Formulario de Estadística y Optimización

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APUNTES ESTADÍSTICA Y OPTIMIZACIÓN Grado en Ingeniería Informática Universidad de Lleida AprenAI 2026-2027 Formulario completo de estadística descriptiva, probabilidad, modelos, estimación paramétrica, intervalos de confianza, contrastes chi-cuadrado y ANOVA.

APREN.AI Índice 1 Estadística descriptiva univariante y bivariante Estadística descriptiva univariante: posición y dispersión Muestras bivariantes con variables cualitativas: tablas de contingencia Variables cuantitativas bivariantes y regresión lineal simple 2 Fundamentos de probabilidad y variables aleatorias Fundamentos y cálculo de probabilidades Condicionamiento, independencia y teorema de Bayes Variables aleatorias unidimensionales: discretas y continuas Transformaciones lineales y desigualdad de Chebyshev Variables multidimensionales, dependencia y correlación 3 Modelos de probabilidad y teorema del límite central Modelos discretos basados en ensayos de Bernoulli Procesos de Poisson: conteos y tiempos de espera Distribuciones continuas: uniforme y normal Aproximaciones entre distribuciones y corrección por continuidad Teorema del Límite Central 4 Distribuciones de muestreo y estimación puntual Muestreo aleatorio simple y estadísticos muestrales Distribuciones asociadas al muestreo Métodos de estimación puntual Criterios de evaluación de estimadores 5 Inferencia paramétrica: intervalos de confianza y contrastes de hipótesis Fundamentos de la estimación por intervalos y contrastes Intervalos de confianza para una y dos poblaciones Contrastes de hipótesis paramétricos 6 Contrastes no paramétricos y análisis de la varianza (ANOVA) Contrastes no paramétricos basados en la distribución Chi-cuadrado Análisis de la varianza (ANOVA) de un factor Comparaciones múltiples a priori: Diferencia Mínima Significativa (LSD) 7 Formulario Estadística descriptiva y regresión lineal Probabilidad y variables aleatorias Modelos de probabilidad y Teorema del Límite Central Inferencia paramétrica e intervalos de confianza Formulario de Estadística y Optimización 1 ANOVA y contrastes no paramétricos Constantes y errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante.

Formulario de Estadística y Optimización 2 1 Estadística descriptiva univariante y bivariante AL ACABAR SABRÁS Calcular los estadísticos univariantes de posición central y dispersión sobre muestras cuantitativas Distinguir formalmente la varianza muestral descriptiva de la cuasivarianza muestral Construir e interpretar frecuencias relativas marginales y condicionadas en tablas de contingencia Calcular la recta de regresión lineal simple por mínimos cuadrados y su coeficiente de determinación PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué no basta con conocer la media aritmética para describir la distribución de una muestra?

La estadística descriptiva proporciona herramientas matemáticas para resumir y extraer patrones a partir de conjuntos de observaciones numéricas o categóricas, ya procedan de una única característica o de varias simultáneamente. ESQUEMA Estructura de la estadística descriptiva Estadística descriptiva univariante: posición y dispersión Sea una muestra unidimensional formada por observaciones cuantitativas .

Para sintetizar la localización central de los datos se emplean los estadísticos de posición: Media aritmética ( ): suma de todas las observaciones dividida entre el tamaño muestral: Descriptiva univariante Análisis de una única variable cuantitativa Medidas de posición Media y mediana ordenada Medidas de dispersión Recorridos, varianzas y CV Descriptiva bivariante Estudio conjunto de dos variables Variables cualitativas Tablas cruzadas e independencia Variables cuantitativas Covarianza, correlación y regresión n {x } i i=1 n x ˉ = x ˉ n x i i Formulario de Estadística y Optimización 3 Mediana ( ): valor que ocupa el centro de la distribución una vez ordenados los datos de menor a mayor ( ).

Su cálculo depende de la paridad de : Para cuantificar la variabilidad o grado de separación respecto a los valores centrales, se definen los estadísticos de dispersión: Recorrido muestral (Re): diferencia entre el valor máximo y el mínimo observados, . Recorrido intercuartílico (RQ): amplitud entre el percentil 75 y el percentil 25, dada por . Varianza muestral ( ): promedio de los desvíos cuadráticos respecto a la media: Desviación típica ( ): raíz cuadrada no negativa de la varianza, . Cuasivarianza muestral ( ): variabilidad calculada dividiendo por los grados de libertad : Cuasidesviación típica ( ): raíz cuadrada positiva de la cuasivarianza, .

Coeficiente de variación de Pearson (CV): medida de dispersión relativa adimensional definida como el cociente entre la desviación típica y el módulo de la media: ERROR FRECUENTE Confundir el divisor de la varianza muestral descriptiva con el de la cuasivarianza. La varianza divide entre , mientras que la cuasivarianza divide entre . Usar en un cálculo puramente descriptivo de varianza muestral falsea el resultado numérico. COMPRUEBA 2 ¿Cómo se obtiene el valor de la cuasivarianza si únicamente se conoce la varianza muestral descriptiva y el tamaño de la muestra?

Muestras bivariantes con variables cualitativas: tablas de contingencia Cuando se registran dos caracteres cualitativos sobre un mismo individuo, los datos se ordenan en una tabla de doble entrada a partir del recuento de casos conjuntos .

Tipo de frecuencia Notación absoluta Notación relativa Fórmula de cálculo Conjunta x ~ x 1 x 2 x n n = x ~ x , 2 n+1 x + x , 2 1 ( 2 n +1 2 n ) si n es impar si n es par Re = x m x a ˊ x m n ı ˊ RQ = x 0,75 x 0,25 s2 s = 2 = n (x ) i i x ˉ 2 n x i i 2 x ˉ2 s s = + s2 s 2 n 1 s = 2 = n 1 (x ) i i x ˉ 2 = n 1 x n i i 2 x ˉ2 s n 1 n 2 s s = + s 2 CV = x ˉ s s2 n s 2 n 1 n 1 {x , y , n } i j ij n ij f ij f = ij n n ij Formulario de Estadística y Optimización 4 Tipo de frecuencia Notación absoluta Notación relativa Fórmula de cálculo Marginal de (suma fila) Marginal de (suma columna) Condicionada de — Condicionada de — DEFINICIÓN Dos variables cualitativas e presentan independencia estadística si y sólo si cada frecuencia relativa conjunta equivale al producto directo de sus respectivas frecuencias marginales: COMPRUEBA 3 ¿Qué relación numérica debe cumplirse entre una celda conjunta y las marginales de su fila y columna para asegurar independencia empírica?

Variables cuantitativas bivariantes y regresión lineal simple Si la muestra reúne pares ordenados numéricos , el grado y sentido de la asociación entre las dos variables se evalúa mediante estadísticos conjuntos: Covarianza ( ): promedio del producto de las desviaciones simultáneas respecto de las medias correspondientes: Coeficiente de correlación lineal de Pearson ( ): cuantifica la fuerza de la relación lineal de manera normalizada e independiente de las unidades de medida: El modelado de dependencia lineal de una variable respuesta sobre una variable predictora se establece con la recta de regresión de sobre , cuya ecuación es .

Los parámetros ajustados por el método de mínimos cuadrados resultan: Pendiente de la recta ( ): Ordenada en el origen ( ): X n i f i f = i n n i Y n j f j f = j n n j X Y = y j f i j f = i j n j n ij Y X = x i f j i f = j i n i n ij X Y f = ij f × i f (x , y ) j i j {x , y } i i i=1 n s xy s = xy = n (x )(y ) i j i x ˉ i y ˉ n x y i j i i x ˉ y ˉ r xy r = xy s s x y s xy Y X Y X Y = a + bX b b = s x 2 s xy a a = y ˉ bx ˉ Formulario de Estadística y Optimización 5 La bondad de ajuste del modelo lineal se evalúa a través del coeficiente de determinación lineal ( ).

En el contexto de la regresión lineal simple coincide con el cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson: COMPRUEBA 4 ¿Cuál es el denominador que determina la pendiente de la recta de regresión de Y sobre X? IDEAS CLAVE La media aritmética promedia las observaciones y la mediana identifica el centro de la serie ordenada, distinguiendo entre tamaño par o impar. La varianza muestral descriptiva se divide entre , mientras que la cuasivarianza muestral incorpora el divisor . El coeficiente de variación de Pearson expresa la dispersión relativa de forma adimensional. La independencia estadística en tablas de contingencia exige que para todas las categorías.

La recta de regresión lineal simple tiene pendiente , pasa por el centro de gravedad y su ajuste global viene dado por . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Cuál es la diferencia en el cálculo de la mediana para una muestra con número impar de datos respecto a una con número par? 6. ¿Cómo se calcula la frecuencia relativa condicionada de dado en una tabla de contingencia? 7. ¿Qué relación vincula al coeficiente de determinación con el coeficiente de correlación lineal en un modelo lineal simple? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 8. ¿Qué divisor caracteriza a la cuasivarianza muestral?

R2 R = 2 r xy 2 n n 1 CV = s/ x ˉ f = ij f × i f j b = s /s xy x 2 ( , ) x ˉ y ˉ R = 2 r xy 2 Y X = x i R2 r xy La raíz de n menos uno a) El total muestral menos uno b) El tamaño muestral n c) El cuadrado de la media d) Formulario de Estadística y Optimización 6 9. ¿Cómo se define el coeficiente de variación de Pearson? 10. ¿Cuándo son estadísticamente independientes dos variables cualitativas? 11. ¿Cuál es la expresión de la pendiente b en la regresión de Y sobre X?

2 Fundamentos de probabilidad y variables aleatorias AL ACABAR SABRÁS Aplicar los axiomas de Kolmogorov, la probabilidad total y el teorema de Bayes para evaluar sucesos condicionados Calcular esperanzas, varianzas y probabilidades acumuladas distinguiendo variables discretas y continuas Acotar la dispersión probabilística mediante la desigualdad de Chebyshev y aplicar propiedades lineales de operadores Determinar distribuciones marginales, condicionadas y evaluar la independencia y correlación de vectores aleatorios PIÉNSALO ANTES DE LEER 12 ¿Si dos variables aleatorias presentan una covarianza exactamente igual a cero, significa obligatoriamente que son independientes?

Fundamentos y cálculo de probabilidades La probabilidad cuantifica la incertidumbre de que ocurra un determinado suceso dentro de un espacio muestral . Históricamente conviven tres interpretaciones principales: Interpretación clásica (Laplace): asume sucesos elementales equiprobables. Se define como el cociente entre el tamaño o número de casos favorables del suceso y el tamaño total de . Interpretación frecuentista: concibe la probabilidad como el límite al que tiende la frecuencia relativa de un suceso cuando el experimento se repite un número indefinido de veces.

Varianza entre la media a) Media dividida por la desviación b) Desviación típica entre módulo de media c) Cuasidesviación entre la varianza d) Si fij = fi· × f·j para todo par a) Si todos los nij son idénticos b) Si la suma por filas es constante c) Si la covarianza es positiva d) s_xy / ² a) s x s_xy / ( ) b) s x s y ² / s_xy c) s x s_xy / ² d) s y E A E Formulario de Estadística y Optimización 7 Interpretación subjetiva: mide el grado o valor de certeza personal que un observador asigna a la veracidad de un hecho incierto.

Desde la perspectiva matemática formal, la probabilidad es una medida sobre los sucesos de regida por tres axiomas fundamentales: A partir de estos principios se derivan dos propiedades operativas clave: la probabilidad del suceso contrario cumple , y la probabilidad de la unión general de dos sucesos cualesquiera descuenta la intersección para no duplicar su peso: . Condicionamiento, independencia y teorema de Bayes La incorporación de información previa transforma el espacio de posibilidades. La probabilidad condicionada de presenciar un suceso habiendo ocurrido el suceso (con ) se formaliza mediante: De esta relación se desprende la regla del producto para la intersección: .

Dos sucesos y presentan independencia estocástica si y solo si la verificación de uno no altera la probabilidad del otro, lo cual equivale a la factorización multiplicativa P(A B) = P(A) P(B). Cuando el espacio muestral queda fragmentado en una partición de sucesos disjuntos y exhaustivos , la probabilidad total de cualquier suceso se obtiene agregando sus trayectorias posibles: Invirtiendo el orden temporal o causal del suceso mediante la regla de la probabilidad condicionada, se formula el teorema de Bayes, que permite calcular la probabilidad a posteriori de una causa concreta dado que se ha observado el resultado : E No negatividad: para cualquier suceso , .

1 A P (A) 0 Certeza: la probabilidad del suceso seguro es la unidad, . 2 P (E) = 1 Aditividad finita para sucesos disjuntos: si dos sucesos y son incompatibles ( ), se verifica que . 3 A B A B = P (A B) = P (A) + P (B) A P ( ) = A 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) B A P (A) > 0 P (B A) = P (A) P (B A) P (A B) = P (A)P (B A) A B E A , A , …

, A 1 2 n B P (B) = P (B A )P (A ) = i=1 n i i P (B A )P (A ) + 1 1 P (B A )P (A ) + 2 2 + P (B A )P (A ) n n A j B P (A B) = j = P (B) P (B A ) j P (B A )P (A ) i=1 n i i P (B A )P (A ) j j Formulario de Estadística y Optimización 8 PROCESO Estructura del Teorema de Bayes COMPRUEBA 13 ¿Por qué se resta P(A B) al calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos no disjuntos? Variables aleatorias unidimensionales: discretas y continuas Una variable aleatoria traslada los resultados de un experimento a la recta real. Su comportamiento acumulado se describe mediante la función de distribución acumulada , válida tanto para modelos discretos como continuos.

A partir de ella, la probabilidad asignada a un intervalo semiabierto es siempre . Las características matemáticas difieren según la naturaleza del soporte: Variable discreta: toma un conjunto numerable de valores. Su asignación puntual es la función de cuantía o masa de probabilidad , con la condición de cierre . La función acumulada responde a , mientras que la masa puntual se recupera restando escalones adyacentes: . Variable continua: toma valores en intervalos reales continuos y la probabilidad en un punto aislado es nula: . La asignación se realiza mediante la función de densidad de probabilidad , cuya área total bajo la curva verifica .

La acumulación toma la forma de integral: , permitiendo evaluar intervalos mediante .

Magnitud Variable Discreta Variable Continua Función de distribución Condición de normalización Partición del espacio Sucesos A1 hasta An disjuntos y exhaustivos 1 Probabilidades a priori Valores conocidos P(Ai) de cada causa 2 Verosimilitudes Condicionadas de la evidencia P(B"Ai) 3 Probabilidad total Cálculo global del denominador P(B) 4 Probabilidad a posteriori Actualización P(Aj"B) mediante Bayes 5 F (x) = P (X x) P (a < X b) = F (b) F (a) f(x) = P (X = x) f(x) = x 1 F (x) = f(y) y x f(x) = F (x) F (x 1) P (X = x) = 0 f(x) = F (x) f(x) dx = + 1 F (x) = f(y) dy x P (a < X b) = f(x) dx a b F (x) f(y) y x f(y)dy x f(x) = x 1 f(x)dx = + 1 Formulario de Estadística y Optimización 9 Magnitud Variable Discreta Variable Continua Esperanza matemática Varianza La varianza admite de forma universal el cómputo abreviado .

Transformaciones lineales y desigualdad de Chebyshev El operador valor esperado satisface linealidad directa ante sumas y transformaciones afines: y . En cambio, la dispersión cuadrática absorbe constantes fijas y eleva al cuadrado los factores de escala: . Cuando se desconoce la distribución subyacente de una variable con media y desviación típica , la desigualdad de Chebyshev acota la concentración de probabilidad en torno a la media para cualquier constante : ERROR FRECUENTE Olvidad escalar al cuadrado el factor multiplicativo dentro de la varianza: escribir anula el ejercicio.

La varianza mide desviaciones al cuadrado, por lo que la constante sale cuadrática ( ) y la traslación fija no aporta dispersión alguna (+0). COMPRUEBA 14 Según la desigualdad de Chebyshev, ¿cuál es la probabilidad mínima de que una variable aleatoria caiga en el intervalo (μ - 2σ, μ + 2σ)? Variables multidimensionales, dependencia y correlación El vector describe el comportamiento conjunto de dos variables. Su función de distribución conjunta es , computable mediante el sumatorio bidimensional en el caso discreto o mediante la integral iterada en el continuo. Inversamente, en variables continuas la densidad conjunta se recupera mediante la derivada cruzada , cumpliéndose que .

Para aislar el comportamiento de una de las variables eliminando la influencia de la otra, se calculan las distribuciones marginales integrando o sumando sobre todo el recorrido de la variable secundaria (véanse las nociones descriptivas en «Estadística descriptiva univariante y bivariante»): Marginal Caso Discreto Caso Continuo E(X) = μ xf(x) x xf(x)dx + Var(X) = σ2 (x x μ) f(x) 2 (x + μ) f(x)dx 2 Var(X) = E(X ) 2 [E(X)]2 E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) E(a + bX) = a + bE(X) Var(a + bX) = b Var(X) 2 μ σ k > 1 P ( X μ < kσ) 1 k2 1 Var(a + bX) = bVar(X) b2 a (X, Y ) F (x, y) = P (X x, Y y) f(u, v) u x v y f(u, v) du dv x y f(x, y) = (x, y) x y F 2 P ((X, Y ) A) = f(x, y) dx dy A f (x) X f(x, y) y f(x, y)dy + f (y) Y f(x, y) x f(x, y)dx + Formulario de Estadística y Optimización 10 Las distribuciones condicionadas reflejan la ley probabilística de una variable fijado el valor de la otra: y .

Las variables son independientes si y solo si la función conjunta se factoriza exactamente en el producto de sus marginales para todo punto: . El grado de asociación lineal se cuantifica a través de la covarianza poblacional: De ella se extrae el coeficiente de correlación lineal normalizado: Propiedades estructurales de la covarianza y la varianza conjunta: Varianza de la suma: . Independencia frente a incorrelación: si X e Y son independientes, entonces Cov(X, Y) = 0; sin embargo, el recíproco no siempre es cierto (una covarianza nula no garantiza la independencia estocástica). Transformaciones afines: y consecuentemente cuando y poseen el mismo signo.

ESQUEMA Relaciones entre variables bidimensionales COMPRUEBA 15 Si dos variables verifican Cov(X, Y) = 0, ¿se puede asegurar que son independientes?

f (x) = X Y =y f (y) Y f(x,y) f (y) = Y X=x f (x) X f(x,y) f(x, y) = f (x)f (y) X Y Cov(X, Y ) = E[(X μ )(Y X μ )] = Y E(XY ) μ μ X Y ρ(X, Y ) = Var(X)Var(Y ) Cov(X, Y ) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y ) Cov(a + bX, c + dY ) = bdCov(X, Y ) ρ(a + bX, c + dY ) = ρ(X, Y ) b d Distribución conjunta Ley f(x,y) o acumulada F(x,y) Marginales Comportamiento univariante aislado Condicionadas Ley fijando el valor de la otra variable Independencia estocástica Factorización conjunta f(x,y) = fx(x)fy(y) Asociación lineal Covarianza y coeficiente rho Incorrelación Covarianza nula Cov(X,Y) = 0 Formulario de Estadística y Optimización 11 IDEAS CLAVE Los axiomas de probabilidad exigen no negatividad, certeza del espacio muestral y aditividad finita en sucesos disjuntos.

El teorema de Bayes permite computar probabilidades a posteriori combinando verosimilitudes condicionadas con el teorema de la probabilidad total. En variables continuas la probabilidad puntual es nula ( ), evaluándose intervalos mediante integrales de la función de densidad. La desigualdad de Chebyshev asegura que al menos una fracción de la distribución reside dentro del intervalo de desviaciones típicas respecto a la media. Las distribuciones marginales se obtienen sumando o integrando la función conjunta respecto a la variable que se desea eliminar. La independencia estocástica implica covarianza nula ( ), pero la ausencia de covarianza no garantiza independencia estocástica general.

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 16. ¿Cómo se obtiene la función de masa puntual f(x) a partir de la función de distribución acumulada F(x) en una variable discreta entera? 17. ¿Qué efecto tienen las constantes a y b sobre la varianza al transformar linealmente una variable mediante a + bX? 18. ¿Cuál es la expresión general de la varianza de la suma de dos variables aleatorias X e Y? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 19. ¿Cuál es la condición para que la probabilidad de la unión cumpla P(A B) = P(A) + P(B)? 20. ¿Qué valor toma la probabilidad puntual P(X = x) en una variable aleatoria continua? 21.

Si dos variables aleatorias X e Y son estocásticamente independientes, ¿qué ocurre con su covarianza? P (X = x) = 0 1 1/k2 k Cov(X, Y ) = 0 Que P(A) sea igual a P(B) a) Que el espacio muestral sea simétrico b) Que A y B sean sucesos disjuntos c) Que A y B sean sucesos independientes d) El valor de la densidad f(x) a) El valor acumulado F(x) b) Exactamente 0 c) Exactamente 1 d) Es estrictamente igual a 0 a) Coincide con la suma de varianzas b) Es estrictamente igual a 1 c) No se puede calcular sin conocer las medias d) Formulario de Estadística y Optimización 12 22. Bajo transformaciones lineales, ¿a qué equivale la expresión Var(5 - 3X)?

3 Modelos de probabilidad y teorema del límite central AL ACABAR SABRÁS Identificar los parámetros, media y varianza de los modelos discretos y continuos estándar Calcular probabilidades mediante tipificación en la distribución normal Determinar las condiciones de aproximación entre distribuciones aplicando la corrección por continuidad Aplicar el Teorema del Límite Central al cálculo probabilístico de sumas y medias muestrales PIÉNSALO ANTES DE LEER 23 ¿Por qué la suma de muchas variables con cualquier forma gráfica acaba dibujando siempre una campana de Gauss?

Modelos discretos basados en ensayos de Bernoulli Los modelos discretos describen variables que toman valores aislados, generalmente conteos. La base de muchos de ellos es el ensayo de Bernoulli: un experimento con solo dos resultados posibles (éxito con probabilidad o fracaso con probabilidad ). La distribución binomial cuantifica el número de éxitos obtenidos al ejecutar repeticiones independientes de un ensayo de Bernoulli. Se denota como , donde . Su función de masa de probabilidad es: Su media es y su varianza es . Presenta además la propiedad reproductiva: si y son independientes, su suma cumple .

La distribución binomial negativa, notada , modela el número total de pruebas independientes que se deben llevar a cabo hasta registrar el -ésimo éxito ( ): Tiene esperanza y varianza . Cuando fijamos , el modelo recibe el nombre de distribución geométrica, cuya función de distribución acumulada (véase «Fundamentos de probabilidad y variables aleatorias») adopta la forma cerrada . 5 - 3 Var(X) a) 9 Var(X) b) -3 Var(X) c) 25 + 9 Var(X) d) p 1 p X n X Bin(n, p) x {0, 1, … , n} f(x) = p (1 ( x n ) x p)n x E(X) = np Var(X) = np(1 p) X 1 Bin(n , p) 1 X 2 Bin(n , p) 2 X + 1 X 2 Bin(n + 1 n , p) 2 BinNeg(r, p) X r x {r, r + 1, …

} f(x) = p (1 ( r 1 x 1 ) r p)x r E(X) = r/p Var(X) = r(1 p)/p2 r = 1 F (x) = 1 (1 p)x Formulario de Estadística y Optimización 13 Por su parte, el modelo hipergeométrico, denotado , cuenta los éxitos al extraer una muestra de tamaño sin reemplazo a partir de un conjunto finito de elementos totales, entre los cuales son éxitos: Su media resulta y su varianza incorpora el factor de población finita: . COMPRUEBA 24 ¿En qué se diferencian conceptualmente el modelo binomial y el hipergeométrico respecto a la probabilidad de éxito en cada ensayo?

Procesos de Poisson: conteos y tiempos de espera Un proceso de Poisson modela la ocurrencia de eventos puntuales independientes a lo largo de un soporte continuo con una tasa de intensidad constante . De él se derivan dos distribuciones fundamentales: La distribución de Poisson, denotada , describe el número de ocurrencias de un evento en un intervalo de amplitud . El parámetro medio es , requiriendo que la tasa y el intervalo estén expresados en unidades coherentes. Su soporte comprende : Una característica definitoria de la Poisson es la coincidencia de sus dos primeros momentos: . Si dos variables independientes siguen modelos de Poisson con medias y , su adición cumple .

La distribución exponencial, notada , mide la longitud del intervalo continuo que transcurre hasta observar el siguiente suceso del proceso de Poisson ( ): Sus momentos principales son la media y la varianza . ERROR FRECUENTE Al resolver problemas con el modelo exponencial, un fallo común consiste en confundir la tasa de intensidad con la media del tiempo de espera . Recuerda que son magnitudes recíprocas: si el enunciado indica que el tiempo medio entre llegadas es de 4 minutos, la tasa corresponde a eventos por minuto. COMPRUEBA 25 Si una variable de Poisson tiene varianza 9, ¿cuál es su media y cuál es su parámetro?

Hyper(n, N, K) n N K f(x) = (n N ) (x K )( n x N K ) E(X) = n N K Var(X) = n 1 N K ( N K ) N 1 N n λ Po(μ) T μ = λT λ T x {0, 1, 2, … } f(x) = e x! μx μ E(X) = Var(X) = μ μ 1 μ 2 X + 1 X 2 Po(μ + 1 μ ) 2 Exp(λ) x > 0 f(x) = λe , F (x) = λx 1 e λx E(X) = 1/λ Var(X) = 1/λ2 λ E(X) λ = 1/4 = 0,25 Formulario de Estadística y Optimización 14 Distribuciones continuas: uniforme y normal El modelo uniforme continuo en el intervalo asigna densidad constante a todos los puntos del soporte: Su centro de gravedad es la media aritmética y su dispersión viene dada por .

La distribución normal con parámetros de media y varianza , expresada como , se define sobre toda la recta real con función de densidad: Bajo combinaciones lineales de variables normales e independientes y , la variable resultante mantiene la distribución normal con parámetros . Mediante el cambio de variable denominado tipificación se obtiene la normal tipificada: Esta transformación permite calcular probabilidades de cualquier variable normal empleando tablas estándar. Distribución Parámetros Media Varianza Binomial Poisson Exponencial Uniforme continua Normal COMPRUEBA 26 Si una variable X sigue una distribución N(50, 16), ¿cómo se tipifica un valor x = 58?

Aproximaciones entre distribuciones y corrección por continuidad Cuando los parámetros alcanzan ciertos umbrales, calcular probabilidades en distribuciones discretas resulta computacionalmente complejo. En tales casos, se recurre a aproximaciones asintóticas: Binomial a Poisson: Si en una el número de pruebas es elevado, la probabilidad es reducida y se verifica np > 10, se aproxima por fijando . Binomial a Normal: Si es grande y se satisfacen las condiciones np > 5 y n(1 - p) > 5, el modelo binomial converge a una distribución .

(a, b) f(x) = , F (x) = b a 1 b a x a E(X) = 2 a+b Var(X) = 12 (b a)2 μ σ2 X N(μ, σ ) 2 f(x) = e σ 2π 1 2σ2 (x μ)2 X 1 N(μ , σ ) 1 1 2 X 2 N(μ , σ ) 2 2 2 Y = a + bX + 1 cX 2 Y N(a + bμ + 1 cμ , b σ + 2 2 1 2 c σ ) 2 2 2 Z = σ X μ N(0, 1) E(X) Var(X) n, p np np(1 p) μ = λT μ μ λ 1/λ 1/λ2 a, b (a + b)/2 (b a) /12 2 μ, σ2 μ σ2 Bin(n, p) n p Po(μ) μ = np n N(μ = np, σ = 2 np(1 p)) Formulario de Estadística y Optimización 15 Poisson a Normal: Cuando el parámetro cumple > 10, la variable discreta de Poisson se aproxima por una normal continua .

Al aproximar una variable discreta mediante una continua es imprescindible aplicar la corrección por continuidad, ensanchando el soporte discreto en para transformar probabilidades puntuales en áreas bajo la curva normal (por ejemplo, ). ESQUEMA Aproximaciones entre distribuciones Teorema del Límite Central El Teorema del Límite Central establece que la suma de un número elevado de variables aleatorias independientes tiende hacia una distribución normal, independientemente de la distribución de origen que posean las variables individuales.

Para una secuencia de variables independientes con medias y varianzas , la suma acumulada satisface: En el contexto de una muestra aleatoria simple (véase «Distribuciones de muestreo y estimación puntual») procedente de una población con media y varianza , la media aritmética muestral converge asintóticamente a: Este resultado constituye el fundamento teórico que permite fundamentar la inferencia estadística sobre medias y sumas muestrales a partir de muestras suficientemente grandes.

PROCESO Aplicación del Teorema del Límite Central 1 Variables independientes Colección de varia bles con media y va rianza finitas 2 Muestra grande Tamaño muestral n suficientemente elevado 3 Agrega ción Cálculo de la suma total o de la media muestral 4 Conver gencia a la Nor mal Distribución resul tante N(μ, σ²/n) para la media μ N(μ, σ = 2 μ) ±0,5 P (X = k) P (k 0,5 Y k + 0,5) Binomial(n, p) Modelo discreto base Poisson(μ = np) n grande, p pequeño, np > 10 Normal(μ, μ) Aproximación cuando μ > 10 Normal(np, np(1-p)) np > 5 y n(1-p) > 5 X , … , X 1 n μ i σ i 2 X i=1 n i aprox. N μ , σ ( i=1 n i i=1 n i 2 ) μ X σ X 2 Xn Xn aprox.

N μ , ( X n σ X 2 ) Formulario de Estadística y Optimización 16 COMPRUEBA 27 ¿Qué ocurre con la varianza de la media muestral cuando el tamaño muestral n se cuadruplica según el Teorema del Límite Central? IDEAS CLAVE La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes, con media y varianza . El proceso de Poisson vincula el conteo de sucesos mediante una variable Poisson con parámetro y los tiempos de espera entre ellos mediante una exponencial de tasa . Una variable binomial se aproxima por una Poisson si con grande y pequeño, o por una Normal si y empleando corrección por continuidad.

Toda combinación lineal de variables normales independientes sigue siendo una distribución normal. El Teorema del Límite Central garantiza que la suma y la media muestral de muchas variables independientes convergen asintóticamente a una distribución normal. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 28. ¿Cuáles son las condiciones para aproximar una variable Binomial por una distribución Normal y qué ajuste formal requiere? 29. ¿Cómo se distribuye la media muestral de variables independientes e idénticamente distribuidas según el Teorema del Límite Central? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 30. ¿Cuál es la varianza de una variable Poisson con parámetro μ = 7? 31.

¿Qué modelo mide el tiempo continuo transcurrido hasta la siguiente observación de Poisson? 32. ¿Cuándo se aproxima una Binomial(n, p) por una Poisson con parámetro μ = np? np np(1 p) μ = λT λ np > 10 n p np > 5 n(1 p) > 5 Xn n 7 a) 7 b) 14 c) 49 d) Geométrica a) Binomial negativa b) Uniforme continua c) Exponencial d) μ > 10 siempre a) np > 10 con p pequeño b) np < 5 y n pequeño c) np > 5 y n(1-p) > 5 d) Formulario de Estadística y Optimización 17 33. Al tipificar una variable X ~ N(μ, σ²), ¿qué distribución adquiere la variable transformada Z?

4 Distribuciones de muestreo y estimación puntual AL ACABAR SABRÁS Diferenciar varianza muestral y cuasivarianza muestral según su formulación y propiedades. Reconocer las distribuciones muestrales Chi-cuadrado, Student y Fisher y sus parámetros característicos. Obtener estimadores puntuales utilizando el método de los momentos y el método de máxima verosimilitud. Evaluar el sesgo, la consistencia y la eficiencia de un estimador puntual. PIÉNSALO ANTES DE LEER 34 ¿Por qué al estimar la dispersión poblacional se suele dividir por n - 1 en lugar de por n?

Muestreo aleatorio simple y estadísticos muestrales La inferencia estadística busca extraer conclusiones sobre una población a partir de observaciones parciales. Una muestra aleatoria simple (m.a.s.) consiste en un conjunto de variables aleatorias mutuamente independientes e idénticamente distribuidas, procedentes de una variable poblacional con función de densidad o probabilidad .

Debido a la independencia, la función de probabilidad o densidad conjunta de la muestra se expresa como el producto de las funciones individuales: A partir de la muestra, se definen funciones numéricas conocidas como estadísticos muestrales, los cuales no dependen de parámetros desconocidos: Media muestral: Varianza muestral: Cuasivarianza muestral: ERROR FRECUENTE Confundir el divisor de la varianza muestral con el de la cuasivarianza . La varianza descriptiva divide entre , mientras que la cuasivarianza divide entre para corregir el sesgo al estimar la varianza poblacional . N(0, 1) a) N(1, 0) b) N(0, σ²) c) N(μ, 1) d) X , X , … , X 1 2 n X f(x) f(x , x , …

, x ) = 1 2 n f(x ) = i=1 n i f(x )f(x ) … f(x ) 1 2 n = X X n 1 i=1 n i S = 2 (X n 1 i=1 n i ) X 2 S = 2 (X n 1 1 i=1 n i ) X 2 S2 S 2 n n 1 σ2 Formulario de Estadística y Optimización 18 COMPRUEBA 35 ¿Por qué la función de probabilidad conjunta de una m.a.s. es el producto de las funciones de densidad marginales?

Distribuciones asociadas al muestreo Al operar con combinaciones de variables normales y sus varianzas muestrales, surgen modelos probabilísticos fundamentales para la inferencia: Distribución Definición constructiva Esperanza Varianza Chi-cuadrado ( ) Suma de cuadrados de variables independientes t de Student ( ) , con y independientes (para ) (para ) F de Snedecor- Fisher ( ) , con y independientes (para ) (para ) Cuando la variable poblacional es normal, , los estadísticos muestrales satisfacen propiedades exactas: y son variables aleatorias independientes. La media muestral sigue una distribución normal: .

Incluso si la población no es normal, si el tamaño muestral es suficientemente grande, la media muestral aproxima esta misma distribución normal por el teorema del límite central (véase «Modelos de probabilidad y teorema del límite central»). La cuasivarianza muestral estandarizada sigue una distribución chi-cuadrado con grados de libertad: . COMPRUEBA 36 ¿Bajo qué condición la media muestral tiene distribución normal exacta con varianza sigma²/n? Métodos de estimación puntual La estimación puntual consiste en proponer un único valor calculado desde la muestra para aproximar un parámetro poblacional desconocido .

χ k 2 k N(0, 1) E(X) = k V ar(X) = 2k t k H/k Z Z N(0,1) H χ k 2 E(X) = 0 k > 1 V ar(X) = k 2 k k > 2 F k ,k 1 2 X /k 2 2 X /k 1 1 X 1 χ k 1 2 X 2 χ k 2 2 E(X) = k 2 2 k 2 k > 2 2 V ar(X) = k (k 2) (k 4) 1 2 2 2 2k (k +k 2) 2 2 1 2 k > 2 4 X N(μ, σ ) 2 X S 2 X N μ, ( n σ2 ) n n 1 σ2 (n 1)S 2 χ n 1 2 θ Método de los momentos: Consiste en igualar los momentos poblacionales teóricos con los momentos empíricos de la muestra. Se despeja el parámetro para obtener el estimador de momentos . 1 θ θM Método de máxima verosimilitud: Considera la función de verosimilitud conjunta como una función del parámetro .

El estimador de máxima verosimilitud es el valor del parámetro que maximiza dicha función de verosimilitud. 2 L(θ) = f(x , x , … , x ; θ) 1 2 n θ θM V Formulario de Estadística y Optimización 19 Modelo poblacional Estimador de máxima verosimilitud ( ) Estimador de momentos ( ) Bernoulli Poisson Exponencial Uniforme Normal COMPRUEBA 37 ¿En qué modelo difieren notablemente los estimadores de momentos y de máxima verosimilitud según la tabla? Criterios de evaluación de estimadores Para determinar la calidad de un estimador puntual , se analizan tres propiedades fundamentales: DEFINICIÓN El sesgo de un estimador se define como .

Un estimador es insesgado cuando su esperanza coincide exactamente con el valor del parámetro, es decir, . Las otras dos propiedades teóricas clave son: Consistencia: Un estimador es consistente si converge hacia el parámetro poblacional a medida que el tamaño muestral tiende a infinito. Formalmente exige: Eficiencia comparativa: Dados dos estimadores insesgados del mismo parámetro, y , se dice que _1 es más eficiente que _2 si su varianza es menor: . θM V θM Be(p) = p = x n xitos e ˊ = p = x n xitos e ˊ Po(μ) = μ x = μ x Exp(λ) = λ x 1 = λ x 1 U(a, b) = a min(x , … , x ) 1 n = b max(x , …

, x ) 1 n = a x s 3 = b + x s 3 N(μ, σ) = μ x = σ s = μ x = σ s θ sesgo( ) = θ E( ) θ θ sesgo( ) = θ 0 E( ) = n lim θ θ y V ar( ) = n lim θ 0 θ1 θ2 θ θ V ar( ) < θ1 V ar( ) θ2 Formulario de Estadística y Optimización 20 ESQUEMA Distribuciones continuas asociadas al muestreo IDEAS CLAVE La muestra aleatoria simple está formada por variables independientes e idénticamente distribuidas. La cuasivarianza muestral estandarizada sigue una distribución en poblaciones normales. Bajo normalidad, la media muestral y la cuasivarianza muestral son variables aleatorias mutuamente independientes. Un estimador insesgado tiene esperanza igual al parámetro que estima.

La consistencia exige que la esperanza del estimador tienda al parámetro y su varianza tienda a cero al crecer la muestra. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 38. ¿Cuál es la distribución exacta de cuando la muestra procede de una distribución normal? 39. ¿Qué dos condiciones matemáticas simultáneas garantizan que un estimador sea consistente? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 40. ¿Qué estadístico se define con divisor n - 1 en el sumatorio de desviaciones?

Chi-cuadrado Suma de k normales estándar al cuadrado t de Student Cociente entre N(0,1) y raíz de Chi-cuadrado F de Snedecor-Fisher Cociente de dos Chi-cuadrado independientes σ2 (n 1)S 2 χ n 1 2 σ2 (n 1)S 2 θ Media muestral ponderada a) Varianza descriptiva muestral b) Desviación media absoluta c) Cuasivarianza muestral d) Formulario de Estadística y Optimización 21 41. ¿Cómo se construye una distribución t de Student con k grados de libertad? 42. ¿En qué consiste el método de máxima verosimilitud? 43. Entre dos estimadores insesgados del mismo parámetro, ¿cuál es el más eficiente?

5 Inferencia paramétrica: intervalos de confianza y contrastes de hipótesis AL ACABAR SABRÁS Calcular intervalos de confianza para medias, varianzas y proporciones univariantes y bivariantes. Identificar la distribución adecuada según el tamaño de muestra y el conocimiento de las varianzas. Formular contrastes de hipótesis paramétricos determinando sus regiones de aceptación unilaterales y bilaterales. PIÉNSALO ANTES DE LEER 44 ¿Por qué un contraste bilateral de medias y un intervalo de confianza al nivel complementario conducen a la misma decisión?

Fundamentos de la estimación por intervalos y contrastes La estimación puntual proporciona un único valor numérico para aproximar un parámetro poblacional desconocido (véase «Distribuciones de muestreo y estimación puntual»). Sin embargo, no cuantifica la incertidumbre muestral. Para subsanarlo, la inferencia paramétrica recurre a los intervalos de confianza y a los contrastes de hipótesis.

Normal tipificada entre raíz de Chi-cuadrado dividida por k a) Diferencia de dos variables normales estándar independientes b) Suma de k variables normales tipificadas elevadas al cuadrado c) Cociente de dos variables Chi-cuadrado independientes d) Hacer que el sesgo del estimador sea exactamente cero a) Maximizar la función de verosimilitud de la muestra b) Igualar momentos muestrales a momentos poblacionales c) Minimizar la varianza muestral de las observaciones d) El que tiene mayor esperanza a) El que maximiza los momentos muestrales b) El que tiene menor varianza c) El que utiliza mayor número de parámetros d) Formulario de Estadística y Optimización 22 DEFINICIÓN Un intervalo de confianza a nivel de confianza es una región construida a partir de estadísticos muestrales, formalizada habitualmente como , donde representa la estimación puntual y denota el error de estimación del intervalo.

El margen o error de estimación corresponde a la máxima distancia entre el estimador puntual y los extremos del intervalo, coincidiendo con la mitad de su longitud total cuando el intervalo es simétrico. De manera complementaria, un contraste de hipótesis somete a evaluación una conjetura sobre la población formulando una hipótesis nula ( ) frente a una hipótesis alternativa ( ). La región de aceptación de reúne los valores del estadístico muestral compatibles con dicha hipótesis bajo un nivel de significación fijado previamente.

PROCESO Decisión para la diferencia de medias independientes COMPRUEBA 45 ¿Cómo se relacionan formalmente la amplitud de un intervalo simétrico y su error de estimación? Intervalos de confianza para una y dos poblaciones La construcción de regiones de confianza depende de la distribución de origen, del tamaño muestral y del conocimiento sobre la dispersión poblacional. Cuando la varianza es desconocida, se recurre a la cuasivarianza muestral (véase «Estadística descriptiva univariante y bivariante»), cuyo factor normalizador utiliza el divisor .

A continuación se recopila la estructura formal de los intervalos paramétricos estándar: 1 α [c ± r] = [c r, c + r] c r H 0 H 1 H 0 α ¿Varianzas conocidas? Verificar conocimiento de varianzas poblacionales 1 Caso varianzas conocidas Usar distribución normal tipificada z 2 ¿Varianzas iguales? Evaluar supuesto de homocedasticidad 3 Homocedasticidad Usar t con n1+n2-2 grados y sp* 4 Heterocedasticidad Usar t con corrección de Welch nu 5 s 2 n 1 Formulario de Estadística y Optimización 23 Tabla resumen de intervalos de confianza para una y dos poblaciones.

Parámetro Requisitos y supuestos Intervalo de confianza ( ) Media conocida, normal conocida, cualquier , grande desconocida, normal, pequeña desconocida, normal, grande Varianza normal Proporción binomial, grande 1 α μ σ2 X ± z [x ˉ 1 α/2 n σ ] σ2 X n ± z [x ˉ 1 α/2 n σ ] σ2 X n ± (t ) [x ˉ n 1 1 α/2 n s ] σ2 X n ± z [x ˉ 1 α/2 n s ] σ2 X , [ (χ ) n 1 2 1 α/2 (n 1)s 2 (χ ) n 1 2 α/2 (n 1)s 2 ] p X n ± z [p ^ 1 α/2 n (1 ) p ^ p ^ ] Formulario de Estadística y Optimización 24 Parámetro Requisitos y supuestos Intervalo de confianza ( ) Diferencia de medias Normales independientes, conocidas Normales independientes, desconocidas Normales independientes, heterocedásticas ( desc.) Muestras emparejadas, normal Cociente de varianzas Normales independientes Diferencia de proporciones Binomiales independientes, grandes En el caso de homocedasticidad con varianzas desconocidas, la cuasidesviación típica muestral ponderada se calcula agrupando la dispersión de ambos grupos: Cuando no se asume igualdad de varianzas, se emplean los grados de libertad de Welch- Satterthwaite: ERROR FRECUENTE Invertir el orden de los cuantiles o de los grados de libertad en el intervalo de la varianza poblacional y del cociente de varianzas.

Dado que los cuantiles chi-cuadrado aparecen en el denominador, el cuantil superior delimita el extremo inferior del intervalo, y el cuantil inferior genera el extremo superior. COMPRUEBA 46 ¿Bajo qué condición sobre las varianzas poblacionales desconocidas se utiliza el estimador agrupado s*_p frente a la aproximación con grados de libertad nu? Contrastes de hipótesis paramétricos La toma de decisiones estadísticas opera confrontando la estimación muestral con la región de aceptación construida bajo la hipótesis nula.

1 α μ 1 μ 2 σ , σ 1 2 2 2 ( ) ± z [ x ˉ1 x ˉ2 1 α/2 + n 1 σ 1 2 n 2 σ 2 2 ] σ = 1 2 σ 2 2 ( ) ± (t ) s [ x ˉ1 x ˉ2 n +n 2 1 2 1 α/2 p + n 1 1 n 2 1 ] σ = 1 2 σ 2 2 ( ) ± (t ) [ x ˉ1 x ˉ2 ν 1 α/2 + n 1 s 1 2 n 2 s 2 2 ] D = X 1 X 2 ± (t ) [d ˉ n 1 1 α/2 n s d ] σ 2 2 σ 1 2 (F ) , (F ) [ s 2 2 s 1 2 n 1,n 1 2 1 α/2 s 2 2 s 1 2 n 1,n 1 2 1 1 α/2] p 1 p 2 n , n 1 2 ( ) ± z [ p ^1 p ^2 1 α/2 + n 1 (1 ) p ^1 p ^1 n 2 (1 ) p ^2 p ^2 ] s = p n + n 2 1 2 (n 1)s + (n 1)s 1 1 2 2 2 2 ν + n 1 1 (s /n ) 1 2 1 2 n 1 2 (s /n ) 2 2 2 2 + ( n 1 s 1 2 n 2 s 2 2 ) 2 σ2 (χ ) n 1 2 1 α/2 (χ ) n 1 2 α/2 Formulario de Estadística y Optimización 25 Tabla de contrastes de hipótesis para una población y proporciones.

Para una muestra individual, las regiones de aceptación para hipótesis bilaterales y unilaterales se estructuran según el parámetro analizado: Media poblacional ( ): si es conocida o con muestra grande, el estadístico se compara frente a percentiles normales para alternativas bilaterales , o semirrectas con percentil para las unilaterales. Con varianza desconocida y muestra reducida, se sustituye por la distribución t de Student con grados de libertad y por . Varianza poblacional ( ): para , la región de aceptación es . Las unilaterales fijan regiones abiertas empleando el cuantil o . Proporción binomial ( ): con muestra grande, se acepta para si .

Nótese que bajo el error estándar utiliza la proporción hipotética . H : 0 μ = μ 0 σ2 x ˉ (μ ± 0 z ) 1 α/2 n σ H : 1 μ = μ 0 z 1 α z n 1 σ s H : 0 σ = 2 σ 0 2 H : 1 σ = 2 σ 0 2 s 2 ( (χ ) , (χ ) ) n 1 σ 0 2 n 1 2 α/2 n 1 σ 0 2 n 1 2 1 α/2 α 1 α H : 0 p = p 0 H : 1 p = p 0 p ^ (p ± 0 z ) 1 α/2 n p (1 p ) 0 0 H 0 p 0 Formulario de Estadística y Optimización 26 Tabla de regiones de aceptación para diferencia de medias poblacionales. En problemas de dos muestras, los contrastes para igualdad de parámetros se formulan del siguiente modo: Diferencia de medias ( ): se evalúa la cercanía de a 0. Con varianzas desconocidas e iguales, el margen de aceptación incorpora .

Si son distintas, se aplican los grados de libertad de Welch . Para datos emparejados, se evalúa la media de las diferencias frente a una distribución t con grados de libertad y dispersión . Igualdad de varianzas ( ): la región de aceptación bilateral sobre el cociente muestral es . Igualdad de proporciones ( ): la región bilateral sitúa la diferencia muestral en . COMPRUEBA 47 ¿Qué desviación típica se utiliza en el denominador al contrastar la hipótesis nula p = p0 para una proporción con muestra grande?

H : 0 μ = 1 μ 2 x ˉ1 x ˉ2 (t ) s n +n 2 1 2 1 α/2 p 1/n + 1/n 1 2 ν d ˉ n 1 s / d n H : 0 σ = 1 2 σ 2 2 s 2 2 s 1 2 ((F ) , (F ) ) n 1,n 1 1 2 α/2 n 1,n 1 1 2 1 α/2 H : 0 p = 1 p 2 ( p ^1 ) p ^2 (0 ± z ) 1 α/2 + n 1 (1 ) p ^1 p ^1 n 2 (1 ) p ^2 p ^2 Formulario de Estadística y Optimización 27 IDEAS CLAVE El intervalo de confianza delimita una región verosímil para el parámetro con probabilidad de cobertura . El error de estimación equivale a la mitad de la amplitud en los intervalos de confianza simétricos. Las muestras emparejadas transforman la comparación de dos poblaciones en un problema univariante sobre la variable diferencia .

La cuasidesviación típica ponderada exige asumir homocedasticidad poblacional con varianzas desconocidas. En situaciones heterocedásticas con varianzas desconocidas se aplica la corrección de grados de libertad de Welch-Satterthwaite. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 48. ¿Por qué los cuantiles chi-cuadrado aparecen invertidos en los límites del intervalo de confianza para la varianza poblacional? 49. ¿Cuál es la diferencia fundamental en la estructura del error estándar entre el intervalo de confianza para una proporción y el contraste de hipótesis H0: p = p0? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 50.

¿Qué estadístico pondera la dispersión de dos muestras bajo igualdad de varianzas desconocidas? 51. En muestras emparejadas con diferencia normal, ¿cuántos grados de libertad tiene la t de Student? 52. ¿Cómo se define el error de estimación en un intervalo de confianza simétrico? 53. Al contrastar igualdad de varianzas normales, ¿qué estadístico fundamenta la región de aceptación?

1 α D = X 1 X 2 s p Cuantil F de Snedecor a) Grados de libertad de Welch b) Varianza descriptiva emparejada c) Cuasidesviación combinada sp* d) Aproximación de Welch nu a) n - 1 grados de libertad b) n grados de libertad c) n1 + n2 - 2 grados d) Mitad de la longitud total a) Doble del margen de error b) Cuasivarianza muestral de datos c) Amplitud completa del intervalo d) Suma s1*² + s2*² a) Diferencia s1*² - s2*² b) Cociente s1*² / s2*² c) Producto ponderado sp*² d) Formulario de Estadística y Optimización 28 6 Contrastes no paramétricos y análisis de la varianza (ANOVA) AL ACABAR SABRÁS Plantear y resolver contrastes Chi-cuadrado de bondad de ajuste e independencia verificando sus condiciones empíricas.

Construir e interpretar la tabla ANOVA de un factor mediante la partición de la varianza. Aplicar el método LSD de Fisher para discernir qué medias presentan diferencias estadísticas significativas tras el ANOVA. PIÉNSALO ANTES DE LEER 54 ¿Por qué no realizamos múltiples contrastes t de Student de dos en dos en lugar de aplicar un ANOVA cuando tenemos más de dos grupos?

Contrastes no paramétricos basados en la distribución Chi-cuadrado Cuando los datos no satisfacen los requisitos estrictos de distribución exigidos por la inferencia paramétrica clásica (como la normalidad examinada en «Inferencia paramétrica: intervalos de confianza y contrastes de hipótesis»), recurrimos a procedimientos que no presuponen una forma funcional fija sobre la población. Contraste de bondad de ajuste El contraste de bondad de ajuste verifica si una muestra concreta sigue una distribución teórica discreta prefijada.

Las hipótesis contrastadas son: Considerando una muestra clasificada en clases con frecuencias observadas (donde el total es ), calculamos la frecuencia teórica esperada bajo para cada clase mediante el producto . El estadístico de prueba mide la discrepancia cuadrática normalizada: Bajo la condición de validez para todo , el estadístico sigue aproximadamente una distribución Chi-cuadrado con grados de libertad (véase «Distribuciones de muestreo y estimación puntual»). Aceptamos la hipótesis nula con nivel de significación cuando el valor observado de satisface: { H : X modelo con probabilidades (p , p , … , p ) 0 1 2 k H : no H 1 0 k n , n , …

, n 1 2 k n = n i=1 k i H 0 n p i H = i=1 k np i (n np ) i i 2 np i 5 i k 1 α H H < (χ ) k 1 2 1 α Formulario de Estadística y Optimización 29 Contraste de independencia El contraste de independencia determina si dos variables categóricas e presentan relación estadística entre sí. Los datos se resumen en una tabla de contingencia de filas y columnas: Estructura de una tabla de contingencia con frecuencias observadas y marginales. Las hipótesis planteadas corresponden a: Bajo la asunción de independencia, la probabilidad teórica de cada celda equivale al producto de las probabilidades de su respectiva fila y columna.

Así, la frecuencia esperada en la fila y columna se calcula mediante los totales marginales: El estadístico suma las discrepancias relativas: Si se cumple la condición para todas las celdas, este estadístico se aproxima a una distribución Chi-cuadrado con (R - 1)(C - 1) grados de libertad. Decidimos no rechazar al nivel siempre que: COMPRUEBA 55 ¿Por qué se restan grados de libertad en el contraste Chi-cuadrado respecto al total de celdas observadas?

X Y R C { H : X e Y son independientes 0 H : no H 1 0 i j e = ij n n n i j H H = i=1 R j=1 C n n n i j n ( ij n n n i j ) 2 n n n i j 5 H 0 α H < (χ ) (R 1)(C 1) 2 1 α Formulario de Estadística y Optimización 30 ERROR FRECUENTE Aplicar la prueba Chi-cuadrado cuando existen frecuencias esperadas menores que 5. La aproximación a la distribución Chi-cuadrado requiere que cada (o cada frecuencia esperada de celda en contingencia). Si no se verifica este requisito empírico, la aproximación analítica no es válida.

Análisis de la varianza (ANOVA) de un factor El análisis de la varianza (ANOVA) contrasta simultáneamente la igualdad de medias de una variable continua clasificada en niveles distintos de un factor .

Asumimos que las observaciones proceden de poblaciones normales con idéntica varianza (aunque desconocida): Considerando un diseño equilibrado con réplicas por nivel, calculamos la media de cada nivel y la media muestral global : ESQUEMA Descomposición de la variabilidad en ANOVA de un factor Descomposición de la variabilidad y tabla ANOVA La variabilidad total se descompone en dos fuentes: Suma de cuadrados inter-grupos ( ): mide la dispersión existente entre las medias de los distintos niveles frente a la media global: Suma de cuadrados intra-grupos ( ): acumula la variación individual residual dentro de cada nivel: np i 5 Y a X { H : Todas las medias son iguales (μ = μ = = μ ) 0 1 2 a H : No todas las medias son iguales 1 n y ˉi y ˉ = y ˉi y , = n 1 j=1 n ij y ˉ y an 1 i=1 a j=1 n ij Variabilidad Total Dispersión global de los datos respecto a la gran media SC Inter-grupos Variación debida a los niveles del factor (a - 1 gl) SC Intra-grupos Variación residual o error dentro de grupos (an - a gl) SC Inter SC = Inter n ( i=1 a y ˉi ) = y ˉ 2 n a (varianza de las medias de cada nivel) SC Intra SC = Intra (y i=1 a j=1 n ij ) = y ˉi 2 n (suma de las varianzas muestrales de cada nivel) Formulario de Estadística y Optimización 31 Esta descomposición genera la siguiente estructura de cálculo: Fuente de variación Suma de cuadrados (SC) Grados de libertad Media de cuadrados (MC) Estadístico -valor Inter-grupos Intra-grupos — — La regla de decisión para un nivel de significación consiste en no rechazar si el estadístico no supera el valor crítico: De lo contrario, rechazamos la igualdad general de medias.

COMPRUEBA 56 Si MC_Inter es mucho mayor que MC_Intra, ¿qué consecuencia estadística tiene en el contraste ANOVA? Comparaciones múltiples a priori: Diferencia Mínima Significativa (LSD) Cuando el contraste ANOVA concluye con el rechazo de , se identifica que existen discrepancias significativas en el modelo, pero no qué niveles concretos difieren entre sí. Para responder a esto, empleamos el procedimiento de comparaciones a priori de Fisher mediante la diferencia mínima significativa (LSD, por sus siglas en inglés Least Significant Difference).

El umbral crítico se define mediante: Dos niveles y del factor se consideran estadísticamente distintos a nivel si la distancia absoluta entre sus medias supera el umbral LSD: En caso contrario, se concluye que no existen evidencias suficientes para asegurar que sus medias poblacionales difieran, considerándose niveles estadísticamente indistinguibles.

F p SC Inter a 1 M C = Inter a 1 SC Inter F = M C Intra M C Inter P F > ( M C Intra M C Inter ) SC Intra an a M C = Intra an a SC Intra α H 0 F F < (F ) a 1, an a 1 α H 0 LSD = (t ) an a 1 2 α n(an a) 2 SC Intra i j X α y ˉi > y ˉj LSD Formulario de Estadística y Optimización 32 IDEAS CLAVE Los contrastes Chi-cuadrado requieren frecuencias esperadas iguales o superiores a 5 en cada categoría para asegurar una aproximación analítica válida. El contraste de independencia evalúa la relación entre dos variables categóricas con grados de libertad. El ANOVA de un factor descompone la varianza total en componente inter-grupos y componente intra-grupos (residual).

Bajo la hipótesis nula de igualdad de medias, el cociente entre las medias de cuadrados sigue una distribución de Snedecor con y grados de libertad. El método LSD de Fisher compara pares de niveles cuando se rechaza la hipótesis nula global del ANOVA mediante un umbral basado en la t de Student y la varianza residual intra-grupos. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 57. ¿Cuáles son los grados de libertad del estadístico Chi-cuadrado en una tabla de contingencia de 3 filas y 4 columnas? 58. ¿Qué representa el término SCIntra / (an - a) en el estadístico LSD de Fisher? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 59.

¿Qué condición deben satisfacer las frecuencias esperadas para aplicar con validez la prueba Chi-cuadrado? 60. En un ANOVA de un factor con a niveles y n réplicas, ¿cuántos grados de libertad tiene la suma intra-grupos? 61. En el contraste ANOVA de un factor, ¿cómo se calcula el estadístico de contraste F?

(R 1)(C 1) F a 1 an a Deben sumar exactamente 1 a) Deben ser mayores o iguales a 5 b) Deben superar el total muestral n c) Deben coincidir con las observadas d) a - 1 a) an - 1 b) an - a c) n - a d) Multiplicando SC_Inter por a - 1 a) Dividiendo MC_Intra entre MC_Inter b) Dividiendo SC_Inter entre SC_Intra c) Dividiendo MC_Inter entre MC_Intra d) Formulario de Estadística y Optimización 33 62. Bajo el criterio LSD de Fisher, ¿cuándo se declaran significativamente diferentes dos medias de nivel?

7 Formulario Estadística descriptiva y regresión lineal Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : media muestral; : tamaño muestral; : datos Cálculo del centro de gravedad de una muestra (impar) (par) : mediana; datos ordenados Medida de posición central robusta ante valores extremos : varianza muestral descriptiva Cuantificación descriptiva de la dispersión muestral : cuasivarianza muestral Estimación insesgada de la varianza poblacional CV: coeficiente de variación; : desviación típica Comparación de dispersión relativa entre variables : covarianza muestral de e Evaluación de asociación lineal bivariante : correlación de Pearson; : desviaciones Fuerza y dirección de la relación lineal ( ) con , , : pendiente; : ordenada origen; : determinación Ajuste de recta de regresión de mínimos cuadrados Probabilidad y variables aleatorias Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa , : probabilidades; intersección restada Probabilidad de unión de sucesos compatibles : probabilidad condicionada Actualización probabilística dado que ocurrió Si su diferencia absoluta es menor a LSD a) Si su diferencia absoluta supera LSD b) Si la suma de medias supera LSD c) Si el cociente de medias es nulo d) = x ˉ n x i i x ˉ n x i = x ~ x (n+1)/2 = x ~ (x + 2 1 n/2 x ) n/2+1 x ~ x 1 x n s = 2 n x i i 2 x ˉ2 s2 s = 2 s = n 1 n 2 n 1 x n i i 2 x ˉ2 s 2 CV = x ˉ s s s = xy n x y i i x ˉy ˉ s xy X Y r = xy s s x y s xy r xy s , s x y [ 1, 1] Y = a + bX b = s x 2 s xy a = y ˉ bx ˉ R = 2 r xy 2 b a R2 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) P (B) P (B A) = P(A) P(A B) P (B A) A Formulario de Estadística y Optimización 34 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : partición del espacio muestral Teorema de la probabilidad total : probabilidad a posteriori Teorema de Bayes para inversión de causas , : constantes fijas reales Propiedades del operador valor esperado y varianza : media; : desviación; Desigualdad de Chebyshev para distribuciones generales : covarianza poblacional Medida teórica de covarianza de variables conjuntas Var: varianza; Cov: término de covarianza Varianza de la suma de dos variables aleatorias Modelos de probabilidad y Teorema del Límite Central Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa ; , : pruebas; : probabilidad de éxito Modelo Binomial ; , : media esperada en intervalo Modelo Poisson ; ; : tasa de intensidad ( ) Modelo Exponencial de tiempo continuo : media poblacional; : desviación típica Tipificación para uso de tablas normales estándar Aproximación normal con corrección de continuidad Cuando es grande con y : media muestral de variables independientes Teorema del Límite Central para muestras grandes Inferencia paramétrica e intervalos de confianza Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa conocida; : cuantil normal estándar IC para con varianza poblacional conocida P (B) = P (B A )P (A ) i=1 n i i {A } i E P (A B) = j P(B A )P(A ) i i i P(B A )P(A ) j j P (A B) j E(a + bX) = a + bE(X) Var(a + bX) = b Var(X) 2 a, b P ( X μ < kσ) 1 k2 1 μ σ k > 1 Cov(X, Y ) = E(XY ) μ μ X Y Cov(X, Y ) Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y ) f(x) = p (1 (x n ) x p)n x E = np Var = np(1 p) n p Bin(n, p) f(x) = e x!

μx μ E = μ Var = μ μ = λT T Po(μ) f(x) = λe λx F (x) = 1 e λx E = 1/λ λ λ = 1/E(X) Exp(λ) Z = σ X μ N(0, 1) μ σ Bin(n, p) N(np, np(1 p)) n np > 5 n(1 p) > 5 X ˉn aprox.

N μ , ( X n σ X 2 ) X ˉn n ± x ˉ z 1 α/2 n σ σ z μ Formulario de Estadística y Optimización 35 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : cuasidesviación muestral; con gl IC para con varianza desconocida en muestras pequeñas Cuantiles Chi-cuadrado invertidos en denominador IC para varianza poblacional bajo normalidad : proporción muestral observada IC para proporción con muestra grande IC para con varianzas iguales desconocidas , : media y cuasidesviación de restas IC para diferencia de medias con datos emparejados ANOVA y contrastes no paramétricos Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : observados; : esperados ( ) Contraste Chi-cuadrado de bondad de ajuste : frecuencias esperadas Contraste Chi-cuadrado de independencia : niveles; : réplicas por nivel; Contraste global de igualdad de medias en ANOVA LSD: diferencia mínima significativa Comparaciones por parejas tras rechazar en ANOVA Constantes y errores típicos Divisor descriptivo vs.

inferencial: la varianza descriptiva divide entre ( ), mientras que la cuasivarianza insesgada divide entre ( ). Inversión en Chi-cuadrado: en el IC de , el cuantil superior define el límite inferior por figurar en el…