Examen de Fundamentos de Matemáticas UPC 2017 · Càlcul - Convocatòria de Recuperació (Juliol 2017)

PROBLEMA 1. Càlcul d'integrals indefinides

Calculeu les tres primitives següents (1 punt cadascuna):

a)

$$\int \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)^3}} \, dx$$

b)

$$\int \frac{2x}{x^2-x+1} \, dx$$

c)

$$\int \frac{1}{\cos^4 x} \, dx$$

PROBLEMA 2 (2 punts). Longitud de corba i temps de recorregut

Un gos surt de l'origen de coordenades $(0, 0)$ amb direcció cap al seu amo, el qual roman aturat en el punt $\left(3, \frac{e^3 + e^{-3}}{2}\right)$. L'animal corre a una velocitat constant de $4\text{ m/s}$ recorrent la trajectòria definida per la corba $y = \cosh(x)$.

Quant de temps necessita el gos per arribar a trobar-se amb el seu amo? ( Nota: les variables $x$ i $y$ estan expressades en metres).

PROBLEMA 3 (2 punts). Estudi de convergència i suma d'una sèrie de funcions

Considereu la sèrie funcional:$$\sum_{n=0}^{\infty} \sin x \left(\frac{1}{1 + \sin x}\right)^n$$Estudieu la seva convergència per a $x \in [0, \pi]$ i determineu la funció suma exacta en els punts on sigui convergent.

a)

b)

PROBLEMA 4 (1,5 punts). Caràcter d'una sèrie numèrica segons un paràmetre

Determineu el caràcter de la següent sèrie en funció dels valors del paràmetre real $\alpha > 0$:$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 + \sqrt{n}}{n^{\alpha}}$$

a)

$\alpha_c =$

b)

PROBLEMA 5 (1,5 punts). Coeficients de Fourier

Donada la funció periòdica representada a la gràfica següent, calculeu els seus coeficients de Fourier $b_n$:

a)

$T =$

b)

$b_n =$