Exercice 3 - Partie B · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Exercice 3 (6 points)

On considère $n$ un entier naturel non nul.

On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0\;; 1]$ par:

$$f_n(x) = x^n \mathrm{e}^{1-x}.$$

On admet que la fonction $f_n$ est dérivable sur l'intervalle $[0\;; 1]$ et on note $f'_n$ sa fonction dérivée.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par:

$$u_n = \int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x \quad \text{c'est-à-dire} \quad u_n = \int_0^1 x^n \mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x.$$

On admet que $u_1 = \mathrm{e} - 2$.

1. a.

Justifier que pour tout $x \in [0; 1]$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leq x^{n+1} \leq x^n$.

1. b.

En déduire que pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \leq u_{n+1} \leq u_n$.

1. c.

Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.

2. a.

À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a: $u_{n+1} = (n+1)u_n - 1$.

2. b.

On considère le script Python ci-dessous définissant la fonction suite().

from math import exp

def suite():

u=...

for n in range (1,...):

u=...

return...

Recopier et compléter le script Python ci-dessus pour que la fonction suite() renvoie la valeur de $\displaystyle\int_0^1 x^8 \mathrm{e}^{1-x}\,\mathrm{d}x$.

3. a.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a: $$u_n \leq \frac{\mathrm{e}}{n+1}.$$

3. b.

En déduire la limite de la suite $(u_n)$.