Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes

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APUNTES ESTADÍSTICA Y OPTIMIZACIÓN Grado en Ingeniería Informática Universidad de Lleida AprenAI 2026-2027 Apuntes de estadística univariante, cálculo de probabilidades, variables discretas y distribución normal con fórmulas y ejemplos para Informática en la UdL.

APREN.AI Índice 1 Estadística descriptiva univariante y representaciones gráficas Medidas descriptivas y valores característicos Diagrama de caja e histograma 2 Axiomática de la probabilidad y teoremas fundamentales Axiomas y propiedades elementales Probabilidad condicionada e independencia Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes 3 Variables aleatorias y modelos de probabilidad notables Variables discretas: esperanza, varianza y modelos clásicos Variables continuas y distribución normal 4 Formulario Estadística descriptiva univariante Probabilidad y teoremas fundamentales Variables aleatorias y modelos notables Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 1 1 Estadística descriptiva univariante y representaciones gráficas AL ACABAR SABRÁS Calcular medidas de centralización, dispersión y asimetría cuartílica. Determinar los cuartiles y dibujar correctamente un diagrama de caja identificando valores atípicos. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué la desviación típica suele preferirse a la varianza para interpretar la dispersión?

Medidas descriptivas y valores característicos Para resumir un conjunto de datos numéricos se utilizan medidas informativas, de posición central, de dispersión y de forma. El conjunto ordenado de menor a mayor define los extremos: Mínimo y máximo: representa el menor valor y el mayor. Media muestral ( ): promedio aritmético definido por . Mediana ( ): valor central si es impar ( ), o promedio de los dos centrales si es par.

La variabilidad de los datos se cuantifica mediante la dispersión respecto a la media o entre cuantiles: Medida Fórmula estándar Fórmula ajustada / muestral Varianza ( ) Desviación típica ( ) Coeficiente de variación (compara la dispersión relativa) Rango intercuartílico ( ) DEFINICIÓN El coeficiente de asimetría basado en cuartiles mide el sesgo de la distribución: Si el valor está próximo a 0, la distribución es simétrica; si se acerca a 1 presenta asimetría positiva (cola derecha), y si se acerca a -1 presenta asimetría negativa (cola izquierda).

Diagrama de caja e histograma El diagrama de caja (box-plot) resume la distribución a partir de los cuartiles y delimita observaciones anómalas mediante los bigotes: x (1) x (n) m m = x n 1 i=1 n i Q 2 n x ( ) 2 n+1 n s2 s = 2 (x n 1 i=1 n i m)2 s = 2 (x n 1 1 i=1 n i m)2 s s = (x m) n 1 i=1 n i 2 s = (x m) n 1 1 i=1 n i 2 CV = m s IQR Q 3 Q 1 CA = = Q Q 3 1 (Q Q ) (Q Q ) 3 2 2 1 Q Q 3 1 Q 2Q + Q 3 2 1 Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 2 Diagrama de caja que muestra cuartiles, bigotes y un valor atípico exterior. ERROR FRECUENTE Confundir los límites teóricos del diagrama con los extremos reales de los bigotes.

El bigote no mide necesariamente : se detiene en el dato muestral más alejado que todavía queda dentro de dicho intervalo. COMPRUEBA 2 ¿Qué indica un coeficiente de asimetría basado en cuartiles próximo a 1? PROCESO Construcción del diagrama de caja 1 Ordenar datos Disponer los n valo res de menor a mayor 2 Calcular cuartiles Determinar Q1, Q2 (mediana) y Q3 3 Límites de bigotes Aplicar márgenes a 1,5 del rango intercuartílico 4 Marcar atí picos Señalar puntos exte riores a los bigotes IDEAS CLAVE Las medidas de centralización resumen la posición de los datos, mientras que la varianza y la desviación típica cuantifican la dispersión.

El rango intercuartílico es la diferencia directa entre el tercer y el primer cuartil: . Los valores que caen más allá de de los cuartiles se consideran observaciones atípicas en un diagrama de caja. Ordenar la muestra y obtener el primer cuartil ( ), la mediana ( ) y el tercer cuartil ( ). En general, para una posición proporcional , se calcula el índice . Si no es entero, con parte entera y parte decimal , se interpola: . 1 Q 1 Q 2 Q 3 p r = (n 1)p + 1 r j f Q = p (1 f)x + (j) fx(j+1) Calcular los límites de los bigotes: el límite superior y el inferior . Los bigotes terminan en los valores muestrales más extremos dentro de estos márgenes.

2 Q + 3 1,5(Q 3 Q ) 1 Q 1 1,5(Q 3 Q ) 1 Identificar los puntos exteriores como valores atípicos. 3 1,5 IQR Q 3 Q 1 1,5 IQR Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 3 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Cómo se calcula la varianza ajustada o muestral? 4. ¿Cómo se clasifican los datos para trazar un histograma? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Cuál es la expresión del rango intercuartílico? 6. ¿Qué valor toma el coeficiente de asimetría en una distribución simétrica? 7. ¿A qué factor del IQR se colocan los límites teóricos de los bigotes? 8. ¿Qué divide la varianza respecto de la varianza ajustada?

2 Axiomática de la probabilidad y teoremas fundamentales AL ACABAR SABRÁS Aplicar los axiomas de Kolmogorov y las propiedades de la unión y el complementario. Calcular probabilidades condicionadas y verificar la independencia de sucesos. Resolver problemas aplicando la probabilidad total y el teorema de Bayes. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Si dos sucesos no pueden ocurrir al mismo tiempo, son independientes?

(Q3 + Q1) / 2 a) Q3 - Q2 b) Q3 - Q1 c) Q2 - Q1 d) Próximo a 0 a) Próximo a 1 b) Próximo a -1 c) Exactamente 0,5 d) 2,0 veces el IQR a) 3,0 veces el IQR b) 1,0 veces el IQR c) 1,5 veces el IQR d) Divide por n en vez de n-1 a) Resta la mediana en vez de la media b) Multiplica por el tamaño muestral c) Divide por la raíz cuadrada d) Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 4 Axiomas y propiedades elementales Dado un espacio muestral , la probabilidad asigna a cada suceso un número real según los axiomas de Kolmogorov: De estos axiomas derivan las propiedades operativas principales: Suceso imposible: . Complementario: p( ) = 1 - p(A). Monotonía: si , entonces . Unión general: .

Regla de Laplace: en espacios equiprobables con sucesos elementales disjuntos, (casos favorables entre casos posibles). COMPRUEBA 10 ¿Por qué se resta p(A B) al calcular la probabilidad de la unión? Probabilidad condicionada e independencia La probabilidad de que ocurra sabiendo que se ha verificado (con ) viene dada por: Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la del otro, lo cual equivale analíticamente a , o equivalentemente a . ERROR FRECUENTE Confundir sucesos incompatibles con sucesos independientes. Dos sucesos incompatibles ( ) de probabilidad no nula nunca son independientes, pues .

Teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes Dada una partición del espacio muestral en sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos : DEFINICIÓN El Teorema de la probabilidad total reconstituye la probabilidad de cualquier suceso acumulando los caminos condicionales: S A No negatividad: . 1 0 p(A) 1 Certeza: . 2 p(S) = 1 Aditividad: si , entonces . 3 A B = p(A B) = p(A) + p(B) p( ) = 0 A A B p(A) p(B) p(A B) = p(A) + p(B) p(A B) n p(B) = n k A B p(B) > 0 p(A B) = p(B) p(A B) p(A B) = p(A) p(B) p(A B) = p(A) A B = p(A B) = 0 = p(A) p(B) {A , A , …

, A } 1 2 n B p(B) = p(B i=1 n A ) = i p(B A ) i=1 n i p(A ) i Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 5 El Teorema de Bayes calcula la probabilidad a posteriori de una causa conocida la ocurrencia del efecto: COMPRUEBA 11 ¿Qué papel desempeña el denominador en la fórmula de Bayes?

PROCESO Estructura del Teorema de Bayes 1 Partición a priori Identificar las causas exhaustivas y disjun tas Ai 2 Verosimili tudes Determinar las proba bilidades p(B"Ai) 3 Probabili dad total Sumar el producto de ramas para hallar p(B) 4 Probabili dad a posteriori Calcular p(Ai"B) me diante el cociente de Bayes IDEAS CLAVE Los tres axiomas básicos establecen que la probabilidad está entre 0 y 1, el total es 1 y la unión de disjuntos es la suma de probabilidades. La independencia implica que la probabilidad de la intersección coincide con el producto directo de las probabilidades marginales.

El teorema de la probabilidad total descompone un suceso sobre una partición, y el teorema de Bayes invierte la dirección del condicionamiento. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Cuál es la condición para que dos sucesos A y B sean estadísticamente independientes? 13. ¿Cómo se define analíticamente la probabilidad condicionada p(A"B)? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 14. ¿Cuánto vale la probabilidad del suceso complementario de A? 15. Si A y B son disjuntos, ¿cuál es su intersección?

p(A B) = i p(B A ) p(A ) j=1 n j j p(B A ) p(A ) i i 1 / p(A) a) p(A) / p(S) b) p(A) - 1 c) 1 - p(A) d) Conjunto vacío a) El suceso B b) El suceso A c) Espacio muestral d) Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 6 16. ¿Qué establece la regla de Laplace? 17. ¿Qué teorema permite calcular probabilidades a posteriori? 3 Variables aleatorias y modelos de probabilidad notables AL ACABAR SABRÁS Calcular la esperanza y varianza de distribuciones discretas usuales. Tipificar valores de una distribución normal y calcular probabilidades en intervalos. Calcular la distribución de combinaciones lineales de variables normales independientes.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 18 ¿Por qué un valor individual en una distribución normal tiene probabilidad cero pero la probabilidad de un intervalo es positiva? Variables discretas: esperanza, varianza y modelos clásicos Una variable discreta toma valores en un conjunto finito o numerable. Se describe por sus valores posibles y sus probabilidades puntuales . Esperanza matemática: . Varianza: . Modelo Función de probabilidad Esperanza ( ) Varianza ( ) Bernoulli Geométrica — Binomial Poisson — Cuando y , una binomial se aproxima mediante un modelo de Poisson fijando .

Producto de probabilidades marginales a) Suma total de frecuencias absolutas b) Casos favorables divididos entre posibles c) Inversión de probabilidades condicionadas d) Teorema de Bayes a) Regla de Laplace b) Axioma de Kolmogorov c) Desigualdad de Chebyshev d) x i p(X = x ) i E[X] = x p(X = i x ) i Var(X) = E[(X E[X]) ] = 2 E[X ] 2 (E[X])2 E[X] Var(X) B(p) p(X = 1) = p, p(X = 0) = 1 p p p(1 p) Geom(p) p(Y = k) = (1 p) p k 1 p 1 Bin(n, p) p(X = k) = p (1 (k n ) k p)n k n p np(1 p) P (λ) p(X = k) = e k! λk λ λ n > 30 p < 0,1 λ = n p Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 7 COMPRUEBA 19 ¿Qué mide la variable aleatoria en una distribución geométrica?

Variables continuas y distribución normal Una variable continua toma valores en un intervalo de la recta real. La probabilidad de un punto exacto es nula ( ). La probabilidad en un intervalo corresponde al área bajo su función de densidad : La distribución normal tiene como función de densidad: Para usar la tabla estándar se realiza la tipificación: Por las propiedades de simetría de la campana de Gauss, se deduce que y . EJEMPLO Dada la combinación lineal de variables independientes normales , la variable resultante sigue una ley normal con media y desviación típica . ERROR FRECUENTE Sumar las desviaciones típicas directamente al combinar variables normales independientes.

Debe sumarse la varianza ponderada por los coeficientes al cuadrado ( ) y luego extraer la raíz cuadrada. COMPRUEBA 20 ¿Por qué p(X = a) = 0 para cualquier valor en una variable continua? p(X = a) = 0 f(x) p(a X b) = f(x) dx, con f(x) a b 0 y f(x) dx = + 1 N(μ, σ) f(x) = e σ 2π 1 2σ2 (x μ)2 Z = σ X μ N(0, 1) p(Z > k) = 1 p(Z k) p(Z k) = 1 p(Z k) Y = a X i i a μ i i a σ i 2 i 2 a σ i 2 i 2 Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 8 ESQUEMA Modelos de variables aleatorias IDEAS CLAVE En variables continuas la probabilidad puntual siempre es cero; solo tienen probabilidad no nula los intervalos. Una binomial representa la suma de n ensayos de Bernoulli independientes con esperanza .

La tipificación transforma cualquier normal en la normal estándar . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 21. ¿Bajo qué condiciones aproximamos una Binomial por una distribución de Poisson? 22. ¿Cómo se calcula la varianza a partir de los momentos de la variable? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 23. ¿Cuál es la esperanza matemática de una Binomial(n, p)? 24. ¿Qué valor tiene la probabilidad puntual p(X = a) en una variable continua?

Variables Discretas Valores finitos o numerables Bernoulli / Binomial Ensayos independientes de éxito/fracaso Geométrica Número de intentos hasta primer éxito Poisson Sucesos espontáneos en intervalo de tiempo Variables Continuas Valores en intervalos reales continuos Normal (Gaussiana) Campana simétrica N(μ, σ) n p Z = σ X μ N(0, 1) n · p · (1 - p) a) n · p b) p / n c) 1 / p d) 1 / a a) 0 b) 1 c) f(a) d) Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 9 25. ¿Cómo se obtiene la variable tipificada Z a partir de X ~ N(μ, σ)?

4 Formulario Estadística descriptiva univariante Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : media muestral; : observaciones; : total de datos Cálculo del centro de gravedad o promedio aritmético de una muestra. : varianza ajustada muestral; : media Cuantificación de la dispersión muestral respecto a la media. : rango intercuartílico; : primer y tercer cuartil Medición del rango central del 50 % de las observaciones. : asimetría cuartílica; : mediana Evaluación de la simetría muestral (0 simétrico, cercano a 1 o -1 sesgado).

Ordenar datos Calcular Límites: Señalar atípicos : rango intercuartílico Construcción de diagrama de caja (box-plot) e identificación de valores extremos. Probabilidad y teoremas fundamentales Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : sucesos cualesquiera Cálculo de la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos. : probabilidad condicionada ( ) Determinación de la probabilidad de cuando se sabe que ha ocurrido . : sucesos independientes Comprobación analítica de la independencia estadística entre dos sucesos.

X / (μ · σ) a) (X - μ) / σ b) (X + μ) / σ c) (X - σ) / μ d) m = x n 1 i=1 n i m x i n s = 2 (x n 1 1 i=1 n i m)2 s2 m IQR = Q 3 Q 1 IQR Q , Q 1 3 CA = Q Q 3 1 Q 2Q +Q 3 2 1 CA Q 2 Q , Q , Q 1 2 3 [Q 1 1,5 IQR, Q + 3 1,5 IQR] IQR p(A B) = p(A) + p(B) p(A B) A, B p(A B) = p(B) p(A B) p(A B) p(B) > 0 A B p(A B) = p(A) p(B) A, B Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 10 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : partición del espacio muestral; : suceso Teorema de la probabilidad total a partir de causas disjuntas exhaustivas. : probabilidad a posteriori Teorema de Bayes para calcular la probabilidad de una causa dado un efecto observado.

Variables aleatorias y modelos notables Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa , : esperanza; : varianza discreta Cálculo de media y dispersión para cualquier variable discreta general. , Modelo Binomial: número de éxitos en ensayos de Bernoulli independientes. ; : probabilidad de éxito Modelo Geométrico: número de intentos hasta observar el primer éxito. : tasa media en ventana; Modelo de Poisson: recuento de eventos espontáneos o aproximación binomial ( ). : media; : desviación típica Tipificación de una variable continua normal para consultar la tabla estándar.

: coeficientes; : normales independientes Distribución resultante de combinaciones lineales de variables normales. Errores típicos Confundir sucesos incompatibles ( ) con sucesos independientes ( ). Sumar las desviaciones típicas directamente en una combinación lineal en lugar de sumar las varianzas ponderadas ( ) y extraer la raíz. Olvidar que en distribuciones continuas la probabilidad puntual es nula ( ), siendo no nula solo la probabilidad acumulada en intervalos.

p(B) = p(B A )p(A ) i=1 n i i {A } i B p(A B) = i p(B A )p(A ) j j p(B A )p(A ) i i p(A B) i E[X] = x p i i Var(X) = E[X ] 2 (E[X])2 E[X] Var(X) p(X = k) = p (1 (k n ) k p)n k E[X] = np Var(X) = np(1 p) n p(Y = k) = (1 p) p k 1 E[Y ] = p 1 p p(X = k) = e k! λk λ λ E[X] = λ n > 30, p < 0,1 Z = σ X μ N(0, 1) μ σ a X i i N a μ , ( i i a σ i 2 i 2) a i X i A B = p(A B) = p(A) p(B) a σ i 2 i 2 p(X = a) = 0 Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 11 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque se expresa en las mismas unidades originales que los datos, al ser la raíz cuadrada de la varianza. 2.

Indica una clara asimetría positiva hacia la derecha, ya que la distancia de la mediana al tercer cuartil es mucho mayor que al primer cuartil. 3. Dividiendo la suma de desviaciones cuadráticas respecto a la media entre en lugar de . 4. Se agrupan en clases o intervalos disjuntos, calculando la frecuencia observada o acumulada de cada intervalo. 5. c) Q3 - Q1. El rango intercuartílico se define explícitamente como la diferencia entre el tercer y el primer cuartil. 6. a) Próximo a 0. Cuando Q2 equidista de Q1 y Q3, el numerador del coeficiente se anula, dando un valor cercano a 0. 7. d) 1,5 veces el IQR.

Los límites estándar de detección de atípicos se trazan a 1,5 veces la distancia intercuartílica desde Q1 y Q3. 8. a) Divide por n en vez de n-1. La varianza ordinaria divide la suma de cuadrados entre n, mientras que la ajustada lo hace entre n-1. 9. No; de hecho son fuertemente dependientes, ya que saber que ocurrió uno descarta automáticamente que ocurra el otro. 10. Porque los elementos comunes a ambos sucesos se contabilizan dos veces al sumar sus probabilidades individuales. 11. Representa la probabilidad marginal del suceso condicionante, calculada mediante el teorema de la probabilidad total. 12. Que se cumpla o bien . 13.

Como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la probabilidad de la condición: con . 14. d) 1 - p(A). Por aditividad de sucesos disjuntos cuya unión forma el espacio muestral, p(A') = 1 - p(A). 15. a) Conjunto vacío. Dos sucesos disjuntos o incompatibles no comparten ningún resultado elemental: su intersección es vacía. 16. c) Casos favorables divididos entre posibles. En espacios equiprobables finitos, la probabilidad es la razón de casos favorables a posibles. 17. a) Teorema de Bayes. El teorema de Bayes permite invertir el condicionamiento para hallar la probabilidad de una causa dado un efecto. 18.

Porque la probabilidad continua es el área bajo la curva de densidad; una línea sobre un único punto carece de ancho y por tanto de área. 19. El número de repeticiones independientes necesarias hasta obtener el primer éxito en un proceso de Bernoulli. 20. Porque la probabilidad se calcula integrando sobre un intervalo; el área bajo la curva sobre un único punto tiene anchura cero. 21. Cuando el número de ensayos es grande ( ) y la probabilidad de éxito es pequeña ( ), tomando . n 1 n p(A B) = p(A) p(B) p(A B) = p(A) p(B) p(A B) p(B) > 0 n > 30 p < 0, 1 λ = n p Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 12 22. Restando al momento de segundo orden el cuadrado de la esperanza: . 23.

b) n · p. La media o esperanza de la distribución binomial con n ensayos y probabilidad p es exactamente n · p. 24. b) 0. En distribuciones continuas la integral sobre un punto aislado es nula, por lo que su probabilidad individual es 0. 25. b) (X - μ) / σ. Restar la media y dividir por la desviación típica estandariza la variable a N(0, 1). Var(X) = E[X ] 2 (E[X])2 Estadística Descriptiva y Probabilidad: Apuntes 13