Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats

I 0 flashcards i 12 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS INTRODUCCIÓ A LA MICROECONOMIA Grau en Administració i Direcció d'Empreses Universitat Pompeu Fabra AprenAI 2026-2027 Apunts complets d'Introducció a la Microeconomia (UPF): teoria del consumidor, Slutsky, excedents, costos de l'empresa, oferta competitiva i equilibri. APREN.AI Índex 1 Introducció i Restricció Pressupostària La Teoria del Consumidor i el Conjunt Pressupostari El Pendent de la Recta com a Cost d'Oportunitat Desplaçaments i Pivotatges de la Restricció Pressupostària El Concepte de Bé Numéraire Intervencions Públiques: Impostos, Subvencions i Racionament 2 Preferències del Consumidor i Taxa Marginal de Substitució 1. Axiomes de les preferències 2.

Corbes d'indiferència i conjunts de preferència 3. Tipologies de preferències particulars 4. Preferències ben comportades: monotonicitat i convexitat 5. Taxa Marginal de Substitució (MRS) 3 Teoria de la Utilitat 1. La Funció d'Utilitat i la seva Naturalesa Ordinal 2. Transformacions Monòtones Positives 3. Estructures Funcionals Típiques 4.

Utilitat Marginal i la Taxa Marginal de Substitució 4 Elecció Òptima del Consumidor El problema d'optimització del consumidor La condició de tangència per a solucions interiors Mètodes de resolució de l'òptim interior Resolució analítica per a preferències Cobb-Douglas Excepcions a la condició de tangència 5 La Demanda del Consumidor i Estàtica Comparativa De l'elecció òptima a les funcions de demanda Estàtica comparativa respecte a la renda Estàtica comparativa respecte al preu propi i preu creuat 6 Preferències Revelades Del model teòric a les dades observables Condicions bàsiques i revelació directa L'Axioma Feble de les Preferències Revelades (WARP) Revelació indirecta i l'Axioma Fort (SARP) Recuperació de les corbes d'indiferència 7 Descomposició de Slutsky: Efecte Substitució i Efecte Renda Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 1 Descomposició d'un canvi de preu La compensació de Slutsky i el càlcul de la renda ajustada L'Equació de Slutsky i la direcció dels efectes Anàlisi per tipologia de béns Casos particulars: preferències extremes Exemple de càlcul pas a pas 8 Mesures del Benestar del Consumidor Preu de reserva per a béns discrets i connexió amb la demanda inversa Excedent del consumidor i la seva variació (ΔCS) Mesures monetàries exactes: Variació Compensatòria (CV) i Variació Equivalent (EV) Comparació formal: preferències generals vs.

quasi-lineals 9 Demanda Agregada i Elasticitat Demanda agregada i suma horitzontal Moviments al llarg de la corba vs. desplaçaments Elasticitat-preu de la demanda Relació entre elasticitat, ingrés total i ingrés marginal Altres elasticitats de la demanda 10 Teoria de la Producció i Tecnologia 1. Fonaments de la tecnologia: factors, conjunt tecnològic i funció de producció 2. Isoquantes i naturalesa cardinal de la producció 3. Tipologies clàssiques de tecnologies 4. Propietats de les tecnologies ben comportades 5. Producte marginal i Taxa Tècnica de Substitució (TRS) 6.

Horitzó temporal i rendiments d'escala 11 Costos de l'Empresa i Oferta Competitiva Minimització de costos i tecnologia Estructura de costos a curt i llarg termini Oferta competitiva individual i excedent del productor Oferta de la indústria i equilibri a llarg termini amb lliure entrada 12 Equilibri de Mercat, Impostos i Eficiència Equilibri competitiu de mercat i estàtica comparativa Introducció d'un tribut unitari i incidència impositiva Recaptació fiscal, pèrdua seca i eficiència de Pareto 13 Formulari Teoria del Consumidor: Restricció, Utilitat i Elecció Òptima Descomposició de Slutsky i Mesures de Benestar Demanda Agregada, Elasticitats i Ingrés Marginal Producció, Costos i Oferta de l'Empresa Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 2 Equilibri de Mercat i Incidència Impositiva Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 3 1 Introducció i Restricció Pressupostària EN ACABAR SABRÀS Distingir l'enfocament de la microeconomia respecte a la macroeconomia i justificar l'ús de models simplificats. Formular analíticament i representar geomètricament el conjunt i la recta pressupostària. Interpretar el pendent de la recta pressupostària com el cost d'oportunitat entre béns. Diferenciar els efectes gràfics de les variacions en la renda, els canvis en els preus, els impostos i el racionament.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si els preus de tots els productes i el vostre sou pugen exactament en la mateixa proporció, teniu més opcions de consum, menys o exactament les mateixes? L'anàlisi econòmica s'organitza al voltant de dues grans perspectives: la macroeconomia i la microeconomia. Mentre que la macroeconomia analitza les variables agregades del sistema en el seu conjunt (com ara la taxa d'atur, la inflació o el creixement del PIB), la microeconomia estudia el comportament i la presa de decisions dels agents individuals, principalment consumidors, treballadors i empreses, que interactuen en mercats concrets.

Atès que els fenòmens socials presenten una gran complexitat, la teoria econòmica utilitza models, entesos com a simplificacions abstractes que seleccionen les variables crítiques per explicar i predir aquestes decisions.

ESQUEMA Estructura del curs de Microeconomia Teoria del Consumidor Restricció, preferències, utilitat i demanda Restricció Pressupostària Cistelles assequibles i preus relatius Preferències i Utilitat Corbes d'indiferència i optimització Demanda i Benestar Estàtica comparativa, Slutsky i excedents Teoria de la Producció Tecnologia, productivitat i funcions de cost Tecnologia i Costos Rendiments d'escala i corbes de costos Mercats i Eficiència Equilibri competitiu, impostos i eficiència Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 4 La Teoria del Consumidor i el Conjunt Pressupostari La teoria del consumidor parteix del principi fonamental que els individus escullen la millor combinació de béns que està al seu abast.

Per modelitzar què és assequible per a un individu, es defineixen els ingressos monetaris disponibles, representats per , i els preus de mercat dels dos béns considerats, i . El conjunt pressupostari està format per totes les cistelles de consum que compleixen la restricció econòmica bàsica: Aquesta expressió indica que la despesa total en la compra d'ambdós béns no pot excedir la renda disponible.

El límit superior d'aquest conjunt rep el nom de recta pressupostària, la qual recull les combinacions exactes de consum que esgoten la totalitat dels ingressos de l'individu: Aïllant la quantitat del bé 2 en funció del bé 1, obtenim la formulació de la recta en forma explícita: Gràfica de la recta i el conjunt pressupostari amb talls als eixos. Els punts de tall amb els eixos tenen una interpretació econòmica directa. L'ordenada a l'origen, , reflecteix la quantitat màxima de bé 2 que es pot adquirir si es destina tota la renda exclusivament a aquest bé. De manera anàloga, l'abscissa a l'origen, , mesura el consum màxim possible del bé 1 quan no es gasta gens en el bé 2.

m P 1 P 2 (X , X ) 1 2 P X + 1 1 P X 2 2 m P X + 1 1 P X = 2 2 m X = 2 P 2 m X P 2 P 1 1 P 2 m P 1 m Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 5 EXEMPLE Si un consumidor disposa d'una renda €, i els preus són € i €: Consum màxim del bé 1: unitats. Consum màxim del bé 2: unitats. Equació de balanç: , o bé . COMPROVA-HO 2 Quina diferència geomètrica i econòmica hi ha entre el conjunt pressupostari i la recta pressupostària? El Pendent de la Recta com a Cost d'Oportunitat La derivada o inclinació geomètrica de la recta pressupostària ve donada per . Aquesta ràtio representa el preu relatiu dels dos béns i expressa el cost d'oportunitat del consum en el mercat.

El cost d'oportunitat mesura la quantitat de bé 2 a la qual s'ha de renunciar per consumir una unitat addicional del bé 1: Si s'analitza a la inversa, el cost d'oportunitat de consumir una unitat addicional del bé 2 ve donat per la taxa recíproca, , la qual descriu quantes unitats del bé 1 cal sacrificar per cada unitat de bé 2 obtinguda. Concepte Fórmula analítica Interpretació econòmica Cost d'oportunitat de Unitats de a les quals es renuncia per 1 unitat extra de . Cost d'oportunitat de Unitats de a les quals es renuncia per 1 unitat extra de .

Si prenem com a referència un preu € per a les pomes i un preu € per a les taronges, consumir un quilo addicional de pomes exigeix renunciar a quilos de taronges. Recíprocament, obtenir un quilo extra de taronges comporta prescindir de quilos de pomes. Desplaçaments i Pivotatges de la Restricció Pressupostària La posició i la inclinació de la recta canvien quan es modifiquen els paràmetres de renda o de preus: Variacions en la renda ( ): un increment d'ingressos ( ) produeix un desplaçament paral·lel cap enfora, mentre que una reducció de la renda provoca un desplaçament paral·lel cap endins. Atès que els preus no han variat, el quocient es manté inalterat.

Variacions en els preus ( o ): si el preu d'un sol bé es modifica, l'origen del bé que no canvia roman fix i la recta experimenta un pivotatge o rotació, alterant la seva inclinació. Si disminueix, m = 24 P = 1 2 P = 2 3 = P 1 m = 2 24 12 = P 2 m = 3 24 8 2X + 1 3X = 2 24 X = 2 8 X 3 2 1 P 2 P 1 Cost d'oportunitat de X = 1 P 2 P 1 P 1 P 2 X 1 P 2 P 1 X 2 X 1 X 2 P 1 P 2 X 1 X 2 P = 1 2 P = 2 3 3 2 0,66 = 2 3 1,5 m m > m P 2 P 1 P 1 P 2 P 1 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 6 l'abscissa màxima creix i la recta es torna més plana; si augmenta, la recta es torna més inclinada (més empinada). Esquema de pivotatge per reducció de preu i desplaçament per augment de renda.

ERROR FREQÜENT Confondre un increment generalitzat i proporcional de tots els preus amb un canvi en el cost d'oportunitat. Si tant com es dupliquen mantenint constant, el pendent no varia en absolut: la recta no pivota, sinó que es desplaça en paral·lel cap a l'origen exactament igual que si la renda s'hagués reduït a la meitat. COMPROVA-HO 3 Si el preu del bé 2 s'incrementa mentre la renda i el preu del bé 1 es mantenen fixos, com canvia la geometria de la recta? El Concepte de Bé Numéraire La restricció pressupostària té un grau de redundància numèrica: multiplicar o dividir tots els seus termes per una constant estrictament positiva no altera en absolut el conjunt de cistelles assequibles.

Aquesta propietat permet definir un bé numéraire, que consisteix a fixar arbitràriament el preu d'un bé igual a 1 per utilitzar-lo com a patró de referència. Si es normalitza prenent el bé 2 com a numéraire ( ), es divideix tota l'equació per : D'aquesta manera, el preu del bé 1 i la renda queden expressats directament en termes d'unitats del bé 2. De forma similar, es podria normalitzar la suma de tots dos preus igualant . L'ús del numéraire redueix el nombre de variables a controlar sense perdre cap informació econòmica real.

Intervencions Públiques: Impostos, Subvencions i Racionament Les polítiques governamentals modifiquen els preus efectius que paguen els consumidors o la renda de què disposen, alterant la recta pressupostària: P 1 P 1 P 2 m = 2P 2 2P 1 P 2 P 1 P = 2 1 P 2 X + P 2 P 1 1 X = 2 P 2 m P + 1 P = 2 1 Impost sobre la quantitat ( ): s'aplica una quantitat fixa de diners per cada unitat física adquirida del bé 1. El preu efectiu passa a ser . La despesa passa a ser , provocant un pivotatge cap a l'interior i augmentant la inclinació de la recta.

1 t P + 1 t (P + 1 t)X + 1 P X 2 2 m Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 7 Gràfica d'una restricció pressupostària modificada per un impost sobre la quantitat. Quan s'introdueix un racionament sobre un bé, la quantitat que es pot adquirir queda fitada per un límit administratiu màxim, com ara . Sota aquesta mesura, el conjunt pressupostari deixa de tenir forma triangular clàssica i esdevé un polígon truncat. Encara que el consumidor disposi de liquiditat suficient per comprar unitats addicionals a la dreta de , aquestes combinacions queden prohibides legalment.

COMPROVA-HO 4 Quina diferència produeix sobre el conjunt pressupostari un impost sobre la quantitat respecte a un impost de quota fixa (lump-sum)? Impost sobre el valor o ad valorem ( ): s'expressa com un percentatge sobre el valor de la transacció (per exemple, un tipus impositiu del 10 % o ). El nou preu efectiu és , augmentant el cost per unitat de forma directament proporcional al preu original. 2 τ τ = 0,10 (1 + τ)P 1 Impost de quota fixa (lump-sum): l'administració detrau una suma fixa de diners independentment de la quantitat que es compri. Això redueix la renda disponible a , donant lloc a un desplaçament estrictament paral·lel cap a l'interior sense afectar el pendent.

Les subvencions funcionen de manera anàloga però amb signe contrari. 3 m T X 1 X ˉ1 X ˉ1 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 8 IDEES CLAU La microeconomia analitza com prenen decisions els agents individuals (consumidors i empreses) en situacions de recursos escassos. El conjunt pressupostari comprèn totes les cistelles assequibles que compleixen , mentre que la recta pressupostària en representa el límit superior on s'esgota la totalitat de la renda. El pendent de la recta pressupostària, , reflecteix el cost d'oportunitat o taxa a la qual el mercat permet bescanviar un bé per l'altre.

Un canvi en la renda produeix un desplaçament paral·lel de la recta, mentre que una variació d'un preu individual fa pivotar la recta sobre un dels vèrtexs. El bé numéraire permet simplificar els càlculs assignant arbitràriament un preu unitari a un bé per expressar la resta de magnituds en termes relatius. Els impostos sobre la quantitat i ad valorem canvien el pendent de la recta pressupostària, els impostos de suma fixa la desplacen en paral·lel, i el racionament en trunca la geometria. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5. Com s'expressa el cost d'oportunitat del consum del bé 2 en termes del bé 1 a través dels preus de mercat? 6.

Quin efecte té sobre la recta pressupostària una duplicació simultània dels preus de tots dos béns i de la renda disponible? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 7. Què expressa analíticament el pendent de la recta pressupostària? 8. Quin canvi geomètric provoca un increment de la renda mantenint fixos tots els preus? 9. Què caracteritza la definició d'un bé com a numéraire?

P X + 1 1 P X 2 2 m P 2 P 1 La quantitat màxima produïda pel mercat a) El preu relatiu negatiu dels béns b) El quocient de rendes del consumidor c) El nivell absolut d'utilitat percebuda d) Un pivotatge sobre l'eix vertical a) Una rotació cap a l'origen b) Un desplaçament paral·lel cap enfora c) Un truncament de la recta pressupostària d) Que el seu preu s'iguala a 1 a) Que té un tipus d'IVA nul b) Que és l'únic bé racionat c) Que és el bé més car d) Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 9 10. Com altera la imposició d'un límit màxim de consum (racionament) el conjunt pressupostari?

2 Preferències del Consumidor i Taxa Marginal de Substitució EN ACABAR SABRÀS Identificar i aplicar els axiomes fonamentals de les preferències racionals. Distingir geomètricament les tipologies de corbes d'indiferència segons la naturalesa dels béns. Calcular i interpretar la Taxa Marginal de Substitució (MRS) i verificar el seu comportament decreixent. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 11 És possible que dues corbes d'indiferència d'un mateix individu es creuin en algun punt del mapa de preferències?

A la teoria del consumidor, s'assumeix com a postulat bàsic que els individus trien la millor alternativa factible dins del seu conjunt d'opcions assequibles (determinat per la recta pressupostària, vegeu «Introducció i Restricció Pressupostària»). Per determinar quina opció és la preferida, cal modelitzar formalment les prioritats i gustos de l'individu sobre diferents lots de consum. 1. Axiomes de les preferències Un lot de consum és un vector que conté les quantitats consumides de dos béns ( , ). Una relació de preferència descriu com un consumidor ordena parells de lots alternatius.

S'utilitzen tres notacions bàsiques per classificar dos lots qualsevol, i : Preferència estricta ( i es prefereix un clarament): significa que el lot és estrictament preferit al lot . Indiferència: indica que el consumidor obté la mateixa satisfacció amb tots dos lots. Preferència feble: expressa que és almenys tan bo com ( o bé ).

Perquè un comportament es consideri econòmicament racional, la relació de preferència ha de satisfer certs axiomes fonamentals: Desplaça la recta de forma paral·lela a) Trunca el conjunt formant una figura no triangular b) Duplica l'abscissa a l'origen de la recta c) Fa pivotar la recta sobre l'origen d) (X , X ) 1 2 X > 1 0 X > 2 0 X Y X Y X >Y X Y X Y X Y X Y X >Y X Y Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 10 AXIOMES FONAMENTALS DE LES PREFERÈNCIES Completesa: per a qualsevol parell de lots , es compleix , o totes dues alhora. L'individu sempre pot comparar dues alternatives qualsevol. Reflexivitat: qualsevol lot és almenys tan bo com ell mateix, .

Transitivitat: si i , necessàriament es compleix que . La coherència en les decisions exigeix que no es generin cicles de preferència. Diem que unes preferències són racionals si són completes i transitives. Requerir completesa sobre la preferència feble és més fort que exigir-la sobre la preferència estricta, ja que permet ordenar qualsevol parell de cistelles sense excepció. COMPROVA-HO 12 Què ocorreria si les preferències d'un consumidor no fossin transitives respecte a tres lots X, Y i Z? 2. Corbes d'indiferència i conjunts de preferència Una corba d'indiferència és la representació gràfica que uneix tots els lots de consum davant dels quals el consumidor és completament indiferent.

El mapa de corbes d'indiferència descriu completament els gustos de l'individu sobre el pla de consum. Gràfica del conjunt feblement preferit delimitat per una corba d'indiferència. A partir d'una corba d'indiferència, definim el conjunt feblement preferit respecte a un lot base com la regió de l'espai formada per tots els lots que són com a mínim tan bons com . Gràficament, aquest conjunt comprèn la pròpia corba d'indiferència i l'àrea situada per sobre o a la dreta d'aquesta quan els béns són desitjats.

X, Y A X Y Y X X X X Y Y Z X Z (X , X ) 1 2 (x , x ) 1 2 (x , x ) 1 2 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 11 ERROR FREQÜENT Un error greu en examen és dibuixar corbes d'indiferència de diferents nivells d'utilitat creuant-se entre si. Dues corbes d'indiferència mai no poden tallar-se. Si es creuessin en un punt , un punt de la primera corba i un punt de la segona haurien de ser ambdós indiferents a . Per l'axioma de transitivitat, hauria de ser indiferent a , fet impossible perquè pertanyen a corbes amb nivells de satisfacció clarament diferents. COMPROVA-HO 13 Per què una corba d'indiferència no mostra quins lots són estrictament millors per si sola? 3.

Tipologies de preferències particulars La forma geomètrica de les corbes d'indiferència depèn de la naturalesa dels béns analitzats: Tipus de preferència Descripció del comportament Forma de les corbes Exemple il·lustratiu Béns ordinaris Més de tots dos béns aporta major benestar. Pendent negatiu, convexes cap a l'origen. Fruita seca i baies. Mals econòmics (desutilitats) Una de les mercaderies no agrada (desutilitat); cal compensar amb més quantitat de l'altre bé. Pendent positiu; la utilitat creix en allunyar-se del mal. Llum versus soroll en un pis; contaminació. Béns neutres Al consumidor li és completament indiferent la quantitat consumida d'un dels béns.

Línies paral·leles (horitzontals o verticals). Llum (bé) i soroll irrellevant (neutre). Substituts perfectes Disposat a intercanviar els béns a una taxa constant en qualsevol circumstància. Línies rectes paral·leles amb pendent constant. Bitllets de 5 € i monedes d'1 €; bolígrafs blaus i negres. Complements perfectes Els béns es consumeixen conjuntament en proporcions estrictament fixes. Forma de «L» amb vèrtexs a la proporció fixa. Sabata esquerra i sabata dreta (proporció 1:1). Punt de saciació (bliss point) Existeix una combinació òptima global; allunyar-se'n en qualsevol sentit redueix el benestar. Cercles o el·lipses concèntriques al voltant de l'òptim.

Pastís i gelat en quantitats excessives. X Y Z X Y Z Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 12 Gràfica de corbes d'indiferència horitzontals amb un bé neutre. Quan ens trobem davant de béns neutres com el de la figura anterior, la quantitat consumida de no modifica el nivell de benestar; per això les corbes d'indiferència són línies horitzontals i la utilitat creix exclusivament en augmentar . ESQUEMA Tipologies de corbes d'indiferència COMPROVA-HO 14 Si un consumidor té 1 sabata dreta i 5 esquerres, quantes unitats d'utilitat addicional obté si li regalem 3 sabates esquerres més? 4.

Preferències ben comportades: monotonicitat i convexitat En teoria econòmica es qualifiquen com a ben comportades (well-behaved) aquelles preferències racionals que compleixen dos criteris geomètrics essencials: monotonicitat i convexitat.

x 1 x 2 Preferències particulars Segons la relació subjectiva entre béns Substituts perfectes Pendent constant i rectes paral·leles Complements perfectes Forma de L en proporció fixa Mals econòmics Pendent positiu per compensar desutilitat Béns neutres Línies rectes horitzontals o verticals Punt de saciació Cercles concèntrics al voltant del màxim Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 13 Esquema comparatiu entre preferències no convexes i preferències estrictament còncaves.

Monotonicitat («com més, millor») La propietat de no-saciació estableix que augmentar el consum no redueix mai la satisfacció: Monotonicitat feble: tenir estrictament més de tots dos béns és estrictament millor. Si , aleshores . Els complements perfectes en són un exemple. Monotonicitat estricta: tenir estrictament més d'almenys un dels dos béns és estrictament preferit. Formalment, per a qualsevol es dóna o . Els substituts perfectes i les preferències Cobb-Douglas satisfan aquesta propietat. Com a conseqüència directa de la monotonicitat, desplaçar-se cap amunt i a la dreta augmenta la utilitat, mentre que anar cap avall i a l'esquerra la redueix.

Per mantenir la utilitat constant, qualsevol increment d'un bé exigeix reduir l'altre, per la qual cosa les corbes d'indiferència monòtones tenen pendent negatiu. Convexitat («les mitjanes són preferides als extrems») Diem que unes preferències són convexes si per a dos lots qualssevol , la seva combinació lineal ponderada és feblement millor: Si la combinació mitjana és estrictament preferida ( ), les preferències són estrictament convexes (com les corbes arrodonides Cobb-Douglas). Els substituts perfectes i els complements perfectes són convexos, però no estrictament convexos, atès que el segment que connecta dos punts de la mateixa corba coincideix amb la corba mateixa.

COMPROVA-HO 15 Quina forma gràfica té el conjunt feblement preferit si les preferències són còncaves en comptes de convexes? 5. Taxa Marginal de Substitució (MRS) La Taxa Marginal de Substitució (MRS) mesura la relació a la qual el consumidor està disposat a renunciar a una quantitat del bé 2 per rebre una unitat addicional del bé 1 mantenint exactament el mateix nivell de satisfacció.

Geomètricament, coincideix amb el pendent de la corba d'indiferència en ϵ > 0 (x + 1 ϵ, x + 2 ϵ) >(x , x ) 1 2 ϵ > 0 (x + 1 ϵ, x ) >(x , x ) 2 1 2 (x , x + 1 2 ϵ) >(x , x ) 1 2 (X , X ) 1 2 (Y , Y ) 1 2 [θX + 1 (1 θ)Y , θX + 1 2 (1 θ)Y ] 2 (X , X ) per a qualsevol 0 < 1 2 θ < 1 > Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 14 cada punt: Com que les corbes amb monotonicitat presenten pendent descendent, la MRS és habitualment un valor negatiu ( ).

En les anàlisis de la utilitat (vegeu «Teoria de la Utilitat»), aquesta relació equival al quocient negatiu de les utilitats marginals: Principi de la MRS decreixent Quan les preferències són estrictament convexes, la corba es fa cada vegada més plana a mesura que augmentem el consum de i disminuïm el de . Això implica que la MRS decreix en valor absolut al llarg de la corba. Com més quantitat té un individu d'un bé, menys disposat està a renunciar a unitats del bé escàs per continuar adquirint-ne més. CÀLCUL I CONVEXITAT: EL CAS DE LES BAIES I ELS FRUITS SECS Suposem un consumidor les corbes d'indiferència del qual estan determinades per l'expressió , on són fruits secs i són baies.

COMPROVA-HO 16 Quin valor pren la MRS per a dos béns que són substituts perfectes en proporció un per un? MRS = = dX 1 dX 2 ΔX 1 ΔX 2 MRS < 0 MRS = μ 2 μ 1 X 1 X 2 x = 2 20 4 x 1 x 1 x 2 Obtenir la derivada primera per determinar la MRS com a pendent: 1 = dx 1 dx 2 4 x = 2 1 1 1/2 x 1 2 Avaluar el pendent en dos punts de consum: Al punt : . Al punt : . 2 (1, 16) MRS = = 1 2 2 (9, 8) MRS = = 9 2 3 2 0,67 Comprovar el principi decreixent: En valor absolut, la taxa passa de a . En augmentar els fruits secs de 1 a 9, l'individu està disposat a sacrificar cada cop menys baies per unitat de fruit sec.

3 2 = 2 0,67 = 0,67 Verificar la convexitat mitjançant la derivada segona: Com que la segona derivada és estrictament positiva per a tot , la funció és estrictament convexa. 4 = dx 1 2 d x 2 2 x = 1 3/2 > x 1 3/2 1 0 x > 1 0 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 15 IDEES CLAU Les preferències racionals exigeixen el compliment estricte dels axiomes de completesa i transitivitat. Dues corbes d'indiferència de nivells diferents no poden creuar-se mai a causa de la propietat de transitivitat. La monotonicitat implica que les corbes d'indiferència tenen pendent negatiu («com més, millor»).

La convexitat reflecteix la preferència per cistelles equilibrades o mitjanes per sobre dels extrems de consum. La Taxa Marginal de Substitució (MRS) és el pendent local de la corba d'indiferència i és igual a . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 17. Quina condició formal impedeix que dues corbes d'indiferència distintes es tallin? 18. Què expressa econòmicament una Taxa Marginal de Substitució decreixent en valor absolut? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 19. Quin axioma garanteix que un consumidor sempre pugui comparar dues cistelles qualsevol? 20. Com són les corbes d'indiferència en el cas de dos béns substituts perfectes? 21.

Si les preferències són estrictament monòtones, quina trajectòria augmenta sempre el benestar? 22. Com es defineix formalment la Taxa Marginal de Substitució (MRS)?

μ /μ 1 2 Reflexivitat a) Convexitat b) Transitivitat c) Completesa d) Línies rectes paral·leles a) Corbes amb pendent positiu b) Cercles concèntrics c) En forma d'àngul recte d) Cap avall i a l'esquerra a) Només horitzontalment a l'esquerra b) Cap amunt i a la dreta c) Sobre la mateixa corba d) Pendent de la corba d'indiferència a) Ràtio entre rendes totals b) Inversa dels preus de mercat c) Pendent de la recta pressupostària d) Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 16 3 Teoria de la Utilitat EN ACABAR SABRÀS Distingir el caràcter ordinal de la utilitat enfront de la perspectiva cardinal.

Comprovar si una funció és una transformació monòtona positiva i verificar que conserva la MRS. Identificar les principals funcions d'utilitat (Cobb-Douglas, substituts, complements i quasi- lineal). Calcular les utilitats marginals i obtenir analíticament la Taxa Marginal de Substitució. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 23 Si una persona diu que consumir dues cullerades de sucre li dona 20 d'utilitat i una sola li'n dona 10, vol dir realment que n'està el doble de satisfeta? 1. La Funció d'Utilitat i la seva Naturalesa Ordinal Una funció d'utilitat és una eina matemàtica que assigna un valor real a cada cistella de consum possible.

Aquesta assignació segueix una regla clara: les cistelles més preferides reben números més alts que les menys preferides, mentre que les cistelles indiferents reben exactament el mateix valor. D'aquesta manera, representem formalment la relació de preferència (vegeu «Preferències del Consumidor i Taxa Marginal de Substitució»): És fonamental distingir entre dues interpretacions conceptuals del concepte d'utilitat: Concepte Significat Propietat Clau Exemple Intuïtiu Utilitat ordinal Només reflecteix l'ordenació de les opcions de consum. La magnitud numèrica i la distància exacta entre valors no tenen significat econòmic. Posicions finals en una cursa o qualificacions escolars.

Utilitat cardinal El valor quantitatiu exacte expressa una intensitat mesurable. Té sentit afirmar que un valor és el doble o el triple d'un altre. L'alçada corporal mesurada en centímetres o el pes. En la teoria microeconòmica moderna s'utilitza exclusivament la utilitat ordinal. Per tant, si una cistella aporta un valor i una altra , no podem concloure que satisfà el doble que , sinó únicament que és estrictament preferida a . X Y u(X) > u(Y ) X Y u(X) = u(Y ) X Y u(X) u(Y ) u(X) = 40 u(Y ) = 20 X Y X Y Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 17 Una corba d'indiferència agrupa totes les combinacions de béns que proporcionen el mateix nivell numèric d'utilitat constant.

La col·lecció completa de corbes d'indiferència per a cada índex d'utilitat constitueix el mapa d'indiferència. Gràfica de corbes d'indiferència i superfície d'utilitat assignant valors ordinals COMPROVA-HO 24 Si una funció d'utilitat assigna 100 a la cistella A i 50 a la cistella B, té sentit afirmar que A proporciona el doble de satisfacció que B? 2. Transformacions Monòtones Positives Una funció és una transformació monòtona positiva si compleix que, per a qualsevol parell de valors, sempre que es manté que . Això equival analíticament a demanar que la primera derivada sigui estrictament positiva a tot arreu: .

Com que la utilitat és ordinal, qualsevol transformació monòtona positiva preserva l'ordre de preferències i, per tant, genera un mapa de corbes d'indiferència idèntic en el pla de consum. Entre les operacions habituals que compleixen aquest criteri s'inclouen: Sumar una constant positiva o multiplicar per un escalar positiu: , ja que . Calcular l'arrel quadrada per a utilitats positives: , amb . Elevar al quadrat per a valors positius: (amb ), ja que . Aplicar el logaritme neperià: (per a ), atès que . Aplicar l'exponencial: , on . En canvi, una transformació com o inverteix l'ordre ( ) i, per tant, no és admissible perquè alteraria completament el comportament predit.

PER RECORDAR-HO Les transformacions monòtones positives canvien l'etiqueta numèrica de cada corba d'indiferència, però mai la seva posició geomètrica ni la seva pendent. f u(X) > u(Y ) f(u(X)) > f(u(Y )) f (u) > 0 f(u) = 3u + 1 f (u) = 3 > 0 f(u) = u f (u) = > 2 u 1 0 f(u) = u2 u > 0 f (u) = 2u > 0 f(u) = ln(u) u > 0 f (u) = > u 1 0 f(u) = eu f (u) = e > u 0 f(u) = 3 u f(u) = u f (u) < 0 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 18 3. Estructures Funcionals Típiques Segons la relació de substitució entre béns, s'utilitzen diverses famílies funcionals estàndard: ESQUEMA Famílies de Funcions d'Utilitat Funció Cobb-Douglas Té l'estructura general amb .

Descriu preferències amb monotonicitat estricta i convexitat estricta (vegeu «Preferències del Consumidor i Taxa Marginal de Substitució»). Si apliquem la transformació monòtona , obtenim la forma normalitzada , on (amb ). Totes dues funcions representen exactament les mateixes preferències subjacents. Substituts Perfectes (Funció Lineal) Representada per , amb coeficients positius . Les corbes d'indiferència són rectes paral·leles amb pendent constant. És el cas típic en què l'individu intercanvia els béns a una taxa fixa sense importar la quantitat acumulada (per exemple, marques equivalents com Font Vella i Font d'Or en proporció 1 a 1, on ).

Cobb-Douglas x ᵃ x ᵇ, estrictament convexes i monòtones Substituts Perfectes a x + b x , corbes d'indiferència lineals Complements Perfectes min{a x , b x }, corbes en forma de L Quasi-lineal v(x ) + x , desplaçaments verticals paral·lels u(x , x ) = 1 2 x x 1 a 2 b a, b > 0 f(u) = u a+b 1 v(x , x ) = 1 2 x x 1 α 2 1 α α = a+b a 0 < α < 1 u(x , x ) = 1 2 ax + 1 bx 2 a, b > 0 u(x , x ) = 1 2 x + 1 x 2 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 19 Gràfica de corbes d'indiferència lineals per a béns substituts perfectes Complements Perfectes (Funció Leontief) Es modelitza mitjançant , amb . Les corbes d'indiferència tenen forma de lletra «L» amb un vèrtex en la proporció fixa .

Disposar de més unitats d'un sol bé sense augmentar l'altre no aporta cap utilitat addicional (per exemple, preparar gintònics combinant 1 tassa de ginebra amb 2 de tònica requereix ). Gràfica de corbes d'indiferència en forma d'angle per a complements perfectes Preferències Quasi-lineals Tenen l'estructura analítica , on és una funció estrictament creixent. Les corbes d'indiferència són desplaçaments verticals exactament paral·lels de la corba base al llarg de l'eix del bé 2. Com a conseqüència d'aquesta geometria, la pendent de la corba en qualsevol punt depèn exclusivament del consum del bé 1 ( ) i és del tot independent del bé 2 ( ).

COMPROVA-HO 25 Quina propietat geomètrica singular tenen les corbes d'indiferència de les preferències quasi- lineals u(x , x ) = v(x ) + x ? u(x , x ) = 1 2 min{ax , bx } 1 2 a, b > 0 ax = 1 bx 2 u(x , x ) = 1 2 min{x , x } 1 2 1 2 u(x , x ) = 1 2 v(x ) + 1 x 2 v(x ) 1 x 1 x 2 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 20 4. Utilitat Marginal i la Taxa Marginal de Substitució La utilitat marginal ( ) és la variació de la utilitat total que experimenta l'individu en consumir una unitat addicional del bé , mantenint constant el consum de tots els altres béns.

Es calcula formalment mitjançant la derivada parcial de la funció d'utilitat: Per determinar com es relacionen les utilitats marginals amb la Taxa Marginal de Substitució (MRS) al llarg d'una corba d'indiferència, plantegem la diferencial total de la funció d'utilitat: Atès que en una corba d'indiferència el nivell d'utilitat es manté invariant ( ): La taxa expressa quantes unitats del bé 2 està disposat a cedir el consumidor per aconseguir una unitat suplementària del bé 1 sense alterar el seu benestar global. EXEMPLE Considerem la funció d'utilitat .

Les utilitats marginals respectives són: La Taxa Marginal de Substitució val: Avaluem dues cistelles situades sobre la mateixa corba d'indiferència ( ): A la cistella : i , de manera que (l'individu renunciaria a 4 unitats del bé 2 per 1 unitat del bé 1). A la cistella : i , resultant . ERROR FREQÜENT Confondre el canvi en el valor de la utilitat marginal amb un canvi en la Taxa Marginal de Substitució. En aplicar una transformació monòtona positiva , la utilitat marginal de cada bé canvia per la regla de la cadena: . Tanmateix, la ràtio roman completament inalterada.

MU i i MU = 1 , MU = x 1 u(x , x ) 1 2 2 x 2 u(x , x ) 1 2 du = dx + x 1 u 1 dx = x 2 u 2 MU dx + 1 1 MU dx 2 2 du = 0 Plantegem la igualtat: . 1 0 = MU dx + 1 1 MU dx 2 2 Aïllem el diferencial del bé 2: .

2 MU dx = 2 2 MU dx 1 1 Calculem la pendent de la corba d'indiferència, que defineix la MRS: 3 MRS = = dx 1 dx 2 u=ct MU 2 MU 1 u(x , x ) = 1 2 2 + x 1 x 2 MU = 1 , MU = x 1 1 2 2 x 2 1 MRS = = MU 2 MU 1 = 2 x 2 1 x 1 1 x 1 2 x 2 u = 8 (4, 16) MU (4, 16) = 1 0,5 MU (4, 16) = 2 0,125 MRS = = 0,125 0,5 4 (9, 4) MU (9, 4) 1 0,33 MU (9, 4) = 2 0,25 MRS = = 0,25 0,33 1,33 v = f(u) MU = i v f (u) MU i u MRS = = f (u) M U 2 f (u) M U 1 M U 2 M U 1 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 21 COMPROVA-HO 26 Si transformem u(x , x ) aplicant el cub v = (u(x , x ))³, com varia la Taxa Marginal de Substitució?

IDEES CLAU La utilitat és estrictament ordinal: només reflecteix la jerarquia de preferències i la seva magnitud numèrica no té valor cardinal. Dues corbes d'indiferència de nivell diferent mai es poden tallar a causa de la transitivitat de les preferències. Una transformació monòtona positiva preserva intacte l'ordre de les preferències, el mapa de corbes d'indiferència i la Taxa Marginal de Substitució. La Taxa Marginal de Substitució equival al quocient negatiu de les utilitats marginals: . En les preferències quasi-lineals , la pendent de la corba d'indiferència només depèn de la quantitat consumida del bé 1. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 27.

Com deduïm analíticament que la Taxa Marginal de Substitució és igual a ? 28. Per què elevar al quadrat una funció d'utilitat amb valors estrictament positius no modifica la decisió òptima del consumidor? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 29. Quin és el significat primordial d'una funció d'utilitat ordinal? 30. Quina d'aquestes funcions NO constitueix una transformació monòtona positiva d'una utilitat u > 0?

MRS = M U 2 M U 1 u(x , x ) = 1 2 v(x ) + 1 x 2 M U 2 M U 1 Ordena cistelles sense donar sentit a la magnitud a) Expressa la quantitat monetària que hom pagaria b) Mesura la felicitat absoluta que sent el consumidor c) Exigeix que la utilitat marginal sigui constant d) f(u) = a) eu f(u) = 1 / u b) f(u) = ln(u) c) f(u) = u² d) Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 22 31. Com són geomètricament les corbes d'indiferència d'una funció quasi-lineal u(x , x ) = v(x ) + x ? 32. Què ocorre amb la Taxa Marginal de Substitució si apliquem la transformació monòtona positiva f(u)?

4 Elecció Òptima del Consumidor EN ACABAR SABRÀS Formular el problema de maximització de la utilitat subjecte a la restricció pressupostària. Calcular la cistella d'elecció òptima aplicant la condició de tangència, el mètode de Lagrange i la substitució. Deduir les funcions de demanda ordinària per a una funció d'utilitat de tipus Cobb-Douglas. Identificar les situacions on no és aplicable la condició de tangència estàndard. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 33 Per què un consumidor mai triarà una cistella on la seva valoració subjectiva d'un bé sigui diferent del seu preu relatiu al mercat?

L'objectiu fonamental de l'anàlisi del consumidor consisteix a determinar quina combinació de béns triarà un individu quan s'enfronta a uns recursos monetaris limitats i a uns preus de mercat donats. Aquesta elecció concilia el que l'agent desitja fer amb allò que realment pot pagar. El problema d'optimització del consumidor El consumidor pretén escollir la cistella de consum que assoleix el nivell més elevat possible de benestar o utilitat, tenint en compte que la despesa no pot superar la seva renda disponible .

Formalment, el problema es formula com: Circumferències concèntriques al voltant de l'origen a) Rectes paral·leles amb pendent negativa constant b) Línies rectes en angle recte en forma de L c) Desplaçaments verticals paral·lels que depenen de x d) Passa a ser sempre igual a menys u a) Es redueix de manera estrictament decreixent b) Roman idèntica a l'original sense cap canvi c) Queda multiplicada pel valor derivat f'(u) d) (x , x ) 1 2 m u(x , x ) s.t. p x + x ,x 1 2 max 1 2 1 1 p x 2 2 m Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 23 Gràficament, la cistella escollida representa el punt més preferit dins del conjunt assequible (vegeu «Introducció i Restricció Pressupostària»).

Sota la hipòtesi de preferències ben comportades, que presenten monotonicitat i convexitat (vegeu «Preferències del Consumidor i Taxa Marginal de Substitució»), l'òptim compleix dues propietats essencials: Exhauriment del pressupost: la cistella es troba sobre la recta pressupostària, de manera que . Criteri de no tall: la corba d'indiferència més alta que toca la recta pressupostària no pot travessar-la cap a l'interior del conjunt pressupostari. Gràfica de la cistella òptima sobre la recta pressupostària. Quan una cistella d'elecció conté quantitats estrictament positives d'ambdós béns ( i ), parlem d'una solució interior.

En aquests casos, la corba d'indiferència i la recta pressupostària són mútuament tangents. DEFINICIÓ L'elecció òptima és la cistella de consum assequible situada sobre la corba d'indiferència que assoleix el nivell màxim d'utilitat possible per a una renda i uns preus concrets. COMPROVA-HO 34 Què ocorreria si en el punt d'elecció la corba d'indiferència tallés la recta pressupostària en lloc de ser-hi tangent? La condició de tangència per a solucions interiors La intuïció econòmica de la tangència exigeix que la valoració subjectiva que fa el consumidor entre dos béns coincideixi exactament amb la valoració objectiva establerta pel mercat.

El pendent de la corba d'indiferència ve determinat per la Taxa Marginal de Substitució (MRS), mentre que el pendent de la recta pressupostària és el preu relatiu negatiu: p x + 1 1 p x = 2 2 m x > 1 0 x > 2 0 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 24 Aquesta expressió es pot reordenar comparant la utilitat marginal per unitat monetària gastada en cada bé: . Si tots els consumidors d'una economia comparteixen els mateixos preus de mercat, tothom igualarà la seva taxa marginal de substitució a la mateixa ràtio de preus, disposant-se a intercanviar els béns amb la mateixa taxa al marge.

PROCÉS Passos per trobar l'òptim per tangència ERROR FREQÜENT Oblidar el signe negatiu de la fórmula o comparar directament les utilitats marginals sense ponderar pels preus. La igualtat clau d'una solució interior és sempre o bé .

Mètodes de resolució de l'òptim interior Per determinar analíticament la solució interior quan les preferències són regulars i diferenciables, disposem de tres metodologies equivalents: MRS = = μ 2 μ 1 p 2 p 1 = p 1 μ 1 p 2 μ 2 Utilitats marginals Calcular les derivades parcials MU1 i MU2 1 Taxa marginal Formular el quocient MRS = -MU1 / MU2 2 Igualació de pendents Plantejar la tangència MRS = -p1 / p2 3 Substitució al pressupost Aïllar una variable i aplicar p1 x1 + p2 x2 = m 4 Cistella òptima Determinar les quantitats demandades finals 5 MRS = p /p 1 2 = μ 2 μ 1 p 2 p 1 Condició de tangència directa: s'iguala la ràtio d'utilitats marginals al quocient de preus ( ) per aïllar una variable en funció de l'altra, i se substitueix a la recta pressupostària .

1 = μ 2 μ 1 p 2 p 1 p x + 1 1 p x = 2 2 m Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 25 COMPROVA-HO 35 Quina relació guarda el multiplicador de Lagrange amb la utilitat marginal de cada bé? Resolució analítica per a preferències Cobb-Douglas Considerem una funció d'utilitat de tipus Cobb-Douglas (vegeu «Teoria de la Utilitat») de la forma general amb paràmetres positius i .

Les utilitats marginals respectives són: Calculem la taxa marginal de substitució dividint les dues expressions: Igualant el pendent de la corba d'indiferència al pendent de la recta pressupostària: Substituint aquesta relació dins de la restricció pressupostària : D'aquí s'obtenen les demandes òptimes característiques d'aquesta estructura de preferències: Mètode dels multiplicadors de Lagrange: es defineix la funció lagrangiana incorporant la restricció pressupostària mitjançant el multiplicador : Les condicions de primer ordre (CPO) s'obtenen igualant a zero cadascuna de les derivades parcials: Dividint l'equació (1) per la (2) s'elimina i es recupera immediatament la condició de tangència.

2 λ L(x , x , λ) = 1 2 u(x , x ) 1 2 λ(p x + 1 1 p x 2 2 m) = x 1 L μ 1 λp = 1 0 (1) = x 2 L μ 2 λp = 2 0 (2) = λ L m p x 1 1 p x = 2 2 0 (3) λ Mètode de substitució: s'aïlla directament una variable de la restricció pressupostària, per exemple , i s'introdueix dins de la funció d'utilitat, transformant el problema en una maximització sense restriccions d'una sola variable: .

3 x = 2 p 2 m x p 2 p 1 1 max u x , x x 1 ( 1 p 2 m p 2 p 1 1) u(x , x ) = 1 2 x x 1 a 2 b a > 0 b > 0 μ = 1 = x 1 u ax x , μ = 1 a 1 2 b 2 = x 2 u bx x 1 a 2 b 1 MRS = = μ 2 μ 1 = bx x 1 a 2 b 1 ax x 1 a 1 2 b bx 1 ax 2 = bx1 ax2 p 2 p 1 x = 2 x ap2 bp1 1 p x + 1 1 p x = 2 2 m p x + 1 1 p x = 2 ( ap 2 bp 1 1 ) m p x 1 + = 1 1 ( a b ) m p x = 1 1 ( a a + b ) m x = 1 , x = a + b a p 1 m 2 a + b b p 2 m Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 26 Gràfica de l'elecció òptima per a preferències Cobb-Douglas. EXEMPLE Suposem que un consumidor té la funció d'utilitat , disposa d'una renda i els preus són i . Formem el lagrangià: .

Les condicions de primer ordre resulten: Dividint ambdues relacions: Introduint aquest resultat a la restricció : Finalment, substituint a l'expressió de obtenim . La cistella d'elecció òptima és . COMPROVA-HO 36 Quina fracció de la seva renda dedica un consumidor amb utilitat a la despesa en el bé 1?

u(x , x ) = 1 2 x x 1 2 2 3 m = 10 p = 1 1 p = 2 2 L = x x + 1 2 2 3 λ(10 x 1 2x ) 2 = x 1 L 2x x 1 2 3 λ = 0 2x x = 1 2 3 λ = x 2 L 3x x 1 2 2 2 2λ = 0 3x x = 1 2 2 2 2λ = 3x x 1 2 2 2 2x x 1 2 3 2 1 = 3x 1 2x 2 2 1 x = 1 x 3 4 2 x + 1 2x = 2 10 x + 3 4 2 2x = 2 10 x = 3 10 2 10 x = 2 3 x 1 x = 1 (3) = 3 4 4 (4, 3) u = x x 1 a 2 b Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 27 Excepcions a la condició de tangència La regla de tangència constitueix una condició necessària per a l'òptim únicament sota determinades premisses matemàtiques.

Existeixen escenaris en què no és aplicable o no garanteix el màxim: Tipus de preferència Geometria de les corbes Comportament de l'òptim Substituts perfectes Línies rectes amb pendent constant Habitualment sorgeix una solució de cantonada en un eix, consumint només un bé. Complements perfectes Corbes en forma d'angle recte («L») Òptim situat al vèrtex, on la utilitat no és diferenciable (no hi ha pendent únic). Preferències còncaves Corbes que s'allunyen de l'origen El punt de tangència és un mínim local d'utilitat; l'òptim real és a la cantonada. Preferències no convexes Pendents no monòtons o ondulats Poden existir múltiples punts de tangència locals sense correspondre al màxim global.

Quan apareixen solucions de cantonada, el consumidor gasta tot el pressupost en un únic bé ( i , o a l'inrevés), atès que el preu relatiu no coincideix amb la disposició a intercanviar els béns en cap punt interior. ESQUEMA Tipologies d'òptim segons les preferències COMPROVA-HO 37 Per què la condició falla en el cas de complements perfectes?

x = 1 m/p 1 x = 2 0 Solucions interiors Condició de tangència aplicable Cobb-Douglas Consum positiu de tots dos béns Excepcions a la tangència Mètodes analítics alternatius Substituts perfectes Solucions de cantonada Complements perfectes Punt angulós al vèrtex Preferències còncaves Òptim a l'extrem per no convexitat MRS = p /p 1 2 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 28 IDEES CLAU L'elecció òptima identifica la cistella que assoleix la corba d'indiferència més alta dins del conjunt pressupostari. Per a solucions interiors amb preferències regulars, la condició d'òptim requereix la tangència: .

En l'òptim interior, la utilitat marginal generada per l'últim euro gastat s'iguala entre tots els béns adquirits. En funcions de tipus Cobb-Douglas , el consumidor assigna fraccions fixes de la seva renda a cada bé. La condició de tangència no s'aplica en presència de solucions de cantonada (com en substituts perfectes) o vèrtexs angulosos (com en complements perfectes). COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 38. Com s'expressa la condició d'òptim interior en termes d'utilitats marginals i preus? 39. Quina és la fórmula de la quantitat òptima demandada del bé 1 per a ? 40. En quines circumstàncies una solució òptima no compleix la regla estàndard de tangència? Test Encercla la resposta correcta.

Les solucions són al final. 41. Què expressa la condició de tangència en una solució interior? 42. Com és la despesa en el bé 1 per a una utilitat Cobb-Douglas u = * ? 43. Quin tipus de solució presenten típicament els substituts perfectes? 44. Per què no s'aplica tangència en complements perfectes?

MRS = p /p 1 2 u(x , x ) = 1 2 x x 1 a 2 b u(x , x ) = 1 2 x x 1 a 2 b Que la despesa supera la renda a) Igualtat d'utilitats totals entre béns b) Consum exclusiu del bé barat c) Igualtat entre MRS i preu relatiu d) x1a x2b Depèn del preu del bé 2 a) Augmenta amb el preu del bé 1 b) És sempre igual a zero c) És una proporció fixa de la renda d) Cap solució assequible dins del pressupost a) Sempre una solució interior tangent b) Una solució de cantonada c) Un òptim en el vèrtex angulós d) Perquè les corbes no tenen derivada al vèrtex a) Perquè les utilitats marginals són infinites b) Perquè no es gasta la renda c) Perquè la restricció pressupostària és corba d) Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 29 5 La Demanda del Consumidor i Estàtica Comparativa EN ACABAR SABRÀS Deduir les funcions de demanda ordinària i inversa a partir de l'elecció òptima.

Construir i interpretar la corba d'oferta de renda i la corba d'Engel per classificar béns normals i inferiors. Distingir geomètricament i conceptualment entre un bé ordinari i un bé de Giffen. Identificar relacions de substitució i complementarietat bruta mitjançant estàtica comparativa de preus creuats. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 45 És possible que un augment del preu d'un aliment bàsic en provoqui un consum superior en lloc de reduir-lo? L'anàlisi del comportament del consumidor culmina amb la caracterització de les seves decisions davant alteracions de l'entorn econòmic.

Després d'estudiar com s'assoleix l'elecció òptima (vegeu «Elecció Òptima del Consumidor»), ara formalitzem com les quantitats escollides varien quan canvien els preus i la renda disponible. Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 30 ESQUEMA Estructura de la Teoria de la Demanda i Estàtica Comparativa De l'elecció òptima a les funcions de demanda La funció de demanda ordinària o marshalliana assigna a cada vector de preus i nivell de renda la cistella òptima que maximitza la utilitat del consumidor subjecta a la restricció pressupostària (vegeu «Introducció i Restricció Pressupostària»).

Per a dos béns, s'expressa algebraicament com: Quan treballem amb preferències regulars i convexitat estricta (vegeu «Preferències del Consumidor i Taxa Marginal de Substitució»), l'òptim interior compleix la condició de tangència bàsica, on la taxa marginal de substitució s'iguala al quocient de preus: Per contra, quan aïllem el preu com a variable dependent en funció de la quantitat demandada, obtenim la funció de demanda inversa, expressada com (mantenint constants i ). Des del punt de vista econòmic, l'alçada de la corba de demanda inversa reflecteix la disposició marginal a pagar del consumidor per una unitat addicional del bé.

Demanda del Consumidor Funcions ordinàries i inverses Canvis en la Renda Oferta de renda i corba d'Engel Béns Normals Consum creixent amb la renda Béns Inferiors Consum decreixent amb la renda Canvis en el Preu Propi Corba preu-consum i demanda ordinària Béns Ordinaris Pendent negatiu respecte al preu Béns de Giffen Pendent positiu respecte al preu Canvis en Preus Creuats Relacions d'interdependència Substituts Bruts Derivada creuada positiva Complements Bruts Derivada creuada negativa x = 1 x (p , p , m), x = 1 1 2 2 x (p , p , m) 2 1 2 MRS = p 2 p 1 = μ 2 μ 1 p2 p1 p = 1 P (x ) 1 1 p 2 m Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 31 EXEMPLE Considerem una funció d'utilitat de tipus Cobb-Douglas .

La resolució mitjançant multiplicadors de Lagrange porta a una despesa constant en cada bé proporcional al seu exponent: Aïllant el preu per trobar la demanda inversa: En el cas de complements perfectes amb utilitat , no podem utilitzar la condició de tangència estàndard degut al vèrtex de la corba d'indiferència. L'òptim exigeix complir la proporció fixa juntament amb la recta pressupostària, fet que genera la demanda: COMPROVA-HO 46 Què mesura econòmicament l'alçada de la corba de demanda inversa per a un nivell determinat de consum?

Estàtica comparativa respecte a la renda L'estàtica comparativa contrasta dos estats d'equilibri diferents (abans i després de la modificació d'una variable exògena), sense analitzar el procés de transició temporal. En avaluar desplaçaments paral·lels de la restricció pressupostària provocats per increments de la renda ( ) mantenint els preus fixos, obtenim dues eines gràfiques fonamentals: La corba d'oferta de renda (o senda d'expansió de la renda): uneix les cistelles òptimes successives en l'espai de béns . La corba d'Engel: relaciona directament la quantitat consumida d'un bé respecte al nivell de renda en el pla .

u(x , x ) = 1 2 x x 1 a 2 b x (p , p , m) = 1 1 2 a + b a p 1 m p 1 p (x ) = 1 1 a + b a x 1 m u(x , x ) = 1 2 min{αx , βx } 1 2 αx = 1 βx 2 x = 1 , x = βp + αp 1 2 βm 2 βp + αp 1 2 αm m < m < m (x , x ) 1 2 (x , m) 1 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 32 Gràfica de la corba d'oferta de renda per a dos béns normals. La resposta de la quantitat consumida davant augments de la renda determina la classificació fonamental dels béns: Tipologia de bé Derivada respecte a la renda Pendent de la corba d'Engel Descripció del comportament Bé normal Positiu Un augment de la capacitat adquisitiva estimula una quantitat més gran de consum.

Bé de primera necessitat Positiu La demanda augmenta menys que proporcionalment respecte a la renda. Bé de luxe Positiu La demanda creix més que proporcionalment en comparació amb l'increment de la renda. Bé inferior Negatiu El bé s'abandona a favor d'alternatives millors quan creix la capacitat de despesa. Els béns inferiors responen a la lògica d'articles de baixa qualitat o preu reduït que s'adquireixen principalment per restricció econòmica. A mesura que la renda creix, el consumidor els substitueix progressivament per productes de categoria superior.

DEFINICIÓ Unes preferències són homotètiques si satisfeixen que, per a qualsevol escalar , la relació de preferència es preserva sota canvis d'escala: . Això implica que la taxa marginal de substitució és estrictament constant al llarg de qualsevol raig lineal que parteixi de l'origen, fent que la corba d'oferta de renda i la corba d'Engel siguin rectes.

> m x 1 0 0 < < m x 1 1 > m x 1 1 < m x 1 0 k > 0 (x , x ) 1 2 (y , y ) 1 2 (kx , kx ) 1 2 (ky , ky ) 1 2 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 33 Les preferències quasi-lineals, per contra, no són homotètiques: quan varia la renda, tot l'ajust de quantitat recau sobre el bé lineal i la demanda de l'altre bé roman invariable un cop superat el llindar de consum mínim. COMPROVA-HO 47 Quin aspecte té la corba d'Engel d'un bé si les preferències del consumidor són de tipus Cobb-Douglas?

Estàtica comparativa respecte al preu propi i preu creuat Quan analitzem com reacciona la decisió de consum davant la modificació aïllada del preu propi (mantenint immòbils i ), la recta pressupostària pivota sobre l'origen vertical de l'eix . La unió de totes les combinacions escollides configura la corba de preu-consum (o corba d'oferta de preu). Gràfica de derivació de la demanda inversa des de la corba preu-consum. Proprojectant aquests punts al pla es traça la corba de demanda ordinària. El pendent d'aquesta corba ens permet diferenciar dues categories: Bé ordinari: la seva relació és inversa, complint que si el preu augmenta, la quantitat demandada disminueix ( ).

Bé de Giffen: presenta una relació directa inusual en què un increment de preu fa augmentar la quantitat demandada ( ), generant un tram de demanda ordinària amb pendent positiu. Quan considerem substituts perfectes amb utilitat , la corba de demanda presenta comportaments extrems segons el preu relatiu: p 1 p 2 m x 2 (x , p ) 1 1 < p 1 x 1 0 > p 1 x 1 0 u(x , x ) = 1 2 x + 1 x 2 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 34 Gràfica d'òptim de cantonada i demanda per a substituts perfectes.

Finalment, l'estàtica comparativa davant variacions en el preu de l'altre bé ( ) defineix les interdependències creuades de mercat: Substituts bruts: si l'encariment del segon producte ( ) indueix un creixement en la demanda del primer producte ( ). Complements bruts: si un increment en contrau la quantitat demandada de ( ). ERROR FREQÜENT Confondre un bé inferior amb un bé de Giffen és una fallada clàssica d'examen. Un bé inferior es defineix exclusivament per la seva relació amb la renda ( ). En canvi, el caràcter de Giffen avalua la resposta davant el seu preu propi ( ).

Tot bé de Giffen és obligatòriament un bé inferior, però no tot bé inferior arriba a ser de Giffen: cal que l'efecte renda negatiu superi amb escreix l'efecte substitució. COMPROVA-HO 48 Què passa amb la demanda d'un bé si el preu de l'altre augmenta i tots dos són complements bruts? p 2 Δp > 2 0 > p 2 x 1 0 p 2 x 1 < p 2 x 1 0 < m x 1 0 > p 1 x 1 0 Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 35 IDEES CLAU Les funcions de demanda ordinària determinen les cistelles òptimes en funció dels preus dels béns i de la renda: . La corba d'oferta de renda uneix les cistelles òptimes en l'espai de consum, mentre que la corba d'Engel trasllada aquesta relació al pla .

Un bé és normal quan la seva derivada respecte a la renda és positiva, i inferior quan és negativa. Les preferències homotètiques garanteixen que la taxa marginal de substitució sigui constant sobre rajos des de l'origen, generant corbes d'Engel lineals. Un bé ordinari redueix la seva demanda en apujar-se el preu propi, mentre que en un bé de Giffen la demanda augmenta a causa d'un efecte renda pervers i dominant. Dos béns són substituts bruts si la derivada creuada és positiva, i complements bruts si aquesta derivada és negativa. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 49. Com es distingeix conceptualment la corba d'oferta de renda de la corba d'Engel? 50.

Per què tot bé de Giffen és necessàriament inferior, però no tot bé inferior és de Giffen? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 51. Quina condició formal defineix un bé com a inferior? 52. Com és la corba d'Engel per a preferències homotètiques? 53. Què distingeix un bé de Giffen d'un bé ordinari?

x (p , p , m) i 1 2 (x , m) i Pendent de la demanda ordinària estrictament positiu a) Derivada de la demanda respecte a la renda negativa b) Derivada creuada respecte a l'altre preu negativa c) Derivada de la demanda respecte al preu positiva d) Una línia completament horitzontal a) Una línia recta que parteix de l'origen b) Una corba asimptòtica als eixos c) Una paràbola amb concavitat cap avall d) Té una elasticitat renda estrictament nul·la a) El seu consum augmenta quan el seu preu puja b) Es consumeix en proporció fixa amb un altre c) No compleix la condició de no sacietat d) Introducció a la Microeconomia: Consum, Costos i Mercats 36 54.

Si la derivada de x respecte a p és negativa, com es classifiquen els béns? 6 Preferències Revelades EN ACABAR SABRÀS Distingir les preferències directament revelades de les preferències indirectament revelades segons la despesa. Avaluar el compliment o la violació del WARP mitjançant taules d'observacions de preus i consums. Explicar per què el SARP constitueix la condició necessària i suficient per a la consistència del consumidor racional. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 55 Com podem demostrar els gustos reals d'una persona si mai tenim accés directe a la seva ment ni a la seva funció d'utilitat?

Del model teòric a les dades observables Fins ara s'assumia que les preferències eren conegudes per deduir la conducta de consum. L'enfocament de les preferències revelades fa exactament el camí invers: analitza les decisions de compra observades al mercat per inferir quines són les preferències reals del consumidor. Això permet comprovar si el comportament empíric és compatible amb la hipòtesi de maximització de la utilitat i reconstruir les preferències subjacents. Aquest mètode té dues aplicacions principals: Polítiques públiques: avaluar la idoneïtat de finançar infraestructures com ponts, aplicar normatives ambientals o establir subsidis a béns essencials com les mosquiteres.

Màrqueting i gestió empresarial: fixar preus o…