Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden

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APUNTES ANÁLISIS MATEMÁTICO I Grado en Ingeniería Informática Universidad Rovira i Virgili AprenAI 2026-2027 Apuntes de EDOs lineales de primer orden para Análisis Matemático: método del factor integrante, normalización y ejercicios resueltos paso a paso. APREN.AI Índice 1 Estructura y método general de resolución Forma canónica Procedimiento mediante factor integrante 2 Casos prácticos de resolución paso a paso Caso 1: Coeficientes lineales y sustitución directa Caso 2: Normalización previa e integración por partes Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden 1 1 Estructura y método general de resolución AL ACABAR SABRÁS Reconocer y normalizar una ecuación diferencial lineal de primer orden. Calcular el factor integrante asociado a la función coeficiente F(x). PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Cómo se puede simplificar una derivada de la forma y' + F(x)y para integrarla fácilmente? Una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden relaciona una variable independiente , una función incógnita y su derivada primera de forma lineal.

Forma canónica Para aplicar el procedimiento de resolución, la ecuación debe estar escrita en su forma estándar: En esta expresión, representa el coeficiente que multiplica a la incógnita , mientras que es el término independiente. DEFINICIÓN La forma canónica lineal exige que la derivada o tenga coeficiente 1. Si aparece multiplicada por alguna función de , es imprescindible dividir toda la igualdad entre dicho factor antes de operar. Procedimiento mediante factor integrante Una vez identificadas las funciones continuas y , la solución general responde directamente a la estructura: El término exponencial actúa como factor integrante, permitiendo integrar ambos miembros de la ecuación.

x y(x) y (x) y + F (x)y = G(x) F (x) y G(x) y dx dy x F (x) G(x) y e = F (x) dx e G(x) dx + ( F (x) dx ) C e F (x) dx Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden 2 PROCESO Resolución de EDOs lineales de 1er orden 1 Forma ca nónica Obtener y' + F(x)y = G(x) dividiendo si hace falta 2 Identificar funciones Determinar con preci sión F(x) y G(x) 3 Factor in tegrante Calcular la exponen cial e^( F(x) dx) 4 Integra ción y despeje Integrar el segundo miembro con + C y aislar y ERROR FRECUENTE Olvidar normalizar la ecuación cuando la derivada viene acompañada de un coeficiente (por ejemplo, ).

Si no se divide primero toda la ecuación por ese coeficiente, los cálculos de y serán incorrectos desde el inicio. COMPRUEBA 2 ¿Por qué no se añade una constante de integración al calcular el factor integrante e^{ F(x)\,dx}? IDEAS CLAVE La forma general estándar de la EDO lineal de primer orden es . El coeficiente de la primera derivada debe ser siempre igual a 1. La fórmula de resolución utiliza el factor integrante . La constante arbitraria queda afectada por el despeje final de . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Cuál es la condición indispensable antes de identificar y ? 4. ¿Qué estructura tiene la igualdad clave para hallar la solución general?

Paso 1: Identificar con precisión y a partir de la expresión normalizada. 1 F (x) G(x) Paso 2: Calcular el factor integrante resolviendo la integral exponencial . 2 e F (x) dx Paso 3: Sustituir en la fórmula general, integrar el producto resultante con y despejar la función . 3 G(x) y y xy F (x) G(x) y + F (x)y = G(x) y e F (x) dx C y F (x) G(x) Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden 3 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Cuál es la forma canónica de una EDO lineal de primer orden? 6. ¿Qué función cumple el término e^{ F(x)\,dx}? 7. Si tenemos x y' - 4y = x , ¿cuál es el primer paso? 8. ¿Dónde se suma la constante de integración C?

2 Casos prácticos de resolución paso a paso AL ACABAR SABRÁS Resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden mediante integración por sustitución. Aplicar integración por partes y simplificación de logaritmos en el cálculo de la solución general. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Qué ocurre si una ecuación diferencial contiene un coeficiente que acompaña a dy/dx? El procedimiento analítico se consolida analizando los dos casos tipo desarrollados a continuación.

Caso 1: Coeficientes lineales y sustitución directa Consideremos la ecuación ya normalizada: (y')² + F(x)y = G(x) a) y' + F(x) = G(x)y b) y' + F(x)y = G(x) c) x y' + y = G(x) d) Es la condición inicial a) Es el factor integrante b) Es la solución homogénea única c) Es el término independiente d) ex Dividir toda la ecuación por x a) Derivar respecto a x b) Sustituir y por una constante c) Integrar directamente ambos miembros d) En el exponente del factor a) En el segundo miembro tras integrar b) Multiplicando a y en el inicio c) Dentro de F(x) d) y + 2xy = 4x Paso 1: Identificación de términos: y .

1 F (x) = 2x G(x) = 4x Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden 4 Caso 2: Normalización previa e integración por partes Consideremos ahora una ecuación con coeficiente en la derivada: Primero dividimos toda la expresión entre para obtener la forma estándar: ERROR FRECUENTE Al multiplicar por para aislar , suele olvidarse distribuir este producto a la constante . La solución correcta contiene el término y no simplemente .

Paso 2: Obtención del factor integrante: 2 e = F (x) dx e = 2x dx ex2 Paso 3: Aplicación de la fórmula general y despeje: Dado que , la integral resulta ser : La solución general final es: 3 y e = x2 e 4x dx + ( x2 ) C (e ) = x2 2xex2 2ex2 y e = x2 2e + x2 C y = + ex2 2ex2 ex2 C y = 2 + C e x 2 x dx dy 4y = x e 6 x x dx dy y = x 4 x e 5 x y y = x 4 x e 5 x Paso 1: Identificación de funciones: y .

1 F (x) = x 4 G(x) = x e 5 x Paso 2: Factor integrante empleando propiedades de logaritmos: 2 e = dx x 4 e = 4 ln(x) e = ln(x ) 4 x = 4 x4 1 Paso 3: Planteamiento e integración: Para resolver se aplica el método de integración por partes , lo que produce: Sustituyendo y multiplicando ambos lados por : 3 y = x4 1 x e dx + ( x4 1 5 x ) C = x4 y xe dx + x C xe dx x u dv = uv v du xe dx = x xe x ex x4 = x4 y xe x e + x C y = x e 5 x x e + 4 x x C 4 x4 y C x C 4 +C Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden 5 COMPRUEBA 10 ¿Cómo se simplifica la expresión e^{-4 (x)}? IDEAS CLAVE En , la integral inmediata da lugar a . Dividir por el coeficiente inicial de la derivada ajusta tanto como .

Las propiedades son fundamentales para reducir factores integrantes. Al despejar , la constante queda multiplicada o dividida por el factor integrante. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Qué técnica de cálculo integral se requiere para resolver ? 12. ¿Cuál es la solución final de la ecuación ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. En y' + 2xy = 4x, ¿cuál es el factor integrante? 14. ¿Cuánto vale e^(-4 ln(x))? 15. ¿Cuál es la integral de x dx obtenida por partes? 16. Al despejar y/x = x - + C, ¿qué término acompaña a C?

ln y + 2xy = 4x y = 2 + Ce x2 F (x) G(x) e = a ln(x) xa y C xe dx x xy 4y = x e 6 x x² a) 2x b) c) e2x d) ex2 1 / x a) ln(x ) b) -4 / x c) -4x d) ex x² a) ex + x b) ex x - c) ex ex x + d) ex ex ex ex x C a) C b) C / x c) 4x C d) Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden 6 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Multiplicándola por un factor integrante adecuado para convertirla en la derivada del producto de dos funciones. 2. Porque solo se necesita una función particular que multiplique la ecuación para hacerla integrable; la constante arbitraria general C se incorpora al final en el segundo miembro. 3. La ecuación diferencial debe estar normalizada de modo que el coeficiente de sea 1.

4. Tiene la forma . 5. c) y' + F(x)y = G(x). La derivada y' debe tener coeficiente 1 y la incógnita y grado 1. 6. b) Es el factor integrante. Permite transformar el primer miembro en la derivada exacta de un producto. 7. a) Dividir toda la ecuación por x. Es obligatorio que el coeficiente de dy/dx sea igual a 1. 8. b) En el segundo miembro tras integrar. La constante general C se agrega al integrar el segundo miembro. 9. Debe dividirse toda la ecuación entre dicho coeficiente antes de identificar las funciones F(x) y G(x). 10. Se aplica la propiedad del logaritmo para subir el coeficiente como exponente, e^{ (x^{-4})}, simplificando directamente a x^{-4} = 1/x^4. 11.

Se utiliza el método de integración por partes mediante la fórmula . 12. La solución general es . 13. d) . La integral de 2x dx es x², por lo que el factor resulta . 14. a) 1 / x . Por propiedades de logaritmos, e^(ln(x )) = x = 1/x . 15. c) x - . Tomando u = x y dv = dx, uv - v du = x - . 16. a) x C. Al multiplicar toda la igualdad por x , la constante C queda multiplicada por x . y y e = F(x) dx e G(x) dx + ( F(x) dx ) C ln u dv = uv v du y = x e 5 x x e + 4 x x C 4 ex2 ex2 ex ex ex ex ex Ecuaciones Diferenciales Lineales de 1er Orden 7