Balanços de matèria sense transformació | Bioprocessos

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS FONAMENTS D'ENGINYERIA DE BIOPROCESSOS Grau en Biotecnologia Universitat Autònoma de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts de balanços de matèria sense reacció: equació de conservació, estat estacionari i transitori, derivacions (bypass), recirculació i resolució pas a pas.

APREN.AI Índex 1 Fonaments i expressió general dels balanços de matèria L'equació fonamental de conservació Nombre de balanços independents i graus de llibertat 2 Sistemes complexos: recirculació, bypass i base de càlcul La base de càlcul Configuració de Bypass (derivació) Configuracions de recirculació 3 Balanços de matèria en estat no estacionari Formulació matemàtica del balanç diferencial Procediment general de resolució 4 Formulari Equació general de conservació i règim estacionari Balanços individuals i relacions de concentració Balanços en règim no estacionari (transitori) Sistemes complexos: bypass i recirculació Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 1 1 Fonaments i expressió general dels balanços de matèria EN ACABAR SABRÀS Identificar els quatre termes de l'equació general de conservació de la matèria. Determinar el nombre màxim de balanços de matèria independents en un sistema. Convertir dades de concentració i densitat a fraccions màssiques consistents per al balanç. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si barregem 1 litre d'aigua pura amb 1 litre d'etanol absolut, tindrem exactament 2 litres de barreja?

Un balanç constitueix una relació matemàtica fonamentada en el principi de conservació d'una propietat física dins d'un domini definit. Dins de l'enginyeria de bioprocessos s'aborden principalment dos tipus d'equacions de conservació: els balanços de matèria i els balanços d'energia. Els balanços de matèria es divideixen segons si tenen lloc o no processos de conversió química o bioquímica. En aquest bloc s'analitzen exclusivament els sistemes sense transformació, és a dir, situacions on no intervenen reaccions químiques ni creixement biològic. L'equació fonamental de conservació Els balanços que s'apliquen habitualment a nivell industrial són de caràcter macroscòpic i global.

L'expressió general que descriu la conservació de qualsevol magnitud combina quatre termes fonamentals: En aquesta expressió, les lletres representen conceptes precisos del flux de massa: E (Entrada): cabal de matèria que creua la superfície de control o evolvent cap a l'interior del volum definit. G (Generació): velocitat a la qual es produeix o desapareix matèria per transformació interna. En magnituds químiques o biològiques està estretament vinculada a la cinètica de reacció ( multiplicada pel volum del sistema). Com que en aquest tema tractem sistemes sense transformació, la generació és nul·la (G = 0). S (Sortida): cabal de matèria que travessa els límits del sistema cap a l'exterior.

A (Acumulació): variació neta de la quantitat de matèria continguda a l'interior del sistema al llarg del temps ( ). DEFINICIÓ L'estat estacionari és la condició d'operació d'un sistema en què les propietats no varien amb el temps; per tant, el terme d'acumulació és estrictament zero ( ), resultant en . E + G = S + A r = dt dC A = dt dM A = 0 E = S Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 2 Tots els termes d'un balanç han de compartir estrictament les mateixes unitats de flux. En balanços de matèria sense transformació s'utilitzen unitats de massa dividida per temps (com kg/s, kg/min o kg/h).

En sistemes amb transformació és habitual treballar en mol/temps, mentre que per a l'energia s'utilitzen unitats com J/temps o cal/temps. COMPROVA-HO 2 Què passa amb l'equació general de balanç quan treballem amb un sistema sense reacció en règim estacionari? Nombre de balanços independents i graus de llibertat Per a un sistema determinat que conté diverses substàncies, el nombre màxim de balanços de matèria linealment independents que es poden plantejar és igual al nombre de components químics presents. Si un procés involucra tres components diferents, es podran formular com a màxim 3 equacions independents.

Tipus de Balanç Definició de termes Unitats comunes Balanç Global (total) Suma de tota la massa o mols que travessen els límits kg totals / temps o mols totals / temps Balanç per Component Quantitat d'una espècie química concreta j en cada corrent kg de l'espècie j / temps o mols de j / temps Tot i que es pot plantejar el balanç global i el balanç de cadascun dels tres components (quatre equacions en total), només tres seran independents entre si. El balanç global no és més que la suma dels individuals.

A la pràctica, l'estratègia habitual per resoldre el sistema consisteix a formular el balanç global (sovint més simple d'avaluar) combinat amb els balanços d'aquells components que estiguin presents en el menor nombre possible de corrents. ERROR FREQÜENT Plantejar balanços de matèria utilitzant directament unitats de volum (com o ). El volum no és una magnitud que es conservi si les densitats dels corrents varien o es produeix mescla. Cal transformar sempre els cabals volumètrics a cabals màssics mitjançant la densitat ( ) abans d'efectuar el balanç. Per a formular el balanç d'un component individual en un corrent determinat amb cabal màssic total , s'utilitza la fracció màssica ( ): .

Si es disposa de la concentració en massa per volum ( ), cal dividir-la per la densitat del corrent per obtenir la fracció màssica corresponent. L/min m /h 3 m = ρ V j m i ω j m = ij m i ω j kg /V j Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 3 PROCÉS Components de l'equació general de balanç 1 Entrada (E) Massa que travessa la frontera cap a l'interior 2 Generació (G) Transformació dins del sistema (nul·la en aquest tema) 3 Sortida (S) Massa que surt a través dels límits 4 Acumulació (A) Variació temporal de la matèria continguda IDEES CLAU L'equació general de conservació matemàtica per a qualsevol sistema és .

En sistemes sense reacció química o biològica, el terme de generació sempre és nul ( ). En estat estacionari no hi ha acumulació ( ), per la qual cosa les entrades totals igualen les sortides totals ( ). El nombre màxim de balanços de matèria linealment independents és igual al nombre de components del sistema. Els balanços s'han de formular estrictament en massa o mols, ja que el volum no és una magnitud que es conservi. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Per què el balanç global de matèria no aporta una equació independent addicional si ja s'han plantejat tots els balanços dels components? 4.

Com es calcula el cabal d'un component a partir d'un cabal màssic total i una concentració en massa per unitat de volum? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Quants balanços independents es poden plantejar en un sistema sense transformació amb 4 components? 6. Per quin motiu el terme de generació val zero en els sistemes d'aquest tema? 7. Quina condició defineix matemàticament un balanç en estat estacionari?

E + G = S + A G = 0 A = 0 E = S m i Depèn dels equips del sistema a) 5 balanços independents b) Exactament 4 balanços c) Només 1 balanç global d) Perquè el règim és estacionari a) Perquè no hi ha reacció química b) Perquè el volum és constant c) Perquè l'acumulació és màxima d) Acumulació igual a zero a) Volum del tanc constant b) Sortida igual a Acumulació c) Entrada igual a Generació d) Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 4 8. Per què és incorrecte realitzar balanços utilitzant directament unitats de volum? 2 Sistemes complexos: recirculació, bypass i base de càlcul EN ACABAR SABRÀS Definir i seleccionar una base de càlcul adequada per a un diagrama de flux.

Identificar les evolvents possibles en sistemes amb línies de derivació (bypass). Distinguir els balanços en sistemes de recirculació simple dels que incorporen unitats de separació i purga. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Per què cal introduir un corrent de purga en un sistema on recirculem un reactiu sense consumir al 100%? Un sistema de bioprocessos esdevé complex quan està format per diversos equips connectats en xarxa, compta amb nombrosos corrents d'entrada i sortida o utilitza unitats heterogènies que requereixen factors de conversió. Per abordar-ne la resolució, cal saber dibuixar amb precisió l'esquema de blocs i traçar correctament les superfícies de control o evolvents.

La base de càlcul Quan en un problema no es proporcionen cabals absoluts sinó relacions o composicions relatives, s'ha d'adoptar una base de càlcul. Es tracta d'una quantitat o cabal de referència que es fixa arbitràriament (per exemple, 1, 10 o 100 kg/s de corrent d'alimentació) per determinar la resta de fluxos, que mantindran sempre una proporcionalitat directa amb aquesta base.

Configuració de Bypass (derivació) Una derivació o bypass consisteix en una línia de procés que desvia una fracció del corrent d'alimentació (feed) al voltant d'un equip per reunir-se posteriorment amb el corrent de sortida del mateix, tal com es representa a la figura següent: Perquè les unitats no tenen temps a) Perquè només s'aplica a gasos b) Perquè requereix cinètiques químiques c) Perquè el volum no es conserva d) Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 5 Esquema d'un sistema de procés amb línia de derivació (bypass).

Aquesta configuració s'utilitza principalment per reduir o evitar la presència d'inhibidors que perjudiquen el funcionament de l'equip o bé per regular la concentració final. En aquest esquema es distingeixen 6 corrents i es poden plantejar diferents evolvents: Evolvent global: engloba tot el conjunt; compta amb el corrent d'alimentació (feed) com a entrada, i el producte final (product) i el residu (waste) com a sortides. Evolvent de l'equip: entrada E, i sortides S i waste. Punt de bifurcació (separació): l'alimentació es divideix en l'entrada a l'equip E i la derivació bypass.

Com que no hi ha canvis en la composició, no s'hi poden plantejar balanços de components independents, només el balanç global. Punt de mescla (unió): s'ajunten el corrent S i el bypass per donar el corrent final de producte. COMPROVA-HO 10 Per què al punt de divisió inicial d'un bypass no es pot plantejar un balanç de matèria per components independent? Configuracions de recirculació La recirculació consisteix a retornar una part del corrent de sortida de nou cap a l'entrada de l'equip.

Es distingeixen dos casos fonamentals segons si hi ha canvi de concentració o no abans del retorn: En el cas bàsic, un divisor divideix mecànicament el corrent de sortida en el producte final i el retorn de recirculació, sense canvi de concentració: P Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 6 Esquema bàsic de recirculació amb divisió directa del corrent de sortida. En la variant amb separador, el corrent de sortida de l'equip entra a una unitat de separació (com ara un decantador o una membrana).

D'aquí surt el producte i un corrent concentrat , del qual es pot extreure una fracció de purga ( ) per evitar l'acumulació de components indesitjats abans de reincorporar-se a l'alimentació fresca : Diagrama de recirculació avançada amb unitat de separació i línia de purga. PER RECORDAR-HO En la recirculació bàsica, el punt de divisió de sortida manté la mateixa composició a tots els corrents. En canvi, si hi ha un equip separador, el corrent recirculat té una concentració diferent de la del producte net, fet que permet plantejar balanços de components a totes les evolvents.

Exemples industrials rellevants d'aquesta darrera configuració inclouen els processos de síntesi química (com la reacció reversible de producció d'amoníac, ) o les estacions depuradores d'aigües residuals (EDAR), on es recircula el fang biològic des del decantador secundari cap al reactor. S P R W F N + 2 1 2 H 2 3 2 NH 3 Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 7 ESQUEMA Tipus de configuracions en sistemes complexos IDEES CLAU La base de càlcul es fixa sobre el corrent d'alimentació quan no es disposa de valors numèrics de cabal absolut. Un corrent de bypass permet desviar flux per protegir l'equip de la presència d'agents inhibidors.

En un punt físic de divisió de corrents sense separació de fases, la composició dels fluxos resultants no canvia. La presència d'una unitat de separació a la línia de sortida permet que el corrent recirculat tingui una concentració diferent del producte final. La purga és necessària en cicles de recirculació per evitar l'acumulació contínua d'impureses o subproductes. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. En quina situació s'ha d'adoptar obligatòriament una base de càlcul? 12. Quina diferència fonamental hi ha entre la recirculació simple i la recirculació amb separador pel que fa als balanços per component? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13.

On és més convenient situar la base de càlcul en un procés químic? 14. Quin és un dels motius operatius principals per dissenyar una derivació (bypass)?

Bypass (Derivació) Desviació parcial del corrent d'entrada Recirculació Retorn de fracció de sortida cap a l'inici Sense separador Retorn directe amb la mateixa composició Amb separador i purga Canvi de composició i descàrrega de purga A la recirculació interna a) Al producte de sortida b) Al corrent d'alimentació total c) Al corrent de purga d) Evitar compostos inhibidors a l'equip a) Fer que el règim sigui no estacionari b) Eliminar la necessitat de purga c) Augmentar la generació de reacció d) Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 8 15. Què tenen en comú els corrents derivats d'un divisor simple de cabal? 16.

Quin equip real utilitza recirculació amb separador segons els apunts? 3 Balanços de matèria en estat no estacionari EN ACABAR SABRÀS Diferenciar un sistema en règim estacionari d'un en estat no estacionari. Formular correctament el terme diferencial d'acumulació per a un component quan el volum varia. Plantejar les condicions inicials necessàries per integrar les equacions de balanç transitori. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 17 Si afegim contínuament aigua pura a un dipòsit ple d'aigua salada mentre en surt la mateixa quantitat de barreja, la concentració de sal arribarà a ser mai exactament zero?

Un sistema opera en estat no estacionari (o règim transitori) quan les variables del procés, com ara la massa, el volum o la concentració interna, canvien amb el pas del temps. En aquestes condicions, el terme d'acumulació és diferent de zero ( ). L'equació de conservació esdevé una equació diferencial que cal resoldre mitjançant integració analítica o mètodes numèrics.

Formulació matemàtica del balanç diferencial Per a un tanc o volum de control amb un corrent d'entrada màssic ( ) i un corrent de sortida ( ), el balanç global s'expressa de la forma: De manera anàloga, per a un component individual , es formula: Com que la massa d'un solut continguda en el tanc és el producte del volum per la seva concentració ( ), la derivada temporal de l'acumulació requereix aplicar la regla de derivació del producte si tant el volum com la concentració varien: La mateixa composició química a) La mateixa pressió hidràulica b) El mateix cabal màssic c) Diferent densitat de mescla d) Un bescanviador de calor simple a) Un dipòsit atmosfèric d'aigua b) Una depuradora d'aigües (EDAR) c) Una vàlvula de laminació d) A = 0 m 1 m 2 m 1 m = 2 dt dM j m 1j m = 2j dt dM j M = j V C j = dt dM j = dt d(V C ) j V + dt dC j C j dt dV Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 9 Si la densitat de la mescla és constant i el cabal d'entrada és exactament igual al de sortida, el volum romandrà fix ( ).

En aquesta situació el balanç global no presenta acumulació màssica, però el balanç del component sí que pot tenir acumulació si la seva concentració evoluciona amb el temps. COMPROVA-HO 18 Pot un sistema tenir un balanç global en estat estacionari (A = 0) però trobar-se en règim no estacionari per a un dels seus components? Procediment general de resolució La resolució sistemàtica de problemes en règim transitori requereix seguir una seqüència estructurada de passos: EXEMPLE Considerem un dipòsit inicialment amb 100 L d'aigua de mar amb una concentració de sal . S'hi introdueix aigua pura ( de sal) a raó de i en surt barreja amb el mateix cabal de .

Com que el cabal d'entrada i el de sortida són iguals, el volum és constant ( ). El balanç de sal resulta: Aïllant variables obtenim l'equació diferencial amb condició inicial : ERROR FREQÜENT Oblidar el terme quan el cabal d'entrada no coincideix amb el de sortida. Si els cabals difereixen, el volum varia linealment amb el temps ( ) i cal substituir aquesta expressió dins del balanç del component abans d'integrar. = dt dV 0 Identificació de variables temporals: determinar quines magnituds depenen del temps, com ara el volum del tanc mitjançant el balanç global ( ) o la concentració mitjançant el balanç de component ( ).

1 BG BC Plantejament dels balanços ( ): substituir els fluxos coneguts i expressar l'acumulació com a derivada temporal. 2 E S = A Definició de la condició de contorn o inicial: establir el valor conegut de les variables a l'instant inicial (per exemple, a , o ). 3 t = 0 V = V 0 C = j C j0 Integració de l'equació: resoldre analíticament l'equació diferencial separant variables o mitjançant programari de càlcul numèric (com Polymath).

4 C = s 30 g/L 0 g/L 5 L/min 5 L/min V = 100 L 0 (5 C ) = s dt d(100 C ) s 5C = s 100 dt dC s C (0) = s 30 g/L = dt dC s C = 100 5 s 0,05C s C j dt dV V (t) = V + 0 (E S)t Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 10 PROCÉS Passos per a la resolució de balanços en estat no estacionari 1 Identificar variables Determinar quines magnituds canvien amb el temps 2 Plantejar balanços Formular E - S = A tant global com de component 3 Condició inicial Fixar els valors a t = 0 per a V o C 4 Integració Resolució analítica o mitjançant mètodes numèrics IDEES CLAU L'estat no estacionari es caracteritza perquè el terme d'acumulació és diferent de zero ( ).

L'acumulació d'un solut depèn de la derivada del producte del volum per la concentració: . Si els cabals volumètrics difereixen, el volum del sistema varia amb el temps i s'ha de determinar prèviament mitjançant el balanç global. Tota equació diferencial resultant d'un balanç no estacionari requereix fixar una condició inicial per poder integrar-se. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19. Com s'expressa la variació temporal de volum en un dipòsit si entren i en surten , partint d'un volum inicial de ? 20. Què succeeix amb el terme d'entrada d'un balanç de solut si el corrent que alimenta el tanc és aigua completament pura? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 21.

Quin tipus d'equació matemàtica s'obté a l'aplicar un balanç en règim transitori? 22. Quina condició és indispensable per resoldre l'equació diferencial d'un balanç de matèria no estacionari? 23. Com es calcula l'acumulació d'un component si el volum del reactor roman constant?

A = = dt dM 0 dt d(V C) V (t) 10 L/min 5 L/min 100 L Equació diferencial ordinària a) Equació algebraica directa b) Matriu identitat c) Balanç de volum finit d) Utilitzar una base de càlcul a) Conèixer la condició inicial b) Tenir generació positiva c) Imposar acumulació nul·la d) Integrant la generació de reacció a) Multiplicant cabals per temps b) Fent C multiplicat per dV/dt c) Fent V multiplicat per dC/dt d) Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 11 24. Quin programari d'ordinador s'esmenta en les fonts per a resoldre aquests sistemes numèricament?

4 Formulari Equació general de conservació i règim estacionari Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'usa : entrada, : generació interna, : sortida, : acumulació Balanç macroscòpic fonamental de qualsevol magnitud conservativa. : generació nul·la Sistemes de matèria sense transformació química ni biològica. (acumulació nul·la) Operació en estat estacionari (les variables no canvien amb el temps). : nombre d'espècies químiques diferents Per determinar quantes equacions linealment independents es poden utilitzar.

Balanços individuals i relacions de concentració Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'usa : cabal de l'espècie al corrent , : cabal màssic total, : fracció màssica Balanç individual de component a partir de la fracció màssica del corrent. : concentració ( ), : densitat de la mescla Conversió de concentració en base volumètrica a flux màssic del component. : cabal molar ( ), : mols totals al sistema Balanços de matèria expressats en unitats molars.

LabVIEW a) AutoCAD b) Photoshop c) Polymath d) E + G = S + A E G S A G = 0 E = S + A G E = S A = 0 N = balan os independents ç N components N m = ij m = i kg t kg j m ρ i j m ij j i mi ρ j m = ij m i ρ C j C j kg /V j ρ n 1 n = 2 dt dN n mol/temps N Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 12 Balanços en règim no estacionari (transitori) Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'usa : cabals d'entrada i sortida, : massa total acumulada Balanç global diferencial quan la massa total varia amb el temps. : volum del sistema, : concentració del component Càlcul de l'acumulació diferencial quan varien simultàniament el volum i la concentració.

Procediment de resolució en règim transitori Identificar variables amb el temps ( amb balanç global, amb balanç de component) Plantejar Fixar condició inicial a ( ) Resolució analítica o numèrica (Polymath) Metodologia per resoldre problemes diferencials d'acumulació. Sistemes complexos: bypass i recirculació Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'usa Base de càlcul (BC) Fixar valor arbitrari (1, 10 o 100 kg/s) a l'alimentació fresca Enunciats sense valors de cabal absolut coneguts. Balanç en bifurcació (bypass o divisor simple) Divisió mecànica de corrents sense canvi de concentració (només aporta 1 balanç independent).

Recirculació amb separador Evolvent global, d'equip, de separador i d'unió Sistemes amb purga on el corrent recirculat té una composició diferent del producte final. Errors típics Formular balanços en volum: el volum no és una propietat conservativa a causa de canvis de densitat i contracció de mescla; cal utilitzar sempre massa ( ) o mols ( ). Comptar el balanç global com a independent addicional: el balanç global és combinació lineal dels balanços per components; si hi ha components, el nombre màxim d'equacions independents és .

Ometre el terme en règim transitori: si els cabals volumètrics d'entrada i sortida no coincideixen, el volum és funció del temps i no es pot extreure com a constant de la derivada. m 1 m = 2 dt dM m , m 1 2 M = dt dM j V + dt dC j C j dt dV V C j j V C j E S = A t = 0 V , C 0 j0 ρ = j,entrada ρ = j,sortida 1 ρ j,sortida 2 kg mol N N C j dt dV Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 13 Solucions de les preguntes de repàs 1. No necessàriament, perquè els volums no són additius a causa de les interaccions moleculars; en canvi, la massa total de la mescla sí que es conserva estrictament. 2.

Com que no hi ha transformació, el terme de generació val zero (G = 0), i en ser estacionari no hi ha acumulació (A = 0); per tant, l'equació queda reduïda a E = S. 3. Perquè el balanç global s'obté directament com a combinació lineal (suma aritmètica) dels balanços de tots els components individuals. 4. Es divideix la concentració per la densitat de la dissolució per obtenir la fracció màssica i després es multiplica pel cabal màssic total . 5. c) Exactament 4 balanços. El nombre de balanços linealment independents coincideix sempre amb el nombre de components químics diferents presents. 6. b) Perquè no hi ha reacció química.

La generació només apareix quan la matèria es transforma químicament o biològicament. 7. a) Acumulació igual a zero. L'estat estacionari exigeix que cap propietat del sistema variï en el temps, fet que implica A = 0. 8. d) Perquè el volum no es conserva. El volum pot variar per efecte de la mescla o de canvis de densitat; només la massa i els mols es conserven. 9. Perquè qualsevol impuresa inert continguda a l'alimentació s'aniria acumulant progressivament en el bucle de recirculació fins a saturar o bloquejar el sistema. 10. Perquè una simple divisió de corrent no altera la composició; les fraccions màssiques de tots els corrents resultants són idèntiques a les del corrent original. 11.

Quan en l'enunciat del problema no s'especifica el valor de cap cabal màssic o molar d'entrada o sortida. 12. En la recirculació simple la divisió no canvia la composició del corrent, mentre que amb un separador el corrent recirculat té una concentració diferent de la del producte. 13. c) Al corrent d'alimentació total. Fixar la base a l'alimentació global simplifica notablement els càlculs dels fluxos successius. 14. a) Evitar compostos inhibidors a l'equip. El bypass evita el contacte excessiu d'inhibidors nocius amb l'equip principal. 15. a) La mateixa composició química. Una divisió mecànica de línia manté exactament la mateixa fracció màssica en tots els subcorrents. 16.

c) Una depuradora d'aigües (EDAR). Les EDAR recirculen fangs des de la unitat de decantació cap a la capçalera del procés. 17. Teòricament no en un temps finit, ja que segueix un decaïment exponencial que tendeix asimptòticament a zero a mesura que el temps tendeix a infinit. 18. Sí, si els cabals màssics d'entrada i sortida són iguals (massa total constant), però la concentració d'un component concret dins del tanc varia amb el temps. 19. Com que , integrant s'obté la relació lineal directa . 20. El terme d'entrada del solut és igual a zero, perquè la concentració d'aquest component en l'alimentació val zero.

m i = dt dV 10 5 = 5 L/min V (t) = 100 + 5t Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 14 21. a) Equació diferencial ordinària. El terme d'acumulació introdueix una derivada temporal dM/dt, donant lloc a una equació diferencial. 22. b) Conèixer la condició inicial. Per trobar la solució particular cal conèixer el valor de la variable a l'instant inicial t = 0. 23. d) Fent V multiplicat per dC/dt. En ser el volum constant, surt fora de la derivada: d(V·C)/dt = V·(dC/dt). 24. d) Polymath. Polymath s'indica com a eina habitual de resolució numèrica d'equacions diferencials en aquest context. Balanços de matèria sense transformació " Bioprocessos 15