Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones

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APUNTES ESTADÍSTICA Grado en Administración y Dirección de Empresas Universidad Ramon Llull AprenAI 2026-2027 Apuntes de inferencia para ADE: estimación, contrastes de hipótesis para proporciones y medias, chi-cuadrado, correlación y ANOVA con Real Statistics.

APREN.AI Índice 1 Inferencia sobre proporciones: estimación y contraste de hipótesis Fundamentos del muestreo y estimación puntual Intervalo de confianza para una proporción Pruebas de hipótesis para una proporción 2 Asociación y correlación: chi-cuadrado y coeficientes lineales Prueba de chi-cuadrado para la independencia de variables cualitativas Medición de la intensidad de asociación: V de Cramer Correlación entre variables cuantitativas 3 Inferencia sobre la media: contraste paramétrico y no paramétrico para una muestra Estructura del intervalo de confianza para la media Condiciones de aplicación: normalidad y simetría Procedimiento de contraste para una muestra 4 Comparación de medias entre grupos: muestras independientes, apareadas y ANOVA Comparación de dos poblaciones independientes Comparación de dos medias apareadas Comparación de más de dos grupos: ANOVA y Kruskal-Wallis Comparaciones múltiples post hoc: pairwise y Conover 5 Formulario Inferencia sobre proporciones Asociación y correlación Inferencia sobre la media (una población) Comparación de medias entre grupos Baremos de tamaño del efecto y errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 1 1 Inferencia sobre proporciones: estimación y contraste de hipótesis AL ACABAR SABRÁS Calcular e interpretar intervalos de confianza para una proporción poblacional al 95 %. Formular las hipótesis nula y alternativa para el contraste de proporciones. Aplicar los criterios de decisión basados en el estadístico Z, el intervalo de confianza y el p- valor. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué el resultado de una encuesta electoral nunca coincide de forma exacta con la realidad de toda la población?

Fundamentos del muestreo y estimación puntual La inferencia estadística permite extraer conclusiones sobre los parámetros de una población a partir de los datos observados en un subconjunto denominado muestra. Para garantizar la validez matemática de este procedimiento, se emplea el muestreo aleatorio simple (M.A.S.). El comportamiento muestral presenta una serie de propiedades características: A mayor magnitud del parámetro observado, menor proporción suele encontrarse. Los valores numéricos específicos varían entre diferentes extracciones muestrales dentro de un margen delimitado. A menor tamaño muestral, mayor resulta la variabilidad entre repeticiones.

En las zonas extremas de la distribución la variabilidad disminuye. Al incrementar el tamaño de la muestra, se capta una cantidad superior de información poblacional. En el estudio de proporciones, distinguimos la proporción poblacional denotada por y la proporción muestral denotada por , donde indica el cómputo de éxitos y el tamaño de la muestra. DEFINICIÓN La desviación típica de la proporción muestral o error estándar se define como: Cuanto menor es la muestra, mayor es la dispersión resultante, y viceversa. π = N X p = = π ^ n x x n σ = n π(1 π) Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 2 Gráfica de la distribución muestral de proporciones centrada en el parámetro pi.

Intervalo de confianza para una proporción Cuando no se dispone de un valor previo de referencia poblacional, se realiza una estimación por intervalo para acotar el parámetro dentro de un rango verosímil con un nivel de confianza determinado (habitualmente el 95 %).

La formulación general para un nivel de confianza del 95 % aproxima el multiplicador crítico a 2 desviaciones típicas: El término sumado y restado a la estimación puntual constituye el error muestral: EJEMPLO Supongamos una muestra de individuos donde se observa una proporción : El intervalo de confianza resultante es: Si la proporción observada en la misma muestra de tamaño 300 fuera , el error muestral sería: Y el intervalo de confianza quedaría acotado por .

p ± 2 n p(1 p) ε = 2 n p(1 p) n = 300 p = 0,2667 ε = 2 = 300 0,2667(1 0,2667) 0,05105 0,2667 ± 0,05105 [0,2156; 0,3177] p = 0,22 ε = 2 = 300 0,22(1 0,22) 0,0478 [0,1722; 0,2678] Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 3 COMPRUEBA 2 ¿Cómo varía la amplitud del intervalo de confianza si el tamaño de la muestra se multiplica por cuatro manteniendo fija la proporción observada? Pruebas de hipótesis para una proporción Cuando existe un valor de referencia previo , se plantea una prueba de hipótesis para evaluar si la evidencia empírica respalda un cambio en la población.

La hipótesis nula postula la igualdad respecto al valor histórico ( ), frente a la hipótesis alternativa bilateral ( ). Bajo el cumplimiento de las condiciones de aproximación normal, el comportamiento de la proporción muestral sigue un modelo normal centrado en la hipótesis nula: Existen tres vías metodológicas equivalentes para contrastar la hipótesis: π 0 H : 0 π = π 0 H : 1 π = π 0 N π, ( n π(1 π) ) Estadístico Z estandarizado: Se calcula el valor tipificado restando la media poblacional supuesta y dividiendo por la desviación típica: Se evalúa si para aceptar la plausibilidad de la hipótesis nula al 95 % de confianza.

1 z = n π (1 π ) 0 0 p π 0 z < 2 Construcción del intervalo de confianza: Se comprueba directamente si el valor hipotético queda contenido dentro de los límites del intervalo generado a partir de la muestra observada. 2 π 0 Cálculo del p-valor: Es la probabilidad de obtener una muestra tan extrema o más extrema que la observada asumiendo que la hipótesis nula es verdadera. Si el p-valor es muy pequeño, la probabilidad de que los datos procedan de dicha población resulta insignificante y se rechaza . 3 H 0 Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 4 Distribución del contraste mostrando la posición de la proporción muestral observada.

ERROR FRECUENTE En el contraste por tipificación (estadístico z), el error estándar en el denominador se calcula utilizando la proporción esperada según la hipótesis nula , no la proporción observada en la muestra . Emplear en el cálculo de es un error conceptual común en el contraste de proporciones. Por ejemplo, contrastando frente a con una muestra de y , se obtiene: Dado que , el valor muestral cae dentro de la región de aceptación al 95 %, por lo que no se descarta la hipótesis nula. De igual forma, el intervalo contiene a 0,2 y el p-valor correspondiente es aproximadamente 0,248, mayor que el nivel de significación .

En cambio, ante una hipótesis con un estadístico , el valor cae excesivamente lejos del umbral de compatibilidad, provocando el rechazo categórico de la hipótesis nula. COMPRUEBA 3 ¿Cuál es el criterio de decisión entre el p-valor y el nivel de significación alfa?

π 0 p p z H : 0 π = 0,2 H : 1 π = 0,2 n = 300 p = 0,2267 z = = 300 0,2 0,8 0,2267 0,2 1,15 z = 1,15 < 2 [0,1783; 0,2750] α = 0,05 H : 0 π = 0,6 z = 29,8 Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 5 PROCESO Procedimiento de decisión en contraste de proporciones 1 Definir hi pótesis Plantear H0 de igual dad y H1 bilateral frente al valor de referencia 2 Recoger datos Obtener proporción muestral p y tamaño n mediante M.A.S.

3 Calcular estadístico o p- valor Determinar el valor de z o el p-valor asociado 4 Tomar de cisión Rechazar H0 si p-va lor es menor que alfa o si z excede los límites IDEAS CLAVE El muestreo aleatorio simple (M.A.S.) garantiza la representatividad al extraer conclusiones poblacionales. El error muestral disminuye al aumentar el tamaño muestral . El intervalo de confianza para la proporción al 95 % se calcula mediante . Las tres vías de decisión en un contraste (estadístico z, intervalo de confianza y p-valor) proporcionan conclusiones equivalentes. Se rechaza la hipótesis nula cuando el p-valor es inferior al nivel de significación prefijado. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4.

¿Qué representa conceptualmente el p-valor en una prueba de hipótesis para proporciones? 5. ¿Qué ocurre con el error estándar si aumentamos el tamaño de la muestra ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 6. ¿Qué decisión se toma si el estadístico z vale 1,15 en un contraste bilateral al 95 %? 7. ¿Cómo se define el error muestral en el intervalo de confianza al 95 %? 8. ¿Cuándo se rechaza la hipótesis nula utilizando el criterio del p-valor?

n p ± 2σ n Se altera la hipótesis alternativa a) No se rechaza la hipótesis nula b) Se rechaza la hipótesis nula c) Se invalida el tamaño muestral d) El producto de z por la proporción a) El cociente entre p y la muestra b) Dos veces el error estándar estimado c) La raíz cuadrada del tamaño muestral d) Cuando el p-valor es menor que alfa a) Cuando el p-valor es cercano a 1 b) Cuando el p-valor es igual a z c) Cuando el p-valor supera a 0,05 d) Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 6 9. En un contraste de proporciones, si el valor z calculado es 29,8, ¿qué se concluye?

2 Asociación y correlación: chi-cuadrado y coeficientes lineales AL ACABAR SABRÁS Evaluar la independencia de variables cualitativas aplicando chi-cuadrado o el test exacto de Fisher. Interpretar la magnitud de la asociación cualitativa mediante la V de Cramer. Seleccionar y contrastar adecuadamente los coeficientes de correlación de Pearson y Spearman según el tipo de variable. PIÉNSALO ANTES DE LEER 10 ¿Por qué un resultado estadísticamente significativo no siempre implica una relación fuerte entre dos variables?

Prueba de chi-cuadrado para la independencia de variables cualitativas La asociación entre variables cualitativas categóricas se analiza mediante la prueba de chi-cuadrado de independencia. Su finalidad es contrastar si dos variables están vinculadas o si son independientes. Las hipótesis de partida se formulan de la siguiente manera: Hipótesis nula ( ): Las dos variables son independientes entre sí. Hipótesis alternativa ( ): Las dos variables no son independientes (están asociadas).

El contraste se fundamenta en comparar las frecuencias observadas en la muestra frente a los valores esperados bajo el supuesto de independencia: Si los valores observados son muy semejantes a los valores esperados teóricos, no existe evidencia de asociación. Si las frecuencias observadas distan notablemente de los valores esperados teóricos, se concluye que existe asociación entre las categorías. El criterio de decisión fija habitualmente un nivel de significación máximo = 0,05 (5 %). Si el p-valor resultante es inferior a , se rechaza la hipótesis nula y se asume la existencia de relación estadística.

Se mantiene la hipótesis nula a) Faltan observaciones para decidir b) La muestra es plenamente simétrica c) Se rechaza la hipótesis nula con rotundidad d) H 0 H 1 α α Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 7 ERROR FRECUENTE La prueba de chi-cuadrado pierde validez matemática si alguna frecuencia esperada de la tabla es estrictamente menor a 5. Todas las frecuencias esperadas deben ser iguales o superiores a 5; si esto no se cumple, se debe recurrir al test exacto de Fisher (Fisher Exact Test). Medición de la intensidad de asociación: V de Cramer Rechazar la hipótesis nula únicamente confirma la presencia de relación, pero no su magnitud.

Para cuantificar la intensidad de la asociación entre variables cualitativas se emplea el coeficiente V de Cramer, cuyos valores oscilan en el rango de 0 a 1. Rango de V de Cramer Intensidad de la asociación Muy débil Normal / moderada Muy fuerte Por ejemplo, si en un estudio de hábitos de lectura respecto al interés por cursar estudios superiores se obtiene una relación significativa con un valor de , se concluye que las variables están asociadas, pero la fuerza de dicha asociación es modesta. COMPRUEBA 11 ¿Qué prueba alternativa debe ejecutarse si una celda de la tabla de frecuencias esperadas presenta un valor de 3?

Correlación entre variables cuantitativas Para analizar la relación lineal o asociación entre dos variables cuantitativas numéricas, se contrasta si el coeficiente de correlación poblacional es nulo: (no existe correlación entre las variables). (existe correlación estadísticamente significativa). La elección del coeficiente adecuado depende directamente de la naturaleza métrica de las variables analizadas: Coeficiente de Pearson: Se utiliza cuando ambas variables son cuantitativas continuas (pudiendo presentar valores decimales o mediciones no discretizadas). Coeficiente de Spearman: Se emplea de manera preferente cuando alguna de las variables es discreta u ordinal.

La regla de decisión es análoga a los contrastes previos: si el p-valor es menor que y el valor 0 queda excluido del intervalo de confianza del coeficiente, se rechaza la hipótesis nula, concluyéndose la presencia de correlación entre ambas variables. < 0,1 0,1 0,5 > 0,5 V = 0,12 H : 0 ρ = 0 H : 1 ρ = 0 α = 0,05 Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 8 COMPRUEBA 12 ¿Bajo qué condición empírica se opta por el coeficiente de correlación de Spearman en lugar del de Pearson? ESQUEMA Clasificación de pruebas de asociación IDEAS CLAVE La prueba de chi-cuadrado compara frecuencias observadas con esperadas bajo la hipótesis de independencia.

Si existen frecuencias esperadas inferiores a 5, debe sustituirse por el test exacto de Fisher. La V de Cramer evalúa la fuerza de la relación cualitativa en un rango de 0 a 1. El coeficiente de Pearson evalúa variables continuas y el de Spearman se aplica ante variables discretas. Se confirma correlación lineal significativa cuando el p-valor es menor a 0,05 y el cero no está en el intervalo. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 13. ¿Qué implicación práctica tiene obtener una V de Cramer igual a 0,12? 14. ¿Por qué no basta con obtener un p-valor significativo en una prueba de chi-cuadrado? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 15.

¿Cuál es la hipótesis nula en una prueba de chi-cuadrado de contingencia? Variables cualitativas Tablas de contingencia Chi-cuadrado Frecuencias esperadas >= 5 Exacto de Fisher Frecuencias esperadas < 5 Variables cuantitativas Asociación lineal Pearson Ambas variables continuas Spearman Presencia de variable discreta Las medias son exactamente iguales a) La varianza poblacional es nula b) Las variables son independientes c) Las variables son dependientes d) Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 9 16. ¿Qué ocurre si una celda esperada en chi-cuadrado tiene frecuencia menor a 5? 17. ¿Cómo se clasifica un valor de V de Cramer superior a 0,5? 18.

¿Qué coeficiente se debe emplear si una de las dos variables cuantitativas es discreta? 3 Inferencia sobre la media: contraste paramétrico y no paramétrico para una muestra AL ACABAR SABRÁS Calcular e interpretar el intervalo de confianza para la media de una población. Verificar las condiciones de simetría y normalidad para escoger entre media y mediana. Tomar decisiones estadísticas en contrastes para una muestra a partir del intervalo de confianza y del p-valor. PIÉNSALO ANTES DE LEER 19 ¿Por qué la media aritmética puede conducir a conclusiones erróneas si la muestra presenta valores sumamente asimétricos?

Estructura del intervalo de confianza para la media La inferencia sobre la media de una población permite estimar la verdadera media a partir de la media muestral observada , la desviación típica de la muestra y el número total de observaciones . El intervalo de confianza para una muestra se calcula siguiendo la expresión teórica: Donde la desviación típica del estimador (error estándar) viene dada por y es el valor crítico de la distribución de Student.

Se acepta directamente H0 a) Se calcula la correlación de Pearson b) Se descarta la hipótesis alternativa c) Se utiliza el test exacto de Fisher d) Asociación despreciable a) Asociación muy fuerte b) Asociación muy débil c) Independencia absoluta d) Coeficiente de Pearson a) Coeficiente de Spearman b) Coeficiente de Kendall c) Coeficiente de Student d) μ x ˉ s n ± x ˉ t n s σ = x ˉ n s t Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 10 Esquema gráfico del intervalo de confianza para la media en una distribución simétrica.

Condiciones de aplicación: normalidad y simetría Para determinar si es legítimo utilizar la media (vía paramétrica mediante la prueba t) o si es necesario trabajar con la mediana (vía no paramétrica), se deben comprobar tres aspectos fundamentales sobre los datos individuales : PARA RECORDARLO Si los datos son normales o simétricos, es fiable emplear la media (y el contraste T-test). Si los datos son claramente asimétricos, la media queda sesgada y debemos confiar en la mediana (seleccionando la opción Non-parametric). X i Comprobación de normalidad: Se verifica si la distribución se ajusta a un modelo normal.

Si el análisis descriptivo señala que no es normal, se examina el patrón de simetría. 1 Evaluación de la simetría: Una distribución es considerada simétrica cuando su coeficiente de asimetría (skewness) se sitúa en el rango comprendido entre -0,5 y 0,5 (la simetría perfecta corresponde a 0). También se visualiza mediante la construcción de un histograma. 2 Comparación entre media y mediana: Se comprueba la discrepancia empírica entre la media muestral y la mediana . Si la diferencia es inapreciable, los datos se consideran funcionalmente simétricos.

3 x ˉ x ~ Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 11 ERROR FRECUENTE Un error habitual consiste en descartar la media al ver que el coeficiente de asimetría está fuera del rango sin revisar el origen de dicha desviación. Si la asimetría observada está causada únicamente por la presencia de un valor extremo aislado (outlier) en una muestra amplia, es posible mantener el uso de la media. COMPRUEBA 20 ¿En qué rango numérico debe estar el coeficiente de skewness para considerar que una distribución es razonablemente simétrica?

Procedimiento de contraste para una muestra Al contrastar si la media de una población es igual a un determinado valor de referencia ( frente a ), se procede a la toma de decisión evaluando: El p-valor: Si es inferior a , se rechaza la hipótesis nula. El intervalo de confianza: Si el valor de la hipótesis nula queda fuera del intervalo calculado para la media con un nivel del 95 %, se rechaza . Criterio no paramétrico (p-norm): Si la distribución resulta estrictamente asimétrica (por ejemplo, con un skewness de 1,23 sin outliers justificables), se adopta la mediana y se evalúa el estadístico p-norm; si dicho valor es inferior a 0,05, se rechaza la hipótesis nula.

En muestras donde se contrasta una hipótesis nula (por ejemplo, que el tamaño medio de una clase sea de 30 alumnos, ) y se obtiene una media muestral de 24,68 con un intervalo de confianza entre 24,04 y 25,31 y un p-valor del orden de , el valor hipotético 30 no se encuentra contenido en el rango admisible, provocando el rechazo categórico de por cualquiera de las dos vías. COMPRUEBA 21 Si el intervalo de confianza al 95 % para la media oscila entre 24,04 y 25,31, ¿qué decisión se toma sobre la hipótesis H0: mu = 30?

PROCESO Decisión entre contraste de media o mediana 1 Comprobar normalidad Verificar ajuste de los datos a una curva normal 2 Analizar simetría Comprobar si el skewness está entre -0,5 y 0,5 3 Elegir esti mador Media si es simétrica; mediana si es asimétrica 4 Ejecutar prueba Seleccionar T-test o test no paramétrico según corresponda [ 0,5; 0,5] H : 0 μ = μ 0 H : 1 μ = μ 0 α = 0,05 μ 0 H 0 H : 0 μ = 30 10 49 H 0 Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 12 IDEAS CLAVE El intervalo de confianza para una media utiliza la media muestral, el valor crítico t y el error estándar. La simetría exige que el coeficiente de asimetría (skewness) se mantenga entre -0,5 y 0,5.

Si los datos son normales o simétricos, se emplea la media y la prueba t paramétrica. Ante distribuciones asimétricas se analiza la mediana mediante métodos no paramétricos. El rechazo de H0 se confirma cuando el valor hipotético queda fuera del intervalo de confianza o el p-valor es menor a 0,05. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 22. ¿Cuándo se decide seleccionar la opción Non-parametric en un contraste sobre una muestra? 23. ¿Qué consecuencia tiene la presencia de un outlier sobre la elección entre media y mediana? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 24. ¿Qué valor del coeficiente de asimetría refleja una simetría perfecta en la distribución? 25.

¿Qué prueba se selecciona si los datos analizados cumplen la condición de normalidad? 26. Si el valor propuesto en H0 está dentro del intervalo de confianza al 95 %, ¿qué se concluye? 27. En una muestra asimétrica donde se utiliza la mediana, ¿cuándo se rechaza la hipótesis nula?

0,5 a) 1,0 b) 0 c) -0,5 d) Prueba de Fisher a) Test no paramétrico b) Prueba de Kruskal-Wallis c) T-test (prueba t) d) La varianza es nula a) Se rechaza H0 b) Se acepta automáticamente H1 c) No se puede rechazar H0 d) Cuando skewness es exactamente cero a) Cuando p-norm es menor a 0,05 b) Cuando la media iguala la mediana c) Cuando p-norm es mayor que 0,05 d) Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 13 4 Comparación de medias entre grupos: muestras independientes, apareadas y ANOVA AL ACABAR SABRÁS Distinguir el diseño de muestras independientes frente al de muestras apareadas. Interpretar la magnitud del efecto mediante el indicador d de Cohen.

Aplicar e interpretar ANOVA y Kruskal-Wallis, así como las pruebas por parejas (pairwise t-test y Conover). PIÉNSALO ANTES DE LEER 28 ¿Por qué no es correcto realizar múltiples pruebas t individuales para comparar cuatro grupos entre sí? Comparación de dos poblaciones independientes Al contrastar si dos grupos independientes difieren en su valor medio, se formula la hipótesis de diferencia nula: Hipótesis nula ( ): (las medias de ambos colectivos son iguales). Hipótesis alternativa ( ): (las medias poblacionales difieren entre sí).

Para emplear la prueba paramétrica de dos muestras (T-Test: Two Independent Samples), se requiere que los dos grupos sean normales y que compartan un patrón morfológico homogéneo: ambos deben ser igual de simétricos o igual de asimétricos. Si uno de los grupos resulta asimétrico y el otro simétrico, no es posible fiarse de la media y se recurre a la comparación de medianas. La decisión final se adopta valorando: Intervalo de confianza de la diferencia: Si el intervalo de confianza para no incluye el valor 0 (por ejemplo, si queda acotado estrictamente entre -65 y -32), se concluye que existen diferencias estadísticamente significativas.

Magnitud del efecto (d de Cohen): Describe el grado de distanciamiento real entre las dos medias más allá de la significación formal: Valor de d de Cohen Magnitud de la diferencia No existe diferencia apreciable Diferencia moderada Diferencia fuerte Diferencia muy fuerte H 0 μ 1 μ = 2 0 H 1 μ 1 μ = 2 0 (μ 1 μ ) 2 < 0,2 0,2 0,5 0,5 0,8 > 0,8 Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 14 COMPRUEBA 29 ¿Qué indica un intervalo de confianza para la diferencia de medias que va de 1 a 7?

Comparación de dos medias apareadas Cuando los datos proceden de los mismos individuos medidos en condiciones emparejadas (o parejas vinculadas), no se trata de colectivos independientes sino de muestras apareadas.

El procedimiento estadístico consiste en: Comparación de más de dos grupos: ANOVA y Kruskal-Wallis Cuando se desea comparar la media entre más de dos poblaciones (por ejemplo, la esperanza de vida en distintos continentes), la hipótesis nula establece la igualdad simultánea de todos los grupos frente a la alternativa de que al menos una media difiere: DEFINICIÓN El ANOVA (análisis de varianza) compara la varianza observada entre los grupos frente a la varianza interna o dentro de los grupos. Si la variabilidad entre grupos es muy superior a la variabilidad intragrupos, se concluye que existen diferencias reales entre las medias.

La selección metodológica se basa en el tamaño muestral y la distribución: Para muestras menores de 30 observaciones por grupo, se verifica si siguen una distribución normal. Para muestras de más de 30 observaciones, basta con verificar que presenten simetría. Si se confía en la media, se efectúa el test de ANOVA de un factor (ANOVA single factor). Si las distribuciones son asimétricas y no es fiable usar la media, se aplica el test no paramétrico de Kruskal-Wallis. En ambos tests, si el p-valor es inferior a , se rechaza la hipótesis nula de igualdad global.

Comparaciones múltiples post hoc: pairwise y Conover Rechazar en ANOVA o Kruskal-Wallis indica que existen diferencias, pero no identifica qué parejas concretas difieren. Para evaluar todas las combinaciones posibles, se activan pruebas específicas por pares: Calcular una nueva columna con las diferencias individuales: . 1 D = i X 1i X 2i Plantear las hipótesis sobre la media de las diferencias: frente a . 2 H : 0 μ = D 0 H : 1 μ = D 0 Calcular la estadística descriptiva sobre la columna de diferencias. Si resulta simétrica, se aplica una prueba t para una muestra sobre las diferencias observadas. 3 Rechazar si el p-valor obtenido resulta inferior a .

4 H 0 α = 0,05 H : 0 μ = 1 μ = 2 = μ k H : 1 No todas las medias son iguales (al menos una difiere) α H 0 Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 15 En el marco del ANOVA, se recurre al pairwise t-test. En el test de Kruskal-Wallis, se emplea la prueba por pares de Conover. Para determinar si se rechaza la igualdad en cada pareja específica manteniendo el control del error, se compara el p-valor con el umbral ajustado (obtenido dividiendo el nivel de significación entre el número total de comparaciones posibles, procedimiento calculado automáticamente por el software estadístico).

ERROR FRECUENTE Un p-valor significativo en ANOVA solo demuestra que no todas las medias son iguales entre sí, pero nunca demuestra que todas difieran unas de otras. Es obligatorio realizar las comparaciones por parejas (pairwise t-test o Conover) para identificar los grupos específicos que presentan distancias significativas. COMPRUEBA 30 ¿Cuál es el objetivo de utilizar el test de Conover tras aplicar Kruskal-Wallis? ESQUEMA Pruebas de comparación de grupos IDEAS CLAVE Para comparar dos grupos independientes con la prueba t, ambos deben compartir el mismo patrón de simetría. La d de Cohen cuantifica la magnitud real del efecto entre dos medias independientes.

En muestras apareadas se analiza la columna de diferencias individuales reduciendo el problema a una muestra. ANOVA evalúa si la varianza entre grupos supera a la varianza intra-grupos para detectar discrepancias de medias. Si no se cumplen las condiciones de simetría en más de dos grupos, se aplica Kruskal-Wallis y comparaciones de Conover. Dos grupos Comparación simple Muestras independientes T-test si simetría igual Muestras apareadas T-test sobre diferencias D Más de dos grupos Múltiples poblaciones ANOVA Datos normales / simétricos Kruskal-Wallis Datos asimétricos Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 16 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 31.

¿Qué conclusión se extrae si en un ANOVA se obtiene un p-valor menor a 0,05? 32. ¿Cómo se interpretan los valores de la d de Cohen comprendidos entre 0,5 y 0,8? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 33. ¿Qué ocurre si en dos muestras independientes una distribución es simétrica y la otra asimétrica? 34. ¿Qué evalúa fundamentalmente el análisis de varianza (ANOVA)? 35. ¿Cuál es la prueba no paramétrica equivalente al ANOVA para más de dos grupos? 36. ¿Qué test específico se activa para contrastar parejas tras rechazar la hipótesis en Kruskal- Wallis?

5 Formulario Inferencia sobre proporciones Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : proporción muestral; : tamaño de la muestra Intervalo de confianza al 95 % para la proporción poblacional Se fusionan los grupos directamente a) No se puede usar la media y se recurre a la mediana b) Se asume que la varianza es infinita c) Se aplica la prueba t ordinaria d) La proporción de éxitos sobre fracasos a) La correlación lineal de Spearman b) La simetría del error estándar muestral c) La relación entre varianza entre grupos e intragrupos d) Coeficiente de Pearson a) Test exacto de Fisher b) Prueba de Kruskal-Wallis c) Test t de Student apareado d) Test de Conover a) Regresión lineal simple b) Pairwise t-test c) V de Cramer d) p ± 2 n p(1 p) p n π Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 17 Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : error muestral o margen de error; : proporción muestral; : tamaño muestral Cálculo de la semiamplitud del intervalo de confianza al 95 % : proporción observada; : proporción fijada en ; : tamaño muestral Estadístico Z para contrastar (se rechaza si o p-valor ) Asociación y correlación Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Plantear (independencia) Comprobar frecuencias esperadas Rechazar si p-valor Evaluar V de Cramer : variables cualitativas independientes; V de Cramer: intensidad de la relación (0 a 1) Prueba de Chi-cuadrado de independencia para tablas de contingencia Test exacto de Fisher Prueba de probabilidad exacta para tablas categóricas Alternativa a Chi-cuadrado si alguna frecuencia esperada es estrictamente menor a 5 Plantear Elegir Pearson (continuas) o Spearman (discretas) Rechazar si p-valor y el 0 está fuera del IC : correlación poblacional; Pearson: métrica continua; Spearman: métrica discreta u ordinal Contraste de asociación lineal entre dos variables cuantitativas Inferencia sobre la media (una población) Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : media muestral; : desviación típica; : tamaño muestral; : valor crítico Intervalo de confianza para la media poblacional bajo normalidad o simetría Comprobar normalidad Evaluar simetría ( o histograma) Elegir media (T-test) si es simétrica; mediana (test no paramétrico, p-norm) si es asimétrica skewness: coeficiente de asimetría; T-test: prueba paramétrica; p-norm: p-valor no paramétrico Decisión del estimador y prueba para contrastar ε = 2 n p(1 p) ε p n z = n π (1 π ) 0 0 p π 0 p π 0 H 0 n H : 0 π = π 0 z 2 < 0,05 H 0 5 < 0,05 H 0 H : 0 ρ = 0 < 0,05 ρ ± x ˉ t n s x ˉ s n t μ 0,5 skewness 0,5 H : 0 μ = μ 0 Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 18 Comparación de medias entre grupos Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Comprobar simetría idéntica en ambos grupos T-Test Two Independent Samples Rechazar si p-valor o IC sin el 0 Calcular d de Cohen ; d de Cohen: magnitud del efecto estandarizado Comparación de medias de dos poblaciones independientes Calcular columna Evaluar simetría de Aplicar T-test de una muestra sobre las diferencias : diferencia por pareja; : media poblacional de las diferencias Comparación de dos medias apareadas o medidas repetidas Verificar condiciones (normal si ; simétrica si ) ANOVA si simétricas; Kruskal-Wallis si asimétricas Si p-valor global , realizar contrastes por pares ANOVA: compara varianza entre grupos vs.

intragrupos; Kruskal-Wallis: vía no paramétrica Comparación de medias de tres o más grupos independientes Pairwise t-test (para ANOVA) o test de Conover (para Kruskal-Wallis) Comparaciones múltiples por pares ajustando el nivel de significación Localizar qué grupos concretos presentan diferencias tras rechazar global Baremos de tamaño del efecto y errores típicos Parámetro / Regla Criterio o umbral Interpretación V de Cramer : muy débil; : moderada; : muy fuerte Fuerza de asociación en variables cualitativas d de Cohen : sin efecto; : moderado; : fuerte; : muy fuerte Magnitud de la diferencia entre dos medias independientes Errores típicos: Usar la proporción muestral en lugar del valor hipotético en el denominador del estadístico en contrastes de proporciones.

Aplicar Chi-cuadrado con frecuencias teóricas esperadas menores a 5 en vez de sustituirlo por el test exacto de Fisher. Emplear T-test de dos muestras independientes cuando una muestra es simétrica y la otra asimétrica (se debe analizar la mediana). Asumir que todas las medias son diferentes entre sí al rechazar ANOVA sin haber ejecutado las comparaciones por parejas (pairwise t-test o Conover). < 0,05 H : 0 μ 1 μ = 2 0 D = i X 1i X 2i D D i μ D n < 30 n 30 < 0,05 H 0 < 0,1 0,1 0,5 > 0,5 < 0,2 0,2 0,5 0,5 0,8 > 0,8 p π 0 z Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 19 Soluciones de las preguntas de repaso 1.

Porque las muestras aleatorias presentan variabilidad muestral, obligando a estimar mediante intervalos acotados por un error. 2. Al cuadruplicar n, la raíz en el denominador reduce el error estándar a la mitad, por lo que el error muestral y la anchura total del intervalo se reducen exactamente al 50 %. 3. Si el p-valor es inferior al nivel alfa (generalmente 0,05), la probabilidad observada bajo la hipótesis nula es demasiado baja y se rechaza H0; si es superior a alfa, no se dispone de evidencia para rechazarla. 4. Representa la probabilidad de obtener una muestra tan extrema o más extrema que la registrada si la hipótesis nula es cierta. 5.

El error estándar se reduce inversamente a la raíz cuadrada de , reduciendo la dispersión y afinando la estimación. 6. b) No se rechaza la hipótesis nula. Al ser inferior a 2, el valor de z entra dentro del intervalo de aceptación al 95 %. 7. c) Dos veces el error estándar estimado. El margen de error corresponde a dos desviaciones típicas del estimador muestral. 8. a) Cuando el p-valor es menor que alfa. Un p-valor menor a alfa evidencia que la muestra es sumamente improbable bajo la hipótesis nula. 9. d) Se rechaza la hipótesis nula con rotundidad. Un valor de z muy superior a los valores críticos habituales descarta completamente la hipótesis nula. 10.

Porque el p-valor solo detecta si la relación es distinta de cero, mientras que su fuerza real la mide el tamaño del efecto (como la V de Cramer). 11. Debe emplearse el test exacto de Fisher, ya que chi-cuadrado exige que todas las frecuencias esperadas sean mayores o iguales a 5. 12. Se escoge el coeficiente de Spearman cuando alguna de las variables cuantitativas analizadas es de naturaleza discreta. 13. Indica que existe relación entre las variables categóricas, pero su grado o fuerza de asociación es moderada o débil. 14. Porque el p-valor solo certifica la existencia de asociación, pero no informa sobre la magnitud de la relación, la cual requiere calcular la V de Cramer. 15.

c) Las variables son independientes. La hipótesis nula de chi-cuadrado asume la total independencia entre ambas clasificaciones. 16. d) Se utiliza el test exacto de Fisher. El test exacto de Fisher es la alternativa cuando no se cumple el requisito de frecuencias mínimas. 17. b) Asociación muy fuerte. Los valores de V de Cramer mayores que 0,5 señalan una fuerza de asociación muy elevada. 18. b) Coeficiente de Spearman. Para variables cuantitativas con presencia de valores discretos se recurre al coeficiente de Spearman. 19. Porque los valores extremos desplazan la media hacia la cola de la distribución, haciendo que deje de representar el centro real de los datos. 20.

Debe encontrarse en el intervalo comprendido entre -0,5 y 0,5, siendo 0 el valor de simetría perfecta. n Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 20 21. Se rechaza la hipótesis nula porque el valor de referencia 30 queda totalmente fuera de los límites del intervalo de confianza. 22. Cuando los datos presentan una distribución asimétrica y no resulta fiable utilizar la media como medida de tendencia central. 23. Si la asimetría proviene de un único valor extremo en una muestra grande, puede seguir utilizándose la media tras valorar su impacto. 24. c) 0. El valor cero indica que la distribución es perfectamente simétrica. 25. d) T-test (prueba t).

Bajo normalidad o simetría, la prueba t paramétrica es el procedimiento estándar. 26. d) No se puede rechazar H0. Estar dentro del intervalo al 95 % significa que el parámetro es verosímil y no se puede descartar H0. 27. b) Cuando p-norm es menor a 0,05. Al igual que con el p-valor habitual, un p-norm inferior al nivel de significación alfa (0,05) determina el rechazo. 28. Porque realizar sucesivas pruebas por pares incrementa el error global acumulado, motivo por el cual se aplica primero un análisis conjunto como ANOVA. 29. Indica que el primer grupo supera al segundo de forma significativa en entre 1 y 7 unidades, pues el valor cero queda totalmente excluido del intervalo. 30.

Permite contrastar por parejas qué grupos específicos presentan diferencias estadísticamente significativas entre sí. 31. Se concluye que no todas las medias de los grupos comparados son iguales, requiriendo un test pairwise para localizar las diferencias. 32. Indican la presencia de una diferencia o magnitud del efecto fuerte entre las dos poblaciones comparadas. 33. b) No se puede usar la media y se recurre a la mediana. Deben compartir simetría para comparar medias; de lo contrario, se analiza la mediana. 34. d) La relación entre varianza entre grupos e intragrupos. ANOVA determina si la varianza explicada entre grupos supera sustancialmente a la variabilidad residual interna. 35.

c) Prueba de Kruskal-Wallis. Kruskal-Wallis sustituye a ANOVA cuando no es lícito emplear la media por falta de simetría o normalidad. 36. a) Test de Conover. La prueba de Conover es la designada para comparar las parejas resultantes en el análisis de Kruskal-Wallis. Inferencia Estadística: Contrastes, Medias y Proporciones 21