Exercice 3 · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (spécialité) Métropole Septembre 2026

Une montgolfière décolle d'un village de montagne. L'évolution de l'altitude de cette montgolfière en fonction du temps peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,; 5]$ par

$$f(t) = \frac{4t + 1}{\mathrm{e}^t},$$

où $f(t)$ désigne l'altitude, en kilomètres, par rapport au niveau de la mer, et $t$ désigne le temps, en heures, écoulé depuis le décollage.

1.

Déterminer l'altitude de la montgolfière au moment du décollage.

2.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0\,; 5]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0\,; 5]$, on a

$$f'(t) = \frac{3 - 4t}{\mathrm{e}^t}.$$

3.

Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0\,; 5]$.

En déduire que la fonction $f$ admet un maximum pour $t = \frac{3}{4}$.

4.

On sait que la montgolfière a décollé à 10 h 50.

À quelle heure commence-t-elle à perdre de l'altitude ?