Pràctiques d'Estadística Descriptiva i Inferència amb R

Context

Els exercicis proposats utilitzen el conjunt de dades contingut a l'arxiu estats_financers_empreses_distribucio_2017.RData, que conté informació financera i comptable de 935 empreses pertanyents a diferents branques del sector comercial i de distribució. Al llarg de les activitats es treballa l'exploració gràfica i numèrica de variables categòriques i contínues, l'estudi de dependència estadística i la inferència paramètrica.

1. Lliurament 1. Exercici 1: Anàlisi descriptiva de Codi_Activitat

A partir del fitxer de dades estats_financers_empreses_distribucio_2017.RData, dueu a terme una anàlisi descriptiva de la variable tipus de distribució ( Codi_Activitat) utilitzant les representacions tabulars, gràfiques i les mesures que resultin més convenients per a la seva tipologia. Interpreteu detalladament els resultats obtinguts.

Codi_Activitat · Frequency · Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

Lliurament 1. Exercici 2: Diagrama de caixa de Marge_Explotacio i valors atípics

Elaboreu el diagrama de caixa corresponent a la variable contínua Marge_Explotacio. Tot seguit, filtreu la base de dades descartant els cinc valors atípics més extrems i torneu a dibuixar el gràfic per avaluar l'efecte de la depuració.

Lliurament 1. Exercici 3: Construcció de la nova ràtio i anàlisi per a PIMES

a)

Amb la totalitat de la base de dades, creeu la variable nova_ratio que reflecteixi el patrimoni net dividit per l'actiu total, sabent que el patrimoni net es defineix com a $\text{Actiu\_Total} - \text{Passiu\_Total}$. Posteriorment, restringiu la mostra exclusivament a les petites i mitjanes empreses (modalitat PIME == "SI").

b)

Elaboreu l'anàlisi descriptiva completa d'aquesta nova ràtio per al subconjunt de PIMES (taula de mesures, histograma i diagrama de caixa) i interpreteu la forma de la distribució resultant.

4 Lliurament 2. Exercici 1: Relació bivariant entre Beneficis i Codi_Activitat

Es pretén avaluar l'existència d'associació entre la variable indicadora d'obtenció de beneficis d'explotació ( Beneficis) i la branca d'activitat ( Codi_Activitat).

a)

Desenvolupeu l'anàlisi exploratòria necessària per contrastar la possible relació. Verifiqueu si es compleixen les condicions tècniques per a la validesa de la taula de contingència sense interpretar encara el fons econòmic.

Codi_activitat Categoria · Frequency · Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_Cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_Cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

Cell Contents

|-------------------------|

| N |

| Expected N |

| N / Row Total |

| N / Col Total |

|-------------------------|

========================================================================================

Codi_activitat

Bnfcs A_B_T Alt Benzn Eqp_L Genrl Ll_Cl TIC Vst_C Total

----------------------------------------------------------------------------------------

NO 27 40 4 25 26 6 13 24 165

22.8 32.6 7.9 27.5 29.3 10.1 11.5 23.3

0.164 0.242 0.024 0.152 0.158 0.036 0.079 0.145 0.176

0.209 0.216 0.089 0.160 0.157 0.105 0.200 0.182

----------------------------------------------------------------------------------------

SI 102 145 41 131 140 51 52 108 770

106.2 152.4 37.1 128.5 136.7 46.9 53.5 108.7

0.132 0.188 0.053 0.170 0.182 0.066 0.068 0.140 0.824

0.791 0.784 0.911 0.840 0.843 0.895 0.800 0.818

----------------------------------------------------------------------------------------

Total 129 185 45 156 166 57 65 132 935

0.138 0.198 0.048 0.167 0.178 0.061 0.070 0.141

========================================================================================

Statistics for All Table Factors

Pearson's Chi-squared test

------------------------------------------------------------

Chi^2 = 8.3372 d.f. = 7 p = 0.304

b)

Interpreteu els resultats de la taula identificant quins sectors concrets s'associen amb una major o menor propensió a registrar beneficis.

c)

Quantifiqueu la intensitat de la dependència mitjançant el coeficient adequat.

5. Lliurament 3. Exercici 1: Relació entre Passiu_S_Patrimoni_Net i Codi_Activitat

Es vol investigar la vinculació existent entre la ràtio d'endeutament ( Passiu_S_Patrimoni_Net) i la branca d'activitat ( Codi_Activitat).

a)

Realitzeu l'anàlisi exploratòria corresponent a la mostra. Indiqueu si concorren els requisits d'interpretació considerant com a valors atípics aquells amb $\log(\text{Passiu\_S\_Patrimoni\_Net}) \ge 6$.

Codi_activitat

mean

sd

data:n

Ali_Beg_Tab · 8.207891 · 27.136944 · 129

Alt · 3.079679 · 8.873680 · 185

Benzin · 1.979138 · 1.962138 · 45

Equip_Llar · 11.369698 · 90.549566 · 156

General · 3.910635 · 9.310999 · 166

Lleu_Cult · 2.988967 · 3.515817 · 57

TIC · 32.700711 · 173.190157 · 65

Vest_Cal · 3.786089 · 13.031813 · 132

b)

Interpreteu la relació mostrada comparant els resultats abans i després de la supressió d'aquests valors atípics.

Codi_activitat

mean

sd

data:n

Ali_Beg_Tab · 8.207891 · 27.136944 · 129

Alt · 3.079679 · 8.873680 · 185

Benzin · 1.979138 · 1.962138 · 45

Equip_Llar · 4.128817 · 4.496419 · 155

General · 3.910635 · 9.310999 · 166

Lleu_Cult · 2.988967 · 3.515817 · 57

TIC · 2.359319 · 3.369120 · 63

Vest_Cal · 3.786089 · 13.031813 · 132

c)

Mesureu la força de l'associació calculant el coeficient pertinent a partir del model d'anàlisi de la variància.

> Anova1<-aov(Passiu_S_Patrimoni_Net~Codi_activitat)

> summary(Anova1)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

Codi_activitat 7 2852 407.5 2.51 0.0147 *

Residuals 924 149981 162.3

---

Signif. codes: 0 ‘*’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Lliurament 3. Exercici 2: Correlació lineal i gràfics bivariants

Considerant novament la base de dades completa sense filtrar:

a)

Genereu els gràfics de dispersió i calculeu els coeficients de correlació de Pearson per a les parelles de variables: (1) Marge_Explotacio enfront de ROA, i (2) Actiu_S_Empleats enfront de Vendes_S_Empleats.

b)

Argumenteu raonadament per què només una d'aquestes dues correlacions resulta vàlida i interpretable, i comenteu-ne el significat.

7. Pràctica 4. Exercici 1: Interval de confiança per a la proporció del sector d'alimentació, begudes i tabac

Es manté la conjectura que aproximadament un 15% de les empreses del sector distribueixen aliments, begudes i tabac (categoria Ali_Beg_Tab de la variable Codi_Activitat).

a.

Obtingueu la proporció mostral corresponent a aquest grup.

b.

Comproveu formalment les condicions d'aplicació per construir un interval de confiança per a aquesta proporció.

c.

Construïu l'interval de confiança amb un nivell de significació de l'1% ($\\alpha = 0{,}01$) i valoreu si la conjectura del 15% és plausible.

8. Pràctica 4. Exercici 2: Interval de confiança per a la mitjana del marge d'explotació

Es pretén inferir el comportament de la mitjana poblacional de la variable Marge_Explotacio, considerant que els estàndards del sector situen un marge mitjà desitjable en el 0,05 (5%).

a)

Verifiqueu les condicions d'aplicació per a la inferència sobre la mitjana. Si escau, depureu les observacions anòmales (definint com a atípiques aquelles amb marge superior a 0,5 o inferior a -0,5).

b)

Calculeu i interpreteu l'interval de confiança al 95% per a la mitjana poblacional del marge un cop depurada la mostra.

c)

En funció del resultat de l'interval, es pot sostenir que el marge mitjà del sector assoleix el valor adequat del 5%?

Sí

No

Lliurament 5. Exercici 1: Contrast d'hipòtesis sobre la proporció d'empreses d'alimentació, begudes i tabac

Es desitja contrastar la hipòtesi que la proporció poblacional d'empreses del sector d'aliments, begudes i tabac és del 15%.

a.

Calculeu la proporció mostral de dita categoria a partir de la taula de freqüències.

Codi_activitat · Frequency · Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

b.

Comproveu el compliment de les hipòtesis del test.

c.

Formuleu les hipòtesis nul·la i alternativa, identifiqueu l'estadístic de contrast i la seva distribució de referència sota $H_0$.

d.

Resoleu i interpreteu el contrast amb un nivell de significació de l'1% ($\alpha = 0{,}01$) mitjançant el valor crític i el p-valor.

e.

Comproveu si l'interval de confiança al 99% és congruent amb la resolució del contrast.

f.

Sense càlculs addicionals, raoneu si un interval al 95% de confiança seria més ample o més estret que l'interval al 99%.

Més estret

Més ample

10. Lliurament 5. Exercici 2: Contrast d'hipòtesis per a la mitjana del marge d'explotació

Es vol contrastar formalment si la mitjana poblacional del marge d'explotació equival a l'objectiu del sector de $0{,}05$ ($\mu = 0{,}05$).

a)

Verifiqueu els supòsits necessaris i descriviu el procés d'eliminació de punts atípics (marges fora de $[-0{,}5; 0{,}5]$).

b)

Especifiqueu teòricament el contrast d'hipòtesis: hipòtesis nul·la i alternativa, estadístic de contrast i distribució sota $H_0$.

c)

Resoleu el contrast amb un risc del $5\%$ ($\alpha = 0{,}05$) i interpreteu-ne les conclusions utilitzant el valor crític i el p-valor.

d)

Indiqueu si la conclusió coincideix amb la que es deduiria de l'interval de confiança del $95\%$ calculat anteriorment.

11. Lliurament 6. Exercici 1: Contrast d'independència de Khi-quadrat

Es vol determinar mitjançant un contrast formal a nivell poblacional si existeix relació de dependència entre l'obtenció de beneficis ( Beneficis) i la branca d'activitat de l'empresa ( Codi_Activitat).

a)

Plantegeu teòricament el contrast d'hipòtesis adequat: hipòtesis nul·la i alternativa, estadístic de contrast, distribució sota $H_0$ i graus de llibertat corresponents.

b)

Verifiqueu el compliment de totes les condicions d'aplicabilitat necessàries a partir de la sortida de la taula de contingència.

12. Pregunta 1c. Contrast d'independència entre activitat i beneficis

A partir de la taula de contingència creuada i els resultats de la prova obtinguda amb CrossTable(Codi_activitat, Beneficis, prop.t=FALSE, prop.chisq=FALSE, expected=TRUE, chisq=TRUE):

On s'obté un estadístic $\chi^2 = 8,3372$ amb 7 graus de llibertat i un $p$-valor = 0,304:

Feu la resolució del contrast plantejat assumint un nivell de significació (risc) del 5%.

13. Exercici 2. Relació entre endeutament i tipus d'activitat

Es vol avaluar la possible associació entre el grau d'endeutament d'una empresa (mesurat mitjançant la ràtio Passiu_S_Patrimoni_Net) i el tipus d'activitat que desenvolupa ( Codi_Activitat). Per tal d'esponjar les dades, es treballa amb la transformació logarítmica log(Passiu_S_Patrimoni_Net).

Disposem dels diagrames de caixa inicials per a cada categoria d'activitat:

a)

Plantegeu el contrast estadístic corresponent per determinar si hi ha relació a la població, detallant les dues maneres alternatives d'expressar les hipòtesis.

b)

Comproveu si es verifiquen els supòsits necessaris per aplicar el test. Tingueu en compte que es consideren atípics influents aquells registres amb un valor logarítmic superior a 6 (que s'hauran d'eliminar abans de procedir). A continuació es mostra el diagrama de caixa després d'eliminar aquests atípics:

c)

Efectueu la resolució del contrast seleccionat amb un risc del 5%, considerant el test d'homogeneïtat de variàncies de Levene i la taula ANOVA que es faciliten:

Test de Levene: $F = 1{,}2949$, $p = 0{,}2495$ ($df_1 = 7, df_2 = 924$).

ANOVA de Fisher: $F = 2{,}134$, $p = 0{,}0378$ ($SQ_{\text{entre}} = 53780$ amb 7 graus de llibertat; $SQ_{\text{intra}} = 3336712$ amb 927 graus de llibertat).

Valors mitjans i desviacions per grup de la variable original:

Grup

Mitjana

Desv. tip.

n

Ali_Beg_Tab · 0,8151 · 1,3200 · 129

Alt · 0,0752 · 1,2697 · 185

Benzin · 0,0804 · 1,2194 · 45

Equip_Llar · 0,7228 · 1,3412 · 155

General · 0,3677 · 1,3216 · 166

Lleu_Cult · 0,5624 · 1,0875 · 57

TIC · 0,3407 · 1,0270 · 63

Vest_Cal · 0,0666 · 1,4156 · 132

d)

Analitzeu el gràfic dels intervals de confiança al 95% per a les mitjanes poblacionals de cada grup i redacteu la conclusió final sobre la relació estudiada:

14. Lliurament 7. Model de regressió pel sou mitjà

Emprant les dades de estats_financers_empreses_distribucio_2017.RData, es pretén explicar la variable Sou_Mitja mitjançant les següents covariables:

Actiu_Total

Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent (liquiditat)

Passiu_S_Patrimoni_Net (endeutament)

Passiu_Total_S_Passiu_Corrent (qualitat del deute)

Rotacio_Actius

Anys_Activitat

Es plantegen les següents tasques:

a)

Realitzeu l'anàlisi exploratòria prèvia. A partir dels diagrames de dispersió inicials i de les posteriors transformacions logarítmiques individuals, justifiqueu quines variables requereixen ser transformades:

b)

Ajusteu el model lineal considerant el logaritme de totes les variables i observeu els diagrames de dispersió resultants:

c)

Efectueu la diagnosi dels residus a partir dels gràfics de diagnòstic facilitats (residus estudiïtzats vs. covariables, vs. valors predits, gràfic normal Q-Q i distàncies de Cook). Comenteu el grau de compliment dels supòsits:

d)

A partir de la sortida del model de regressió en R, valoreu la bondat de l'ajustament:

Residual standard error: 11.14 on 928 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1039, Adjusted R-squared: 0.09807

F-statistic: 17.93 on 6 and 928 DF, p-value: < 2.2e-16

e)

Formuleu i interpreteu el contrast de significació global i els contrastos individuals ($\alpha = 0{,}05$). Quines variables influeixen de manera positiva i quines de forma negativa sobre el sou mitjà?

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 2.358e+01 1.091e+00 21.622 < 2e-16 ***

Actiu_Total 7.629e-07 6.567e-07 1.162 0.245659

Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent 1.554e-01 1.905e-01 0.815 0.415087

Passiu_S_Patrimoni_Net 3.118e-02 6.067e-03 5.140 3.35e-07 ***

Passiu_Total_S_Passiu_Corrent 9.194e-01 1.616e-01 5.688 1.72e-08 ***

Rotacio_Actius -8.065e-01 2.309e-01 -3.493 0.000500 ***

Anys_Activitat 1.123e-01 3.083e-02 3.644 0.000283 ***

f)

Calculeu els intervals de confiança al 95% per als paràmetres i interpreteu els pendents d' Actiu_Total i Rotacio_Actius:

> confint(model_Exit, level=0.95)

2.5 % 97.5 %

(Intercept) 2.143929e+01 2.571964e+01

Actiu_Total -5.259300e-07 2.051772e-06

Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent -2.185943e-01 5.293181e-01

Passiu_S_Patrimoni_Net 1.927777e-02 4.308994e-02

Passiu_Total_S_Passiu_Corrent 6.021753e-01 1.236634e+00

Rotacio_Actius -1.259669e+00 -3.533630e-01

Anys_Activitat 5.183417e-02 1.728390e-01

15. Lliurament 8. Models ennierats i multicol·linealitat

A partir del fitxer estats_financers_empreses_distribucio_2017.RData es vol analitzar la selecció del model òptim per al sou mitjà i l'existència de problemes de col·linealitat.

a)

S'estima el model1 amb totes les variables transformades logarítmicament:

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 2.584925 0.092630 27.906 < 2e-16 ***

log(Actiu_Total) 0.055287 0.007427 7.444 2.23e-13 ***

log(Actiu_Corrent_S_Passiu_C.) 0.082024 0.020669 3.968 7.79e-05 ***

log(Passiu_S_Patrimoni_Net) 0.018760 0.011119 1.687 0.09191.

log(Passiu_Total_S_Passiu_C.) -0.051570 0.030829 -1.673 0.09471.

log(Rotacio_Actius) -0.058644 0.019625 -2.988 0.00288 **

log(Anys_Activitat) 0.044288 0.021286 2.081 0.03774 *

---

Residual standard error: 0.3325 on 928 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1117, Adjusted R-squared: 0.1059

F-statistic: 19.45 on 6 and 928 DF, p-value: < 2.2e-16

Efectueu el contrast de significació global i els contrastos individuals al 5%.

b)

S'estima un nou model ( model2) retirant les variables que no han resultat estadísticament significatives al 5% en el model1:

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 2.578090 0.089293 28.872 < 2e-16 ***

log(Actiu_Total) 0.055925 0.007425 7.532 1.18e-13 ***

log(Actiu_Corrent_S_Passiu_C.) 0.058527 0.015604 3.751 0.000187 ***

log(Rotacio_Actius) -0.044173 0.017994 -2.455 0.014273 *

log(Anys_Activitat) 0.041975 0.021021 1.997 0.046134 *

---

Residual standard error: 0.3329 on 930 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1075, Adjusted R-squared: 0.1037

F-statistic: 28 on 4 and 930 DF, p-value: < 2.2e-16

Realitzeu un contrast de models ennierats entre model1 i model2 a partir de la sortida de l'ordre anova(model1, model2):

> anova(model1, model2)

Analysis of Variance Table

Model 1: log(Sou_Mitja) ~ log(Actiu_Total) + log(Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent) +

log(Passiu_S_Patrimoni_Net) + log(Passiu_Total_S_Passiu_Corrent) +

log(Rotacio_Actius) + log(Anys_Activitat)

Model 2: log(Sou_Mitja) ~ log(Actiu_Total) + log(Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent) +

log(Rotacio_Actius) + log(Anys_Activitat)

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 928 102.59

2 930 103.08 -2 -0.48371 2.1877 0.1128

Determineu quin model és preferible i quines conseqüències tindria mantenir el model no preferit.

c)

Efectueu la diagnosi de multicol·linealitat de model2 calculant els factors d'inflació de la variància (VIF) i les toleràncies:

> vif(model2)

log(Actiu_Total) log(Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent) log(Rotacio_Actius)

1.145843 1.066194 1.156927

log(Anys_Activitat)

1.063042

d)

S'afegeixen a model2 les variables log(Passiu_Total) i log(Passiu_Corrent), donant lloc a model3:

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 2.65193 0.09275 28.592 < 2e-16 ***

log(Actiu_Total) -0.03501 0.03016 -1.161 0.246001

log(Actiu_Corrent_S_Passiu_C.) 0.11136 0.02295 4.853 1.43e-06 ***

log(Rotacio_Actius) -0.07044 0.02008 -3.509 0.000472 ***

log(Anys_Activitat) 0.04593 0.02112 2.175 0.029903 *

log(Passiu_Total) 0.01470 0.03374 0.436 0.663069

log(Passiu_Corrent) 0.07601 0.03206 2.371 0.017938 *

---

Residual standard error: 0.3313 on 928 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.1181, Adjusted R-squared: 0.1124

F-statistic: 20.7 on 6 and 928 DF, p-value: < 2.2e-16

Avalueu la significació global i individual del model3 al 5%.

e)

Valoreu el diagnòstic de multicol·linealitat del model3 mitjançant els valors de VIF i toleràncies obtinguts:

Variable

VIF

Tolerància (1/VIF)

log(Actiu_Total)

19,0913

0,05238

log(Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent)

2,3281

0,42953

log(Rotacio_Actius)

1,4544

0,68756

log(Anys_Activitat)

1,0837

0,92278

log(Passiu_Total)

26,9559

0,03710

log(Passiu_Corrent)

24,7964

0,04033

Quines variables presenten problemes greus de multicol·linealitat i com es pot solucionar?