Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales

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APUNTES RESISTENCIA DE MATERIALES Grado en Tecnologías Industriales y Análisis Económico Universidad Politécnica de Cataluña AprenAI 2026-2027 Apuntes y formulario de criterios de fallo: Haigh-Westergaard, Rankine, Tresca, von Mises, Beltrami, teoría de Mohr y cálculo del coeficiente de seguridad.

APREN.AI Índice 1 Espacio de Haigh-Westergaard y Comportamiento Mecánico Representación en el espacio de tensiones principales Superficies límite: comportamiento dúctil y frágil 2 Criterios Clásicos de Tensión, Deformación y Energía Criterios basados en tensiones y deformaciones Criterios energéticos: Beltrami y von Mises 3 Teoría de Estados Límite de Mohr y Coeficiente de Seguridad Teoría de los estados límite de Mohr Definición del coeficiente de seguridad 4 Formulario Representación tensional y parámetro de Lode Criterios clásicos de fallo Teoría de Mohr y coeficiente de seguridad Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 1 1 Espacio de Haigh-Westergaard y Comportamiento Mecánico AL ACABAR SABRÁS Descomponer el pseudovector de tensiones en parte esférica y parte desviadora. Diferenciar las condiciones de fallo por comportamiento dúctil frente al comportamiento frágil. Calcular el parámetro de Lode para identificar el tipo de solicitación aplicada. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Puede un bloque metálico plastificar si se le aplica una presión hidrostática homogénea en todas las direcciones?

Representación en el espacio de tensiones principales Para determinar cuándo un estado tensional provoca el fallo mecánico, el tensor de tensiones se representa mediante un pseudovector en el espacio de Haigh-Westergaard formado por las tensiones principales . Este pseudovector se descompone en dos contribuciones: La componente hidrostática o pseudovector esférico depende del primer invariante tensional . La componente desviadora o pseudovector desviador representa los esfuerzos cortantes que distorsionan el elemento.

(σ , σ , σ ) I II III = s + s0 = sd + I /3 1 I /3 1 I /3 1 σ I /3 I 1 σ I /3 II 1 σ I /3 III 1 s0 I 1 sd Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 2 Esquema de las superficies de plastificación y rotura en tensiones principales. Superficies límite: comportamiento dúctil y frágil La respuesta de rotura o deformación depende de la estructura interna del material y de las características de las tensiones actuantes: Comportamiento dúctil: el sólido experimenta fluencia antes de alcanzar la rotura. La superficie de plastificación se define mediante .

En ensayos con compresión tridimensional, Bridgman demostró que la plastificación depende exclusivamente del tensor desviador, permaneciendo la respuesta volumétrica elástica. Comportamiento frágil: el material fractura de modo súbito sin experimentar deformación plástica previa. Su límite lo define la superficie . Cuanto mayor sea el peso de la parte esférica del tensor, mayor resulta la probabilidad de rotura frágil. Para caracterizar la forma del estado tensional se emplea el parámetro de Lode : Este parámetro toma valores de referencia según la solicitación dominante: -1 para tracción simple, 0 para cortadura pura y +1 para compresión simple.

α(σ , σ , σ ) = I II III σ e g(σ , σ , σ ) = I II III σ r μ μ = 2 σ σ I III σ σ II III 1 Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 3 PARA RECORDARLO Los experimentos históricos de Lode (tracción y presión interna, 1926), Taylor-Quinney (tracción combinada con torsión, 1931) y Bridgman (1945) confirmaron que la plastificación en metales es independiente de la componente esférica o presión hidrostática. COMPRUEBA 2 ¿Por qué las compresiones hidrostáticas elevadas no inducen plastificación en sólidos dúctiles según los ensayos de Bridgman?

ESQUEMA Descomposición del tensor en Haigh- Westergaard IDEAS CLAVE El estado tensional se descompone en un pseudovector esférico y un pseudovector desviador. La plastificación de los materiales dúctiles es independiente de la parte esférica del tensor. Un aumento en la componente esférica favorece el comportamiento frágil frente al dúctil. El parámetro de Lode cuantifica la geometría del estado tensional entre tracción pura, cortadura y compresión. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Qué valores adopta el parámetro de Lode en tracción simple y en cortadura pura? 4. ¿De qué componente del tensor de tensiones depende la plastificación en materiales dúctiles? Test Rodea la respuesta correcta.

Las soluciones están al final. 5. ¿Qué componente del tensor tensional gobierna el fenómeno de la fluencia en materiales dúctiles? Pseudovector de tensiones Vector con componentes principales Pseudovector esférico Determinado por I1/3 Pseudovector desviador Diferencia con el término esférico El primer invariante exclusivamente a) El pseudovector esférico b) El pseudovector desviador c) La presión hidrostática media d) Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 4 6. ¿Qué valor adquiere el parámetro de Lode ante una solicitación de cortadura pura? 7. ¿Cómo influye un incremento de la componente esférica sobre el modo de fallo? 8.

¿Qué investigador evaluó experimentalmente la tracción combinada con torsión en 1931? 2 Criterios Clásicos de Tensión, Deformación y Energía AL ACABAR SABRÁS Calcular la tensión equivalente mediante las teorías de Rankine, Tresca, Saint-Venant y von Mises. Comparar los valores resistentes críticos obtenidos en situaciones de cortadura pura. Vincular las hipótesis físicas de fluencia por distorsión formuladas por Hencky, Nadai y von Mises. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Por qué un eje de acero en torsión falla a un nivel de cortante inferior a su límite elástico en tracción simple?

Criterios basados en tensiones y deformaciones Un criterio de fallo establece una función escalar que correlaciona un estado multiaxial complejo con la capacidad resistente evaluada en un ensayo elemental de tracción simple ( o ). Criterio y autores Hipótesis física de fallo Expresión de la tensión equivalente ( ) Límite en cortadura pura Rankine - Lamé Tensión normal máxima en cualquier plano. ( ) Saint Venant - Poncelet (1870) Deformación longitudinal unitaria máxima. (con ) Tresca - Guest (1872) Tensión tangencial máxima ( ).

0 a) -1 b) +1 c) 0,5 d) Induce fluencia plástica inmediata a) Disminuye la tensión equivalente b) Anula las tensiones principales c) Favorece el comportamiento frágil d) Taylor y Quinney a) Bridgman b) Haigh y Westergaard c) Lode d) f(σ , σ , σ ) = I II III K σ e σ r σ eq σ = eq R max{ σ , σ , σ } I II III τ = σ e 1,00 σ e σ = eq SV max{ σ I ν(σ + II σ ) , σ III III ν(σ + I σ ) } II τ = 1+ν σ e 0,77 σ e ν = 0,3 τ max σ = eq T σ I σ III τ = 0,50 σ e Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 5 Los criterios de Rankine y Saint-Venant resultan adecuados para estimar la rotura frágil, pero no son válidos para modelar la fluencia dúctil.

En contraposición, el criterio de Tresca proporciona una aproximación contrastada para plastificación, siendo independiente del invariante esférico. Criterios energéticos: Beltrami y von Mises El criterio de Beltrami (1885) postula que el fallo ocurre cuando la densidad de energía de deformación total alcanza el valor límite del ensayo uniaxial: Para cortadura pura, Beltrami predice un límite admisible de (para ). No resulta idóneo para predecir plastificación, aunque estima la rotura con cierto margen conservador.

El criterio de von Mises - Hencky - Nadai formula que la plastificación la desencadena la distorsión, interpretada bajo tres enfoques equivalentes: En cortadura pura (donde , , ), el valor de colapso plástico según von Mises resulta: ERROR FRECUENTE Asumir que el límite a cortadura pura es idéntico en todos los criterios. Cada teoría predice un umbral distinto: Tresca predice , von Mises , Beltrami y Rankine . Emplear la formulación de Rankine en metales dúctiles subestima notablemente el riesgo de plastificación. COMPRUEBA 10 ¿Qué relación predice el criterio de Tresca entre la tensión tangencial máxima y el límite elástico uniaxial en cortadura pura?

σ = eq B = σ + σ + σ 2ν(σ σ + σ σ + σ σ ) I 2 II 2 III 2 I II I III II III < I 2(1 + ν)I 1 2 2 σ e τ = 2(1+ν) σ e 0,62 σ e ν = 0,3 Hencky: iguala la energía de distorsión (energía que altera la forma sin variar el volumen) a la del límite elástico en tracción. 1 Nadai: postula que el fallo se produce cuando la tensión tangencial octaédrica alcanza su umbral crítico. 2 von Mises: describe geométricamente en el espacio de Haigh-Westergaard un cilindro circunscrito al prisma hexagonal de Tresca.

3 σ = eq V M < (σ σ ) + (σ σ ) + (σ σ ) 2 1 [ I II 2 I III 2 II III 2] σ e σ = I τ σ = II 0 σ = III τ σ = eq V M = τ + (2τ) + τ 2 1 [ 2 2 2] τ 3 τ = 3 σ e 0,577 σ e 0,50 σ e 0,577 σ e 0,62 σ e 1,00 σ e Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 6 CRONOLOGÍA Evolución cronológica de los criterios clásicos IDEAS CLAVE Rankine basa el fallo en la tensión normal máxima y es adecuado solo para fractura frágil. Tresca fundamenta la plastificación en la máxima tensión tangencial, dando . Beltrami computa la energía de deformación total del sistema, incluyendo deformaciones volumétricas.

Von Mises, Hencky y Nadai formulan el criterio de la energía de distorsión, obteniendo en cortadura. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Cuál es la expresión de la tensión equivalente de Tresca a partir de las tensiones principales ordenadas? 12. ¿Qué tres interpretaciones físicas fundamentan la formulación de von Mises? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Qué tensión tangencial crítica predice von Mises para cortadura pura? 14. ¿Qué criterio de fallo se basa en la deformación unitaria máxima? 15. ¿En qué año formuló Beltrami su criterio de la energía de deformación? 1870 Saint Venant-Poncelet formula la deformación unitaria máxima.

1872 Tresca-Guest establece el criterio de la tensión tangencial máxima. 1885 Beltrami plantea la energía global de deformación. τ = 0,50 σ e τ = 0,577 σ e 0,770 σe a) 1,000 σe b) 0,500 σe c) 0,577 σe d) Saint Venant - Poncelet a) Tresca - Guest b) Beltrami c) Rankine - Lamé d) 1870 a) 1872 b) 1885 c) 1926 d) Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 7 16. ¿Cuál es el valor límite a cortadura pura previsto por Rankine? 3 Teoría de Estados Límite de Mohr y Coeficiente de Seguridad AL ACABAR SABRÁS Interpretar la envolvente límite de Mohr en el plano tensión tangencial frente a normal. Calcular el coeficiente de seguridad en elementos sometidos a tensión multiaxial.

Diferenciar la tensión de fallo aplicable en materiales dúctiles frente a materiales frágiles. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Por qué no basta con limitar las tensiones principales por separado para garantizar la integridad de un componente frágil? Teoría de los estados límite de Mohr La teoría de Mohr determina la condición de fallo mediante una envolvente experimental trazada de forma tangente a los círculos de Mohr que representan diversos estados de agotamiento resistente: En este planteamiento, un círculo tensional cuyo contorno quede en el interior de la envolvente corresponde a un estado admisible.

Si el círculo corta o sobrepasa dicha envolvente, se alcanza una condición de fallo no permitida. Diagrama de la envolvente de Mohr con círculos admisibles y no admisibles. τ = σe a) τ = 0,577 σe b) τ = 0,5 σe c) τ = 0,62 σe d) σ = eq M σ I k σ < III σ t Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 8 Este criterio no se considera adecuado para plastificación en materiales con comportamiento simétrico a tracción y compresión, siendo su principal ámbito de aplicación la predicción de la rotura en materiales frágiles que presentan resistencias desiguales.

Definición del coeficiente de seguridad El dimensionamiento estructural exige mantener los niveles tensionales alejados del límite de rotura o de fluencia. Con esta finalidad se define el coeficiente de seguridad como la relación entre la tensión de fallo del material y la tensión equivalente representativa del estado tensional: La tensión admisible o de trabajo se establece garantizando un margen frente al agotamiento según el tipo de material: Para materiales dúctiles: el fallo lo determina la plastificación, por lo que la tensión límite de trabajo es . Para materiales frágiles: el fallo se asocia a la rotura, quedando fijada la tensión admisible por .

La condición de validez para el diseño estructural queda satisfecha cuando la tensión equivalente del sistema no excede la tensión admisible: . ERROR FRECUENTE Utilizar indistintamente el límite de fluencia ( ) o la resistencia a la rotura ( ) para definir la tensión admisible. En materiales dúctiles la seguridad se referencia frente a para impedir deformaciones residuales, mientras que en materiales frágiles se referencia frente a . COMPRUEBA 18 ¿Cómo se comprueba gráficamente en el diagrama de Mohr si un estado tensional es admisible?

PROCESO Evaluación de seguridad estructural 1 Tensor de tensio nes Determinación de tensiones prin cipales actuantes 2 Tensión equiva lente Cálculo mediante el criterio seleccionado 3 Verificación de margen Comprobación de sigma_eq me nor a sigma_T m m = σ eq σ fallo σ T σ = T m σ e σ = T m σ r σ eq σ T σ e σ r σ e σ r Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 9 IDEAS CLAVE La teoría de Mohr construye experimentalmente una envolvente tangente a los círculos límites de fallo. El método de Mohr está especialmente concebido para materiales frágiles. El coeficiente de seguridad relaciona la tensión de fallo del material con la tensión equivalente actuante.

La tensión de trabajo admisible toma como referencia la fluencia en dúctiles y la rotura en frágiles. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Cuál es la expresión de la tensión admisible para un material frágil con factor de seguridad ? 20. ¿Qué representa analíticamente el término en el criterio de Mohr? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. ¿Cómo se define el coeficiente de seguridad m frente a tensiones? 22. ¿Qué tensión límite se utiliza al calcular la tensión de trabajo de un material dúctil? 23. ¿Qué representa un círculo de Mohr que intersecta la envolvente límite exterior? 24.

¿Para qué tipo de materiales es idóneo el criterio de Mohr frente a la plastificación?

m σ I k σ III σ_eq / σ_fallo a) σ_fallo / σ_eq b) σ_e / σ_r c) σ_T · σ_eq d) Módulo de elasticidad transversal a) Tensión de fluencia (σe) b) Tensión de rotura (σr) c) Tensión hidrostática media d) Un coeficiente de seguridad infinito a) Un estado tensional no permitido b) Un estado de compresión isótropa c) Una situación puramente elástica d) Sólidos incompresibles únicamente a) Materiales plásticos ideales b) Fluidos newtonianos c) Materiales frágiles d) Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 10 4 Formulario Representación tensional y parámetro de Lode Fórmula o procedimiento Significado de los términos Aplicación : pseudovector tensional; : parte esférica; : parte desviadora; : primer invariante ( ).

Descomposición de tensiones en el espacio de Haigh-Westergaard. : parámetro de Lode; : tensiones principales ordenadas. Caracterización de la forma del estado tensional (-1: tracción, 0: cortadura pura, +1: compresión). Criterios clásicos de fallo Criterio y fórmula de Límite en cortadura pura Ámbito de aplicación Rankine: Fallo frágil por tensión normal máxima; no apto para plastificación. Saint-Venant: (para ) Fallo por deformación máxima longitudinal; adecuado para rotura. Tresca: Plastificación de materiales dúctiles por tensión tangencial máxima. Beltrami: Criterio de energía de deformación total; no idóneo para fluencia.

von Mises: Plastificación dúctil por energía de distorsión o tensión octaédrica.

= s + s 0 = s d + I /3 1 I /3 1 I /3 1 σ I /3 I 1 σ I /3 II 1 σ I /3 III 1 s s 0 s d I 1 σ + I σ + II σ III μ = 2 σ σ I III σ σ II III 1 μ σ I σ II σ III σ eq σ = eq R max{ σ , σ } I III σ e τ = σ e σ = eq SV max{ σ I ν(σ + II σ ) , σ III III ν(σ + I σ ) } II σ e τ = 1+ν σ e 0,77 σ e ν = 0,3 σ = eq T σ I σ III σ e τ = 0,50 σ e σ = eq B I 2(1 + ν)I 1 2 2 σe τ = 2(1+ν) σ e 0,62 σ e σ = eq V M (σ σ ) + (σ σ ) + (σ σ ) 2 1 [ I II 2 I III 2 II III 2] σ e τ = 3 σ e 0,577 σ e Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 11 Teoría de Mohr y coeficiente de seguridad Fórmula o procedimiento Significado de los términos Cuándo se usa : tensión equivalente; : factor de escala experimental; : resistencia a tracción.

Rotura de materiales frágiles con resistencias desiguales a tracción y compresión. : coeficiente de seguridad; (dúctiles) o (frágiles); : tensión admisible de trabajo. Dimensionamiento y comprobación de seguridad estructural ante cargas multiaxiales. σ = eq M σ I k σ III σ t σ eq M k σ t m = σ eq σ fallo σ eq σ = T m σ fallo m σ = fallo σ e σ r σ T Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 12 Soluciones de las preguntas de repaso 1. No, porque la presión puramente hidrostática solo genera variación volumétrica elástica sin producir esfuerzos cortantes que activen la plastificación. 2.

Porque la plastificación depende exclusivamente de la parte desviadora del tensor de tensiones, mientras que la presión hidrostática solo modifica el volumen de forma elástica sin generar distorsión plástica. 3. Vale para tracción simple y para cortadura pura. 4. Depende exclusivamente del pseudovector desviador . 5. c) El pseudovector desviador. Los ensayos experimentales confirman que la plastificación depende del tensor desviador y no del esférico. 6. a) 0. La cortadura pura sitúa el estado tensional intermedio exactamente en mu = 0. 7. d) Favorece el comportamiento frágil.

A mayor influencia del tensor esférico, se incrementa la probabilidad de una fractura frágil sin deformación plástica. 8. a) Taylor y Quinney. Taylor y Quinney realizaron en 1931 ensayos combinados de tracción y torsión para verificar criterios tensionales. 9. Porque los criterios de plastificación demuestran que el cortante puro induce estados de tracción y compresión combinados que agotan la capacidad tangencial a un 50 % o 57,7 % del límite elástico uniaxial. 10. Predice un valor límite de , pues la diferencia tensional principal en torsión pura es . 11. La tensión equivalente es . 12.

La energía de cambio de forma (Hencky), la tensión tangencial octaédrica (Nadai) y el cilindro circunscrito a Tresca (von Mises). 13. d) 0,577 σe. Al operar con las tensiones principales en cortadura pura, la condición resulta tau = / sqrt(3) 0,577 . 14. a) Saint Venant - Poncelet. Saint Venant y Poncelet formularon que el fallo sobreviene cuando la deformación longitudinal unitaria máxima alcanza la del ensayo uniaxial. 15. c) 1885. El criterio energético de Beltrami se propuso en 1885. 16. a) τ = σe. Rankine solo compara la máxima tensión normal, que en cortadura pura coincide con el valor numérico de tau, igualándolo a . 17.

Porque la coexistencia de tensiones de signos opuestos magnifica los círculos de Mohr y puede rebasar la envolvente límite aunque las tensiones individuales parezcan bajas. 18. Comprobando que el círculo de Mohr del estado tensional quede íntegramente contenido dentro de la curva envolvente de estados límite sin cortar ni sobrepasar dicha frontera. 19. La tensión admisible es . 20. Representa la tensión equivalente del criterio de Mohr que debe permanecer inferior a la resistencia límite . 21. b) σ_fallo / σ_eq. El coeficiente de seguridad se define dividiendo la tensión límite de fallo entre la tensión equivalente calculada.

μ = 1 μ = 0 s d τ = 0,5 σ e τ ( τ) = 2τ = σ e σ = eq T σ I σ III sigma e sigma e sigma e σ = T σ /m r σ t Criterios de Plastificación y Rotura: Resistencia de Materiales 13 22. b) Tensión de fluencia (σe). En sólidos dúctiles se toma como límite de fallo la tensión de fluencia para evitar la deformación plástica permanente. 23. b) Un estado tensional no permitido. Cualquier círculo que supere la curva envolvente corresponde a un estado en el que se ha sobrepasado la resistencia del material. 24. d) Materiales frágiles. El modelo de Mohr está orientado a la rotura de materiales frágiles, resultando inadecuado para plastificación simétrica.

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