Exercice 1 · Bac STMG Épreuve anticipée de mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2026 (sujet 1)

Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île.

En 2025, elle estime qu'il y a $1\,000$ singes sur l'île.

A. Premier modèle

Chaque année, la population de singes baisse de $10\,\%$.

1.

Montrer qu'en 2026, il y aura 900 singes sur l'île.

2.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025 + n$. On a donc $u_0 = 1\,000$.

a.

Indiquer ce que représente $u_2$ et calculer sa valeur.

b.

Déterminer la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.

c.

Donner les variations de cette suite.

3.

Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier.

B. Second modèle

On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $(v_n)$ ainsi définie:

$$\begin{cases} v_{n+1} = 0{,}9v_n + 150 \;; \; n \in \mathbb{N} \\ v_0 = 1\,000 \end{cases}$$

où $v_n$ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025 + n$.

1.

Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul.

2.

La feuille de calcul ci-contre donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $(v_n)$.

Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule B3 pour obtenir les termes de la suite $(v_n)$ ?

3.

Indiquer en quelle année, la population de singes dépassera pour la première fois $1\,400$ individus.