Exercice 2 · Bac Mathématiques La Réunion 2023 (jour 2)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1} = \frac{6u_n + 2}{u_n + 5}$$

1.

Calculer $u_1$.

2.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par:

$$f(x) = \frac{6x + 2}{x + 5}$$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} = f(u_n)$.

a.

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0; +\infty[$.

En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.

b.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.

3.

On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a:

$$u_{n+1} - u_n = \frac{(2 - u_n)(u_n + 1)}{u_n + 5}$$

a.

Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

b.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

4.

On définit la suite $(v_n)$ pour tout entier naturel par:

$$v_n = \frac{u_n - 2}{u_n + 1}$$

a.

Calculer $v_0$.

b.

Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{4}{7}$.

c.

Déterminer, en justifiant, la limite de $(v_n)$. En déduire la limite de $(u_n)$.

5.

On considère la fonction Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil(2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.