Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales

Y 0 flashcards y 3 preguntas más en el documento.

Texto del documento

APUNTES RESISTENCIA DE MATERIALES Grado en Tecnologías Industriales y Análisis Económico Universidad Politécnica de Cataluña AprenAI 2026-2027 Apuntes de Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales: sólidos deformables, equilibrio elástico, tensiones, deformaciones e hipótesis teóricas.

APREN.AI Índice 1 Modelos mecánicos y equilibrio en sólidos deformables Mecánica y modelos teóricos de la materia Esquema de cálculo y simplificación del sistema real Acciones mecánicas y condiciones de equilibrio La barra prismática y el método de las secciones 2 Tensiones, deformaciones y el problema elástico Vector tensión Cinemática de la deformación Esquema relacional del problema elástico 3 Hipótesis fundamentales de la Teoría de la Elasticidad Hipótesis de carga: aplicación progresiva Hipótesis sobre la constitución del medio Hipótesis sobre la respuesta mecánica Principio de superposición 4 Formulario Equilibrio estático y método de las secciones Tensiones y deformaciones Problema elástico y principio de superposición Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 1 1 Modelos mecánicos y equilibrio en sólidos deformables AL ACABAR SABRÁS Diferenciar los conceptos de punto material, sólido rígido y sólido deformable. Identificar los tipos de solicitaciones exteriores y las condiciones del equilibrio elástico. Explicar el fundamento del método de las secciones en barras prismáticas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué un puente en equilibrio no puede estudiarse siempre considerando que sus vigas son completamente rígidas?

Mecánica y modelos teóricos de la materia La mecánica analiza el estado de reposo (equilibrio estático) y el movimiento (dinámica) de los cuerpos materiales. Para abordar su estudio se emplean distintos modelos de abstracción: Punto material: se consideran únicamente fuerzas concentradas para establecer condiciones de equilibrio. Sólido rígido: modelo ideal indeformable donde las distancias relativas entre puntos no varían. Su equilibrio en el plano (2D) y en el espacio (3D) involucra fuerzas y momentos, complementándose con el cálculo de centros de gravedad y momentos de inercia en estructuras de barras.

Sólido deformable: cuerpo real cuyos puntos alteran sus distancias relativas bajo solicitaciones externas. La teoría de la elasticidad estudia el efecto de las acciones exteriores sobre sólidos de cualquier geometría geométrica. Por su parte, la resistencia de materiales aplica hipótesis simplificativas sobre estos principios generales para permitir el dimensionado práctico de elementos mecánicos. Esquema de cálculo y simplificación del sistema real Para resolver problemas de ingeniería, el sistema físico real se transforma en un esquema de cálculo simplificado.

En este proceso se omiten o reducen ciertos factores geométricos y operativos con el fin de agilizar los cálculos sin perder precisión. La formulación del modelo exige definir: La geometría de la pieza. Las variables del proceso (temperatura, presión atmosférica, etc.). Las propiedades mecánicas y la ley de comportamiento del material. Acciones mecánicas y condiciones de equilibrio Las cargas externas que actúan sobre un sólido se clasifican según su forma de aplicación: Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 2 Tipo de fuerza externa Zona de actuación Ejemplo conceptual Fuerzas de superficie Actúan sobre el contorno o periferia del sólido. Presiones de contacto o apoyos.

Fuerzas de volumen Se distribuyen en los elementos másicos del cuerpo. Fuerzas gravitatorias o centrífugas. Estas cargas externas generan internamente un conjunto de fuerzas que se transmiten entre las partículas del medio. Las fuerzas internas tienen un origen molecular y buscan contrarrestar la solicitación impuesta. ERROR FRECUENTE Asumir que las ecuaciones generales de la estática y son suficientes para el sólido deformable. En elasticidad, y son condiciones necesarias pero no suficientes: se requiere además que las fuerzas internas equilibren a las exteriores en cada subdivisión del sólido para garantizar el equilibrio elástico local.

COMPRUEBA 2 ¿Por qué el equilibrio global de fuerzas y momentos no garantiza por sí solo el equilibrio en un sólido deformable? La barra prismática y el método de las secciones Una barra prismática requiere restricciones cualitativas fundamentales: su directriz no debe presentar curvaturas pronunciadas y su sección transversal no puede sufrir cambios bruscos de geometría. Para definir las fuerzas internas y los esfuerzos resultantes se recurre al método de las secciones: se introduce un corte ficticio en la barra, se separa uno de los semisólidos y se sustituye el efecto de la parte eliminada por una resultante de fuerzas y momentos ejercidos sobre la sección expuesta.

= F 0 = M 0 = F 0 = M 0 Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 3 ESQUEMA Modelos teóricos de la materia en mecánica IDEAS CLAVE El sólido deformable modifica las posiciones relativas de sus puntos al recibir cargas. La resistencia de materiales introduce hipótesis simplificativas a la teoría general de la elasticidad. Las condiciones de la estática clásica son necesarias pero insuficientes en medios deformables sin equilibrio interno. El método de las secciones permite aislar una porción del elemento y evaluar sus esfuerzos internos resultantes. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3.

¿En qué se diferencia el sólido rígido del sólido deformable respecto a la distancia entre sus puntos? 4. ¿Qué hipótesis geométricas debe cumplir una barra prismática elemental? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Cómo se clasifican las cargas externas según el área o medio de aplicación sobre el elemento?

Punto material Equilibrio gobernado únicamente por fuerzas concurrentes Sólido rígido Modelo indeformable con equilibrio de fuerzas y momentos Sólido deformable Distancias relativas variables bajo cargas mecánicas Elasticidad Estudia sólidos generales sin restricciones de forma Resistencia de materiales Aplica hipótesis simplificativas para el cálculo estructural Acciones cinemáticas y estáticas a) Fuerzas moleculares e inerciales b) Fuerzas de superficie y de volumen c) Esfuerzos axiales y momentos flectores d) Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 4 6. En un sólido deformable, las ecuaciones de equilibrio estático tradicionales son: 7.

¿Cuál es la función del método de las secciones en el análisis de una barra prismática? 8. ¿Qué restricción geométrica cualitativa se exige a la directriz de una barra prismática elemental? 2 Tensiones, deformaciones y el problema elástico AL ACABAR SABRÁS Definir rigurosamente el vector tensión y su dimensión física. Calcular e interpretar las deformaciones lineales y angulares tanto medias como instantáneas. Esquematizar el problema elástico y clasificar sus ecuaciones fundamentales de enlace. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Qué magnitud mide si una barra estirada sufre una alteración intensa: el alargamiento total en milímetros o el alargamiento relativo a su tamaño inicial?

Vector tensión Al someter un cuerpo a fuerzas externas, las acciones internas por unidad de superficie definen el estado tensional. El vector tensión representa el límite de la fuerza interna elemental respecto al elemento de área : El vector tensión tiene dimensión física de presión (fuerza dividida por superficie) y posee una dirección espacial cualquiera según la orientación del corte examinado.

Condiciones necesarias pero no suficientes a) Condiciones totalmente suficientes de equilibrio b) Inaplicables en cualquier circunstancia c) Válidas únicamente sin fuerzas de masa d) Medir el cambio térmico de la pieza a) Determinar la masa molecular del contorno b) Comprobar la hipótesis de rigidez infinita c) Calcular esfuerzos internos sustituyendo partes eliminadas d) No poseer una curvatura pronunciada a) Mantenerse en un plano vertical b) Presentar saltos continuos de sección c) Tener forma circular obligatoria d) σ Δ f ΔS = σ ΔS 0 lim ΔS Δ f Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 5 Cinemática de la deformación Cuando un sólido deformable recibe solicitaciones, sus puntos experimentan un desplazamiento global.

Este desplazamiento total se divide en dos componentes simultáneos: Un movimiento de sólido rígido (traslación y rotación sin distorsión). Una deformación relativa que altera distancias y ángulos internos. Para cuantificar la variación longitudinal se define la deformación lineal media de un segmento inicial de longitud que se transforma en : La deformación lineal instantánea en un punto concreto corresponde al paso al límite cuando la longitud original tiende a cero: La distorsión geométrica angular se define a través de tres puntos de referencia.

La deformación angular media representa la variación del ángulo original respecto al ángulo deformado : Al aproximar simultáneamente los puntos auxiliares al vértice ( , ), se obtiene la deformación angular puntual : La deformación, tanto lineal como angular, es una magnitud adimensional. ERROR FRECUENTE Asignar unidades de longitud a la deformación longitudinal . Como expresa el cociente entre el cambio de longitud y la longitud inicial ( ), es estrictamente adimensional. COMPRUEBA 10 ¿En qué partes se descompone el desplazamiento de los puntos de un sólido deformable?

Esquema relacional del problema elástico El planteamiento analítico de la elasticidad conecta cuatro campos de variables mediante tres sistemas fundamentales de ecuaciones: ε m s s ε = m s s s ε = s 0 lim s s s θ θ γ = m θ θ A 0 B 0 γ γ = (θ A 0 B 0 lim θ ) ε ε = ΔL/L 0 Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 6 PROCESO Estructura del problema elástico 1 Fuerzas exteriores Acciones mecánicas aplicadas sobre el sólido 2 Tensiones internas Fuerzas por unidad de área vinculadas por equilibrio 3 Deforma ciones Cambios de forma li gados a tensiones por comportamiento 4 Desplaza mientos Movimientos de pun tos ligados por compatibilidad Grupo de ecuaciones Variables que vincula Significado físico Ecuaciones de equilibrio Fuerzas externas con tensiones Garantizan el balance estático diferencial.

Ecuaciones de compatibilidad Desplazamientos con deformaciones Aseguran la continuidad del medio sin desgarros ni huecos. Ecuaciones de comportamiento Tensiones con deformaciones Caracterizan la respuesta elástica propia del material. IDEAS CLAVE El vector tensión representa la fuerza interna por unidad de área y posee dimensiones de presión. El desplazamiento total de un punto engloba movimiento de cuerpo rígido y deformación pura. Las deformaciones longitudinales y angulares son magnitudes adimensionales. El problema elástico vincula fuerzas, desplazamientos, tensiones y deformaciones mediante tres familias de ecuaciones. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11.

¿Cuál es la expresión de la deformación lineal instantánea en un punto? 12. ¿Qué variables físicas relacionan las ecuaciones de compatibilidad? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Qué dimensión física tiene el vector tensión? Dimensión de fuerza pura a) Dimensión de volumen b) Magnitud adimensional c) Dimensión de presión d) Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 7 14. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe la deformación angular? 15. ¿Qué ecuaciones vinculan directamente las tensiones con las deformaciones en el problema elástico? 16.

La deformación lineal media es una magnitud que se caracteriza por ser: 3 Hipótesis fundamentales de la Teoría de la Elasticidad AL ACABAR SABRÁS Diferenciar las hipótesis de homogeneidad, continuidad e isotropía del medio material. Interpretar los conceptos de elasticidad biunívoca, linealidad y pequeñas deformaciones. Aplicar el principio de superposición para relacionar cargas mecánicas y desplazamientos. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Por qué en estructuras habituales calculamos las tensiones usando los planos originales en lugar de los planos de la pieza ya flectada?

Hipótesis de carga: aplicación progresiva La formulación clásica parte de considerar una aplicación progresiva y lenta de las fuerzas. Al aplicarse con suficiente lentitud, los efectos de inercia resultan despreciables frente a las solicitaciones internas, resultando de plena aplicación las ecuaciones generales de la estática: Hipótesis sobre la constitución del medio Para formular las propiedades del material se asumen tres condiciones teóricas de constitución: Homogeneidad: la materia presenta propiedades idénticas en todos sus puntos. Continuidad: el material no presenta discontinuidades, huecos ni intersticios internos a escala de cálculo.

Variación del ángulo entre líneas del sólido a) Fuerza ejercida por unidad de longitud transversal b) Distancia lineal recorrida por el centroide c) Incremento absoluto de masa por unidad de área d) Ecuaciones de equilibrio a) Ecuaciones de compatibilidad b) Ecuaciones de comportamiento c) Ecuaciones cinemáticas puras d) Estrictamente adimensional a) Medida directamente en Newtons b) Expresada en metros cuadrados c) Equivalente a una presión d) = F , = 0 M 0 Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 8 Isotropía: las propiedades mecánicas permanecen constantes en todas las direcciones espaciales consideradas.

Hipótesis sobre la respuesta mecánica Estas asunciones caracterizan la relación funcional entre tensiones y deformaciones (o bien entre fuerzas aplicadas y desplazamientos resultantes ): Linealidad: la respuesta mecánica del sólido es estrictamente lineal ( ). Elasticidad: la correspondencia funcional es biunívoca; al anularse la fuerza externa se restituye íntegramente la configuración original sin deformación remanente. Pequeñas deformaciones: los desplazamientos que experimentan los puntos son tan reducidos que cualquier análisis cinemático o de equilibrio puede resolverse asumiendo la geometría del sólido indeformado.

ESQUEMA Hipótesis constitutivas y de comportamiento en Elasticidad Principio de superposición Como consecuencia de la linealidad de las ecuaciones y la hipótesis de pequeñas deformaciones, rige el principio de superposición: cuando concurren varias causas mecánicas, el efecto total es la suma de los efectos individuales correspondientes a cada una de ellas: F u F u Hipótesis de constitución Condiciones sobre la estructura del material Homogeneidad Comportamiento idéntico en cada punto espacial Continuidad Sin discontinuidades, poros ni fisuras internas Isotropía Propiedades idénticas en todas direcciones Hipótesis de comportamiento Respuesta cinemática y estática ante cargas Linealidad Proporcionalidad directa entre causas y efectos Elasticidad Relación biunívoca sin deformación residual Pequeñas deformaciones Equilibrio analizado sobre la geometría indeformada u(αF + 1 βF ) = 2 αu(F ) + 1 βu(F ) α, β 2 Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 9 ERROR FRECUENTE Confundir homogeneidad (invarianza de propiedades con la posición geométrica) con isotropía (invarianza de propiedades con la dirección).

Un sólido puede ser homogéneo pero poseer diferente resistencia según el eje de carga, lo que constituye un comportamiento anisótropo. COMPRUEBA 18 ¿En qué condición cinemática se sustenta la hipótesis de pequeñas deformaciones al formular el equilibrio? IDEAS CLAVE La aplicación lenta de las cargas permite despreciar las fuerzas de inercia. El material elástico ideal se considera homogéneo, continuo e isótropo. La elasticidad impone una relación biunívoca entre carga y deformación. El principio de superposición permite sumar linealmente los efectos de solicitaciones independientes. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Qué postula la hipótesis de continuidad del medio material? 20.

¿Cuál es la expresión matemática del principio de superposición de efectos? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. ¿Qué establece la hipótesis de isotropía en un material? 22. ¿Por qué se asume la hipótesis de carga lenta o progresiva?

Misma densidad molecular en todos los puntos a) Propiedades mecánicas idénticas en todas direcciones b) Comportamiento puramente elástico sin fractura c) Ausencia absoluta de deformaciones residuales d) Para eliminar los efectos de la presión superficial a) Para poder despreciar las fuerzas de inercia b) Para evitar el uso de funciones trigonométricas c) Para impedir que la barra experimente tracción d) Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 10 23. En el marco de las pequeñas deformaciones, ¿sobre qué geometría se formula el equilibrio? 24. Si una respuesta elástica es biunívoca, ¿qué ocurre al retirar la fuerza aplicada?

4 Formulario Equilibrio estático y método de las secciones Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : fuerzas externas e internas; : momentos resultantes Condición necesaria de equilibrio estático en sólidos rígidos y deformables bajo cargas progresivas lentas. Método de las secciones: corte ficticio separar semisólido sustituir parte eliminada por resultante de fuerzas y momentos internos Procedimiento de equilibrio seccional Para definir y calcular esfuerzos internos en barras prismáticas continuas y sin cambios bruscos de sección.

Tensiones y deformaciones Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : vector tensión; : fuerza interna elemental; : diferencial de área Para calcular la tensión puntual interna en una faceta orientada de un corte. : deformación lineal media e instantánea; : longitud inicial; : longitud final Para cuantificar el alargamiento o acortamiento unitario adimensional en una dirección. : distorsión angular media e instantánea; : ángulo inicial; : ángulo deformado Para cuantificar la distorsión angular adimensional entre dos direcciones ortogonales.

Sobre una geometría ficticia amplificada a) Sobre la configuración inicial indeformada b) Únicamente sobre el centro de masas medio c) Sobre la geometría distorsionada final d) El material experimenta histéresis estática a) Se mantiene una deformación permanente b) Aumenta la energía cinética residual c) El sólido regresa a su estado inicial d) = F , = 0 M 0 F M = σ lim ΔS 0 ΔS Δ f σ Δ f ΔS ε = m , ε = s s s lim s 0 s s s ε , ε m s s γ = m θ θ , γ = lim (θ A,B 0 θ ) γ , γ m θ θ Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 11 Problema elástico y principio de superposición Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Resolución elástica: Fuerzas Tensiones (equilibrio) Tensiones Deformaciones (comportamiento) Deformaciones Desplazamientos (compatibilidad) Tres sistemas de ecuaciones acopladas Planteamiento analítico completo del sólido elástico deformable.

: respuesta o desplazamiento; : solicitaciones independientes; : constantes escalares En medios elásticos lineales bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones. Errores típicos Considerar que y son suficientes para el sólido deformable: son necesarias, pero se requiere además equilibrio interno local en cada parte. Asignar unidades de longitud a la deformación longitudinal o angular : ambas son estrictamente adimensionales. Confundir homogeneidad (propiedades invariables frente a la posición) con isotropía (propiedades invariables frente a la dirección).

u(αF + 1 βF ) = 2 αu(F ) + 1 βu(F ) α, β 2 u F , F 1 2 α, β = F 0 = M 0 ε γ Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 12 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque las vigas reales alteran su forma bajo carga, generando tensiones y deformaciones internas que condicionan su resistencia y que el modelo indeformable ignora. 2. Porque el sólido deformable puede subdividirse; para estar en equilibrio elástico, las fuerzas internas generadas entre sus partículas deben contrarrestar a las exteriores en cada porción del cuerpo. 3.

En el sólido rígido las distancias relativas entre puntos son invariables bajo cualquier carga, mientras que en el deformable los puntos cambian su posición relativa. 4. Su directriz no puede tener una curvatura pronunciada y su sección transversal no debe variar de forma brusca. 5. c) Fuerzas de superficie y de volumen. Las fuerzas externas se dividen en fuerzas aplicadas en el contorno (superficie) o distribuidas en la masa (volumen). 6. a) Condiciones necesarias pero no suficientes. El equilibrio global de fuerzas y momentos no basta por sí solo; se exige además el equilibrio interno en cada sección. 7. d) Calcular esfuerzos internos sustituyendo partes eliminadas.

Consiste en seccionar la barra y sustituir el semisólido retirado por la resultante de fuerzas y momentos transmitidos. 8. a) No poseer una curvatura pronunciada. La barra prismática exige que la directriz carezca de curvatura acusada y que su sección no experimente cambios bruscos. 9. El alargamiento relativo (deformación lineal), pues permite evaluar la solicitación unitaria del material independientemente de la longitud original de la pieza. 10. En una componente de desplazamiento de sólido rígido y en una componente de deformación interna del material. 11. Corresponde al límite cuando el segmento tiende a cero del cociente entre el incremento de longitud y la longitud original: . 12.

Relacionan los desplazamientos que experimentan los puntos del sólido con las deformaciones del material. 13. d) Dimensión de presión. El vector tensión se define como el cociente entre una fuerza diferencial y un área diferencial, por lo que tiene unidad de presión. 14. a) Variación del ángulo entre líneas del sólido. La deformación angular cuantifica el cambio en el ángulo formado originalmente por los segmentos materiales considerados. 15. c) Ecuaciones de comportamiento. Las leyes o ecuaciones de comportamiento definen la relación mecánica directa entre tensiones y deformaciones. 16. a) Estrictamente adimensional.

Al relacionar la variación de una longitud con respecto a otra longitud, el resultado carece de dimensiones físicas. 17. Porque asumimos la hipótesis de pequeñas deformaciones, donde los cambios geométricos son tan minúsculos que no alteran significativamente el planteamiento estático. 18. En que las modificaciones de forma son tan minúsculas que las ecuaciones de equilibrio pueden plantearse directamente sobre la geometría inicial indeformada. 19. Establece que el sólido no varía abruptamente de un punto a otro y que no existen huecos ni intersticios en su constitución. 20. Se expresa como para escalares cualesquiera y .

ε = lim s 0 s s s u(αF + 1 βF ) = 2 αu(F ) + 1 βu(F ) 2 α β Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 13 21. b) Propiedades mecánicas idénticas en todas direcciones. La isotropía garantiza que la respuesta del material no varía según la orientación espacial en que se evalúe. 22. b) Para poder despreciar las fuerzas de inercia. Una aplicación gradual y lenta reduce la aceleración, haciendo despreciables los términos de inercia dinámica. 23. b) Sobre la configuración inicial indeformada. Al ser los desplazamientos extremadamente reducidos, el análisis estático se plantea sobre la geometría original del elemento. 24. d) El sólido regresa a su estado inicial.

La biunivocidad elástica asegura que a fuerza nula le corresponde un desplazamiento o deformación nula de retorno. Introducción a la Elasticidad y Resistencia de Materiales 14