Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes

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APUNTES ESTADÍSTICA Y OPTIMIZACIÓN Grado en Ingeniería Informática Universidad de Lleida AprenAI 2026-2027 Domina la integral de Riemann, Barrow, técnicas de integración (partes y sustitución), series de Fourier y el teorema de Dirichlet con teoría y ejemplos.

APREN.AI Índice 1 Integral de Riemann y Teorema Fundamental del Cálculo Construcción geométrica de la integral Cálculo de áreas mediante primitivas 2 Técnicas de Integración Indefinida Propiedades de la integral indefinida Integrales inmediatas Métodos de integración: partes y cambio de variable 3 Series de Fourier y Teorema de Dirichlet Simetrías y funciones periódicas Desarrollo en serie de Fourier Convergencia y Teorema de Dirichlet 4 Formulario Cálculo integral y Teorema Fundamental Métodos de integración indefinida Series de Fourier y Teorema de Dirichlet Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 1 1 Integral de Riemann y Teorema Fundamental del Cálculo AL ACABAR SABRÁS Definir las sumas superior e inferior de Riemann a partir de una partición. Comprobar el criterio de integrabilidad en funciones elementales. Aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow para determinar áreas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué aproximar una región curva sumando rectángulos finitos permite deducir con exactitud su área?

Construcción geométrica de la integral La integral definida permite obtener el valor del área comprendida entre una curva y el eje horizontal dentro del intervalo cerrado . Esquema de aproximación de área mediante rectángulos interiores y exteriores. Para aproximar este valor numérico, se establece una partición de puntos en el intervalo: con . En cada subintervalo elemental , identificamos el valor mínimo y el valor máximo . A partir de estos extremos construimos dos aproximaciones del área: Suma inferior de Riemann: Suma superior de Riemann: Por definición geométrica, el área real queda acotada entre ambas sumas: . y = f(x) [a, b] P = {x , x , …

, x } 0 1 n a = x < 0 x < 1 < x = n b [x , x ] i 1 i m = i min{f(x) x [x , x ]} i 1 i M = i max{f(x) x [x , x ]} i 1 i L(f, P ) = m (x i=1 n i i x ) i 1 U(f, P ) = M (x i=1 n i i x ) i 1 A L(f, P ) A U(f, P ) Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 2 Gráfica de sumas de Riemann para la función cuadrática. DEFINICIÓN Considerando todas las particiones posibles de , se definen: Integral inferior de Riemann: . Integral superior de Riemann: . Decimos que es integrable según Riemann si y solo si . En dicho caso, el área buscada coincide con ese valor común. EJEMPLO Sea la función indicatriz de racionales en , donde si y si .

Para cualquier partición, en todo subintervalo hay racionales e irracionales, por lo que y . Así, y . Como , la función no es integrable en el sentido de Riemann. COMPRUEBA 2 ¿Por qué la función de Dirichlet sobre racionales e irracionales en [0,1] no resulta integrable según Riemann? Cálculo de áreas mediante primitivas El cálculo sistemático de integrales no requiere evaluar límites de sumatorios gracias a la relación entre derivación e integración.

[a, b] L(f) = sup{L(f, P )} U(f) = inf{U(f, P )} f L(f) = U(f) [0, 1] f(x) = 1 x Q f(x) = 0 x / Q m = i 0 M = i 1 L(f) = 0 U(f) = 1 L(f) = U(f) Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 3 Gráfica de la función integral acumulada en el intervalo. Definimos la función área acumulada para . De acuerdo con el Teorema Fundamental del Cálculo, si es continua e integrable, resulta derivable y se verifica que . A una función cuya derivada coincide con el integrando se la denomina primitiva. PARA RECORDARLO La Regla de Barrow conecta la integral definida con cualquier primitiva de la función: ERROR FRECUENTE No confundir el cálculo de una primitiva algebraica con la integral definida.

Si se omiten los límites de integración o se evalúa en orden invertido, se obtendrá un valor con signo incorrecto para el área neta. PROCESO Cálculo de la integral de Riemann 1 Partición Dividir el intervalo [a, b] en subintervalos 2 Extremos locales Hallar mínimos y má ximos en cada tramo 3 Sumas de Riemann Calcular L(f, P) y U(f, P) 4 Condición de coincidencia Comprobar si su premo de L iguala ín fimo de U F (x) = f(t) dt a x x [a, b] f F (x) F (x) = f(x) F f(x) dx = a b F (b) F (a) F (a) F (b) Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 4 IDEAS CLAVE El área bajo una curva se acota mediante sumas inferiores y superiores de Riemann.

Una función es integrable cuando el supremo de las sumas inferiores coincide con el ínfimo de las superiores. El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivada de la función área acumulada es la propia función original. La regla de Barrow evalúa la integral definida restando los valores de una primitiva en los extremos: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Qué condición analítica debe cumplirse para afirmar que una función es integrable según Riemann en un intervalo cerrado? 4. ¿Qué establece la regla de Barrow a partir del Teorema Fundamental del Cálculo? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Qué representa la suma inferior de Riemann L(f, P)? 6.

¿Cuándo se considera integrable Riemann una función? 7. En la función indicatriz de los racionales en [0,1], ¿cuál es el valor de U(f)? 8. Según el Teorema Fundamental del Cálculo, si F(x) = _a^x f(t) dt, ¿cuál es F'(x)?

F (b) F (a) El valor exacto de la primitiva a) El promedio de alturas locales b) La suma de áreas con ínfimos c) La suma de áreas con máximos d) Si su derivada existe siempre a) Si L(f) es igual a U(f) b) Si es estrictamente positiva c) Si carece de puntos racionales d) 1/2 a) Infinito b) 1 c) 0 d) f(a) a) 0 b) f(x) c) f(b) - f(a) d) Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 5 2 Técnicas de Integración Indefinida AL ACABAR SABRÁS Identificar primitivas inmediatas de funciones simples y compuestas. Aplicar el método de integración por partes a combinaciones algebraicas y trascendentes. Efectuar cambios de variable consistentes sustituyendo adecuadamente el diferencial.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Por qué no todas las integrales se resuelven de forma directa como ocurre con las derivadas elementales? Propiedades de la integral indefinida La derivada de una constante es nula. Por ello, dos primitivas y de una misma función solo difieren en una constante aditiva : . La integración es un operador lineal: Integrales inmediatas A partir de las reglas básicas de derivación, se deducen las antiderivadas de funciones simples y compuestas: Función elemental Primitiva elemental Versión compuesta ( ) COMPRUEBA 10 ¿Por qué se añade siempre la constante arbitraria C en las integrales indefinidas?

F (x) 1 F (x) 2 C R F (x) = 1 F (x) + 2 C Suma de funciones: 1 (f + g) = f + g Producto por escalar: 2 λf = λ f, λ R xn n = 1 + n+1 xn+1 C u u dx = n + n+1 un+1 C 1/x ln x + C dx = u u ln u + C ex e + x C e u dx = u e + u C ax + ln a ax C a u dx = u + ln a au C cos x sen x + C (cos u)u dx = sen u + C sen x cos x + C (sen u)u dx = cos u + C 1+x2 1 arctg x + C dx = 1+u2 u arctg u + C 1 x2 1 arcsen x + C dx = 1 u2 u arcsen u + C Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 6 Métodos de integración: partes y cambio de variable Cuando un integrando no es inmediato, se aplican dos técnicas estructurales: DEFINICIÓN La fórmula de integración por partes proviene de la regla de derivación de un producto: , que se formula comúnmente como: Resulta especialmente útil en productos de polinomios con funciones exponenciales, logarítmicas o trigonométricas.

DEFINICIÓN La integración por cambio de variable invierte la regla de la cadena. Si hacemos con : EJEMPLO Para resolver , definimos , con lo cual . La integral se transforma directamente en . ERROR FRECUENTE Al aplicar un cambio de variable , nunca olvides despejar y sustituir el diferencial correspondiente ( en función de ). Dejar integrales con variables mezcladas invalida por completo el cálculo. Ciertas funciones, como , no admiten una primitiva expresable mediante combinaciones elementales de operaciones algebraicas y trascendentes (forma cerrada).

ESQUEMA Técnicas de integración fg = fg f g u dv = u v v du x = g(t) dx = g (t) dt f(x) dx = f(g(t))g (t) dt e cos x dx sen x t = senx dt = cos x dx e dt = t e + t C = e + sen x C t = g(x) dx dt f(x) = ex2 Inmediatas Tablas directas y funciones compuestas Por partes u·v - v du para productos Cambio de variable Sustitución x = g(t) Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 7 IDEAS CLAVE Dos primitivas cualesquiera de una misma función continua difieren en una constante aditiva. La integración es lineal respecto a la adición y al escalamiento por números reales. La integración por partes transforma el producto de funciones trasladando el operador derivativo.

El cambio de variable traduce el problema utilizando la regla de la cadena en sentido inverso. Existen funciones continuas cuya antiderivada no se puede representar en forma cerrada elemental. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿De qué regla fundamental del cálculo diferencial proviene la fórmula de integración por partes? 12. ¿Qué ocurre con la primitiva de una función continua como f(x) = ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Qué relación guardan entre sí dos primitivas de la misma función? 14. ¿Cuál es la expresión estándar de integración por partes? 15. ¿Cuál es la primitiva elemental de sen(x)? 16.

¿Para qué tipos de productos resulta adecuado el método por partes? ex2 Tienen derivadas distintas a) Son inversas entre sí b) Difieren únicamente en una constante c) Son siempre múltiplos constantes d) u dv = u v + v du a) u dv = u v · v du b) u dv = u v - v du c) u dv = u' v - v' du d) -cos(x) + C a) tg(x) + C b) cos(x) + C c) -sen(x) + C d) Polinomio por exponencial o trigonométrica a) Constantes por polinomios b) Cociente de raíces no reducibles c) Sumas directas de logaritmos d) Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 8 3 Series de Fourier y Teorema de Dirichlet AL ACABAR SABRÁS Reconocer las propiedades de simetría par e impar y su repercusión en la integración definida.

Calcular los coeficientes de Fourier , y para funciones periódicas en [-π, π]. Determinar el valor de convergencia de una serie de Fourier en puntos continuos y discontinuos con el teorema de Dirichlet. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Cómo es posible reproducir una onda discontinua o cuadrada sumando únicamente funciones senoidales y cosenoidales suaves? Simetrías y funciones periódicas El comportamiento de una función en intervalos simétricos simplifica el cálculo integral: Función par: cumple . Presenta simetría axial respecto al eje de ordenadas. Se verifica que . Función impar: verifica . Posee simetría central respecto al origen. Por consiguiente, .

Función periódica: posee un periodo si para cualquier punto de su dominio. Gráfica de simetría par y áreas equivalentes en el intervalo. El producto de dos funciones impares o dos funciones pares genera una función par, mientras que el producto de una función par por una impar es siempre impar.

Desarrollo en serie de Fourier Una función periódica de periodo puede descomponerse en una superposición de armónicos sinusoidales mediante su serie de Fourier : a 0 a n b n f(x) = f( x) f(x) dx = a a 2 f(x) dx 0 a f(x) = f( x) f(x) dx = a a 0 P f(x) = f(x + P ) 2π S (x) f Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 9 DEFINICIÓN Debido a la ortogonalidad de las funciones trigonométricas en , los coeficientes de Fourier se calculan como: , para , para Si la función es par, todos los coeficientes se anulan. Si es impar, se anulan tanto como los coeficientes . COMPRUEBA 18 Si f(x) es una función impar de periodo 2π, ¿cuánto valen sus coeficientes a_n para todo n 0?

Convergencia y Teorema de Dirichlet Esquema del promedio de límites laterales según Dirichlet en un salto. El Teorema de Dirichlet describe a qué valor converge la serie de Fourier en cada punto: f(x) + 2 a 0 (a cos(nx) + n=1 n b sen(nx)) n [ π, π] a = 0 f(x) dx π 1 π π a = n f(x) cos(nx) dx π 1 π π n 1 b = n f(x) sen(nx) dx π 1 π π n 1 b n a 0 a n S (x) f En puntos de continuidad: la serie coincide con la función original, .

1 S (a) = f f(a) En puntos de discontinuidad de salto: la serie converge exactamente al promedio de los límites laterales: 2 S (a) = f ( f(x) + 2 1 x a lim f(x)) x a+ lim Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 10 Aproximación por serie de Fourier de una función periódica cuadrática. EJEMPLO Para la onda cuadrada definida por en y en , la simetría es impar, por lo que y . Los coeficientes senoidales valen si es impar, y si es par. En el punto de salto , la serie converge a . ERROR FRECUENTE Olvidar el factor en el término constante de la serie. La definición habitual fija , lo que obliga a dividirlo entre 2 en la serie para que represente el valor medio de la función.

ESQUEMA Coeficientes según la paridad f(x) = 1 [ π, 0] f(x) = 1 (0, π) a = 0 0 a = n 0 b = n nπ 4 n b = n 0 n x = 0 = 2 1+1 0 1/2 a /2 0 a = 0 f(x) dx π 1 π π Función par b_n = 0; solo a_0 y cosenos Función impar a_0 = 0 y a_n = 0; solo senos Sin paridad Requiere calcular a_0, a_n y b_n Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 11 IDEAS CLAVE Las integrales en dominios simétricos de funciones impares son nulas, mientras que en funciones pares se duplican. Una serie de Fourier descompone funciones de periodo en sumas infinitas de funciones trigonométricas. La paridad anula componentes: funciones pares solo contienen cosenos; funciones impares solo contienen senos.

El teorema de Dirichlet garantiza que en discontinuidades de salto la serie converge al punto medio de los límites laterales. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Qué valor adopta la serie de Fourier en un punto de discontinuidad x = a según Dirichlet? 20. ¿Por qué se simplifica el cálculo de los coeficientes de Fourier cuando f(x) es una función par? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. En un intervalo simétrico [-a, a], ¿cuál es la integral de una función impar? 22. Si una función es puramente par, ¿cuáles coeficientes de Fourier se anulan por completo? 23.

Según el Teorema de Dirichlet, si f(x) presenta un salto entre 2 y 6 en x = a, ¿a qué valor converge la serie? 24. ¿Cuál es el periodo natural estándar considerado en el desarrollo básico de Fourier expuesto?

2π Cero a) 2 veces la integral de 0 a a b) El valor medio en el origen c) No converge d) Ningún coeficiente a) Todos los b) b n Todos los c) a n Únicamente d) a 0 0 a) 2 b) 4 c) 6 d) 4π a) 2π b) 1 c) π d) Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 12 4 Formulario Cálculo integral y Teorema Fundamental Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa , : sumas inferior y superior; : ínfimo y supremo en cada subintervalo Acotación de áreas y definición formal de la integral de Riemann. , Comprobación analítica de la integrabilidad según Riemann en .

Identificar primitiva tal que Evaluar extremos Calcular : función continua; : primitiva o antiderivada; : límites de integración Regla de Barrow para el cálculo exacto de la integral definida. Métodos de integración indefinida Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa Elegir Obtener Aplicar : factores diferenciables del integrando Integrales de productos (polinomio con exponencial, trigonométrica o logaritmo). Definir Diferenciar Integrar en Deshacer cambio : variable auxiliar; : función de cambio diferenciable e invertible Integración por cambio de variable o sustitución.

Series de Fourier y Teorema de Dirichlet Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : serie de Fourier; : coeficientes armónicos Desarrollo armónico de funciones periódicas con periodo . , , : índice de armónicos Cálculo de los coeficientes de la serie de Fourier en el intervalo . : punto de discontinuidad de salto finito Teorema de Dirichlet para evaluar la convergencia en saltos de la función. Errores típicos Olvidar el factor en el término independiente al escribir la serie de Fourier.

L(f, P ) f(x)dx a b U (f, P ) L(f, P ) U (f, P ) m , M i i L(f) = U (f) f integrable L(f) = sup{L(f, P )} U (f) = inf{U (f, P )} [a, b] F F = f F (b) F (a) f F a, b u, dv du, v u dv = uv v du u, v x = g(t) dx = g (t)dt t t g(t) S (x) = f + 2 a 0 (a cos(nx) + n=1 n b sen(nx)) n S (x) f a , a , b 0 n n 2π a = 0 f(x)dx π 1 π π a = n f(x)cos(nx)dx π 1 π π b = n f(x)sen(nx)dx π 1 π π n 1 [ π, π] S (a) = f (lim f(x) + 2 1 x a lim f(x)) x a+ a 1/2 a /2 0 Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 13 Omitir la diferenciación del cambio de variable, dejando términos mezclados con en lugar de .

Invertir el orden de evaluación en la regla de Barrow calculando , lo que cambia el signo del resultado. Calcular coeficientes innecesarios sin aprovechar la paridad: en funciones pares y en impares . dx dt F (a) F (b) b = n 0 a = 0 a = n 0 Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 14 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque al refinar indefinidamente la partición, las diferencias entre el área por defecto y por exceso se anulan en el límite para funciones integrables. 2. Porque cualquier subintervalo contiene tanto racionales como irracionales, fijando siempre el ínfimo local en 0 y el supremo en 1.

En consecuencia, la integral inferior vale 0 y la superior 1, impidiendo que coincidan. 3. La integral inferior debe ser estrictamente igual a la integral superior . 4. Garantiza que la integral definida en un intervalo se obtiene directamente evaluando la diferencia , siendo una primitiva de la función. 5. c) La suma de áreas con ínfimos. Se construye empleando el mínimo de la función en cada subintervalo. 6. b) Si L(f) es igual a U(f). La integrabilidad exige la coincidencia de las integrales inferior y superior. 7. c) 1. En cada tramo el supremo local vale 1, por lo que la suma superior es 1. 8. c) f(x).

La derivada de la función área acumulada respecto del límite superior coincide con la función original evaluada en dicho punto. 9. Porque la operación de derivar sigue reglas mecánicas fijas para productos y composiciones, mientras que integrar requiere reconocer la estructura de la antiderivada de modo inverso. 10. Porque la derivada de una constante es cero, de modo que toda la familia de curvas trasladadas verticalmente comparte idéntica función derivada. 11. Se deduce de la regla de derivación para el producto de dos funciones: . 12. Aunque la función es integrable y admite primitiva, esta no se puede escribir mediante una combinación de funciones elementales o fórmula cerrada. 13.

c) Difieren únicamente en una constante. Como la derivada de una constante es cero, dos antiderivadas difieren únicamente en un término aditivo constante. 14. c) u dv = u v - v du. La fórmula general derivada del producto de funciones es uv - v du. 15. a) -cos(x) + C. La derivada de -cos(x) proporciona directamente sen(x). 16. a) Polinomio por exponencial o trigonométrica. Permite reducir sistemáticamente el grado del polinomio al diferenciarlo junto a un factor cíclico o exponencial. 17. Mediante una suma infinita de armónicos sinusoidales de frecuencias crecientes cuyos coeficientes ponderan adecuadamente la contribución de cada armónico. 18.

Valen cero, ya que el producto de una función impar por cos(nx) (que es par) resulta impar, y la integral simétrica entre -π y π de una función impar es siempre nula. 19. Converge a la media aritmética de sus límites laterales en dicho punto: . 20. Porque todos los términos se anulan al ser integrales de funciones impares sobre un intervalo simétrico. 21. a) Cero. Las áreas con signo en lados opuestos del origen se cancelan exactamente. 22. b) Todos los . Los coeficientes multiplican a sen(nx), que es impar, anulándose por simetría. 23. c) 4. Converge al promedio entre el límite por la izquierda y por la derecha: (2 + 6)/2 = 4.

L(f) = sup{L(f, P )} U (f) = inf{U (f, P )} [a, b] F (b) F (a) F (f g) = f g + fg lim f(x) + lim f(x) 2 1 ( x a x a+ ) b n b n b n Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 15 24. b) 2π. El desarrollo clásico básico de la serie armónica se formula para funciones de periodo fundamental 2π. Integración de Riemann y series de Fourier: apuntes 16