Ejercicio 1 · Matemáticas Aplicadas URL Examen Parcial 1. Matemáticas Aplicadas I

Tema: Números complejos · Del examen Examen Parcial 1. Matemáticas Aplicadas I

Enunciado

Ejercicio 1 (3,5 puntos). Números complejos y factorización de polinomios

[0,5 puntos] Expresa el resultado del cociente $\frac{-1+2i}{3-4i}$ en forma vectorial (como par ordenado).

[1 punto] Expresa el número complejo $(-i)^{1+i}$ en forma trigonométrica $\rho(\cos\theta + i\sin\theta)$ .

[1 punto] Resuelve la ecuación $z^3 = -4 + 4\sqrt{3}i$ y proporciona las soluciones en forma polar.

[1 punto] Factoriza en factores lineales con coeficientes complejos el polinomio $P(x) = x^3 - x^2 + 3x + 5$ .

Enunciado: Ejercicio 1 · Matemáticas Aplicadas URL Examen Parcial 1. Matemáticas Aplicadas I

Según los criterios oficiales de corrección

a. [0,5 puntos] Expresa el resultado del cociente $\frac{-1+2i}{3-4i}$ en forma vectorial (como par ordenado).

Solución: (-11/25, 2/25)

b. Módulo $\rho$ de $(-i)^{1+i}$

Solución: $e^{\pi/2}$

b. Argumento $\theta$ de $(-i)^{1+i}$

Solución: $-\pi/2$ / $3\pi/2$

c. Módulo $r$ de las raíces cúbicas de $-4+4\sqrt{3}i$

Solución: 2

c. Argumentos de las tres raíces cúbicas

Solución: $2\pi/9, 8\pi/9, 14\pi/9$

d. [1 punto] Factoriza en factores lineales con coeficientes complejos el polinomio $P(x) = x^3 - x^2 + 3x + 5$ .

Solución: $(x+1)(x-1-2i)(x-1+2i)$ / $(x+1)(x-(1+2i))(x-(1-2i))$

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