Exercice 3 · Bac Mathématiques La Réunion 2023 (jour 1)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 1 (2023)

Énoncé

EXERCICE 3 (5 points)

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$ ,

$u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + \frac{1}{2}n + 1.$

Partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.

La valeur de $u_2$ est égale à:

La suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_n = u_n - n$ est:

On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.

$n$ désigne un entier naturel non nul.

On rappelle qu'en langage Python « i in range(n) » signifie que $i$ varie de $0$ à $n-1$ .

1 def terme(n):

2 U=3

3 for i in range(n):

4...............

5 return U

Pour que terme(n) renvoie la valeur de $u_n$ , on peut compléter la ligne 4 par:

Partie B

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :

$n \le u_n \le n + 3$

En déduire la limite de la suite $(u_n)$ .

Déterminer la limite de la suite $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ .

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Partie A - 1. La valeur de $u_2$ est égale à :

Réponse : a. 11/4

Partie A - 2. La suite $(v_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$ , par $v_n = u_n - n$ est :

Réponse : b. géométrique de raison 1/2.

Partie A - 3. Pour que terme(n) renvoie la valeur de $u_n$ , on peut compléter la ligne 4 par :

Réponse : d. U=U/2+i/2+1

Partie B - 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $n \le u_n \le n + 3$

Réponse : Initialisation : $u_0 = 3$ et $0 \le 3 \le 0+3$ est vrai. Hérédité : si $k \le u_k \le k+3$ , alors $\frac{1}{2}k \le \frac{1}{2}u_k \le \frac{1}{2}(k+3)$ , puis en ajoutant $\frac{1}{2}k+1$ on obtient $k+1 \le u_{k+1} \le k + \frac{5}{2} \le k+4$ . Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $n \le u_n \le n+3$ .

Partie B - 2. Justification de la limite de $(u_n)$ :

Réponse : Comme pour tout $n$ , $u_n \ge n$ et $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ , par théorème de comparaison $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

Partie B - 2. Limite de la suite $(u_n)$ :

Réponse : $+\infty$

Partie B - 3. Justification de la limite de $(u_n/n)$ :

Réponse : Pour tout $n > 0$ , $1 \le \frac{u_n}{n} \le 1 + \frac{3}{n}$ . Comme $\lim_{n \to +\infty} (1 + \frac{3}{n}) = 1$ , par le théorème des gendarmes $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{n} = 1$ .

Partie B - 3. Limite de la suite $(u_n/n)$ :

Réponse : 1

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