitrarias Derivación rigurosa del valor absoluto Teorema de la derivada de la función inversa Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 5 Diferenciación implícita y aplicaciones geométricas Relaciones implícitas frente a funciones explícitas El método de diferenciación implícita y cálculo de la recta tangente Aplicación a la derivación logarítmica 6 Formulario 1.

Conceptos de tasa de cambio y definición de derivada 2. Reglas de derivación algebraicas 3. Derivadas de funciones trascendentes y trigonométricas 4. Regla de la cadena, funciones inversas y valor absoluto 5. Procedimientos sistemáticos y errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 1 Estos apuntes pueden contener errores u omisiones. Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante.

La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 2 1 Fundamentos del cálculo y el problema de la tangente AL ACABAR SABRÁS Diferenciar las ramas del cálculo diferencial e integral y su contexto de origen. Distinguir conceptual y geométricamente entre una tasa de cambio media y una instantánea. Calcular pendientes de rectas secantes y aproximar la pendiente de la recta tangente mediante procesos de límite. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué el velocímetro de un automóvil marca una velocidad concreta en cada instante si para medir la velocidad siempre se necesita recorrer una distancia en un tiempo?

El cálculo proporciona las herramientas matemáticas para describir y cuantificar cómo cambian los fenómenos de forma continua a lo largo del tiempo o del espacio. ESQUEMA Estructura del estudio de la derivada 1. Naturaleza y ramas del cálculo infinitesimal El cálculo infinitesimal es la rama de las matemáticas orientada al análisis del cambio continuo y la continuidad. Fue formulado de manera independiente en el siglo XVII por dos figuras clave: Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Esta disciplina se estructura en dos grandes áreas complementarias: Fundamentos y tangente Tasas de cambio y aproximación secante-tangente Definición formal Límites, diferenciabilidad y notación Reglas de cálculo Derivadas algebraicas y trigonométricas Composición e inversas Regla de la cadena y funciones inversas Diferenciación implícita Curvas implícitas y aplicaciones geométricas La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 3 Cálculo diferencial: se centra en el estudio de las pendientes de las curvas y en determinar la tasa de variación instantánea con la que cambian las funciones.

Cálculo integral: se enfoca en el cálculo de áreas situadas bajo curvas y en la acumulación progresiva de magnitudes. 2. Tasas de cambio en funciones lineales Una tarea esencial del cálculo consiste en evaluar la respuesta del valor ante incrementos en la variable independiente . Se define la razón de cambio como el cociente entre la variación observada en la variable dependiente y la variación producida en la variable independiente: Gráfica de la razón de cambio constante en una recta lineal. En el caso particular de las relaciones lineales, cuya expresión algebraica adopta la forma , la tasa de cambio permanece estrictamente constante en cualquier intervalo.

Geométricamente, esta razón coincide con la inclinación o pendiente de la recta en todo su dominio. f(x) x Raz n de cambio = o ˊ = Δx Δy = Δx f(x + Δx) f(x) x x 1 0 y y 1 0 y = mx + b m = tanθ La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 4 EJEMPLO Consideremos la función que describe el índice de masa corporal (IMC) en función de las horas semanales de ejercicio físico : La pendiente es constante e igual a . Si se incrementa la actividad física de a horas semanales: El mismo resultado se obtiene multiplicando la tasa constante por el incremento del dominio: unidades de IMC.

COMPRUEBA 2 ¿Por qué en una función lineal la tasa de cambio media entre dos puntos cualesquiera siempre coincide con la derivada en cualquier punto? 3. El problema del movimiento y las funciones no lineales En las funciones no lineales, la tasa de variación no se mantiene uniforme, sino que se modifica continuamente a lo largo del dominio.

Tomemos como modelo cinemático el desplazamiento en metros de un avión durante su fase de rodaje y aceleración antes de despegar: Si el despegue sucede exactamente en , la posición del aparato en ese instante crítico corresponde a: Velocidad media y la pendiente secante La velocidad media ( ) evalúa el ritmo de cambio promedio a lo largo de un intervalo de tiempo : En términos geométricos, la velocidad media representa la pendiente de la recta secante ( ) que interseca la curva de posición en los dos puntos temporales considerados.

x 0 f(x) = 30 x 3 1 m = 3 1 x = 0 12 x = 1 24 Δy = f(24) f(12) = 22 26 = 4 Δy = m Δx = (24 3 1 12) = 4 f(t) f(t) = t , t 4 3 2 0 t = 50 s f(50) = (50) = 4 3 2 (2500) = 4 3 1875 m v ˉ [t, t + Δt] = v ˉ = Δt Δy Δt f(t + Δt) f(t) m sec La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 5 Gráfica de la recta secante en la trayectoria de despegue. Si calculamos la velocidad media en toda la carrera de despegue (entre y ): Si reducimos el intervalo a los últimos 20 segundos previos al despegue ( a , donde y ): Al estrechar el intervalo, el resultado aproxima con mayor fidelidad la rapidez de despegue, pues la aceleración es continua. 4.

De la recta secante a la recta tangente: velocidad instantánea Para determinar la velocidad instantánea en el instante exacto , no es posible aplicar directamente la fórmula de la secante evaluando , ya que se produciría una indeterminación matemática de tipo .

Por ende, se examina el comportamiento del cociente a medida que se aproxima progresivamente a cero sin llegar a anularse: Instante inicial (s) Instante final (s) Incremento (s) Desplazamiento (m) Velocidad media (m/s) 49,00 50 1,00 74,25 74,25 49,50 50 0,50 37,31 74,62 t = 0 t = 50 s = v ˉ = 50 0 f(50) f(0) = 50 1875 0 37,5 m/s t = 30 t = 50 s f(30) = (30) = 4 3 2 675 m Δt = 20 s = v ˉ = 50 30 f(50) f(30) = 20 1875 675 = 20 1200 60 m/s t = 50 s Δt = 0 0 0 Δt t 0 t 1 Δt Δy v ˉ La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 6 Instante inicial (s) Instante final (s) Incremento (s) Desplazamiento (m) Velocidad media (m/s) 49,75 50 0,25 18,70 74,81 49,90 50 0,10 7,49 74,92 La tabla pone en evidencia que los valores de velocidad media convergen hacia cuando .

A medida que , la recta secante se transforma en la recta tangente a la curva en el punto de contacto. Gráfica de la recta tangente en el punto de despegue. Geométricamente, la velocidad instantánea equivale a la pendiente de la recta tangente ( ) en el punto considerado.

Su valor formal surge del cálculo del límite: Desarrollando este límite para la función cuadrática del avión: t 0 t 1 Δt Δy v ˉ 75 m/s Δt 0 Δt 0 m tan v(t) = = Δt 0 lim Δt Δy Δt 0 lim Δt f(t + Δt) f(t) Planteamiento del cociente incremental: 1 v(t) = Δt 0 lim Δt (t + Δt) t 4 3 2 4 3 2 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 7 La expresión constituye la derivada de la posición respecto al tiempo (para la formalización de este operador, véase «Definición formal de la derivada y condiciones de diferenciabilidad»).

Al evaluar en el instante del despegue ( ): Propiedad Recta secante (Tasa promedio) Recta tangente (Tasa instantánea) Puntos de intersección Corta a la curva en dos puntos ( y ) Toca localmente la curva en un único punto ( ) Intervalo temporal Intervalo finito no nulo ( ) Punto exacto obtenido como límite cuando Interpretación física Velocidad media en el trayecto transcurrido Velocidad instantánea que marca el velocímetro ERROR FRECUENTE Un fallo común consiste en intentar calcular la velocidad o pendiente instantánea sustituyendo directamente en el cociente incremental , lo que genera una expresión indeterminada .

Para evitar este error, debe simplificarse algebraicamente el incremento del denominador mediante factorización antes de evaluar el valor del límite. COMPRUEBA 3 ¿Qué ocurre geométrica y analíticamente con la recta secante cuando el incremento temporal Δt tiende a 0?

Expansión algebraica del binomio: 2 v(t) = Δt 0 lim Δt t + tΔt + (Δt) t 4 3 2 4 6 4 3 2 4 3 2 Cancelación y factorización de términos: simplificando y extrayendo factor común en el numerador: 3 t 4 3 2 Δt v(t) = Δt 0 lim Δt Δt t + Δt (2 3 4 3 ) Evaluación del límite: al cancelar en numerador y denominador se elimina la indeterminación: 4 Δt v(t) = t + Δt = Δt 0 lim ( 2 3 4 3 ) t + 2 3 0 = t 2 3 v(t) = = dt dy t 2 3 t = 50 s v(50) = (50) = 2 3 75 m/s t t + Δt t 0 Δt > 0 Δt 0 Δt = 0 Δt Δy 0 0 Δt La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 8 IDEAS CLAVE El cálculo infinitesimal analiza la continuidad y el cambio continuo, dividiéndose en cálculo diferencial y cálculo integral.

Newton y Leibniz desarrollaron de forma independiente el cálculo a lo largo del siglo XVII. En funciones lineales la tasa de cambio es constante e igual a la pendiente de la recta, mientras que en funciones no lineales varía en cada punto. La tasa de cambio promedio representa la pendiente de la recta secante que une dos puntos de la gráfica. La tasa de cambio instantánea surge como el límite del cociente incremental cuando y equivale geométricamente a la pendiente de la recta tangente. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. ¿En qué se diferencian el cálculo diferencial y el cálculo integral según el tipo de problema geométrico que abordan? 5.

Si una trayectoria sigue la función cuadrática , ¿por qué la velocidad media entre 0 y 50 segundos difiere de la velocidad instantánea en t = 50 segundos? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 6. ¿Quiénes desarrollaron de forma independiente las bases del cálculo infinitesimal en el siglo XVII? 7. ¿Qué representa geométricamente la velocidad media entre dos instantes de una trayectoria? 8. ¿Cómo se define analíticamente la velocidad instantánea a partir del cociente incremental?

Δt 0 f(t) = t 4 3 2 Augustin-Louis Cauchy y Bernhard Riemann a) René Descartes y Pierre de Fermat b) Isaac Newton y Gottfried Leibniz c) Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss d) El área encerrada bajo la curva a) La pendiente de la recta secante b) La pendiente de la recta tangente c) El punto de corte con el eje vertical d) Como el límite cuando Δt tiende a cero a) Dividiendo el desplazamiento entre la posición b) Multiplicando el cociente por el tiempo c) Sustituyendo directamente Δt por cero d) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 9 9. En la función de desplazamiento f(t) = 3/4 t², ¿cuál es la velocidad instantánea en t = 50 s?

2 Definición formal de la derivada y condiciones de diferenciabilidad AL ACABAR SABRÁS Calcular la derivada de una función mediante el límite del cociente incremental. Distinguir por qué la continuidad es condición necesaria pero no suficiente para la diferenciabilidad. Identificar los tres casos geométricos que impiden la diferenciabilidad puntual. Formular derivadas de orden superior y diferenciales utilizando las notaciones clásicas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 10 Si una función dibuja un trazo continuo sin levantar el lápiz del papel, ¿significa que siempre es posible trazar una recta tangente en cada uno de sus puntos?

Definición formal de la derivada puntual Para determinar el ritmo de variación instantáneo de una magnitud, el cálculo recurre a la noción de límite. Consideremos una función definida en el entorno de un punto . La tasa de cambio instantánea en dicho valor recibe el nombre de derivada puntual. DEFINICIÓN La derivada puntual de una función en se define mediante el límite del cociente de diferencias: Cuando este límite existe finito, se dice que la función es diferenciable en . El procedimiento matemático que permite hallar dicha expresión recibe el nombre de diferenciación.

Desde una perspectiva geométrica, el valor obtenido equivale con exactitud a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (véase «Fundamentos del cálculo y el problema de la tangente»). 37,5 m/s a) 74,25 m/s b) 75 m/s c) 60 m/s d) f(x) a f(x) x = a f (a) = h 0 lim h f(a + h) f(a) x = a y = f(x) (a, f(a)) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 10 EJEMPLO Si la trayectoria de despegue de un vehículo sigue la ley horaria , su velocidad instantánea se obtiene derivando respecto al tiempo: Desarrollando el binomio al cuadrado y simplificando términos algebraicos: Para un instante particular como , la velocidad instantánea resulta .

La función derivada en un intervalo abierto Si una función , con siendo un conjunto o intervalo abierto, admite derivada en cada elemento , afirmamos que es diferenciable en todo . En este escenario, la correspondencia que asigna a cada abscisa el valor de su pendiente instantánea da lugar a una nueva función: la función derivada, denotada formalmente como . Por ejemplo, para la función continua con dominio en los reales positivos , la función derivada resultante queda definida para todos los valores del mismo dominio. COMPRUEBA 11 ¿Qué condición geométrica garantiza que f sea diferenciable en un punto a?

Relación entre continuidad y diferenciabilidad La conexión entre continuidad y diferenciabilidad es uno de los pilares del análisis funcional. Se enuncia con rigor del siguiente modo: la continuidad es condición necesaria pero no suficiente para la existencia de la derivada. PARA RECORDARLO Toda función diferenciable en un punto es necesariamente continua en él. La implicación recíproca no siempre es cierta: existen funciones perfectamente continuas que carecen de derivada.

Podemos clasificar los escenarios en que una función incumple la diferenciabilidad en tres situaciones patológicas fundamentales: f(t) = t 4 3 2 v(t) v(t) = = Δt 0 lim Δt f(t + Δt) f(t) Δt 0 lim Δt (t + Δt) t 4 3 2 4 3 2 v(t) = = Δt 0 lim Δt t + tΔt + (Δt) t 4 3 2 4 6 4 3 2 4 3 2 t + Δt = Δt 0 lim ( 2 3 4 3 ) t 2 3 t = 50 s v(50) = (50) = 2 3 75 m/s f : U R U R a U f U x f : U R f(t) = t 4 3 2 D = f R+ f (t) = t 2 3 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 11 ESQUEMA Causas de no diferenciabilidad ERROR FRECUENTE Asumir que si una función es continua en un punto , necesariamente se puede calcular su derivada allí.

La continuidad solo descarta los saltos y asíntotas, pero no evita la presencia de picos con pendientes laterales distintas ni tangentes verticales infinitas. Falta de continuidad Discontinuidades de salto o esenciales Puntos angulosos Pendientes laterales distintas como en "x" Tangente vertical La derivada tiende a infinito Discontinuidad de salto: Si una función no es continua en un punto, resulta automáticamente no diferenciable en él. Consideremos la función definida a trozos: Aunque está definida en ( ) y su pendiente en cada rama abierta vale 1, los límites laterales en difieren ( frente a ). Al no haber continuidad en , la derivada no existe.

1 f(x) = { x x + 1 si x 2 si x > 2 x = 2 f(2) = 2 x = 2 lim f(x) = x 2 2 lim f(x) = x 2+ 3 x = 2 Puntos angulosos o curvas abruptas: Una función puede ser continua en todo su dominio pero presentar un cambio brusco de dirección. El caso paradigmático es el valor absoluto: La función es continua en todo . Sin embargo, la tasa de cambio a la izquierda vale -1 y a la derecha vale 1. En el vértice la pendiente no está definida y, en consecuencia, no es diferenciable en dicho punto. 2 f(x) = x = { x x si x < 0 si x 0 R x = 0 f Tangente vertical: La función puede ser continua y suave, pero el cociente incremental divergir hacia el infinito. Estudiemos la función con .

Los límites laterales verifican , por lo que la función es continua en el origen. No obstante, al analizar los límites de la derivada cuando nos aproximamos a cero por ambos costados: La pendiente de la recta tangente se torna vertical, provocando que la derivada en no exista. 3 f(x) = x ln x f(0) = 0 lim x ln x = x 0 0 f (x) = x 0 lim f (x) = x 0+ lim x = 0 x = a La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 12 COMPRUEBA 12 ¿Por qué la función f(x) = "x" no tiene derivada en el origen si es continua en x = 0?

Notaciones de la derivada y concepto de diferencial A lo largo de la historia del cálculo, distintos matemáticos introdujeron simbologías específicas para denotar la operación de derivar una función . Cada notación presenta ventajas según el contexto teórico o aplicado. Notación Primera derivada Segunda derivada Leibniz Lagrange Newton Euler Para indicar la evaluación de la derivada en un valor numérico concreto , se emplean habitualmente las expresiones equivalentes , o la notación con barra evaluadora . El vocablo diferencial describe una variación infinitamente pequeña o infinitesimal en una variable dada.

De este modo, la cantidad simboliza un incremento infinitesimal sobre la variable independiente . En el marco de Leibniz, la derivada surge como el límite del cociente de incrementos finitos : Si combinamos esta formulación con la notación funcional de Lagrange, obtenemos la expresión diferencial que vincula el cambio de ambas variables: Derivadas de orden superior Cuando la función derivada resulta ser a su vez diferenciable en su dominio, es posible aplicar nuevamente el proceso de diferenciación. La derivada de la primera derivada se denomina segunda derivada y se denota: Este procedimiento puede reiterarse indefinidamente mientras las funciones obtenidas en cada paso admitan derivada.

Para un orden entero positivo , la derivada n-ésima se representa mediante las siguientes estructuras: y = f(x) = dx dy f(x) dx d = dx2 d y 2 f(x) dx2 d2 f (x) f (x) ẏ ÿ Dy = Df(x) D y = 2 D f(x) 2 x = a f (a) [f(a)] dx d dx df x=a dx x Δx Δy = dx dy Δx 0 lim Δx Δy = dx dy f (x) dy = f (x) dx f (x) f (x) = [f (x)] = dx d [f(x)] dx2 d2 n f (x) = (n) [f(x)] o bien y = dxn dn (n) dxn d y n La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 13 PROCESO Jerarquía de derivadas sucesivas 1 Función original Función base y = f(x) 2 Primera deri vada f'(x) o dy/dx 3 Segunda de rivada f''(x) o d²y/dx² 4 Derivada n-ésima f^(n)(x) por derivación recursiva EJEMPLO Determinemos las sucesivas derivadas de la función polinómica mediante diferenciación recurrente: Primera derivada: Segunda derivada: Tercera derivada: Cuarta derivada: Quinta derivada: COMPRUEBA 13 ¿Cuál es el valor de la derivada de orden superior n para cualquier polinomio de grado menor que n?

IDEAS CLAVE La derivada puntual se define formalmente como el límite cuando del cociente . La continuidad es una condición estrictamente necesaria para la diferenciabilidad, pero de ningún modo suficiente. Las discontinuidades de salto, los vértices o puntos angulosos ( ) y las tangentes verticales ( ) son las tres causas clásicas de no diferenciabilidad. La diferencial de la variable dependiente se expresa mediante la relación . Las derivadas de órdenes superiores se obtienen diferenciando de forma sucesiva y recursiva las derivadas precedentes. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 14. ¿Qué representa analíticamente la expresión ? 15.

¿Por qué la función no resulta diferenciable en el origen a pesar de ser continua? f(x) = 2x + 4 3x + 3 7x + 2 9x 5 f (x) = 8x + 3 9x + 2 14x + 9 f (x) = 24x + 2 18x + 14 f (x) = (3) 48x + 18 f (x) = (4) 48 f (x) = (5) 0 f (a) h 0 [f(a + h) f(a)]/h x x ln x dy = f (x) dx dy = f (x) dx f(x) = x ln x La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 14 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 16. ¿Qué describe geométricamente la derivada f'(a)? 17. ¿Por qué f(x) = "x" no es diferenciable en x = 0? 18. ¿Cuál es la expresión de la diferencial dy en notación estándar? 19. ¿Qué valor alcanza la quinta derivada de un polinomio de grado cuatro?

3 Reglas de derivación algebraicas, exponenciales y trigonométricas AL ACABAR SABRÁS Aplicar la regla de la potencia a exponentes enteros y fraccionarios para derivar polinomios y radicales Calcular derivadas de multiplicaciones y divisiones usando las reglas del producto y del cociente Diferenciar funciones exponenciales y logarítmicas en cualquier base Obtener las derivadas de las seis razones trigonométricas mediante identidades y reglas operativas PIÉNSALO ANTES DE LEER 20 ¿Por qué la función f(x) = eˣ es la única cuya derivada es idéntica a la función original?

Pendiente de la recta secante a) Longitud de arco de curva b) Área bajo la curva c) Pendiente de la recta tangente d) Presenta una asíntota vertical infinita a) El valor f(0) no está definido b) Sus pendientes laterales no coinciden c) No es una función continua d) dy = f'(x) dx a) dy = dx / f'(x) b) dy = f'(x) / dx c) dy = f''(x) dx d) Una constante no nula a) Un término lineal b) Cero c) Infinito d) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 15 Operaciones algebraicas y regla de la potencia El cálculo sistemático de derivadas prescinde de evaluar límites directos gracias a un conjunto de propiedades fundamentales.

La tasa de cambio de cualquier valor invariable es nula: la derivada de una constante es cero, es decir, . Asimismo, los factores multiplicativos constantes se preservan durante el proceso: . Para las potencias de la variable independiente se aplica la regla del exponente: Esta regla permite derivar términos lineales de forma inmediata: . Gracias a la linealidad, la derivada de sumas y restas de funciones se calcula operando término a término: EJEMPLO Para derivar el polinomio , se combinan las propiedades de la constante, el factor escalar y la suma: La regla de la potencia se extiende a potencias enteras negativas aprovechando la identidad algebraica .

Esto transforma expresiones racionales elementales en monomios de exponente negativo antes de derivar. EJEMPLO Para encontrar la derivada de la función racional , se reescribe como exponente negativo: COMPRUEBA 21 ¿Cómo se aplica la regla de la potencia para obtener la derivada de f(x) = 5/x²? Reglas del producto, cociente y función recíproca La derivada del producto de dos funciones no equivale a multiplicar sus derivadas individuales.

Se rige por la regla del producto, sumando el producto de la primera función sin alterar por la derivada de la segunda y la derivada de la primera por la segunda sin alterar: Para una fracción de funciones diferenciables se aplica la regla del cociente: [c] = dx d 0 [c dx d f(x)] = c f (x) [x ] = dx d n nxn 1 [x] = dx d 1 x = 1 1 1 x = 0 1 [f(x) ± dx d g(x)] = f (x) ± g (x) P (x) = 3x + 2 2x + 5 [3x + dx d 2 2x + 5] = 3 (2x ) + 2 1 2 1 + 0 = 6x + 2 x = n xn 1 f(x) = x3 2 f (x) = 2x = dx d [ 3 ] 2 ( 3)x = 3 1 6x = 4 x4 6 [f(x) dx d g(x)] = f(x)g (x) + g(x)f (x) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 16 Cuando el numerador es una constante unitaria, el resultado se reduce a la derivada de la función recíproca: ERROR FRECUENTE En la regla del cociente, alterar el orden en la resta del numerador ( ) cambia el signo del resultado final.

Debe derivarse siempre primero el numerador multiplicado por el denominador sin derivar. COMPRUEBA 22 ¿Por qué la derivada de 1/g(x) tiene signo negativo según la regla del cociente? Derivación de raíces n-ésimas mediante exponentes racionales Cualquier raíz se transforma en una potencia racional mediante la equivalencia . A partir de esa igualdad, la regla de la potencia se aplica de manera idéntica: EJEMPLO Para la raíz cuadrada : Análogamente, para la raíz cúbica : COMPRUEBA 23 ¿Cuál es el valor del nuevo exponente al aplicar la regla de la potencia a x^(1/4)?

Funciones trascendentes: exponenciales y logarítmicas La razón de cambio instantánea de una función exponencial depende directamente del valor de su base : En el caso particular de la base natural , dado que , la función exponencial es su propia derivada: = dx d [ g(x) f(x) ] [g(x)]2 f (x)g(x) f(x)g (x) = dx d [ f(x) 1 ] [f(x)]2 f (x) f(x)g (x) f (x)g(x) = n x x n 1 = x x 2 1 [ ] = dx d x x = dx d [ 2 1 ] x = 2 1 1 2 1 x = 2 1 2 1 = 2x 2 1 1 2 x 1 = 3 x x 3 1 [ ] = dx d 3 x x = dx d [ 3 1 ] x = 3 1 1 3 1 x = 3 1 3 2 3x 3 2 1 a [a ] = dx d x a ln(a) x e ln(e) = 1 [e ] = dx d x ex La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 17 Para la familia logarítmica con base positiva y distinta de 1: Para el logaritmo natural, al cumplirse , la expresión se simplifica a: COMPRUEBA 24 ¿Qué ocurre con la derivada de a^x y log_a(x) cuando la base a toma exactamente el valor e?

Derivadas de funciones trigonométricas directas y recíprocas Las derivadas elementales de las funciones trigonométricas directas fundamentales son: Puesto que , su derivada se obtiene evaluando el cociente: La identidad fundamental proporciona tres formas equivalentes: Las razones trigonométricas recíprocas se definen como: Derivando cada una mediante la regla del cociente o de la función recíproca se obtienen: a [log (x)] = dx d a x ln(a) 1 ln(e) = 1 [ln x ] = dx d x 1 [sen(x)] = dx d cos(x), [cos(x)] = dx d sen(x) tan(x) = cos(x) sen(x) [tan(x)] = dx d = cos (x) 2 cos(x) cos(x) sen(x)( sen(x)) cos (x) 2 cos (x) + sen (x) 2 2 cos (x) + 2 sen (x) = 2 1 [tan(x)] = dx d = cos (x) 2 1 sec (x) = 2 1 + tan (x) 2 csc(x) = , sec(x) = sen(x) 1 , cot(x) = cos(x) 1 tan(x) 1 [csc(x)] = dx d csc(x) cot(x) [sec(x)] = dx d sec(x) tan(x) [cot(x)] = dx d csc (x) 2 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 18 EJEMPLO Para derivar la expresión , se aplica la regla del cociente: Sustituyendo en el segundo sumando: Función Derivada Función Derivada 0 ESQUEMA Reglas de derivación elementales f(x) = 1+tan(x) sec(x) f (x) = (1 + tan(x))2 [sec(x)] (1 + tan(x)) sec(x) [1 + tan(x)] dx d dx d = (1 + tan(x))2 sec(x) tan(x)(1 + tan(x)) sec(x) sec (x) 2 sec (x) = 2 tan (x) + 2 1 f (x) = = (1 + tan(x))2 sec(x)[tan(x)(1 + tan(x)) (tan (x) + 1)] 2 (1 + tan(x))2 sec(x)(tan(x) 1) c xn nxn 1 ex ex ax a ln(a) x ln x x 1 log (x) a x ln(a) 1 sen(x) cos(x) cos(x) sen(x) tan(x) sec (x) 2 cot(x) csc (x) 2 sec(x) sec(x)tan(x) csc(x) csc(x)cot(x) Operaciones algebraicas Linealidad, potencias, producto y cociente Potencias y raíces Regla n·x^(n-1) Producto y cociente f'g + fg' y (f'g - fg')/g² Trascendentes Exponenciales y logaritmos Bases e y a eˣ y aˣ·ln(a) Logaritmos 1/x y 1/(x·ln(a)) Trigonométricas Directas y recíprocas 〰 Seno y coseno cos(x) y -sen(x) Tangente y recíprocas sec²(x), -csc(x)cot(x), sec(x)tan(x) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 19 COMPRUEBA 25 ¿Por qué expresiones como sec²(x) y 1 + tan²(x) son representaciones válidas de la derivada de la tangente?

IDEAS CLAVE La regla de la potencia es válida tanto para exponentes enteros como fraccionarios y negativos. El cociente de funciones requiere restar el producto del numerador por la derivada del denominador, dividiendo todo entre el denominador al cuadrado. La función exponencial permanece invariante al derivarse, mientras que las bases generales introducen el factor constante . Las derivadas de las razones trigonométricas recíprocas se derivan de las directas aplicando la regla del cociente y las identidades pitagóricas. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 26. ¿Cuál es la derivada de la función recíproca ? 27. ¿Cómo se calcula la derivada de una raíz cúbica usando potencias?

Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 28. ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = tan(x)? 29. ¿Qué factor diferencia la derivada de aˣ respecto a eˣ? 30. ¿Cuál es el resultado de derivar f(x) = 1/x ? 31. ¿Cuál es la derivada de la función cosecante csc(x)?

[x ] = dx d n nxn 1 ex ln(a) f(x) 1 3 x -csc²(x) a) sec²(x) b) sec(x) tan(x) c) 1 / sen²(x) d) a a) ln(a) b) 1 / ln(a) c) log (a) d) 1/(4x³) a) -4/x b) 4/x c) -4/x³ d) -csc²(x) a) sec(x) tan(x) b) -sec(x) csc(x) c) -csc(x) cot(x) d) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 20 4 Regla de la cadena, valor absoluto y funciones inversas AL ACABAR SABRÁS Aplicar la regla de la cadena en notación funcional y con variables intermedias de Leibniz. Derivar funciones que involucran valores absolutos usando la identidad de la raíz cuadrada. Calcular derivadas de funciones inversas aplicando la fórmula del recíproco.

Obtener las derivadas de funciones trigonométricas inversas compuestas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 32 ¿Por qué la pendiente de la recta tangente a una función inversa en un punto es el recíproco de la pendiente de la original? Regla de la cadena: derivación de funciones compuestas Cuando una variable depende de otra a través de un paso intermedio, necesitamos encadenar sus razones de cambio. Si tenemos dos funciones diferenciables y , la función compuesta es también derivable.

REGLA DE LA CADENA La derivada de la composición corresponde a evaluar la derivada externa en la función interior multiplicada por la derivada interna: En la notación de Leibniz (véase «Definición formal de la derivada y condiciones de diferenciabilidad»), este proceso se visualiza introduciendo una variable intermedia junto con : La regla opera de afuera hacia adentro mediante pasos sistemáticos: f g F (x) = (f g)(x) = f(g(x)) F (x) = f (g(x)) g (x) u = g(x) y = f(u) = dx dy du dy dx du Identificar y declarar la variable intermedia: Asignar de modo que . 1 u = g(x) y = f(u) Calcular las derivadas directas: Determinar y .

2 du dy dx du Multiplicar y restituir: Evaluar el producto y reemplazar por su expresión original en términos de . 3 du dy dx du u x La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 21 EJEMPLO: DERIVACIÓN DE UN SENO CON ARGUMENTO POTENCIAL Calculemos la derivada de : Definimos , de modo que . Obtenemos las derivadas y . Aplicando la fórmula y restituyendo la variable intermedia: COMPRUEBA 33 ¿En qué se diferencian las derivadas de las funciones sen(x ) y sen (x)?

Potencias y raíces de funciones arbitrarias Al combinar la regla de la potencia (véase «Reglas de derivación algebraicas, exponenciales y trigonométricas») con la regla de la cadena, podemos derivar potencias enteras o fraccionarias de cualquier función diferenciable . Para una potencia de exponente entero , haciendo : EJEMPLO: DERIVADA DE UNA POTENCIA TRIGONOMÉTRICA Para , establecemos , luego: El mismo principio se extiende a raíces de índice mediante la equivalencia algebraica : EJEMPLO: RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO Derivemos : ERROR FRECUENTE Olvidar multiplicar por la derivada interna al derivar raíces o potencias.

Escribir sin incluir el factor en el numerador anula el ejercicio en el examen.

F (x) = sen(x ) n u = xn y = sen(u) = du dy cos(u) = dx du nxn 1 [sen(x )] = dx d n cos(u) nx = n 1 nx cos(x ) n 1 n f(x) n Z u = f(x) (f(x)) = dx d [ n ] n[f(x)] n 1 f (x) [u ] = dx d n nu n 1 dx du y = sen (x) = n (sen(x))n u = sen(x) = dx dy nu n 1 = dx du n sen (x) cos(x) n 1 n = n f(x) [f(x)] n 1 [f(x)] = dx d [ n 1 ] [f(x)] n 1 1 n 1 f (x) f(x) = = 2x + 4x 2 (2x + 2 4x) 2 1 (2x + 4x) = dx d [ 2 2 1 ] (2x + 2 1 2 4x) 2 1 (4x + 4) = = 2 2x + 4x 2 4x + 4 2x + 4x 2 2x + 2 f (x) = dx d g(x) 2 g(x) 1 g (x) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 22 COMPRUEBA 34 ¿Por qué la derivada de (f(x)) siempre incluye el término f'(x) en el numerador?

Derivación rigurosa del valor absoluto La función valor absoluto elemental se define algebraicamente mediante la raíz del cuadrado: "x" = (x^2) = (x^2)^{1/2}. Aplicando la regla de la cadena sobre esta identidad obtenemos: Esta expresión equivale a una función definida a trozos: Recordemos que la función f(x) = "x" es continua en x = 0 pero no diferenciable en x = 0 debido al punto anguloso en el origen. Para generalizar al valor absoluto de una función arbitraria , introducimos las variables intermedias con y : Esta regla es válida para todo punto donde . COMPRUEBA 35 ¿En qué puntos deja de ser diferenciable la función "f(x)"?

Teorema de la derivada de la función inversa Consideremos una función biyectiva y diferenciable en un intervalo . Por definición, componer con su inversa devuelve la identidad: .

Al diferenciar ambos lados de la igualdad con respecto a usando la regla de la cadena: Despejando el término derivado obtenemos el teorema de la función inversa: En notación diferencial de Leibniz, esta relación expresa de forma directa la reciprocidad de las pendientes: x = dx d (x ) = dx d [ 2 2 1 ] (x ) 2 1 2 2 1 (2x) = = 2(x ) 2 2 1 2x = x2 x x x x = dx d 1 no definida 1 si x < 0 si x = 0 si x > 0 f(x) = [f(x)]2 y = u u = v2 v = f(x) f(x) = dx d du dy dv du = dx dv (2v) ( 2 u 1 ) f (x) = [f(x)]2 f(x) f (x) = f (x) f(x) f(x) f(x) = 0 f(x) I R f f 1 (f f )(x) = 1 f(f (x)) = 1 x x f(f (x)) = dx d [ 1 ] [x] dx d f (f (x)) 1 [f ] (x) = 1 1 [f ] (x) = 1 f (f (x)) 1 1 dx dy = dy dx 1 = dx dy dy dx 1 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 23 EJEMPLO: DEDUCCIÓN DE LA DERIVADA DE LA RAÍZ MEDIANTE LA INVERSA Para hallar la derivada de en , invertimos la relación escribiendo .

Calculamos la derivada respecto de : Sustituyendo : PROCESO Deducción de la derivada de la inversa 1 Identidad compuesta f(f ¹(x)) = x por defini ción de inversa 2 Regla de la cadena Diferenciar ambos miembros respecto a x 3 Ecuación diferencial f'(f ¹(x)) · [f ¹]'(x) = 1 4 Despeje fi nal [f ¹]'(x) = 1 / f'(f ¹(x)) Derivadas de las funciones trigonométricas inversas Aplicando la fórmula de la derivada de la inversa a las razones trigonométricas clásicas obtenemos el catálogo de derivadas de las funciones ciclométricas: Función inversa Derivada elemental Derivada compuesta y = f(x) = n x R+ x = f (y) = 1 yn y = dy dx ny n 1 = dx dy nyn 1 1 y = = n x x n 1 = dx dy = n( ) n x n 1 1 = n(x ) n 1 n 1 1 nx n n 1 1 u = g(x) y = sen (x) 1 1 x2 1 1 u2 u y = cos (x) 1 1 x2 1 1 u2 u y = tan (x) 1 1+x2 1 1+u2 u y = cot (x) 1 1+x2 1 1+u2 u y = sec (x) 1 x x 1 2 1 u u 1 2 u y = csc (x) 1 x x 1 2 1 u u 1 2 u La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 24 EJEMPLO: DERIVACIÓN CON ARCOTANGENTE Y RAÍZ Calculemos la derivada de : Asignamos la variable auxiliar , con lo cual .

Aplicamos la regla de la cadena: Deshaciendo el cambio : COMPRUEBA 36 ¿Cuál es la relación entre las derivadas de sen ¹(x) y cos ¹(x)? IDEAS CLAVE La regla de la cadena establece que o en Leibniz . Para potencias y raíces de funciones, siempre debe incluirse el factor multiplicativo de la derivada interna . La función es continua en cero pero carece de derivada allí; su derivada es para todo . La derivada del valor absoluto compuesto cumple siempre que . La pendiente de la función inversa es el recíproco de la derivada evaluada en la inversa: . Las funciones trigonométricas inversas producen derivadas algebraicas racionales e irracionales, como para . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 37.

¿Cómo se deduce formalmente la derivada de la función inversa a partir de la identidad de composición? 38. ¿Por qué la derivada de no está definida en si se utiliza la fórmula basada en la raíz del cuadrado? f(x) = tan ( ) 1 x u = x y = tan (u) 1 [tan ( )] = dx d 1 x du dy = dx du 1 + u2 1 2 x 1 u = x = 1 + ( ) x 2 1 = 2 x 1 2 (1 + x) x 1 (f g) (x) = f (g(x))g (x) = dx dy du dy dx du f (x) x x x x = 0 [ f(x) ] = dx d f (x) f(x) f(x) f(x) = 0 [f ] (x) = 1 f (f (x)) 1 1 1+x2 1 tan (x) 1 x x = 0 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 25 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 39. ¿Cuál es la derivada de la función f(x) = "x" en x = 0? 40.

¿Qué expresión representa la derivada de f(x) = tan ¹(x)? 41. ¿Cuál es la derivada de y = sen(x³)? 42. Si f(2) = 5 y f'(2) = 4, ¿cuánto vale (f ¹)'(5)? 5 Diferenciación implícita y aplicaciones geométricas AL ACABAR SABRÁS Diferenciar relaciones implícitas de funciones explícitas mediante el test de la línea vertical. Calcular dy/dx en ecuaciones implícitas aplicando la regla de la cadena. Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva implícita en un punto dado. Obtener la derivada de funciones logarítmicas aplicando diferenciación implícita. PIÉNSALO ANTES DE LEER 43 ¿Cómo podemos calcular la pendiente de una curva en un punto si no es posible despejar y en términos de x?

Relaciones implícitas frente a funciones explícitas En el estudio básico del cálculo, las expresiones suelen presentarse de forma explícita mediante una igualdad directa del tipo , donde la variable dependiente está aislada. Sin embargo, en muchas curvas geométricas las variables aparecen vinculadas dentro de una ecuación general de la forma . A esta correspondencia se la denomina relación implícita.

El caso clásico es la circunferencia unidad con centro en el origen de coordenadas: No está definida a) Vale 1 b) Vale -1 c) Vale 0 d) 1 / (1 + x²) a) sec²(x) b) -1 / (1 + x²) c) 1 / (1 - x²) d) -3x² cos(x³) a) cos(x³) b) 3x² cos(x³) c) 3 sen²(x) cos(x) d) 1/5 a) 2 b) 4 c) 1/4 d) y = f(x) F (x, y) = 0 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 26 Esta curva no pasa el test de la línea vertical, ya que existen valores del dominio a los cuales les corresponde más de una imagen. Por ejemplo, si tomamos , obtenemos dos ordenadas posibles: y . Por definición, la circunferencia completa no es una función única.

Gráfica de la circunferencia unidad fallando el test de la línea vertical. Para analizarla mediante cálculo elemental, una relación implícita puede dividirse en ramas que sí constituyan funciones explícitas bien definidas. Al despejar en la ecuación cuadrática obtenemos , lo que genera dos soluciones: Rama superior: , cuyo recorrido se restringe a . Rama inferior: , cuyo recorrido abarca . {(x, y) R 2 x + 2 y = 2 1} x = 2 2 y = 2 2 y = 2 2 y y = 2 1 x2 y = 1 x2 y [0, 1] y = 1 x2 y [ 1, 0) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 27 Esquema de la circunferencia dividida en dos funciones explícitas semicirculares.

COMPRUEBA 44 ¿Por qué la relación x² + y² = 1 no constituye una función de x en sentido global? El método de diferenciación implícita y cálculo de la recta tangente Despejar resulta frecuentemente engorroso o matemáticamente imposible. La técnica de diferenciación implícita permite hallar la derivada directamente sobre la ecuación original sin necesidad de resolverla explícitamente. El procedimiento consiste en derivar ambos miembros respecto de tratando a como una función derivable de . Cada vez que se deriva un término dependiente de , debe multiplicarse por debido a la regla de la cadena (véase «Regla de la cadena, valor absoluto y funciones inversas»).

PROCESO Algoritmo de la diferenciación implícita 1 Derivar miembros Derivar respecto a x aplicando la regla de la cadena a y 2 Despejar derivada Agrupar términos y aislar dy/dx algebraicamente 3 Evaluar punto Sustituir (x0, y0) para hallar la pendiente m 4 Recta tan gente Aplicar y = y0 + m(x - x0) y dx dy x y x y dx dy Derivar ambos miembros: se calcula la derivada término a término respecto a en ambos lados de la igualdad. 1 x Agrupar y despejar: se reúnen todos los términos que contienen el factor en un miembro y se despeja dicha expresión.

2 dx dy La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 28 EJEMPLO: TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD Determinemos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto : 1. Derivamos ambos miembros respecto a : 2. Aislamos la derivada: 3. Evaluamos la pendiente en las coordenadas dadas: 4. Hallamos la ecuación de la recta tangente: Evaluar la pendiente: se sustituyen las coordenadas del punto en la fórmula de la derivada para obtener la pendiente . 3 (x , y ) 0 0 m = dx dy (x ,y ) 0 0 Construir la recta tangente: se aplica la ecuación punto-pendiente (véase «Fundamentos del cálculo y el problema de la tangente»).

4 y = y + 0 m(x x ) 0 x + 2 y = 2 1 , ( 2 2 2 2 ) x [x + dx d 2 y ] = 2 [1] dx d 2x + 2y = dx dy 0 = dx dy = 2y 2x y x m = = dx dy , ( 2 2 2 2 ) = 2 2 2 2 1 y = + 2 2 ( 1) x = ( 2 2 ) 2 x La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 29 Gráfica de la recta tangente trazada en el punto considerado. ERROR FRECUENTE Al derivar términos con respecto a que involucran a la variable dependiente , un fallo muy común en los exámenes es escribir simplemente en lugar de . Recuerda que no es una variable independiente, sino una función , por lo que la regla de la cadena exige incluir siempre el factor diferencial .

COMPRUEBA 45 ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a x² + y² = 1 en el punto (0, 1)? Aplicación a la derivación logarítmica La diferenciación implícita no solo resuelve problemas geométricos en curvas implícitas, sino que constituye una herramienta de cálculo para simplificar expresiones complejas, como las funciones compuestas con logaritmos. Consideremos la función general con la condición (véase «Reglas de derivación algebraicas, exponenciales y trigonométricas»). El procedimiento mediante transformación implícita se desarrolla así: x y [y ] = dx d 2 2y [y ] = dx d 2 2y dx dy y y(x) dx dy y = ln(g(x)) g(x) > 0 Cambio de variable: se define , de modo que .

1 u = g(x) y = ln(u) Eliminación del logaritmo: se aplica la base exponencial en ambos miembros: 2 e = y e = ln u u e y u = 0 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 30 COMPRUEBA 46 Al transformar y = ln(u) en eʸ - u = 0, ¿a qué equivale el término eʸ tras completar la derivada implícita? IDEAS CLAVE Una curva implícita definida por no siempre es una función global al poder fallar el test de la línea vertical. Para derivar implícitamente, se asume que depende de y se aplica la regla de la cadena a cada término con . La derivada de la circunferencia viene dada por .

La diferenciación implícita permite deducir la derivada de funciones logarítmicas convirtiéndolas en relaciones exponenciales equivalentes. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 47. ¿En qué dos funciones explícitas se descompone la curva implícita x² + y² = 1? 48. ¿Por qué aparece el factor dy/dx al derivar el término y² respecto a x? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 49. ¿Por qué la circunferencia x² + y² = 1 no es una función en sentido global? 50. ¿Cuál es la derivada implícita dy/dx de la circunferencia x² + y² = 1?

Diferenciación implícita: derivando respecto a y aplicando la regla de la cadena sabiendo que y : 3 x y = f(u) u = g(x) [e dx d y u] = 0 e y dx dy = dx du 0 = dx dy ey dx du Restitución de variables: como y , obtenemos la regla estándar: 4 = dx du g (x) e = y e = ln(g(x)) g(x) = dx dy g(x) g (x) F (x, y) = 0 y x y x + 2 y = 2 1 = dx dy y x y = ln(g(x)) Carece de pendiente tangente a) Su derivada no está definida en ningún punto b) Su radio no es constante c) Falla el test de la línea vertical d) 2x + 2y a) -x / y b) x / y c) -y / x d) La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 31 51. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a x² + y² = 1 en ( 2/2, 2/2)? 52.

Al derivar implícitamente y = ln(g(x)) mediante eʸ = g(x), ¿qué resultado se obtiene para dy/dx? 6 Formulario 1. Conceptos de tasa de cambio y definición de derivada Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : tasa de cambio media; : incrementos; equivale a (pendiente secante) Cálculo de la tasa de variación promedio entre dos puntos del dominio. : derivada en el punto ; : incremento que tiende a cero; equivale a Definición formal de la tasa de cambio instantánea y pendiente de la recta tangente.

: diferencial de la variable dependiente; : cambio infinitesimal en la variable independiente Aproximación lineal de variaciones infinitesimales y notación diferencial de Leibniz. : derivada sucesiva de orden Derivación recursiva para órdenes superiores de una función. 2. Reglas de derivación algebraicas Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : valor constante invariable Derivada de cualquier término numérico o constante aislada. : factor escalar constante Extracción de constantes multiplicativas fuera del operador derivada. : exponente entero o fraccionario Derivación de monomios, potencias enteras, exponentes negativos y radicales ( ).

-1 a) 1 b) 2 c) 0 d) g'(x) · eʸ a) g(x) / g'(x) b) g'(x) / g(x) c) 1 / g(x) d) = v ˉ = Δt Δy Δt f(t+Δt) f(t) v ˉ Δy, Δt m sec f (a) = lim h 0 h f(a+h) f(a) f (a) a h = Δx m tan dy = f (x)dx dy dx f (x) = (n) [f(x)] dxn d n f(n) n N [c] = dx d 0 c [c dx d f(x)] = c f (x) c [x ] = dx d n nxn 1 n R x1/n La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 32 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : funciones diferenciables Linealidad en sumas y restas de términos polinómicos o funcionales. : factores del producto Derivación del producto de dos funciones diferenciables.

: numerador, : denominador ( ) Derivación de fracciones de funciones (el numerador siempre se resta empezando por ). : función en el denominador ( ) Caso particular de la regla del cociente para la función recíproca. 3. Derivadas de funciones trascendentes y trigonométricas Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : base natural; : base real constante Derivación de funciones exponenciales naturales y de base general. ; Derivación de logaritmos naturales y de base arbitraria. : argumento en radianes Derivadas fundamentales del seno y del coseno. Formas trigonométricas equivalentes Derivada de la tangente obtenida por la regla del cociente.

Razones trigonométricas recíprocas Derivadas de cosecante, secante y cotangente. 4. Regla de la cadena, funciones inversas y valor absoluto Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : función interna; : función externa Derivación de funciones compuestas encadenando derivadas. ; : derivada interna Potencias y radicales compuestos ( ). Derivación de funciones con valor absoluto en puntos no angulosos.

[f(x) ± dx d g(x)] = f (x) ± g (x) f, g [f(x)g(x)] = dx d f(x)g (x) + g(x)f (x) f, g = dx d [ g(x) f(x) ] [g(x)]2 f (x)g(x) f(x)g (x) f g g(x) = 0 f g = dx d [ f(x) 1 ] [f(x)]2 f (x) f f(x) = 0 [e ] = dx d x e , [a ] = x dx d x a ln(a) x e a > 0, a = 1 [ln x ] = dx d , [log (x)] = x 1 dx d a x ln(a) 1 x = 0 a > 0, a = 1 (sen x) = cos x, (cos x) = sen x x (tan x) = sec x = 2 1 + tan x = 2 cos x 2 1 (csc x) = csc x cotx, (sec x) = sec x tan x, (cotx) = csc x 2 [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) = dx dy du dy dx du u = g(x) f (f(x)) = dx d [ n ] n[f(x)] f (x) n 1 n R f (x) = n f(x) [f(x)]1/n f(x) = dx d f (x) f(x) f(x) f(x) = 0 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 33 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : función inversa de biyectiva Cálculo de la derivada de una función inversa conocida la directa.

Derivadas de arcoseno y arcotangente Trigonométricas inversas ( y llevan signo negativo). Derivadas de arcosecante y arcocosecante Trigonométricas inversas de secante y cosecante. 5. Procedimientos sistemáticos y errores típicos Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa Derivar ambos lados respecto a tratando Multiplicar por en cada derivada de Agrupar y aislar Evaluar en Algoritmo de diferenciación implícita Cálculo de pendientes en relaciones donde no es posible o práctico despejar (ej. ). Hallar o Sustituir en Ecuación punto- pendiente de la recta tangente Construcción analítica de la recta tangente en un punto de contacto.

Errores típicos para el examen: Omitir la derivada interna: En la regla de la cadena, olvidar multiplicar por al derivar raíces o potencias como o . Olvidar la diferencial en diferenciación implícita: Derivar como en vez de al derivar respecto a . Invertir términos en el cociente: Alterar el orden de la resta en el numerador de la regla del cociente; debe ser siempre . Confundir continuidad con diferenciabilidad: Asumir que la continuidad garantiza derivada; funciones continuas con picos ( ) o tangentes verticales ( ) no son diferenciables en dichos puntos.

[f ] (x) = 1 f (f (x)) 1 1 = dx dy dy dx 1 f 1 f (sen x) = 1 , (tan x) = 1 x2 1 1 1+x2 1 cos 1 cot 1 (sec x) = 1 , (csc x) = x x 1 2 1 1 x x 1 2 1 x y = y(x) dx dy y dx dy (x , y ) 0 0 y x + 2 y = 2 1 m = f (x ) 0 dx dy (x ,y ) 0 0 y = y + 0 m(x x ) 0 f (x) f(x) sen(x ) n y2 2y 2y dx dy x f (x)g(x) f(x)g (x) x x ln x La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 34 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque el instrumento mide la velocidad instantánea, que matemáticamente corresponde al límite de la velocidad media en intervalos de tiempo prácticamente infinitesimales. 2.

Porque la pendiente de una recta es uniforme en todo su recorrido; el cociente incremental Δy/Δx da el mismo valor sin importar el tamaño del intervalo elegido. 3. Geométricamente, el segundo punto de corte se desliza por la curva hasta superponerse con el primero, convirtiendo la recta secante en la recta tangente; analíticamente, la pendiente secante converge al valor de la pendiente tangente o tasa instantánea. 4. El cálculo diferencial estudia las pendientes de curvas y las razones de cambio instantáneas, mientras que el cálculo integral determina el área bajo las curvas y la acumulación de magnitudes. 5.

Porque la velocidad media promedia todas las velocidades desde el reposo ( ), mientras que la velocidad instantánea en refleja el ritmo exacto de avance tras acelerar continuamente ( ). 6. c) Isaac Newton y Gottfried Leibniz. El cálculo infinitesimal fue creado de manera independiente por Newton y Leibniz en el siglo XVII. 7. b) La pendiente de la recta secante. La velocidad media es el cociente incremental entre dos puntos, lo cual coincide con la pendiente secante. 8. a) Como el límite cuando Δt tiende a cero. La velocidad instantánea es el valor límite al que tiende la tasa media cuando el incremento temporal se aproxima a cero. 9. c) 75 m/s.

La derivada es v(t) = (3/2)t; al evaluar en t = 50, se obtiene (3/2)(50) = 75 m/s. 10. No; aunque el trazo no se interrumpa, pueden existir picos angulosos o tangentes verticales donde la pendiente no está unívocamente definida. 11. Garantiza que la gráfica posea en ese punto una recta tangente única y no vertical, cuya pendiente coincide numéricamente con el valor finito del límite del cociente de diferencias. 12. Porque presenta una curva abrupta o punto anguloso en el que la pendiente lateral izquierda vale -1 y la derecha vale 1; al no coincidir, el límite global no existe. 13.

El valor es idénticamente cero, ya que cada derivación sucesiva reduce en una unidad el grado de los términos hasta convertir las constantes en cero. 14. Representa la diferencial de la variable dependiente como el producto de la derivada de la función en el punto por el cambio infinitesimal . 15. Porque en la curva presenta una tangente vertical al tender la derivada hacia por ambos lados. 16. d) Pendiente de la recta tangente. La derivada puntual equivale a la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. 17. c) Sus pendientes laterales no coinciden. En el vértice las pendientes laterales valen -1 y 1, impidiendo la existencia del límite global. 18. a) dy = f'(x) dx.

La diferencial de y resulta del producto entre la función derivada f'(x) y el incremento infinitesimal dx. 19. c) Cero. Al derivar sucesivamente un polinomio, el grado desciende en cada paso hasta anularse tras superar su grado. 37,5 m/s t = 50 s 75 m/s y dx x = 0 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 35 20. Porque en la derivada general aˣ · ln(a), la base natural cumple ln(e) = 1, haciendo que el factor multiplicativo no altere la función. 21. Se reescribe la función como f(x) = 5x ² y se deriva como f'(x) = 5 · (-2)x ³ = -10/x³. 22.

Porque al derivar la constante 1 del numerador, el término inicial f'(x)g(x) se anula (0 · g(x)), quedando únicamente -f(x)g'(x) = -1 · g'(x) sobre [g(x)]². 23. El exponente resultante es 1/4 - 1 = -3/4, por lo que la derivada queda (1/4)x^(-3/4). 24. El factor ln(a) se convierte en ln(e) = 1, simplificando las derivadas a e^x y 1/x respectivamente. 25. Porque la regla del cociente genera 1/cos²(x), que por definición equivale a sec²(x), y por la identidad pitagórica cos²(x) + sen²(x) = 1 equivale a 1 + tan²(x). 26. Es , deducida de la regla del cociente al tomar una constante 1 en el numerador. 27. Se reescribe como y se deriva como . 28. b) sec²(x).

La derivada de tan(x) equivale a sec²(x), 1/cos²(x) o 1 + tan²(x). 29. b) ln(a). Al derivar aˣ aparece multiplicado el factor ln(a), el cual vale 1 cuando la base es e. 30. b) -4/x . Reescribiendo como x , su derivada es -4x = -4/x . 31. d) -csc(x) cot(x). Aplicando la regla del cociente a 1/sen(x) se obtiene -cos(x)/sen²(x) = -csc(x)cot(x). 32. Porque la gráfica de una función inversa intercambia los ejes x e y, invirtiendo la tasa de cambio vertical por horizontal (dy/dx = 1 / (dx/dy)). 33. En la primera, la función externa es el seno y el argumento es una potencia, resultando en n x ¹ cos(x ). En la segunda, la función externa es la potencia, dando n sen ¹(x) cos(x). 34.

Porque la regla de la cadena exige multiplicar la derivada de la función exterior u^(1/2), que aporta 1/(2 u), por la tasa de cambio interna du/dx = f'(x). 35. En todos los valores de x donde f(x) = 0, ya que el denominador de f(x)/"f(x)" se anula y la gráfica suele presentar esquinas o cambios bruscos de signo. 36. Tienen exactamente la misma magnitud pero signos opuestos: la de cos ¹(x) es el negativo de la de sen ¹(x). 37. Se diferencia la igualdad respecto a mediante la regla de la cadena: . Al despejar , resulta . 38. Porque al derivar se obtiene , expresión cuyo denominador se anula en , reflejando el punto anguloso de la gráfica. 39. a) No está definida.

La función valor absoluto presenta una esquina en el origen, por lo que no es diferenciable en cero. 40. a) 1 / (1 + x²). La derivada estándar del arco tangente es la función algebraica racional 1 / (1 + x²). 41. c) 3x² cos(x³). Por regla de la cadena, se deriva el seno obteniendo cos(x³) y se multiplica por la derivada interna 3x². 42. d) 1/4. Por el teorema de la inversa, (f ¹)'(5) = 1 / f'(f ¹(5)) = 1 / f'(2) = 1/4. 43. Se asume que y depende implícitamente de x y se derivan ambos miembros de la ecuación con la regla de la cadena sin despejar previamente. 44.

No constituye una función global porque falla el test de la línea vertical: a un único valor de x en (-1, 1) le corresponden dos valores distintos de y. [f(x)]2 f (x) x 3 1 x = 3 1 1 3 1 x = 3 1 3 2 3x 3 2 1 f(f (x)) = 1 x x f (f (x)) 1 [f ] (x) = 1 1 [f ] (x) 1 f (f (x)) 1 1 x2 = x2 x x x x = 0 La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 36 45. Como la derivada es dy/dx = -x/y, en el punto (0, 1) la pendiente es m = -0/1 = 0, lo que representa una tangente horizontal. 46. Equivale exactamente a u, es decir, a g(x), ya que la exponencial e y el logaritmo natural ln son funciones inversas. 47. Se divide en la rama superior con valores y la rama inferior con valores . 48.

Porque se considera que es una función implícita de , por lo que la regla de la cadena exige multiplicar la derivada exterior por la derivada interna . 49. d) Falla el test de la línea vertical. Al cortar una recta vertical en más de un punto, no cumple la definición de función. 50. b) -x / y. Al derivar 2x + 2y(dy/dx) = 0 y despejar la derivada, resulta dy/dx = -x/y. 51. a) -1. Sustituyendo las coordenadas en dy/dx = -x/y se obtiene -( 2/2)/( 2/2) = -1. 52. c) g'(x) / g(x). Despejando se obtiene dy/dx = g'(x)/eʸ, y como eʸ = g(x), queda g'(x)/g(x). y = 1 x2 y [0, 1] y = 1 x2 y [ 1, 0) y x 2y dx dy La Derivada: Definición, Reglas y Diferenciación Implícita 37