Exercice 4 · Bac Mathématiques Liban 2023 (jour 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 1 (2023)

Énoncé

Exercice 4 (5 points)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O;ı⃗,ȷ⃗,k⃗)(O; \vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}), on considère les points A(−1;−3;2)A(-1; -3; 2), B(3;−2;6)B(3; -2; 6) et C(1;2;−4)C(1; 2; -4).

1.

Démontrer que les points AA, BB et CC définissent un plan que l'on notera P\mathcal{P}.

2. a.

Montrer que le vecteur n⃗(13−16−9)\vec{n}\begin{pmatrix} 13 \\ -16 \\ -9 \end{pmatrix} est normal au plan P\mathcal{P}.

2. b.

Démontrer qu'une équation cartésienne du plan P\mathcal{P} est 13x−16y−9z−17=013x - 16y - 9z - 17 = 0.

On note D\mathcal{D} la droite passant par le point F(15;−16;−8)F(15; -16; -8) et orthogonale au plan P\mathcal{P}.

3.

Donner une représentation paramétrique de la droite D\mathcal{D}.

4.

On appelle EE le point d'intersection de la droite D\mathcal{D} et du plan P\mathcal{P}. Démontrer que le point EE a pour coordonnées (2;0;1)(2; 0; 1).

5.

6.

Énoncé: Exercice 4 · Bac Mathématiques Liban 2023 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Démontrer que les points A, B et C définissent un plan que l'on notera P.

Réponse : Les vecteurs AB⃗(4;1;4)\vec{AB}(4; 1; 4) et AC⃗(2;5;−6)\vec{AC}(2; 5; -6) ne sont pas colinéaires, donc AA, BB et CC ne sont pas alignés et définissent un plan.

2. a. Montrer que le vecteur n(13; -16; -9) est normal au plan P.

Réponse : n⃗⋅AB⃗=0\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 et n⃗⋅AC⃗=0\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0, donc n⃗\vec{n} est normal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc normal au plan P\mathcal{P}.

2. b. Démontrer qu'une équation cartésienne du plan P est 13x - 16y - 9z - 17 = 0.

Réponse : 13x−16y−9z−17=013x - 16y - 9z - 17 = 0

3. Donner une représentation paramétrique de la droite D.

Réponse : {x=15+13ty=−16−16tz=−8−9t(t∈R)\begin{cases} x = 15 + 13t \\ y = -16 - 16t \\ z = -8 - 9t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})

4. On appelle E le point d'intersection de la droite D et du plan P. Démontrer que le point E a pour coordonnées (2; 0; 1).

Réponse : E(2;0;1)E(2; 0; 1) correspond au paramètre t=−1t = -1.

5. Déterminer la valeur exacte de la distance du point F au plan P.

Réponse : 506\sqrt{506}

6. Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite D dont la distance au plan P est égale à la moitié de la distance du point F au plan P.

Réponse : M1(−4,5;8;5,5)M_1(-4{,}5; 8; 5{,}5) et M2(8,5;−8;−3,5)M_2(8{,}5; -8; -3{,}5)

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