Exercice B · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2021 (sujet 1)

Exercice B

Principaux domaines abordés

Équations différentielles

Fonction exponentielle; suites

Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de $225\text{ }^\circ\text{C}$.

On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.

On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$. Dans cette modélisation, $f(t)$ représente la température en degré Celsius de la baguette au bout de la durée $t$, exprimée en heure, après la sortie du four.

Ainsi, $f(0{,}5)$ représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du four.

Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à $25\text{ }^\circ\text{C}$.

On admet alors que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $y' + 6y = 150$.

1. a.

Préciser la valeur de $f(0)$.

$^{\circ}\text{C}$

1. b.

Résoudre l'équation différentielle $y' + 6y = 150$.

1. c.

En déduire que pour tout réel $t \ge 0$, on a $f(t) = 200\text{e}^{-6t} + 25$.

2.

Par expérience, on observe que la température d'une baguette sortant du four:

décroît;

tend à se stabiliser à la température ambiante.

La fonction $f$ fournit-elle un modèle en accord avec ces observations ? Justifier.

3.

Montrer que l'équation $f(t) = 40$ admet une unique solution dans $[0\;;\;+\infty[$.

Pour mettre les baguettes en rayon, le boulanger attend que leur température soit inférieure ou égale à $40\text{ }^\circ\text{C}$. On note $T_0$ le temps d'attente minimal entre la sortie du four d'une baguette et sa mise en rayon.

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

4.

Avec la précision permise par le graphique, lire $T_0$. On donnera une valeur approchée de $T_0$ sous forme d'un nombre entier de minutes.

minutes

5. On s'intéresse ici à la diminution, minute après minute, de la température d'une baguette à sa sortie du four.

Ainsi, pour un entier naturel $n$, $D_n$ désigne la diminution de température en degré Celsius d'une baguette entre la $n$-ième et la $(n+1)$-ième minute après sa sortie du four.

On admet que, pour tout entier naturel $n$:

$$D_n = f\left(\frac{n}{60}\right) - f\left(\frac{n+1}{60}\right)$$

5. a.

Vérifier que 19 est une valeur approchée de $D_0$ à 0,1 près, et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

5. b.

Vérifier que l'on a, pour tout entier naturel $n$: $D_n = 200\text{e}^{-0{,}1n}(1 - \text{e}^{-0{,}1})$.

En déduire le sens de variation de la suite $(D_n)$, puis la limite de la suite $(D_n)$.

Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l'exercice ?