Exercice 1 - Succession d'épreuves indépendantes,… · Bac Mathématiques La Réunion 2023 (jour 2)

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE. On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes:

$20\,\%$ des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, $90\,\%$ sont satisfaits de leur achat.

$82\,\%$ des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie B

1.

On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.

a.

On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.

$n =$

$p =$

b.

Déterminer la probabilité qu'au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.

On arrondira le résultat à $10^{-3}$.

2.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.

a.

On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat. Démontrer que $p_n = 0{,}82^n$.

b.

Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0{,}01$. Interpréter dans le contexte de l'exercice.