Sistemes de Numeració i Algorismes | Matemàtiques Mestres

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES PER A MESTRES Grau en Educació Primària Universitat Autònoma de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de sistemes de numeració (romà, xinès, decimal) i algorismes didàctics de càlcul (suma, resta i multiplicació) per a Matemàtiques per a Mestres.

APREN.AI Índex 1 Funcions dels nombres, conjunts numèrics i terminologia bàsica Naturalesa i utilitat dels nombres Estructura dels conjunts numèrics Distinció lingüística: xifra, nombre i número 2 Sistemes de numeració: additius, multiplicatius i posicionals Definició i tipologies de sistemes de numeració El sistema de numeració romà El sistema multiplicatiu xinès El sistema decimal posicional i el paper del zero 3 Càlcul raonat i algorismes de les operacions bàsiques Càlcul raonat davant d'algorisme L'algorisme de la suma «portant-se'n» Variants didàctiques de la resta portant-se'n Estratègies didàctiques per a la multiplicació 4 Formulari Sistemes de numeració Algorismes de la resta portant-se'n Algorismes de la multiplicació Errors típics a recordar Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 1 1 Funcions dels nombres, conjunts numèrics i terminologia bàsica EN ACABAR SABRÀS Distingir les diferents funcions dels nombres en contexts discrets, continus i identificatius. Classificar un nombre dins de la jerarquia de conjunts numèrics des dels naturals fins als complexos. Emprar amb precisió els conceptes de xifra, nombre i número. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 És el mateix dir «la xifra 5» que «el nombre 5»?

Naturalesa i utilitat dels nombres Les matemàtiques constitueixen un coneixement cultural que no es transmet per via genètica. Requereixen un esforç col·lectiu continuat per transmetre's generació rere generació. Alhora, conformen una disciplina científica on es construeixen nous coneixements mitjançant l'aplicació d'una estructura lògica sobre sabers previs. Els nombres responen a diverses necessitats humanes fonamentals: Quantitats discretes: permeten comptar elements separats mitjançant unitats aïllades, com ara els dits o objectes físics. Quantitats contínues: serveixen per mesurar magnituds com el temps o les dimensions lineals, context en el qual sorgeix la necessitat dels decimals.

Identificació i ordenació: s'utilitzen com a etiquetes o codis identificatius, com és el cas del DNI o les adreces IP. Resolució de problemes matemàtics: donen resposta a situacions formulades dins del mateix camp conceptual de la disciplina. Estructura dels conjunts numèrics Els sistemes numèrics s'organitzen en una seqüència de conjunts inclusius segons les seves propietats i aplicacions didàctiques: Conjunt Símbol Funció principal Exemples Naturals Comptar elements discrets 1, 2, 3, 4, ... Enters Naturals acompanyats de signe positiu, negatiu o zero 1, -1, 2, -2, 3, -3, ... Racionals Expressió de fraccions i quocients 1, 1/2, 4/3, -1/4, ...

N Z Q Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 2 Conjunt Símbol Funció principal Exemples Irracionals Valors decimals no periòdics ni expressables com a fracció Nombre , nombre , Reals Mesura contínua de magnituds ( ) 1, -1, 1/2, Complexos Resolució de polinomis; inclouen la unitat imaginària ( ) amb Diagrama de Venn dels conjunts numèrics des de naturals fins a complexos.

ESQUEMA Jerarquia dels conjunts numèrics I e π 2 R Q I 2 C i i = 2 1 3 + 2i i = 1 Complexos (C) Solucions de polinomis amb unitat imaginària Reals (R) Utilitzats per mesurar quantitats contínues Irracionals (I) Nombres com pi, e o arrels no exactes Racionals (Q) Fraccions i quocients d'enters Enters (Z) Naturals amb signe positiu, negatiu i zero Naturals (N) Utilitzats per comptar elements discrets Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 3 COMPROVA-HO 2 Quina diferència funcional existeix entre l'ús dels nombres per comptar i per mesurar?

Distinció lingüística: xifra, nombre i número En l'àmbit didàctic i en llengua catalana, cal diferenciar amb precisió aquests tres conceptes: Xifra: símbol gràfic elemental utilitzat per construir representacions numèriques. El nostre sistema disposa de deu xifres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Nombre: concepte abstracte que sorgeix de comptar els elements d'un conjunt o d'una generalització teòrica de quantitat. Número: etiqueta o identificador que designa la posició o l'element d'una col·lecció o sèrie ordenada. EXEMPLE Si en una aula hi ha 52 persones i 40 d'elles estan escoltant, la quantitat abstracta de persones atentes correspon al nombre.

En canvi, el resultat concret que s'obté en passar llista i demanar qui escolta actua com a número identificatiu. ERROR FREQÜENT Confondre «xifra» amb «nombre». Les xifres són únicament els signes individuals bàsics (del 0 al 9), mentre que el nombre és la quantitat o idea matemàtica representada, que pot estar formada per una o més xifres combinades. COMPROVA-HO 3 Quantes xifres formen el nostre sistema de numeració habitual i com es defineixen? IDEES CLAU Les matemàtiques són un coneixement cultural transmès per aprenentatge i una ciència estructurada de forma lògica.

Els nombres s'utilitzen per comptar conjunts discrets, mesurar magnituds contínues, identificar elements i resoldre problemes matemàtics. Els conjunts numèrics s'estructuren de forma inclusiva: . Cal distingir estrictament entre xifra (símbol bàsic), nombre (concepte de quantitat) i número (designador o etiqueta d'una sèrie). COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. A quin conjunt numèric pertany el valor i per a quina funció s'introdueix? 5. Com es defineix la unitat imaginària en el conjunt dels nombres complexos? N Z Q R C 2 i Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 4 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 6.

Quina funció dels nombres s'aplica en la gestió del document nacional d'identitat (DNI)? 7. Com es defineix de forma estricta el terme «xifra»? 8. Quin conjunt conté simultàniament els nombres racionals i els nombres irracionals? 9. Quina propietat caracteritza la unitat imaginària i dels nombres complexos? 2 Sistemes de numeració: additius, multiplicatius i posicionals EN ACABAR SABRÀS Identificar les característiques estructurals dels sistemes additius, multiplicatius i posicionals. Descriure el funcionament operatiu de les sumes i multiplicacions amb nombres romans. Explicar la importància de la posició i del zero en els sistemes de base deu.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 10 Per què era complicat multiplicar amb nombres romans en comparació amb el nostre sistema? Definició i tipologies de sistemes de numeració Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles que permeten expressar i escriure qualsevol quantitat vàlida. Al llarg de la història, diversos grups culturals han desenvolupat maneres pròpies de codificar els nombres: Sistemes relacionats amb el cos: com el sistema additiu de base 5, on es fa servir la mà dreta per comptar unitats fins a 5 i la mà esquerra per registrar quinzenes o grups de cinc mitjançant l'aixecament de dits.

Resolució d'equacions polinòmiques a) Identificar i ordenar elements b) Assignació a quantitats discretes c) Mesura de quantitats contínues d) Concepte que sorgeix de comptar a) Etiqueta d'una col·lecció b) Peça gràfica elemental bàsica c) Magnitud contínua mesurable d) Els nombres naturals a) Els nombres imaginaris purs b) Els nombres reals c) Els nombres enters d) El seu quadrat és -1 a) Té decimals periòdics b) Mesura magnituds discretes c) És un quocient enter d) Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 5 Sistemes posicionals no decimals: sistemes com el binari, fonamentats en una base diferent de deu.

Sistema decimal posicional: el model d'ús universalitzat en l'actualitat, basat en deu xifres i en el valor relatiu de cada dígit. El sistema de numeració romà El sistema romà fa servir lletres amb valors numèrics fixos: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500) i M (1000). Les operacions aritmètiques en aquest sistema es basen en l'agrupació, reordenació i conversió directa de símbols.

Suma en nombres romans Per sumar quantitats com 3987 i 1566, es desglossen en símbols additius i es redueixen d'acord amb les equivalències: Multiplicació en nombres romans Per multiplicar 35 per 12 ( ), s'aplica la propietat distributiva descomponent el multiplicador (12 com a 10 + 1 + 1): PER RECORDAR-HO En el sistema romà no existeix el concepte de posició ni la xifra zero; qualsevol càlcul es resol agrupant i simplificant símbols idèntics segons el seu valor intrínsec. COMPROVA-HO 11 Quina limitació presenta el sistema de numeració romà pel que fa a l'expressió dels nombres?

El sistema multiplicatiu xinès El sistema tradicional xinès associa caràcters gràfics per a les unitats de l'1 al 9 i caràcters per a les potències de deu: 10 (十), 100 (百), 1.000 (千) i 10.000 (萬). Representar els sumands: i . 1 3987 = MMMDCCCCLXXXVII 1566 = MDLXVI Unir tots els símbols: MMMDCCCCLXXXVIIMDLXVI. 2 Reagrupar per ordre de valor decreixent: MMMMDDCCCCCLXXXXXXVVII. 3 Efectuar canvis d'unitats: dues V es converteixen en X, cinc X en L, dues L en C, cinc C en D, i dos D en M. 4 S'arriba al resultat simplificat final: MMMMMDLIII (5553). 5 XXXV × XII 1 XXXV I = XXXV 2 XXXV I = XXXV 3 XXXV X = CCCL Sumar els resultats parcials: .

4 XXXV + XXXV + CCCL = XXXXXXVVCCCL Reagrupar i compactar equivalències fins a obtenir CCCCXX (420). 5 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 6 Símbols del sistema de numeració xinès per a dígits i potències de deu. L'escriptura combina paquets de dos termes de manera alternada: el primer dígit multiplica la potència de deu que el segueix, i aquests productes se sumen successivament. EXEMPLE Per representar el nombre 7543, s'estructura com a 7 vegades 1000 + 5 vegades 100 + 4 vegades 10 + 3. En aquest sistema històric el zero no existia originàriament: per expressar el nombre 7503, s'ometia la posició buida i s'escrivia directament 7 vegades 1000 + 5 vegades 100 + 3.

El sistema decimal posicional i el paper del zero El nostre sistema de numeració es caracteritza per dos principis fonamentals: 1. La base 10: s'agrupen les unitats de deu en deu. 2. El valor posicional: el valor que pren cada dígit depèn de tres factors: El valor absolut del símbol utilitzat. La posició concreta que ocupa dins del nombre. La base del sistema. En els sistemes posicionals, el zero com a xifra juga un paper essencial per determinar la posició de les altres xifres i indicar l'absència d'unitats en un ordre determinat. ERROR FREQÜENT Confondre el nombre total d'una unitat determinada amb la xifra que ocupa la seva posició.

Per exemple, en el nombre 234 hi ha 23 desenes en total (ja que ), encara que la xifra situada a la posició de les desenes sigui únicament el 3. COMPROVA-HO 12 En l'expressió 010,0 quins zeros són matemàticament necessaris i per què?

23 × 10 = 230 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 7 PROCÉS Procediment de la suma en nombres romans 1 Descomposició Escriure cada sumand amb símbols additius romans 2 Fusió Aplegar tots els caràcters en una única expressió 3 Ordenació Reorganitzar els símbols en ordre de valor decreixent 4 Simplificació Substituir grups de símbols per la unitat superior equivalent IDEES CLAU Un sistema de numeració està format per símbols i regles establertes per generar qualsevol quantitat. El sistema romà és additiu i resol operacions mitjançant la combinació i simplificació directa de caràcters.

El sistema xinès tradicional és multiplicatiu per blocs que alternen dígits i potències de deu. En el sistema decimal posicional, el valor d'un dígit depèn del símbol, de la posició i de la base, sent el zero indispensable per marcar posicions buides. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13. De quins tres factors depèn el valor d'un dígit en un sistema de numeració posicional? 14. Com expressava el sistema tradicional xinès el nombre 7503 sense emprar la xifra zero? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 15. Quin tipus d'estructura caracteritza el sistema tradicional de numeració xinès? 16. Com es resol una multiplicació com 35 per 12 en el sistema romà? 17.

Quantes desenes conté en total el nombre 234? Posicional estricte amb xifra zero a) Sexagesimal d'origen corporal b) Multiplicatiu combinant dígit i potència c) Purament additiu sense potències d) Col·locant els nombres en columnes posicionals a) Multiplicant directament les xifres sense desglossar b) Desplaçant les xifres segons les desenes c) Aplicant la distributiva i compactant símbols d) Conté exactament 4 desenes a) Conté un total de 23 desenes b) Conté exactament 3 desenes c) Conté un total de 2 desenes d) Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 8 18. Quina és la funció clau de la xifra zero en un sistema posicional?

3 Càlcul raonat i algorismes de les operacions bàsiques EN ACABAR SABRÀS Contrastar les diferències metodològiques entre el càlcul raonat i els algorismes. Justificar matemàticament els passos de la suma i de la resta portant-se'n. Aplicar i comparar diferents models per resoldre la multiplicació (distributiva, productes parcials i gelosia). PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 19 Per què quan restem diem habitualment «me'n porto una» i la sumem a baix en comptes de restar-la a dalt? Càlcul raonat davant d'algorisme En l'ensenyament de les matemàtiques cal distingir dos enfocaments per resoldre operacions: Càlcul raonat: es basa en les propietats dels nombres i de les operacions.

Permet arribar a la solució però no és un mètode sistemàtic ni necessàriament generalitzable, ja que s'adapta als nombres específics de cada situació. Algorisme: seqüència finita d'instruccions o accions no ambigües i realitzables que condueixen a la resolució d'un problema. És sistemàtic, mecanitzat i sempre proporciona el mateix resultat davant de les mateixes dades. Un algorisme operatiu escolar ha de ser comprensible, eficaç, generalitzable i transparent, és a dir, dissenyat de manera que els infants en puguin entendre el mecanisme intern.

EXEMPLE L'operació és més senzilla de resoldre per càlcul raonat que perquè en la primera cap xifra del subtrahend supera la del minuend, evitant la necessitat de reagrupar o portar-ne.

L'algorisme de la suma «portant-se'n» L'aprenentatge de la suma portant-se'n es construeix sobre la descomposició decimal per tal de fer evident el pas d'unitats a desenes: Augmentar el valor dels dígits a la dreta a) Substituir les regles de la base deu b) Marcar l'ordre de posició que no té unitats c) Permetre operacions additives manuals d) 254 143 254 178 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 9 Quan aquest procés es mecanitza en columnes verticals, es diu: «8 i 4 són 12, poso un 2 i me'n porto una; 2 i 1 són 3 i 1 són 4». Esquema didàctic de la suma portant-se'n per descomposició i format vertical.

Variants didàctiques de la resta portant-se'n Per resoldre restes com , es fan servir tres models explicatius diferents: 1. Per descomposició additiva Es descompon el minuend per transferir deu unitats a la columna de les unitats simples: Resta per columnes: . Mecanització oral: «De 6 a 3 no puc restar; el 40 me'n deixa 10; 10 i 3 fan 13 i en queden 30; de 6 a 13 n'hi van 7 i de 20 a 30 n'hi van 10 i poso un 1». Descompondre els sumands: i . 1 24 = 20 + 4 18 = 10 + 8 Sumar per separat desenes i unitats: . 2 (20 + 10) + (4 + 8) = 30 + 12 Desglossar les unitats que superen la desena: . 3 12 = 10 + 2 Reagrupar la nova desena amb les desenes existents: .

4 30 + 10 + 2 = 40 + 2 = 42 43 26 43 = 40 + 3 = 30 + 13 26 = 20 + 6 (30 20) + (13 6) = 10 + 7 = 17 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 10 Procediment de la resta portant-se'n mitjançant descomposició numèrica del minuend. Mecanització en columna de la resta per descomposició. 2. Segons el valor posicional Opera directament sobre les etiquetes de desenes (D) i unitats (U): Resta: ; , resultant 17. Mecanització oral: «De 6 a 3 no puc restar; el 4 me'n deixa 1; 10 i 3 13 i en queden 3; de 6 a 13 n'hi va 7 i de 2 a 3 n'hi va 1». Resta portant-se'n utilitzant la notació de valor posicional (D i U).

4D 3U = 3D 13U 2D 6U 3D 2D = 1D 13U 6U = 7U Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 11 Format mecanitzat de la resta segons el valor posicional. 3. A partir de la propietat fonamental de la resta La propietat fonamental estableix que si se suma la mateixa quantitat al minuend i al subtrahend, la diferència no canvia ( ): Demostració gràfica de la propietat fonamental de la resta amb un exemple. En l'operació , se sumen 10 unitats al minuend i 1 desena al subtrahend: Resta resultant: unitats i desena, obtenint 17. Mecanització oral: «De 6 a 3 no puc restar; de de 6 a 13 n'hi van 7; 2 i 1 fan 3, de 3 a 4 n'hi va 1».

a b = (a + k) (b + k) 43 26 4D (3 + 10)U = 4D 13U (2 + 1)D 6U = 3D 6U 13 6 = 7 4 3 = 1 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 12 Aplicació de la propietat fonamental en la descomposició de la resta. Mecanització clàssica de la resta basada en la propietat fonamental. COMPROVA-HO 20 Quina justificació matemàtica té la frase escolar «me'n porto una i la sumo a la xifra de sota» en la resta tradicional? Estratègies didàctiques per a la multiplicació Per calcular el producte , s'utilitzen diversos nivells de representació: Mètode 0 (Suma reiterada): . Mètode 1 (Descomposició distributiva): .

Mètode 2 (Algorisme en columna amb productes parcials i estàndard): es calculen de forma transparent els productes parcials ( i , sumant 252) abans de condensar-ho 4 × 63 = 252 63 + 63 + 63 + 63 = 252 4 × (60 + 3) = (4 × 60) + (4 × 3) = 240 + 12 = 252 4 × 3 = 12 4 × 60 = 240 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 13 en el format tradicional portant-se'n una ( desenes). Mètode 3 (Multiplicació per gelosia o quadrícula): es disposen les xifres de desenes i unitats (6 i 3) a la part superior d'una graella i el factor 4 al lateral.

Es divideix cada cel·la en dues meitats diagonals per registrar desenes i unitats de cada producte simple ( ; ), sumant posteriorment en diagonal per obtenir 252. Algorisme de la multiplicació amb productes parcials i format estàndard. Resolució de la multiplicació mitjançant el mètode de gelosia o quadrícula. ERROR FREQÜENT Ensenyar l'algorisme estàndard en columna de forma purament mecànica sense connectar-lo amb la propietat distributiva ni amb els productes parcials ( i ). Això provoca que els alumnes oblidin per què sumen la xifra que «es porten». COMPROVA-HO 21 En què consisteix el mètode de gelosia per resoldre 4 × 63?

24 + 1 = 25 4 × 3 = 1/2 4 × 6 = 2/4 4 × 60 4 × 3 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 14 PROCÉS Progressió didàctica en la multiplicació 1 Suma reiterada Comprensió del producte com a repetició del mateix sumand 2 Descomposició Aplicació de la propietat distributiva segons el valor posicional 3 Productes parcials Càlcul explícit de desenes i unitats sense condensar 4 Algorisme condensat Automatització en columna portant-se desenes a la posició següent IDEES CLAU El càlcul raonat adapta les propietats numèriques a cada cas particular, mentre que l'algorisme és un procés sistemàtic, repetible i generalitzable.

Els algorismes escolars han de ser transparents per garantir que els alumnes entenguin la lògica del procediment. La resta portant-se'n es pot justificar per descomposició additiva del minuend o per la propietat fonamental sumant una quantitat equivalent a minuend i subtrahend. La multiplicació escolar progressa des de la suma repetida i la propietat distributiva fins als productes parcials, la gelosia i l'algorisme estàndard condensat. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 22. Com s'expressa el càlcul de mitjançant la propietat distributiva? 23. En què es diferencia la resta per descomposició de la resta per propietat fonamental? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 24.

Quina característica defineix un bon algorisme didàctic a l'escola? 25. Sobre quina propietat matemàtica es fonamenta el mètode distributiu de multiplicació 4 × (60 + 3)? 4 × 63 Comprensible, eficaç, generalitzable i transparent a) Ser opac i ràpid d'executar b) Depenent sempre dels nombres concrets c) Limitat exclusivament a la suma reiterada d) Propietat associativa dels racionals a) Propietat commutativa de la suma b) Propietat distributiva del producte c) Propietat fonamental de la diferència d) Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 15 26. Què afirma la propietat fonamental de la resta utilitzada en els algorismes? 27.

En l'algorisme de gelosia per calcular 4 × 63, com s'obté la xifra final? 4 Formulari Sistemes de numeració Procediment o regla Elements i significat Quan s'utilitza Suma en nombres romans: Desglossar sumands en símbols binaris/primaris Aplegar caràcters en un sol bloc Reordenar de major a menor valor ( ) Compactar equivalències ( , , etc.) Suma additiva sense valor posicional ni xifra zero. Multiplicació en nombres romans: Descompondre multiplicador en sumands Distribuir el multiplicand en cada part Compactar símbols acumulats Descomposició polinòmica manual dels caràcters Multiplicació en sistemes purament additius.

Sistema xinès multiplicatiu: Alternança de dígit (1– 9) seguit de potència de 10 (十, 百, 千, 萬) Representació multiplicativa sense xifra zero per a posicions buides. Valor posicional decimal: : valor facial del símbol; : posició relativa; base 10 Lectura i escriptura en el sistema decimal actual; el zero actua com a marcador de posició.

L'ordre del minuend i subtrahend és intercanviable a) La resta sempre dóna un enter positiu b) El minuend sempre s'ha de descompondre en desenes c) Sumar la mateixa quantitat a minuend i subtrahend manté la diferència d) Restant el producte inferior del superior a) Sumant els valors al llarg de les diagonals b) Multiplicant les caselles adjacents c) Sumant els nombres en línies verticals d) M , D, C, L, X, V , I IIIII V V V X I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000 a 10 + n b 10 + n 1 …

V = d × 10p d p Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 16 Algorismes de la resta portant-se'n Procediment Mecanisme intern Quan s'utilitza Resta per descomposició: Es transformen 1 desena del minuend en 10 unitats directes en el mateix terme Comprensió conceptual inicial del canvi d'ordre de magnitud. Resta per valor posicional: ; restar per columnes i Operació directa amb unitats d'ordre (D, U) mitjançant rebaixa de la xifra superior Transició cap a l'algorisme estàndard vertical amb llevada.

Resta per propietat fonamental: ( ) S'afegeixen 10 unitats al minuend i simultàniament 1 desena al subtrahend Justificació matemàtica del mètode tradicional escolar («me'n porto una i la sumo a baix»). Algorismes de la multiplicació Procediment Estructura operativa Quan s'utilitza Mètode 0 (Suma reiterada): ( vegades) Repetició additiva del valor Introducció del sentit de la multiplicació a primària. Mètode 1 (Descomposició distributiva): Càlcul mental raonat i fonament de l'algorisme escrit.

Mètode 2 (Productes parcials en columna): Multiplicar unitats ( ) Multiplicar desenes ( ) Sumar parcials ( ) Escriptura vertical explícita de cada ordre abans de compactar la llevada Passatge transparent abans de l'algorisme condensat estàndard. Mètode 3 (Gelosia o quadrícula): Dibuixar graella amb diagonals Omplir productes simples (desenes a dalt, unitats a baix) Sumar en diagonal Distribució bidimensional dels dígits per evitar la gestió simultània de la llevada Alternativa visual que desvincula càlcul de productes i sumes de llevades. Errors típics a recordar Xifra vs. nombre vs.

número: la xifra és el grafema (0 al 9), el nombre és el concepte abstracte de quantitat, i el número és l'etiqueta o identificador d'una posició o codi (DNI, dorsal). Confondre xifra amb quantitat total d'unitats: a 234 la xifra de les desenes és 3, però el nombre total de desenes que conté és 23. Zeros no significatius vs. marcadors: a 010,0 només el zero central és estructuralment imprescindible per mantenir la posició de les desenes de l'1. Opacitat algorísmica: aplicar la frase «me'n porto una» sense recordar si s'està descomponent el minuend o aplicant la propietat fonamental afegint deu a ambdós termes.

43 26 = (30 + 13) (20 + 6) (30 20) + (13 6) = 17 4D 3U 3D 13U 3D 2D = 1D 13U 6U = 7U a b = (a + 10) (b + 10) 4D 13U 3D 6U = 1D 7U a × b = b + b + + b a a × (b + 1 b ) = 0 (a × b ) + 1 (a × b ) 0 4 × 63 = 4 × (60 + 3) = 240 + 12 = 252 4 × 3 = 12 4 × 60 = 240 12 + 240 = 252 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 17 Solucions de les preguntes de repàs 1. No; la xifra és el caràcter gràfic utilitzat per escriure, mentre que el nombre és la quantitat o concepte abstracte que representa. 2. Comptar s'aplica a quantitats discretes formades per elements aïllats, mentre que mesurar s'aplica a magnituds contínues i requereix habitualment l'ús de decimals o nombres reals. 3.

Està format per deu xifres (del 0 al 9), que són els símbols o peces bàsiques amb què s'escriuen tots els nombres. 4. Pertany al conjunt dels irracionals ( ) i s'integra dins dels reals ( ) per satisfer la necessitat de mesurar magnituds contínues. 5. Es defineix per la relació , de manera que , proporcionant solucions a equacions polinòmiques. 6. b) Identificar i ordenar elements. El DNI funciona com un codi o número que identifica de manera unívoca un element dins d'una sèrie. 7. c) Peça gràfica elemental bàsica. Una xifra és cadascun dels signes bàsics (del 0 al 9) amb què s'escriuen els nombres. 8. c) Els nombres reals.

El conjunt dels nombres reals ( ) comprèn tant els racionals ( ) com els irracionals ( ). 9. a) El seu quadrat és -1. Per definició en el conjunt dels complexos, la unitat compleix la condició i² = -1. 10. Perquè en no tenir valor posicional ni xifra zero, no podien utilitzar algorismes mecànics basats en columnes i havien de desglossar i reduir símbols manualment. 11. No permet calcular de manera algorísmica amb xifres decimals ni disposa d'un símbol per al zero que determini el valor posicional. 12.

Només el zero central entre l'1 i la coma és imprescindible, ja que manté la posició de les desenes per a la xifra 1; el zero inicial a l'esquerra i el zero decimal final no alteren el valor numèric. 13. Depèn del valor absolut del símbol utilitzat, de la posició específica que ocupa en el nombre i de la base de numeració del sistema. 14. Ometia la posició de les desenes i escrivia directament 7 vegades 1000 + 5 vegades 100 + 3. 15. c) Multiplicatiu combinant dígit i potència. El sistema xinès agrupa parelles on el primer símbol multiplica la potència de deu que l'acompanya. 16. d) Aplicant la distributiva i compactant símbols.

Es desglossa el multiplicador (10 + 1 + 1), es calculen els blocs parcials i es compacten els caràcters repetits. 17. b) Conté un total de 23 desenes. El nombre 234 acumula 23 desenes senceres (230 unitats) i 4 unitats soltes, tot i que la xifra de les desenes sigui 3. 18. c) Marcar l'ordre de posició que no té unitats. El zero actua com a marcador de posició per indicar que en aquell ordre no hi ha unitats i mantenir la posició dels altres dígits. 19. Perquè s'està aplicant la propietat fonamental de la resta: afegir deu unitats al nombre de dalt i una desena (que val el mateix) al de baix manté intacte el resultat. 20.

Es basa en la propietat fonamental de la resta: se sumen 10 unitats a la xifra superior i simultàniament 1 desena (equivalent a 10 unitats) a la xifra inferior per mantenir invariant la diferència. I R i = 2 1 i = 1 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 18 21. Consisteix a multiplicar cada dígit per separat dins d'una quadrícula subdividida per diagonals per separar desenes i unitats, obtenint el resultat sumant al llarg de les diagonals. 22. S'expressa com . 23. La descomposició reorganitza el propi minuend traient una desena per transformar-la en unitats, mentre que la propietat fonamental afegeix deu unitats al minuend i simultàniament una desena al subtrahend. 24.

a) Comprensible, eficaç, generalitzable i transparent. A més de sistemàtic i eficaç, ha de ser transparent perquè els nens en puguin comprendre la lògica interna. 25. c) Propietat distributiva del producte. El producte es distribueix multiplicant el factor per cadascun dels sumands desglossats (desenes i unitats). 26. d) Sumar la mateixa quantitat a minuend i subtrahend manté la diferència. En sumar el mateix nombre a minuend i subtrahend, el resultat de la resta resta completament inalterat. 27. b) Sumant els valors al llarg de les diagonals. Les cel·les estan partides en diagonals que agrupen unitats, desenes i centenes; la suma diagonal dóna les xifres del resultat.

4 × (60 + 3) = (4 × 60) + (4 × 3) = 240 + 12 = 252 Sistemes de Numeració i Algorismes " Matemàtiques Mestres 19