Problemas de Estimación Puntual y por Intervalos de Confianza

Ejercicio 1. Estimación puntual de consumos de combustible

Se dispone de dos muestras aleatorias simples e independientes correspondientes al consumo de combustible (expresado en millas por galón) de dos modelos de automóviles:

Modelo X (10 vehículos): 27.2, 27.2, 26.8, 26.9, 25.3, 26.0, 26.4, 25.7, 28.1, 25.7

Modelo Y (12 vehículos): 24.2, 24.3, 25.3, 24.8, 25.1, 25.0, 24.9, 23.9, 26.0, 26.1, 26.0, 26.3

A partir de la información procesada que se muestra a continuación:

a)

Proporcione estimaciones puntuales e insesgadas de la media $\mu_X$ y de la varianza poblacional $\sigma_X^2$.

b)

Estime de forma insesgada la proporción poblacional $p_X$ de coches del modelo X cuyo consumo es estrictamente mayor que 25.8 millas por galón.

c)

Obtenga estimadores insesgados y calcule los valores correspondientes para la media $\mu_Y$ y la varianza poblacional $\sigma_Y^2$.

d)

Calcule una estimación insesgada de la proporción poblacional $p_Y$ de automóviles del modelo Y cuyo consumo supera las 25.8 millas por galón.

e)

Estime de modo insesgado la diferencia entre las medias de consumo poblacionales, $\mu_X - \mu_Y$.

f)

Estime de manera insesgada la diferencia existente entre las proporciones poblacionales de vehículos con consumo superior a 25.8, esto es, $p_X - p_Y$.

Ejercicio 2. Simulación de intervalos de confianza al 95% y 80%

A partir de una población $X$ con desviación típica conocida $\sigma_X = 1$, se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño $n = 400$ para construir un intervalo de confianza al 95% y otro al 80% para la media desconocida $\mu_X$, empleando en ambos casos los mismos datos muestrales.

Este procedimiento se replica 300 veces de forma independiente, obteniéndose 300 intervalos al 95% y 300 al 80%, tal y como se ilustra en las siguientes gráficas:

a.

Identifique y justifique cuál de las dos representaciones (la izquierda o la derecha) corresponde al 95% de confianza y cuál al 80%.

b.

Calcule de forma aproximada el número de intervalos que contendrán a la verdadera media $\mu_X$ y cuántos no lo harán en cada uno de los dos gráficos.

Gráfico izquierdo (80%):

Gráfico derecho (95%):

Ejercicio 3. Intervalo de confianza cuando la media poblacional es conocida

Se comprueba que la edad media de todos los miembros del Gobierno en el momento de tomar posesión es exactamente de 55 años. Si se extrae una muestra aleatoria simple de 30 de ellos, ¿tendría sentido plantear un intervalo de confianza al 95% para estimar la edad media de la población?

Ejercicio 4. Relación entre el nivel de significación y el cuantil normal

Sea $z_\alpha$ el cuantil superior de una distribución normal estándar, definido por la igualdad $P(Z > z_\alpha) = \alpha$, con $\alpha \in (0, 1)$ y $Z \sim N(0, 1)$. Si el valor de $\alpha$ se incrementa, ¿el valor de $z_\alpha$ aumenta o disminuye? Razone detalladamente la respuesta.

Aumenta

Disminuye

Ejercicio 5. Comparación gráfica de intervalos con distintas desviaciones típicas

Se consideran dos poblaciones con distribución normal: $X \sim N(\mu_X, \sigma_X^2)$ e $Y \sim N(\mu_Y, \sigma_Y^2)$. Se generan 200 muestras aleatorias simples de tamaño $n = 100$ procedentes de $X$ y otras 200 de tamaño $n = 100$ procedentes de $Y$. Suponiendo conocidas las desviaciones típicas poblacionales, se calcula para cada muestra un intervalo de confianza al 95% para su respectiva media.

Las representaciones gráficas de los intervalos resultantes son las siguientes:

a.

Sabiendo que una de las poblaciones presenta desviación típica igual a 1 y la otra igual a 3, asocie razonadamente cada gráfico a su variable ($X$ o $Y$).

b.

En cada gráfico, determine cuántos de los 200 intervalos estimados se prevé que contendrán al parámetro poblacional y cuántos no.

Ejercicio 6. Identificación de escenarios para intervalos de una Bernoulli

Se analizan cuatro escenarios experimentales para estimar la proporción poblacional desconocida $p_X$ mediante 50 muestras aleatorias de tamaño $n$ en cada caso, fijando un nivel de confianza del 95%:

Escenario I: $n = 400$, $X \sim \text{Bernoulli}(0.3)$

Escenario II: $n = 400$, $X \sim \text{Bernoulli}(0.7)$

Escenario III: $n = 100$, $X \sim \text{Bernoulli}(0.3)$

Escenario IV: $n = 100$, $X \sim \text{Bernoulli}(0.7)$

Empareje cada escenario con uno de los cuatro gráficos mostrados:

Escenario I ($n=400, p=0.3$):

Escenario II ($n=400, p=0.7$):

Escenario III ($n=100, p=0.3$):

Escenario IV ($n=100, p=0.7$):

Ejercicio 7. Simetría del intervalo para la varianza poblacional

El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu_X$ en poblaciones normales es simétrico alrededor de la media muestral $\bar{x}$. ¿Ocurre lo mismo con el intervalo de confianza para la varianza poblacional $\sigma_X^2$ respecto a la cuasivarianza muestral $s_x^2$? Justifique su respuesta.

Sí

No

Ejercicio 8. Interpretación probabilística de un intervalo de confianza

Para el nivel de satisfacción de los usuarios con sus vehículos se ha obtenido el intervalo de confianza al 99%: $[75.7, 82.5]$. ¿Es correcto afirmar que «la probabilidad de que la media poblacional esté comprendida entre 75.7 y 82.5 es del 99%»? En caso negativo, proponga formulaciones rigurosas y correctas.

Sí

No

Ejercicio 9. Intervalos de confianza para varianza y desviación de impurezas

Una empresa industrial desea supervisar la cantidad de impurezas presentes en las remesas de material suministradas por un proveedor. En una muestra aleatoria simple de 15 envíos se obtuvo una cuasidesviación típica muestral del 2.36% en la concentración de impurezas. Se asume que el porcentaje de impurezas sigue una distribución normal.

a.

Obtenga e interprete un intervalo de confianza al 95% para la varianza poblacional.

b.

Sin efectuar cálculos numéricos adicionales, razone si un intervalo de confianza al 99% resultaría de mayor o menor amplitud que el hallado en el apartado anterior.

c.

Calcule e interprete un intervalo de confianza al 95% para la desviación típica poblacional.

Ejercicio 10. Nivel de confianza e intervalo para proporción en acuerdos sindicales

En una muestra aleatoria simple de 54 representantes sindicales, 14 manifestaron que «nunca» habían aceptado un ajuste salarial inferior al incremento del índice del coste de la vida. A partir de estos datos, un analista obtuvo el intervalo de confianza [0.16, 0.36] para la proporción poblacional de representantes que nunca aceptan tal revisión.

a)

Deduzca el nivel de confianza asociado a dicho intervalo (exprese el resultado en tanto por ciento o en tanto por uno).

b)

Calcule e interprete un intervalo de confianza al 80% para la misma proporción poblacional.

Ejercicio 11. Intervalo de confianza t de Student para calificaciones de un examen

Las notas de un examen multitudinario se distribuyen según una ley normal. Se toma una muestra de 25 exámenes, para la cual se obtienen los siguientes sumatorios:

$$\sum_{i=1}^{25} x_i = 1508, \quad \sum_{i=1}^{25} x_i^2 = 95628$$

a)

Determine e interprete un intervalo de confianza al 90% para la nota media de la población.

b)

Sin efectuar cálculos numéricos, explique si un intervalo al 95% de confianza sería más amplio o más estrecho que el anterior.

A

Más amplio

B

Más estrecho

Ejercicio 12. Intervalos y propiedades muestrales sobre el tiempo de estudio semanal

Un equipo de investigación universitaria desea analizar el número de horas semanales dedicadas al estudio por los estudiantes. A partir de una muestra aleatoria simple de 16 universitarios se registra una media muestral de 18.36 horas y una cuasidesviación típica de 3.92 horas. Se asume que las horas de estudio siguen una distribución normal.

a)

Construya e interprete un intervalo de confianza al 90% para la dedicación media semanal de toda la población estudiantil.

b)

Indique, razonando sin hacer cálculos, si el intervalo aumentaría o disminuiría su amplitud bajo cada una de estas variaciones independientes:

• El tamaño de la muestra aumenta a 30 estudiantes (manteniendo idénticos los demás valores):

• La cuasidesviación típica observada resulta ser de 4.15 horas:

• Se fija un nivel de confianza del 80%:

c)

Si se supiera que la variable no sigue una distribución normal, ¿sería aplicable este procedimiento? Justifique la respuesta e indique qué alternativa metodológica procedería.

d)

Construya e interprete un intervalo de confianza al 90% para la desviación típica poblacional del tiempo de estudio.

Ejercicio 13. Intervalo para la media y reducción de amplitud en peso de ladrillos

En una fábrica de ladrillos se sabe que el peso de las piezas producidas se ajusta a una distribución normal con desviación típica conocida $\sigma_X = 0.12\text{ kg}$. Una muestra aleatoria simple de $16$ piezas tomada de la producción de una jornada arroja un peso medio de $4.07\text{ kg}$.

a.

Calcule e interprete un intervalo de confianza al $95\%$ para el peso medio de toda la producción del día:

b.

La dirección técnica considera que el intervalo obtenido es excesivamente amplio y solicita reducir su amplitud a la mitad. ¿Cuántos ladrillos adicionales será necesario muestrear para lograrlo?

c.

Indique el valor del error estándar de la media muestral, $\text{EE}(\bar{X})$.

Ejercicio 14. Estimación del salario medio y tamaño muestral con varianza desconocida

Se realiza un estudio sobre la retribución de los egresados de una titulación universitaria tras un año de su graduación. Una muestra aleatoria simple de $20$ graduados proporciona un salario medio mensual de $1700$ euros con una cuasidesviación típica de $350$ euros. Se asume normalidad en los ingresos de la población.

a.

Determine el intervalo de confianza al $95\%$ para la remuneración media mensual de los titulados:

b.

Obtenga el intervalo si se eleva el nivel de confianza al $99\%$:

c.

¿Qué tamaño de muestra aseguraría una amplitud total del intervalo estrictamente inferior a $100$ euros al $95\%$ de confianza, suponiendo que la media y la variabilidad muestrales se mantienen estables?

Ejercicio 15. Variación del tamaño muestral en intervalos para la varianza

En el control de calidad de un producto industrial suministrado por un proveedor, se analiza una característica de calidad que sigue una distribución normal. A partir de una muestra aleatoria de 20 unidades se obtiene una desviación típica muestral de 2.3.

a)

Calcule un intervalo de confianza al 90% para la varianza de la población.

b)

Si en una segunda muestra independiente de tamaño 40 se obtuviera exactamente el mismo valor de la desviación típica muestral (2.3), ¿cuál sería el intervalo de confianza al 90% para la varianza poblacional?

Ejercicio 16. Estimación puntual e intervalos de proporciones en estudio de mercado

Una encuesta de investigación de mercado realizada a 64 personas sobre dos nuevos productos, A y B, revela que 29 entrevistados están interesados en el producto A, 32 muestran interés por el producto B y 26 expresan interés simultáneamente por ambos.

a.

Estime de manera puntual e insesgada el porcentaje de consumidores de la población que están interesados en comprar ambos artículos.

b.

Estime de forma insesgada la proporción de personas interesadas en adquirir el primer producto pero no el segundo.

c.

Determine la varianza teórica del estimador del apartado anterior y proponga una estimación insesgada de la misma a partir de la muestra.

d.

Calcule un intervalo de confianza al 99% para la proporción de clientes interesados únicamente en el primer producto.

[, ]

e.

Cuestión de debate: Obtenga un intervalo de confianza aproximado al 99% para dicha proporción fijando a priori el extremo inferior en cero.

[ 0, ]

Ejercicio 17. Edad media de clientes, contrastes y tamaño de muestra

La gerencia de un centro comercial conoce que la edad de sus compradores se distribuye normalmente con desviación típica $\sigma = 5$ años. Una muestra aleatoria simple de 100 visitantes registra una edad media de 30 años.

a.

Obtenga un intervalo de confianza al 96% para la edad media poblacional.

b.

¿Qué tamaño muestral mínimo sería necesario para conseguir un intervalo de amplitud total no superior a 1 año?

c.

Calcule la probabilidad de que la cuasivarianza de la muestra sea inferior a 19.67.

d.

Si de los 100 clientes de la muestra 25 manifestaron ser de origen extranjero, halle un intervalo de confianza al 95% para la proporción de clientes extranjeros.

e.

Se dispone de una segunda muestra independiente de 200 compradores del centro, en la cual el 20% son extranjeros. Calcule un intervalo de confianza al 95% que consolide toda la información disponible.

f.

Para muestras grandes, se demuestra que la mediana muestral $\hat{X}_m$ sigue una distribución asintótica normal con media $\mu$ y varianza $\frac{\pi}{2}\frac{\sigma^2}{n}$. Compare la eficiencia de la mediana muestral respecto a la media muestral $\bar{X}$.

Ejercicio 18. Reservas de vuelos, variabilidad poblacional y análisis de retrasos

El número de plazas reservadas en los vuelos de una ruta comercial sigue una distribución normal. En una muestra aleatoria simple de 81 vuelos, la media de billetes reservados fue de 112 con una cuasidesviación típica de 36. Asimismo, de esos 81 vuelos, 30 llegaron a su destino con más de 15 minutos de retraso.

a.

Construya un intervalo de confianza al 95% para la varianza poblacional de las reservas.

[

,

]

b.

Calcule el intervalo de confianza al 95% para la proporción poblacional de vuelos con retraso superior a 15 minutos.

[

,

]

c.

Valore razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

• Para lograr un intervalo de confianza al 95% con longitud máxima de 0.1 para la proporción de retrasos, con la misma proporción muestral, bastaría tomar una muestra de 200 vuelos.

• El intervalo de confianza al 99% para la varianza de billetes reservados contiene el valor 1000.

• Para ciertos valores muestrales hipotéticos, el límite inferior del intervalo de confianza para la proporción poblacional podría tomar valores negativos.

Ejercicio 19. Intervalos de confianza en reducción de peso con soporte informático

En un estudio clínico sobre un programa de reducción de peso de dos meses de duración, se evalúa una muestra aleatoria simple de 40 pacientes. Se asume que la pérdida de peso observada sigue una distribución normal. A partir de los estadísticos muestrales computados ($\bar{x} = 6.0025\text{ kg}$ y $s_{\bar{x}}^2 = 3.616$):

a)

Determine un intervalo de confianza al 99% para la pérdida de peso media de los pacientes.

b)

¿Cuál sería dicho intervalo si el nivel de confianza fijado fuese del 90%?

c)

Calcule el intervalo de confianza al 99% para la varianza de la pérdida de peso de la población.

Ejercicio 20. Pronóstico de demanda de clientes e combinación de muestras

Una compañía encuesta a 46 clientes corporativos sobre sus previsiones de cambio en el volumen de demanda de cara al próximo ejercicio (Muestra 1). La media de cambio obtenida es $\bar{x}_1 = -0.038$ con una varianza muestral de $s_{x1}^2 = 0.00731$. Se asume normalidad en las respuestas.

a)

Obtenga los intervalos de confianza al 90% y al 99% para el cambio medio en la demanda esperada.

b)

Calcule el intervalo de confianza al 99% para la desviación típica poblacional a partir de dicha muestra.

c)

Con posterioridad se recopilan 18 nuevas respuestas independientes (Muestra 2) de la misma población. La muestra agrupada de 64 observaciones registra una media de -0.0470 y una cuasivarianza de 0.00694. Calcule los intervalos de confianza al 99% para la media y para la desviación típica con la totalidad de los datos.

d)

A la vista de estos resultados, ¿sería razonable postular que la demanda no experimentará variación alguna (cambio nulo) el próximo año? Justifique su respuesta.

Ejercicio 21. Influencia de la proporción muestral en la amplitud del intervalo

La longitud del intervalo de confianza para una proporción poblacional $p_x$ viene dada por:

$$w = 2z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_x(1-\hat{p}_x)}{n}}$$

Para un tamaño muestral de $n = 100$ y un nivel de significación $\alpha = 0.05$, analice cómo varía dicha amplitud en función de los valores de $\hat{p}_x$ comprendidos en el intervalo $[0, 1]$. ¿Para qué valor de $\hat{p}_x$ se maximiza la longitud del intervalo?

a)

b)

Ejercicio 1. Estimación puntual de consumos de combustible

Se dispone de dos muestras aleatorias simples e independientes correspondientes al consumo de combustible (expresado en millas por galón) de dos modelos de automóviles:

Modelo X (10 vehículos): 27.2, 27.2, 26.8, 26.9, 25.3, 26.0, 26.4, 25.7, 28.1, 25.7

Modelo Y (12 vehículos): 24.2, 24.3, 25.3, 24.8, 25.1, 25.0, 24.9, 23.9, 26.0, 26.1, 26.0, 26.3

A partir de la información procesada que se muestra a continuación:

Retomando los datos del Ejercicio 1 referentes a los consumos de combustible de los modelos X e Y:

a)

Especifique qué hipótesis son indispensables para calcular un intervalo de confianza al 95% para la media poblacional $\mu_X$ y determínelo utilizando las salidas de resumen estadístico.

[

,

]

b)

Indique las hipótesis requeridas y halle el intervalo de confianza al 90% para la media poblacional $\mu_Y$ a partir de la estadística descriptiva correspondiente.

[

,

]

Ejercicio 23. Análisis funcional del cuantil chi-cuadrado respecto a alfa

Sea $\chi_{n;\alpha}^2$ el cuantil superior de una distribución chi-cuadrado con $n$ grados de libertad, definido mediante la probabilidad acumulada $P(\chi_n^2 > \chi_{n;\alpha}^2) = \alpha$ con $\alpha \in (0, 1)$.

Para un valor fijo de grados de libertad $n = 10$, describa el comportamiento cualitativo y cuantitativo del cuantil $\chi_{10;\alpha}^2$ a medida que $\alpha$ recorre el rango de 0.01 a 0.50.

a)

b)