Exercice 2 · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 2)

EXERCICE 2 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Géométrie dans l'espace.

On considère le cube $ABCDEFGH$ de côté 1 représenté ci-dessous.

On munit l'espace du repère orthonormé $(A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})$.

1. a.

Justifier que les droites $(AH)$ et $(ED)$ sont perpendiculaires.

1. b.

Justifier que la droite $(GH)$ est orthogonale au plan $(EDH)$.

1. c.

En déduire que la droite $(ED)$ est orthogonale au plan $(AGH)$.

2.

Donner les coordonnées du vecteur $\vec{ED}$.

Déduire de la question 1.c. qu'une équation cartésienne du plan $(AGH)$ est: $y - z = 0$.

3.

On désigne par $L$ le point de coordonnées $\left(\frac{2}{3}; 1; 0\right)$.

a.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EL)$.

b.

Déterminer l'intersection de la droite $(EL)$ et du plan $(AGH)$.

c.

Démontrer que le projeté orthogonal du point $L$ sur le plan $(AGH)$ est le point $K$ de coordonnées $\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

d.

Montrer que la distance du point $L$ au plan $(AGH)$ est égale à $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

e.

Déterminer le volume du tétraèdre $LAGH$.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule: $$V = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$$