Exercice 1 - Partie C (3) : Inégalité de concentr… · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 1)

Thème : Concentration, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres · Tiré du sujet Jour 1 (2025)

Énoncé

Partie C.

On s'intéresse à un échantillon de 20 enfants atteints d'allergie alimentaire choisis au hasard.

L'âge d'apparition des premiers symptômes allergiques de ces 20 enfants est modélisé par les variables aléatoires A1,A2,…,A20A_1, A_2, \dots, A_{20}. On admet que ces variables aléatoires sont indépendantes et suivent la même loi d'espérance 4 et de variance 2,25.

On considère la variable aléatoire:M20=A1+A2+⋯+A2020M_{20} = \frac{A_1 + A_2 + \dots + A_{20}}{20}

3.

Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que

P(2<M20<6)>0,97.P(2 < M_{20} < 6) > 0{,}97.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Énoncé: Exercice 1 - Partie C (3) : Inégalité de concentr… · Bac Mathématiques Polynésie 2025 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

3. Justifier, à l'aide de l'inégalité de concentration, que P(2<M20<6)>0,97P(2 < M_{20} < 6) > 0{,}97.

Réponse : P(2<M20<6)=P(−2<M20−4<2)=P(∣M20−4∣<2)=1−P(∣M20−E(M20)∣≥2)≥1−V(M20)22=1−0,11254=0,971875>0,97P(2 < M_{20} < 6) = P(-2 < M_{20} - 4 < 2) = P(|M_{20} - 4| < 2) = 1 - P(|M_{20} - E(M_{20})| \geq 2) \geq 1 - \frac{V(M_{20})}{2^2} = 1 - \frac{0{,}1125}{4} = 0{,}971875 > 0{,}97

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Réponse : La probabilité pour que l'âge moyen d'apparition des premiers symptômes allergiques chez les 20 enfants soit strictement compris entre 2 ans et 6 ans est strictement supérieure à 0,97.

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