Integrales racionales por fracciones simples (ADE UPC)

Fundamentos de Matemáticas (ADE, UPC): factores lineales, repetidos y cuadráticos irreducibles, método de Heaviside y arco tangente. Con esquemas y tests.

Fundamentos de Matemáticas · Universidad Politécnica de Cataluña · Grado en Administración y Dirección de Empresas · 1.º curso

Índice

Integración de funciones racionales — Fundamentos y factores lineales

La integración de funciones algebraicas racionales constituye uno de los métodos resolutivos fundamentales del cálculo infinitesimal. Introducido originariamente por el matemático suizo Johann Bernoulli a comienzos del siglo XVIII y perfeccionado posteriormente por Leonhard Euler, este procedimiento permite transformar cualquier cociente polinómico en una suma de fracciones más sencillas cuyas primitivas admiten una resolución elemental inmediata.

Esquema

Estructura del tema: Integración de funciones racionales

⚖️Tipo de fracciónCondición inicial según los grados

➗Fracción impropiaDivisión euclídea C(x) + R(x)/Q(x)

🎯Fracción propiaDescomposición directa en fracciones simples

📏Factores lineales simplesTérminos A/(ax+b) resueltos por Heaviside

🔁Factores lineales repetidosSuma con potencias crecientes hasta orden n

📐Factores cuadráticosPolinomios irreducibles con términos (Ax+B)

1. Fundamentos algebraicos: funciones racionales y división euclídea

Se denomina función racional a cualquier expresión matemática reducible al cociente de dos polinomios con coeficientes reales:

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

donde $Q(x) \neq 0$ y el grado del denominador satisface $\operatorname{gr}(Q) \ge 1$ .

Definición

Una función racional $\frac{P(x)}{Q(x)}$ se clasifica en:

Fracción propia: cuando el grado del numerador es estrictamente menor que el del denominador ( $\operatorname{gr}(P) < \operatorname{gr}(Q)$ ).
Fracción impropia: cuando el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador ( $\operatorname{gr}(P) \ge \operatorname{gr}(Q)$ ).

La técnica de descomposición en fracciones simples es aplicable exclusivamente a fracciones propias. Por consiguiente, ante una fracción impropia, es imprescindible efectuar previamente una división euclídea de polinomios para obtener un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ , de modo que $\operatorname{gr}(R) < \operatorname{gr}(Q)$ :

\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)} \implies \int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = \int C(x)\,dx + \int \frac{R(x)}{Q(x)}\,dx

El término $\int C(x)\,dx$ es la integral de un polinomio elemental, mientras que $\int \frac{R(x)}{Q(x)}\,dx$ se aborda descomponiendo la fracción propia restante.

Esquema de clasificación de funciones racionales según la naturaleza de sus factores.

2. Esquema general del procedimiento de descomposición

Una vez asegurada la condición de fracción propia, la descomposición sigue una secuencia sistemática:

Factorización del denominador: Descomponer $Q(x)$ en el producto de sus factores irreducibles sobre los reales, los cuales pueden ser de naturaleza lineal ( $ax + b$ ) o cuadrática irreducible ( $ax^2 + bx + c$ , con $b^2 - 4ac < 0$ ; véase «Integración de funciones racionales — Factores cuadráticos irreducibles y casos mixtos»).
Planteamiento de la suma de fracciones parciales: Asociar a cada factor la estructura algebraica normalizada que garantice la existencia de una combinación lineal única.
Cálculo de los coeficientes desconocidos: Resolver las constantes del numerador mediante el método de coeficientes indeterminados o la técnica rápida de Heaviside.
Integración término a término: Calcular las primitivas de cada sumando, las cuales conducen a funciones logarítmicas, algebraicas potenciales o, en el caso de factores cuadráticos irreducibles, de tipo arcotangente.

Esquema de resolución paso a paso mediante descomposición en fracciones parciales.

3. Caso 1: Factores lineales reales simples (no repetidos)

Si el denominador se factoriza completamente en $n$ factores de primer grado distintos entre sí:

Q(x) = (a_1 x + b_1)(a_2 x + b_2)\cdots(a_n x + b_n)

la fracción propia se expresa de manera unívoca como:

\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{a_1 x + b_1} + \frac{A_2}{a_2 x + b_2} + \dots + \frac{A_n}{a_n x + b_n}

donde $A_1, A_2, \dots, A_n$ son constantes reales a determinar.

Técnicas de cálculo de coeficientes

Método	Procedimiento operativo	Ventajas y limitaciones
Sistema de coeficientes indeterminados	Se multiplican ambos miembros por el común denominador, se agrupan los términos semejantes por potencias decrecientes de $x$ y se igualan los coeficientes homólogos del numerador resultante.	Método universal y estructurado; aplicable a cualquier configuración de factores, aunque genera sistemas de ecuaciones lineales de dimensión $n \times n$ .
Método de evaluación de Heaviside	Desarrollado por el físico y matemático Oliver Heaviside, consiste en evaluar la identidad polinómica directamente en las raíces reales del denominador (puntos críticos que anulan cada divisor).	Extremadamente ágil para factores lineales simples, pues desacopla por completo las ecuaciones despejando cada constante de forma independiente y directa.

Ejemplo

Calcular la primitiva de la función:

I = \int \frac{4x^2 + 13x - 9}{x^3 + 2x^2 - 3x}\,dx

Paso 1: Análisis de grados. El numerador posee grado 2 y el denominador grado 3 ( $2 < 3$ ), por lo que se trata de una fracción propia.

Paso 2: Factorización del denominador.

Q(x) = x(x^2 + 2x - 3) = x(x + 3)(x - 1)

Se obtienen tres factores lineales distintos cuyas raíces son $x = 0$ , $x = -3$ y $x = 1$ .

Paso 3: Planteamiento formal.

\frac{4x^2 + 13x - 9}{x(x + 3)(x - 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{x - 1}

Multiplicando toda la expresión por el denominador común $x(x+3)(x-1)$ :

4x^2 + 13x - 9 = A(x + 3)(x - 1) + Bx(x - 1) + Cx(x + 3)

Resolución por el método de Heaviside:

Evaluando en $x = 0$ :
$4(0)^2 + 13(0) - 9 = A(3)(-1) + B(0) + C(0) \implies -9 = -3A \implies A = 3$
Evaluando en $x = -3$ :
$4(-3)^2 + 13(-3) - 9 = A(0) + B(-3)(-4) + C(0) \implies 36 - 39 - 9 = 12B \implies -12 = 12B \implies B = -1$
Evaluando en $x = 1$ :
$4(1)^2 + 13(1) - 9 = A(0) + B(0) + C(1)(4) \implies 8 = 4C \implies C = 2$

Resolución alternativa por coeficientes indeterminados: Desarrollando los términos:

4x^2 + 13x - 9 = A(x^2 + 2x - 3) + B(x^2 - x) + C(x^2 + 3x) = (A + B + C)x^2 + (2A - B + 3C)x - 3A

Igualando los coeficientes de las mismas potencias:

\begin{cases} A + B + C = 4 \\ 2A - B + 3C = 13 \\ -3A = -9 \end{cases}

De la última ecuación, $A = 3$ . Sustituyendo en las dos primeras se obtiene el sistema lineal de dos incógnitas:

\begin{cases} B + C = 1 \\ -B + 3C = 7 \end{cases}

Sumando miembro a miembro ambas igualdades resulta $4C = 8 \implies C = 2$ , y por consiguiente $B = 1 - 2 = -1$ .

Paso 4: Integración.

I = \int \left( \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1} \right) dx = 3\ln|x| - \ln|x + 3| + 2\ln|x - 1| + C

Ejemplo

Calcular la primitiva de $\int \frac{dx}{x^2 - 4}$ .

El denominador se factoriza como diferencia de cuadrados: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ . Descomponiendo:

\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} \implies 1 = A(x + 2) + B(x - 2)

Evaluando en los puntos críticos:

Para $x = 2$ : $1 = A(4) \implies A = \frac{1}{4}$ .
Para $x = -2$ : $1 = B(-4) \implies B = -\frac{1}{4}$ .

Integrando y aplicando las propiedades fundamentales de los logaritmos:

\int \frac{dx}{x^2 - 4} = \frac{1}{4}\int \frac{dx}{x - 2} - \frac{1}{4}\int \frac{dx}{x + 2} = \frac{1}{4}\ln|x - 2| - \frac{1}{4}\ln|x + 2| + C = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x - 2}{x + 2}\right| + C

4. Caso 2: Factores lineales con multiplicidad (repetidos)

Cuando un factor lineal $(ax + b)$ aparece repetido con multiplicidad algebraica $n$ en la descomposición de $Q(x)$ , es decir, el denominador contiene el bloque $(ax + b)^n$ con $n \ge 2$ , debe asignarse una fracción parcial para cada potencia desde 1 hasta $n$ :

\frac{P(x)}{(ax + b)^n} = \frac{A_1}{ax + b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + \dots + \frac{A_n}{(ax + b)^n}

Técnica de resolución de las integrales asociadas

Al integrar estos sumandos surgen dos naturalezas distintas de primitivas según la potencia del denominador:

Para la primera potencia ( $k = 1$ ), se obtiene una primitiva de tipo logaritmo neperiano:
$\int \frac{A_1}{ax + b}\,dx = \frac{A_1}{a}\ln|ax + b| + C$
Para las potencias superiores ( $k \ge 2$ ), se reescriben como exponentes negativos y se resuelven mediante la regla general de la potencia:
$\int \frac{A_k}{(ax + b)^k}\,dx = \int A_k (ax + b)^{-k}\,dx = -\frac{A_k}{a(k - 1)(ax + b)^{k - 1}} + C$

Ejemplo

Determinar la integral indefinida:

J = \int \frac{3x + 5}{x^3 - x^2 - x + 1}\,dx

Paso 1: Factorización del denominador. Agrupando términos:

x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x - 1) - (x - 1) = (x^2 - 1)(x - 1) = (x + 1)(x - 1)^2

El factor $(x + 1)$ es lineal simple y $(x - 1)$ es un factor lineal con multiplicidad 2.

Paso 2: Planteamiento en fracciones parciales.

\frac{3x + 5}{(x + 1)(x - 1)^2} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{(x - 1)^2}

Multiplicando por el mínimo común múltiplo $(x + 1)(x - 1)^2$ :

3x + 5 = A(x - 1)^2 + B(x + 1)(x - 1) + C(x + 1)

Paso 3: Obtención de los coeficientes (combinando evaluación en raíces y un valor auxiliar):

Evaluando en la raíz $x = 1$ :
$3(1) + 5 = A(0) + B(0) + C(1 + 1) \implies 8 = 2C \implies C = 4$
Evaluando en la raíz $x = -1$ :
$3(-1) + 5 = A(-1 - 1)^2 + B(0) + C(0) \implies 2 = 4A \implies A = \frac{1}{2}$
Para hallar $B$ , evaluamos en un valor cómodo, como $x = 0$ :
$5 = A(-1)^2 + B(1)(-1) + C(1) \implies 5 = A - B + C$
Sustituyendo los valores ya conocidos de $A$ y $C$ :
$5 = \frac{1}{2} - B + 4 \implies B = \frac{9}{2} - 5 = -\frac{1}{2}$

Paso 4: Integración analítica.

J = \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x + 1} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x - 1} + 4\int (x - 1)^{-2}\,dx

Calculando cada término:

J = \frac{1}{2}\ln|x + 1| - \frac{1}{2}\ln|x - 1| - \frac{4}{x - 1} + C

Error frecuente

Un fallo común al abordar factores repetidos $(ax + b)^n$ consiste en omitir las potencias intermedias y plantear únicamente el término de grado más alto $\frac{A}{(ax + b)^n}$ . Esto restringe indebidamente los grados de libertad del numerador y provoca que el sistema lineal resulte incompatible o devuelva soluciones erróneas. Es obligatorio incluir un coeficiente por cada exponente desde 1 hasta $n$ .

Queda por tratar el caso en que el denominador contiene factores de segundo grado sin raíces reales, que se aborda en «Integración de funciones racionales — Factores cuadráticos irreducibles y casos mixtos».

Ideas clave

La descomposición en fracciones simples exige que la función racional sea propia ( $\operatorname{gr}(P) < \operatorname{gr}(Q)$ ); en caso contrario, se debe efectuar una división euclídea preliminar.
A cada factor lineal simple $ax + b$ del denominador le corresponde una única fracción simple de la forma $\frac{A}{ax + b}$ .
A un factor lineal repetido $(ax + b)^n$ le corresponde una cadena de $n$ fracciones parciales con denominadores de potencias crecientes desde 1 hasta $n$ .
El método de Heaviside permite determinar de forma inmediata las constantes asociadas a factores lineales evaluando la igualdad en sus puntos críticos anulatorios.
Las primitivas de los términos con exponente 1 dan lugar a logaritmos neperianos, mientras que los sumandos con potencias $k \ge 2$ se integran mediante la regla potencial.

Pon a prueba lo aprendido

¿En qué condición es imprescindible aplicar primero una división euclídea de polinomios? — Cuando el grado del numerador supera o iguala al denominador
¿Cuál es la integral resultante de una fracción parcial de la forma A/(x - a)²? — -A / (x - a) + C
¿Cómo se obtienen las constantes por el método rápido de Oliver Heaviside? — Evaluando en las raíces que anulan los factores lineales
¿Cuántas fracciones parciales genera en el planteamiento el término (x + 2)³? — Tres fracciones con potencias 1, 2 y 3

Integración de funciones racionales — Factores cuadráticos irreducibles y casos mixtos

Cuando el denominador de una función racional contiene polinomios de segundo grado que carecen de raíces reales, el procedimiento elemental de descomposición en factores de primer grado no puede aplicarse directamente en el cuerpo de los números reales. En esta situación se requiere extender el método de fracciones simples mediante estructuras específicas en los numeradores y recurrir a primitivas del tipo logaritmo neperiano y arco tangente (para los conceptos previos sobre descomposición básica y cocientes de polinomios, véase «Integración de funciones racionales — Fundamentos y factores lineales»).

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