Examen de Fundamentos de Matemáticas UPC 2017 · Juny

Problema 1 (1 punt). Arrels d'un nombre complex

Tenint en compte la disposició geomètrica de les arrels del nombre complex $z$ mostrada a la figura, i sabent que una d'aquestes és $w_0 = 2j$, determineu el valor del nombre $z$ així com el de la resta de les seves arrels.

Demostreu mitjançant el principi d'inducció matemàtica la següent igualtat per a tot $n \geq 1$:

$$3 + 7 + 11 + \cdots + (4n - 1) = n(2n + 1)$$

a)

b)

Calculeu el límit següent per a valors $a \geq b > 0$:

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n}$$

a)

b)

Demostreu que la funció polinòmica $f(x) = x^7 + 5x^3 + x - 6$ té exactament una arrel real i determineu un interval que contingui dita arrel.

$[$

,

$]$

Problema 5 (2,5 punts). Optimització d'àrea del terreny

Un terreny té una forma formada per un rectangle central de longitud $y$ i amplada $2x$, rematat als seus dos extrems per dos semicercles de radi $x$. Si es vol encerclar completament amb una tanca de 50 metres de longitud total, calculeu les dimensions del terreny que en maximitzen l'àrea. Justifiqueu que la solució trobada correspon efectivament a un màxim.

a)

b)

c)

Problema 6 (2,5 punts). Fita d'error amb Taylor

Calculeu una fita de l'error que es comet en fer l'aproximació del nombre $e$ mitjançant la fórmula:

$$e \approx 2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}$$