Exercice 1 - Étude de la fonction · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (spécialité) Métropole Secours 2026

DEUXIÈME PARTIE (14 pts)

Exercice 1 (6 points)

Partie A: Étude graphique

On précise également que:

$\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 9)$ et tangente l'axe des abscisses au point de coordonnées $(3; 0)$,

$\mathcal{C}'$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 3)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(1; 0)$ et $(3; 0)$.

Afin d'établir l'efficacité d'un antibiotique, un biologiste étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À l'instant $t = 0$, le milieu contient une population initiale de bactéries et l'antibiotique est introduit dans le milieu.

La densité de population bactérienne (en milliers de bactéries par millilitre) peut être modélisée par la fonction $f$ représentée par $\mathcal{C}$ dans la partie 1 et définie pour tout réel $t$ par:

$$f(t) = \text{e}^t (t^2 - 6t + 9)$$

où $t$ représente le temps écoulé depuis le début de l'observation, exprimé en heure.

Données: $\text{e}^1 \approx 2,7$; $\text{e}^3 \approx 20,1$.

1.

Montrer que pour tout réel $t$, on a: $f(t) = \text{e}^t (t - 3)^2$.

En déduire le signe de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

2.

Calculer $f(0)$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

3.

Montrer que la fonction dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $t$, par:

$$f'(t) = \text{e}^t (t^2 - 4t + 3)$$

4. a.

Étudier le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$.

4. b.

Dresser le tableau des variations complet de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$.