Problemas resueltos de contraste de hipótesis

1 Ejercicio A.1. Tiempo de espera en restaurantes

Una red de restauración asegura que el tiempo de espera hasta que atienden a los usuarios sigue una distribución normal con promedio de 3 minutos y desviación típica de 1 minuto. La división de control de calidad seleccionó una muestra aleatoria de 50 clientes de una de sus sucursales, observando un tiempo de espera promedio de 2.75 minutos. Con una significación fijada en $\alpha = 0.05$, ¿se puede sostener que el tiempo de espera medio es inferior a 3 minutos?

a.

Formule las hipótesis nula y alternativa.

b.

Determine el criterio de decisión y dibuje el área de rechazo correspondiente (

).

c.

Halle el valor empírico del estadístico de prueba.

d.

Indique la conclusión del contraste.

e.

Calcule el valor $p$.

Ejercicio A.2. Peso de pollos de granja con nueva alimentación

El peso de los pollos de una explotación avícola tiene un comportamiento normal con media de $2.6\text{ kg}$ y desviación estándar de $0.5\text{ kg}$. Se evalúa una formulación de pienso diferente sobre un lote de $49$ pollos, registrándose en su madurez un peso promedio de $2.78\text{ kg}$. A un nivel de significación del $2\%$ ($\alpha = 0.02$), determine si el peso se ha incrementado significativamente o permanece sin alteraciones.

Considere la siguiente región de rechazo unilateral:

Ejercicio A.3. Resistencia a la presión de juguetes de tracción

Una fábrica de juguetes para niños menores de 5 años afirma que el modelo de camión «Richard Petty Rapid Roller» tolera al menos 200 lbs/pulg² sin sufrir roturas. Como responsable del área de pruebas de producto, selecciona una muestra de 100 piezas y obtiene una resistencia media al fallo de 195 lbs/pulg², con una desviación típica de 22.2 libras. Tomando un nivel de significación del 1% ($\alpha = 0.01$), compruebe la veracidad de la declaración del fabricante.

Dispone del siguiente esquema con la zona crítica de rechazo:

Ejercicio A.4. Volumen de llenado en embotelladora de bebidas

A raíz de una denuncia por presunto defecto en el envasado de refrescos, inspectores estatales evalúan una partida de $200$ envases, registrando una media muestral de llenado de $930\text{ ml}$. La empresa declara en la etiqueta que las botellas contienen $946{,}33\text{ ml}$ y se estima una desviación estándar de $44{,}36\text{ ml}$. A un nivel de significación del $2\%$ ($\alpha = 0{,}02$), ¿deben dictaminar las autoridades que se está embotellando menos líquido del debido?

Se adjunta el gráfico de la región crítica considerado:

Ejercicio A.5. Curva de aprendizaje con nuevas cajas computarizadas

Una cadena comercial de alimentación ha incorporado terminales automáticas computarizadas para reducir colas y optimizar inventarios. En un grupo piloto de 36 trabajadores, se observó una media de 12.4 ensayos hasta completar una transacción sin fallos. El histórico de las antiguas registradoras arrojaba una media de 11.6 intentos con una desviación estándar de 2.7. Con una significación del 1% ($\alpha = 0.01$), ¿cabe concluir que las nuevas cajas informatizadas entrañan mayor dificultad de aprendizaje?

Gráfico con la región de prueba asignada:

Ejercicio B.1. Sobrepeso corporal medio en un poblado

Un reportaje televisivo comunicó que los ciudadanos de cierta comunidad padecen un sobrepeso estimado en 10 lb de media. Se efectúa un control aleatorio sobre una muestra de 18 personas, obteniéndose un sobrepeso medio de 12.4 lb y una desviación típica de 2.7 lb. Empleando un nivel de significación de 0.05, determine si hay motivos fundados para poner en duda el valor de 10 lb.

Considere la distribución bilateral y las zonas críticas mostradas en la gráfica:

Ejercicio B.2. Valor medio de mercado de viviendas residenciales

Una agencia inmobiliaria analizó los precios de tasación de 12 viviendas en un vecindario, registrando un precio medio de $78 000 y una desviación estándar de$4 900. Asumiendo una distribución normal, contraste la hipótesis de que el valor medio del parque residencial asciende al menos a $82 500 frente a la alternativa de que es inferior, con$\alpha = 0.05$.

Región de rechazo asignada:

Ejercicio B.3. Tiempo promedio de entrega de envíos postales

Una compañía de mensajería postal asegura poder rebajar el plazo promedio de entrega a menos de 2.5 días. En un seguimiento de 17 envíos de prueba, la media registrada fue de 2.2 días con desviación típica de 0.9 días. Con $\alpha = 0.01$, compruebe si la empresa contratante debe cambiar a dicho proveedor de logística.

Esquema gráfico de la prueba:

a)

b)

¿En qué zona cae el estadístico de prueba y cuál es la decisión respecto a $H_0$?

Ejercicio B.4. Ensayo de tracción y rotura de cuerdas

Una prueba de resistencia realizada sobre 6 cuerdas dio una tensión media de rotura de 7750 lb y una desviación típica de 145 lb. El fabricante sostiene que sus productos alcanzan una resistencia media de 8000 lb. ¿Es admisible la afirmación de la compañía para un nivel de significación de 0.05?

Zona de decisión empleada en el análisis:

a)

b)

Decisión sobre la admisibilidad de la afirmación según el contraste:

Ejercicio B.5. Efecto de campaña publicitaria en ventas semanales

Los registros de un gran almacén mostraban un promedio histórico de facturación de $5 775 semanales. Tras poner en marcha una potente campaña de difusión comercial, se contabilizaron durante 15 semanas unas ventas medias de$6 012 con $s = 977$977$. Con un nivel de significación del 1%, determine si debe mantenerse el plan publicitario.

Curva normal y nivel de significación considerado:

11 Ejercicio C.1. Porcentaje de créditos concedidos a microempresas

Históricamente, el 35% de los créditos de una entidad bancaria se destinaban a pequeños negocios y microempresas. En el último ejercicio se aplicaron medidas para elevar esta participación. De un total de 150 operaciones de crédito vigentes, se confirmó que 56 correspondieron a microempresas. ¿Ha conseguido el banco su propósito de captar más cuota de este segmento? Contraste la hipótesis con $\alpha = 0.05$.

Ejercicio C.2. Preferencia de mercado hacia nueva salsa de tomate

Una marca de aderezos analiza si lanzar al mercado una salsa de tomate extra sazonada. En una consulta telefónica a nivel nacional con 6000 familias, 335 declararon que comprarían el producto. Un estudio preliminar de hace dos años mostraba que el 5% de las familias consumía este tipo de presentaciones. Con un nivel de significación del 2% ($\alpha = 0.02$), ¿puede concluirse que ha crecido el interés por la salsa extra condimentada?

Región de decisión gráfica:

Ejercicio C.3. Distribución comercial de blusas en tiendas de ropa

Un productor textil de blusas de mujer sabe que su marca se distribuye en el 19% de las tiendas del país. Tras relevar una muestra de 85 comercios, comprueba que únicamente el 14.12% comercializaba sus prendas. Con $\alpha = 0.02$, ¿constituye esto una prueba estadística de que la cuota de distribución en puntos de venta ha decrecido?

Esquema de decisión:

Ejercicio C.4. Retención anual de oficinistas de procesado de datos

El departamento de recursos humanos de una aseguradora busca frenar la rotación de los administrativos de procesado de datos durante su primer año de contrato. Las estadísticas históricas revelan que el 25% de las nuevas incorporaciones causa baja antes de finalizar el año. Para revertir la situación se implementó un programa intensivo de formación en una muestra de 150 empleados, resultando que al cabo de un año 29 habían abandonado la firma.

a.

Con un nivel de significación de 0.01, determine si existe evidencia de que la tasa de abandono entre los empleados que participaron en la capacitación es menor a 0.25:

b.

Obtenga el valor $p$ y comente el resultado:

Ejercicio C.5. Proporción de cartera de cobro con vencimiento prolongado

En la dirección contable de Industrias Acero se sospecha que las dificultades de tesorería derivan del retraso en el cobro de facturas. El responsable estima que más del 60% de las cuentas acumulan una antigüedad superior a 3 meses. Una muestra de 200 facturas arrojó que 140 excedían dicho plazo. Con un nivel de significación de 0.01, determine si es admisible concluir que más del 60% de los saldos pendientes superan los tres meses de antigüedad.

Considere el esquema de decisión: