Exercice 3 · Bac Mathématiques Liban 2023 (jour 2)

Exercice 3 (5 points)

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère les points $A(3; 0; 1)$, $B(2; 1; 2)$ et $C(-2; -5; 1)$.

1.

Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2.

Démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

3.

Vérifier que le plan (ABC) a pour équation cartésienne:

$$-x + y - 2z + 5 = 0$$

4.

On considère le point $S(1; -2; 4)$.

Déterminer la représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$, passant par S et orthogonale au plan (ABC).

5.

On appelle H le point d'intersection de la droite $(\Delta)$ et du plan (ABC).

Montrer que les coordonnées de H sont $(0; -1; 2)$.

6.

Calculer la valeur exacte de la distance SH.

7.

On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan (ABC), de centre H, passant par le point B. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$.

Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque $\mathcal{D}$.

8.

En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet S et de base le disque $\mathcal{D}$.