Exercice 1 - Partie B : Loi binomiale · Bac Mathématiques La Réunion 2023 (jour 1)

Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit.

L'entreprise appelle chaque personne une première fois: la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,6;

si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,3.

Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel: la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à 0,3;

si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à 0,2.

Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants:

$D_1$: « la personne décroche au premier appel »;

$D_2$: « la personne décroche au deuxième appel »;

$A$: « la personne achète le produit ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie B

On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0{,}204$.

1.

On considère un échantillon aléatoire de 30 personnes. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l'échantillon qui achètent le produit.

a.

On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres.

b.

Déterminer la probabilité qu'exactement 6 personnes de l'échantillon achètent le produit. Arrondir le résultat au millième.

c.

Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter le résultat.

2.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère désormais un échantillon de $n$ personnes. Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l'échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0{,}99$.