Exercice 1 - Loi binomiale · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 2)

Principaux domaines abordés:

Probabilités.

Les résultats seront arrondis si besoin à $10^{-4}$ près.

Une étude statistique réalisée dans une entreprise fournit les informations suivantes:

48 % des salariés sont des femmes. Parmi elles, 16,5 % exercent une profession de cadre;

52 % des salariés sont des hommes. Parmi eux, 21,5 % exercent une profession de cadre.

On choisit une personne au hasard parmi les salariés.

On considère les événements suivants:

$F$: « la personne choisie est une femme »;

$C$: « la personne choisie exerce une profession de cadre ».

5. On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés. Le grand nombre de salariés dans l'entreprise permet d'assimiler ce choix à un tirage avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés.

On rappelle que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit un cadre est égale à $0{,}191$.

a.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b.

Calculer la probabilité que l'échantillon contienne au plus 1 cadre.

c.

Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$.

6.

Soit $n$ un entier naturel. On considère dans cette question un échantillon de $n$ salariés.

Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu'il y ait au moins un cadre au sein de l'échantillon soit supérieure ou égale à $0{,}99$ ?