Exercice 3 - Partie II · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2024 (sujet 1)

Exercice 3

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices: le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que:

Un candidat pris au hasard a une probabilité $0{,}8$ de répondre correctement à la question Q1.

Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité $0{,}6$ de répondre correctement à Q2; s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité $0{,}1$ de répondre correctement à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note:

$A$ l'événement: « le candidat répond correctement à la question Q1 »;

$B$ l'événement: « le candidat répond correctement à la question Q2 ».

On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les événements contraires de $A$ et de $B$.

Partie II

Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte zéro point.

Les huit questions sont de même difficulté: pour chacune des questions, un candidat a une probabilité $\frac{3}{4}$ de répondre correctement, indépendamment des autres questions.

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.

1.

Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2.

Donner la valeur exacte de $P(Y = 8)$.

3.

Donner l’espérance et la variance de $Y$.