Exercice 1 - Partie C · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 2)

Exercice 1 (6 points)

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.

On s'intéresse à un réseau de communication constitué d'une chaîne de relais (satellites, antennes, opérateurs...) pour transmettre des messages.

À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaître dans le message. Une étude statistique a permis d'établir que pour chaque relai:

si le message reçu est sans erreur, il a 94 % de chances d'être transmis sans erreur au relai suivant;

si le message reçu comporte des erreurs, il y a 35 % de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant.

On choisit au hasard un message envoyé au cours d'une journée.

Pour un événement $E$ quelconque, on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

On désigne par $n$ un entier naturel non nul.

On s'intéresse à une chaîne de transmission de l'information composée de $n$ relais.

On considère l'évènement $A_n$: « le message reçu par le $n$-ième relais est sans erreur ».

On note $p_n$ la probabilité que le message reçu au $n$-ième relais soit sans erreur.

On a ainsi $p_n = P(A_n)$ et $p_1 = 0,96$.

On admet que pour tout entier naturel $n \ge 1$,

$$p_{n+1} = 0,59p_n + 0,35$$

1.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \ge 1$, $p_{n+1} \le p_n$.

2.

Montrer que la suite $(p_n)$ est convergente.

3.

Déterminer la valeur exacte de sa limite.